Relationen = R Binäre Relationen n – stellige Relationen ...

Relationen
Anschaulich: Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine
Beziehung zwischen den Elementen von A und B.
Mathematisch: Eine Relation ist eine Teilmenge der Menge der
geordneten Paare A X B: R ⊆ A X B
Bsp.: A = {2,3,4,5} B = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Beziehung“ zwischen a ∈ A und b ∈ B: „ a ist ein ganzzahliger
Teiler von b“
Mathematische Darstellung : Menge aller geordneten Paare
(a,b), auf die „ a ist ein ganzzahliger Teiler von b“ zutrifft:
(2,2), (2,4), (2,6), (2,8),
(3,3), (3,6),
(4,4), (4,8),
(5,5)
n – stellige Relationen
= R
Besondere Relationen:
∅⊆A X B: Leere Relation
R mit R = A X B Allrelation
idA = { (x,x) / x∈ A} Wegen (x,y) ∈idA ⇔ x = y heißt idA Gleichheitsrelation (auch: Diagonale von A)
R-1 = { (y,x) /(x,y) ∈ R } Inverse Relation zu R (Umkehrrelation)
n – stellige Relationen:
Eine n – stellige Relation R auf den Mengen A1, A2, ..., An ist eine
Teilmenge ihres kartesischen Produktes : R ⊆ A1 × A2 … × An Bsp.: A 1 = A 2 =A 3 = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(x,y,z) ∈ A 1 × A 2 × A 3 / x + y + z = 5}
= {(1,1,3), (1,2,2), (1,3,1), (2,1,2), ….., (3,1,1)}
Binäre Relationen
Def: Seien A, B Mengen. Eine Teilmenge R des kartesischen Produktes
A X B heißt (zweistellige, binäre) Relation zwischen A und B.
Gilt A = B, so heißt R ⊆ A X A eine binäre Relation auf A.
Bez.: Definitionsbereich der Relation Dom R = {x/ ∃y.(x,y) ∈ R}
Bildbereich Ran R = {y/ ∃x.(x,y) ∈ R}
Im Bsp oben: Dom R = {2,3,4,5} , Ran R = {2,3,4,5,6,8}
Schreib- und Sprechweisen:
(x,y) ∈ R =: xRy R: Infixsymbol
Sprich: “x und y stehen in der Relation R”
oder “x und y erfüllen R”
Einige Infixsymbole zu wichtigen Relationen: =, , ⊆, →, …
Eigenschaften von Relationen
Eigenschaften von Relationen:
R ⊆ A X B ist
linkstotal: … wenn jedes Element von A in mindestens einem Paar
(a,b) ∈ R links (als 1. Partner) auftritt.
rechtstotal: … wenn jedes Element von B in mindestens einem Paar
(a,b) ∈ R rechts (als 2. Partner) auftritt.
linkseindeutig: ... wenn es zu jedem b ∈ B höchstens ein (a,b) ∈ R gibt
rechtseindeutig: ... wenn es zu jedem a ∈ A höchstens ein (a,b) ∈ R gibt
(Formalisierung in prädikatenlogischer Sprache: Übungsaufgabe!)
Bsp:
A B A B A B
Linkstotal, nicht rechtstotal nicht linkseindeutig nicht rechtseindeutig

Eigenschaften binärer Relationen
Eigenschaften binärer Relationen auf einer Menge A:
Eine binäre Relation R ⊆ A X A ist
reflexiv: … wenn jedes Element von A zu sich selbst in Relation steht:
∀x∈A.(x,x) ∈ R
irreflexiv:… wenn kein Element zu sich selbst in Relation steht:
∀x∈A.(x,x) ∉ R
symmetrisch: … wenn zu jedem Paar (a,b) ∈ R auch das gespiegelte Paar
(b,a) aus R ist:
∀x, y∈A.( (x,y) ∈ R → (y,x) ∈ R )
antisymmetrisch: … wenn zu jedem Paar (a,b) ∈ R das gespiegelte
Paar (b,a) nur dann aus R ist, wenn a = b gilt:
∀x, y∈A.( (x,y) ∈ R ∧ (y,x) ∈ R → x = y )
asymmetrisch: … wenn zu jedem Paar (a,b) ∈ R das gespiegelte Paar
(b,a) nicht aus R ist:
∀x, y∈A.( (x,y) ∈ R → (y,x) ∉ R )
transitiv: .. wenn:
∀x, y,z∈A.( (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R → (x,z) ∈ R )
Reflexive transitive Hülle
Die reflexive, transitive Hülle von R ⊆ A X A :
Die transitive Hülle von R ist die Relation
Rtrans := {(x,y) ∈ A X A/
(x,y) ∈ R ∨∃n∈ .(∃ a1, a2, ..., an ∈ A.(x,a1), (a1,a2), ...,(an-1,an) (an,y) ∈R)}
Wir nehmen noch idA dazu und erhalten R * , die reflexive und transitive
Hülle R * von R: R* := Rtrans ∪ idA Idee : Erweitere R so, daß die Transitivität gilt, mache dann reflexiv!
Bsp.: Sei A = {a,b,c,d,e} und R = {(a,b), (a,e), (b,a), (b,d),(c,d),(e,e)}
bb
b
cc
c
aa
a
dd
d
ee
e
Rot:
„transitiv machen“
Lila:
„reflexiv machen“
Hüllen
Hüllen von Relationen:
Sei R ⊆ A X A eine Relation auf A
Die symmetrische Hülle von R ist die Relation
Rsym := {(x,y) ∈ A X A/ (x,y) ∈ R ∨ (y,x) ∈ R }
Idee: zu jedem Paar aus R wird das Spiegelpaar dazugenommen!
Die transitive Hülle von R ist die Relation
Rtrans := {(x,y) ∈ A X A/
(x,y) ∈ R ∨ ∃n∈ .(∃ a 1, a 2, ..., a n ∈ A.(x,a 1), (a 1,a 2), ...,(a n-1,a n) (a n,y) ∈R)}
Idee am Bsp. illustriert: R, selbst nicht transitiv, enthalte (a,b),(b,c),(c,d):
a b c d
Blau: R
Blau und Rot: Rtrans Nimm(a,c), (a,d), (b,d) dazu: R trans enthält R und wird zusätzlich transitiv!
Komposition von Relationen
Die reflexive, transitive Hülle einer Relation ist die kleinste reflexive
und transitive Relation, die R umfasst. Zu ihrer Berechnung benötigt
man die Komposition von Relationen:
Seien R ⊆ A X B, S ⊆ B X C Relationen.
Die Komposition R ° S (kurz RS) ist dann definiert durch
∀a ∈A, c ∈ C. ( (a,c) ∈ RS ↔∃b∈B.( (a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ S ) )
Im Fall A = B können dann induktiv Potenzen von R ⊆ A X A erklärt
werden:
R0 := {(a,a)/ a ∈ A} R1 := R Rn+1 := Rn R
Die reflexive, transitive Hülle einer Relation R ⊆ A X A ist die Relation
R * = ∪ i ∈ R i
Dies – und den Sachverhalt, daß R * die kleinste reflexive und
transitive Relation über A ist, die R enthält - kann bzw. muß man
beweisen.