Quadratische Gleichungen

9. Jahrgangsstufe Mathematik- Algebra Lehrtext
Quadratische Gleichungen
Beispiel
In Garmisch- Partenkirchen wurde von April 2007 bis Dezember dei neue Olympiaschanze gebaut. Im
folgenden findet sich ein vereinfachter Plan der Schanze:
Wie man dem Plan entnehmen kann, ist der Aufsprunghügel eine nach unten geöffnete Parabel. Der
Scheitelpunkt dieser Parabel hat die Koordinaten S(25|65). Die Unterkante des Schanzentischs ist 56 m
über dem Stadionboden gelegen.
• Bestimmung der Parabelgleichung für den Aufsprunghügel:
y = a(x − 25) 2 + 65
56 = a · (0 − 25) 2 + 65
−9 = a · 625
a = −0,0144
Gleichung für den Aufsprunghügel in Normalenform:
y = −0,0144(x − 25) 2 + 65
y = −0,0144(x 2 − 50x + 625) + 65
y = −0,0144x 2 + 0,72x − 56
Der Ausprunghügel wird durch die quadratische Funktion mit der Gleichung
beschrieben
f : x ↦→ y = −0,0144x 2 + 0,72x − 56
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• Bestimme, in welche Abstand vom Schanzentisch der Aufsprunghügel auf den Stadionboden (y=0)
trifft. Um diese Frage zu lösen,muss man die nachstehende Gleichung lösen:
Eine Gleichung der Form
−0,0144x 2 + 0,72x + 56 = 0
ax 2 + bx + c = 0
heißt gemischtquadratische Gleichung .
Um die Gleichung zu lösen, erzeugt man auf der linken Seite der Gleichung die Scheitelform der
Funktionsgleichung. Da wir diese in unserem Beispiel bereits vorliegen haben kann man schreiben:
−0,0144x 2 + 0,72x + 56 = 0
⇕
−0,0144(x − 25) 2 + 65 = 0
Diese Gleichung kann man nun sehr leicht auflösen:
−0,0144(x − 25) 2 = −65 | ÷ −0,0144
(x − 25) 2 = 4513 8
9 |√ .
Da man aber nicht weiß, welches Vorzeichen der Term x − 25 besitzt, muss man nach dem Wurzelziehen
den Betrag setzen:
|x − 25| = 4513 8
9
Um nun nach x aufzulösen muss man erst noch den Betrag entfernen. Dazu muss man zwei Fälle
unterscheiden:
1. Der Term x − 25 > 0. In diesem Fall kann man den Betrag einfach weglassen:
x1 − 25 = 67,19
x1 = 92,19
2. Der Term x−25 < 0. In diesem Fall lässt man den Betrag weg und setzt eine Minusklammer:
Die Lösungsmenge unserer Gleichung ist also
−(x2 − 25) = 67,19
x2 − 25 = −67,19
x2 = −42,19
L = {−42,19; 92,19}
Beispiel 2 Gegeben ist die folgende gemischt- quadratische Gleichung
Ermittle die Lösungsmenge.
2x 2 − 4x − 6 = 0
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1. Ermittle die Scheitelform auf der linken Seite mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Dazu muss
man allerdings die gesamte Gleichung durch 2 dividieren:
2. Quadratische Ergänzung:
2x 2 − 4x − 6 = 0 | ÷ 2
x 2 − 2x − 3 = 0
x 2 − 2x + 1 2 − 1 2 − 3 = 0
3. Anwendung der zweiten binomischen Formel und isolieren des Binoms:
4. Fallunterscheidung zur Auflösung des Betrags:
a) x − 1 > 0
b) x − 1 < 0
5. Anschreiben der Lösungsmenge:
(x − 1) 2 − 4 = 0 | + 4
(x − 1) 2 = 4 | √ .
|x − 1| = 2
x − 1 = 2 | + 1
x = 3
−(x − 1) = 2
x − 1 = −2
x = −1
L = {−1; 3}
Zusammenfassend kann man die Lösung einer quadratischen Gleichung in die folgenden Schritte unterteilen:
Lösung einer gemischt- quadratischen Gleichung :
1. Normiere die quadratische Gleichung, indem du die gesamte Gleichung
durch den Koeffizienten (d.h. die Zahl) vor dem x 2 dividierst.
2. Wende die quadratische Ergänzung an.
3. Wende die passende binomische Formel (erste oder zweite) an und isoliere
das Binom auf einer Gleichungsseite.
4. Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei entsteht auf der linken Seite
ein Betrag.
5. Führe bezüglich des Betrags eine Fallunterscheidung durch und löse die
beiden Fälle jeweils nach x auf.
6. Schreibe die Lösungsmenge an.
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