( )x ( )x

Umfang: 5 Aufgaben
Themen:
Mathematik 2 –WIW – Übungsblatt 4
Differentialrechnung – Weitere Funktionen und
Aufgaben
Hilfsmittel: Sind keine notwendig. Eine Formelsammlung und ein nicht programmierbarer
Taschenrechner können aber verwendet werden.
Aufgabe A1 (Ableitungen, Umkehrfunktionen):
Berechnen Sie die Ableitungen.
a) arctan(x )
b) ln(x )
c) arccos(x )
Aufgabe A2 (Implizites Differenzieren):
Leiten Sie die Funktion
f
x
( x)
x ab. Tun Sie dies auf zweierlei Arten:
1) Verwenden Sie die Kettenregel und die Tatsache, dass e x
x ln
2) Logarithmieren Sie beide Seiten und differenzieren Sie dann implizit.
Aufgabe A3 (Differenzieren mit allen Regeln):
Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung nach x .
a)
f ( x)
xcos
x
2
3
e
b) ( ) ln
1
x
f x e x
1
x
c) ( x)
arctan
d) x 1
1
f
ln x
2
e) sin 0
g)
x
f ( x)
2
2
y x
f) f ( x)
4 x x
2
4
ln 4x
h) f ( x)
x e x
f ( x)
x
DHBW STUTTGART – WIW MATHEMATIK 2 SEITE 1 VON 2
x
ist.
x cosh
i) f ( x)
cosh x sinh
x
j) f ( x)
x arctan
x
Aufgabe A4 (Vollständige Induktion (Trockenübung), Ableitungsregeln):
Gegeben sei die Funktion
2 x2
x 1
e
f ( x)
.
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die n -te Ableitung der Funktion f (x)
gegeben ist durch

mit 1
, 2,
3,...
n .
f
( n)
MATHEMATIK 2 – STUDIENGANG: WIW – ÜBUNGSBLATT 4
( x)
Aufgabe A5 (Grenzwerte bestimmen):
Bestimmen Sie die Grenzwerte:
2
2
a) lim
x x 1
x 5
c)
e)
x
x sin
lim
x0
2
sinh
lim
x0
3
x
2
x
2x x
x
2
x2
x 2nx
n n 1
1
e
lim 1
b) x 2
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x
lim
x
3
1 x
d)
f)
x0
lim
x0
x
tan
x
x sin