Höhere Mathematik

89. Ableitungsbegriff und Ableitungsregeln 455
und dieser Ausdruck geht für h → 0 gegen Null. An einer
beliebigen Stelle x ∈ R erhalten wir aufgrund des Additionstheorems
für die Sinusfunktion
sin(x+h) − sin(x)
=
h
sin x cos h +cosxsin h − sin x
h
cos h − 1 sin h
=sinx · +cosx · → sin x · 0+cosx · 1
h
h
für h → 0, für die Kosinusfunktion dagegen
cos(x+h) − cos(x)
=
h
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
cos h − 1 sin h
=cosx · − sin x · → cos x · 0 − sin x · 1
h
h
für h → 0. Die Aussagen sin ′ (x) =cos(x) und cos ′ (x) =
− sin(x) an einer beliebigen Stelle x lassen sich also mit
Hilfe der Additionstheoreme auf die entsprechenden AussagenanderStellex
=0zurückführen. �
(89.10) Beispiel: Exponentialfunktion. Wir behaupten,
daß die Exponentialfunktion ihre eigene Ableitung
ist, daß also exp ′ = exp gilt. Zum Nachweis beweisen
wir zunächst, daß die Ableitung exp ′ (0) an der Stelle 0
existiert und den Wert 1 hat. Für alle h ∈ R und alle
n ∈ N gilt
(1 + h/n) n − 1
h
Wegen
� �
n
k
· 1 1
=
nk k!
= 1
h
n�
k=1
· n−k+1
n
� �� �
≤ 1
� � k
n h
=1+
k nk · n−k+2
n
� �� �
≤ 1
erhalten wir für |h| ≤1also
�
�
�
(1 + h/n)
�
n �
− 1 �
− 1�
h � ≤
n�
k=2
≤
n� 1
k!
k=2
|h|k−1 ∞� 1
≤ ( ) ·|h| .
k!
k=2
n�
k=2
� � k−1
n h
k nk .
··· n−k+k
≤
� ��
n
�
≤ 1
1
k!
� � k−1
n |h|
k nk (Die Bedingung |h| ≤1 wurde nur in der letzten Ungleichung
benutzt.) Mit n →∞folgt hieraus zunächst
�
�
�
�
exp(h) − 1 � ∞�
�
− 1�
1
h � ≤ ( ) ·|h|,
k!
k=2
� �
und mit h → 0 folgt dann limh→0 exp(h) − 1 /h =1.An
einer beliebigen Stelle x ∈ R gilt aufgrund der Funktionalgleichung
der Exponentialfunktion dann
exp ′ exp(x + h) − exp(x)
(x) = lim
h→0
= exp(x) · lim
h→0
h
exp(h) − 1
h
;
die Aussage exp ′ (x) =exp(x) an einer beliebigen Stelle x
läßt sich also mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
auf die entsprechende Aussage an der
Stelle x =0zurückführen. �
(89.11) Gegenbeispiel: Betragsfunktion. Die Betragsfunktion
f(x) :=|x| ist nicht differentiierbar an der
Stelle x0 := 0, denn es gilt
f(x) − f(x0)
x − x0
= |x|−|0|
x − 0
= |x|
x =
Verlag Harri Deutsch – Karlheinz Spindler: Höhere Mathematik – Ein Begleiter durch das Studium – (978-3-8171-1872-4)
� 1, falls x>0,
−1, falls x