Höhere Mathematik

98. Optimierung auf Mannigfaltigkeiten 545
an der Stelle (p, λ0). Ist(p, q, s) der Index von A, soist
(p + m, q + m, s) der Index von H. � Siehe (58.17) zum
Begriff des Index. �
(c) Hat H genau d + m positive Eigenwerte, so ist p
ein lokales Maximum von f |M .HatH genau d + m negative
Eigenwerte, so ist p ein lokales Minimum von f |M .
Hat H mehr als m positive und mehr als m negative Eigenwerte,
so ist p ein Sattelpunkt von f |M .
Beweis. (a) Genau dann ist (p, λ0) ein kritischer
Punkt von L, wennsowohl(∇λL)(x, λ) =g(x) alsauch
(∇xL)(x, λ) = (∇f)(x) +〈λ, (∇g)(x)〉 = (∇f)(x) +
� m
i=1 λi(∇gi)(x) an dieser Stelle verschwindet, was nach
dem Satz von Lagrange genau dann der Fall ist, wenn p
ein kritischer Punkt von f |M ist.
(b) Nach (97.18) können wir in einer Umgebung von p
lokale Koordinaten (y1,...,yn) sowählen, daß y1,...,yd
lokale Koordinaten auf M und yd+1,...,yd+m = yn gerade
die Werte der Funktionen gi sind; in diesen lokalen
Koordinaten lautet die Nebenbedingung dann einfach
yd+1 = ··· = yn = 0, und die Lagrangefunktion nimmt
die Form L(y, λ) = f(y) +λ1yd+1 + ··· + λmyd+m an.
In den neuen Koordinaten nimmt die Hessesche Matrix
von L (die nach (98.12) kongruent zur Hessematrix in den
ursprünglichen Koordinaten ist) dann die Form
H =
⎡
A
⎣ B
B 0
T C
⎤
1 ⎦
0 1 0
an, wobei A = (∂2f/∂yi∂yj) d i,j=1 die Hessesche Matrix
von f |M ist, wobei B die Matrix der partiellen Ableitungen
∂2f/∂yi∂yk mit 1 ≤ i ≤ d und d +1 ≤ k ≤ n
bezeichnet und wobei C =(∂2f/∂yi∂yj) n i,j=d+1 ist. Mit
⎡
⎤
1 0 0
T := ⎣ 0 1 0 ⎦ und S :=
C 1
1 ⎡ √ ⎤
2·1 0 0
√ ⎣ 0 1 1⎦
2 0 −1 1
−B T − 1
2
sowie P := TS gilt dann
P T
⎡
A
⎣ B
B 0
T C
⎤
1 ⎦ P = S
0 1 0
T
⎡
A
⎣ 0
0
0
⎤ ⎡
0 A
1 ⎦ S = ⎣ 0
0
−1
⎤
0
0 ⎦ ;
0 1 0 0 0 1
also hat H genau m mehr positive bzw. negative Eigenwerte
als A, während der Eigenwert 0 in A und in H mit
gleicher Vielfachheit auftritt.
(c) Ist d + m die Anzahl der positiven (negativen) Eigenwerte
von H, soistnach(b)geraded die Anzahl der
positiven (negativen) Eigenwerte von A; d.h., A ist positiv
(negativ) definit. Hat H mehr als m positive und mehr
als m negative Eigenwerte, so hat A nach (b) mindestens
einen positiven und mindestens einen negativen Eigenwert
und ist damit indefinit. Die Behauptungen folgen dann sofort
aus (95.4).
(98.14) Beispiel. Welches sind die lokalen Maxima
und Minima der Funktion f(x, y, z) :=x 3 + y 3 + z 3 unter
der Nebenbedingung (1/x)+(1/y)+(1/z) =1?
Lösung. Wir setzen g(x, y, z) := (1/x) +(1/y) +
(1/z)−1 und bezeichnen mit M die Nullstellenmenge von
g; die Lagrangefunktion ist dann gegeben durch
L(x, y, z, λ) = x 3 + y 3 + z 3 � �
1 1 1
+ λ + + − 1 .
x y z
Nullsetzen des Gradienten
⎡
3x
(∇L)(x, y, z, λ) =
⎢
⎣
2 − λ/x2 3y2 − λ/y2 3z2 − λ/z2 ⎤
(1/x)+(1/y)+(1/z) − 1
⎥
⎦
führt auf die Gleichungen 3x4 = 3y4 = 3z4 = λ und
(1/x)+(1/y)+(1/z) =1mitdenLösungen x = y = z =3,
λ = 243 und x = y = −z =1,λ = 3 sowie den beiden
Lösungen, die aus der letzteren durch Vertauschung der
Rollen von x und z bzw. y und z hervorgehen. Die Funktion
f hat also auf der Nullstellenmenge von g die vier kritischen
Punkte (3, 3, 3), (1, 1, −1), (1, −1, 1) und (−1, 1, 1).
Um den Charakter dieser kritischen Punkte festzustellen,
betrachten wir die Hessesche Matrix (Hess L)(x, y, z, λ),
die gegeben ist durch
⎡
6x +2λ/x3 0 0 −1/x2 ⎤
Verlag Harri Deutsch – Karlheinz Spindler: Höhere Mathematik – Ein Begleiter durch das Studium – (978-3-8171-1872-4)
⎢
⎣
0 6y +2λ/y3 0 −1/y2 0 0 6z +2λ/z3 −1/z2 −1/x2 −1/y2 −1/z2 ⎥
⎦ .
0
Nun hat
⎡
36 0 0
⎤
−1/9
(Hess L)(3, 3, 3, 243) =
⎢
⎣
0
0
36
0
0
36
−1/9 ⎥
⎦
−1/9
−1/9 −1/9 −1/9 0
das charakteristische Polynom p(λ) =(λ−36) 2 (λ 2 −36λ−
1/27) und damit die Eigenwerte λ1,2 = 36 und λ3,4 =
18± � 18 2 +1/27, also drei positive Eigenwerte und einen
negativen Eigenwert und damit die Signatur 2. Nach Satz
(98.13) hat also auch die Hesseform von f |M die Signatur
2, ist also positiv definit; an der Stelle (3, 3, 3) liegt daher
ein lokales Minimum von f |M vor. Dagegen hat
(Hess L)(1, 1, −1, 3) =
⎡
⎢
⎣
12 0 0
⎤
−1
0
0
12
0
0
−12
−1 ⎥
⎦
−1
−1 −1 −1 0
das charakteristische Polynom p(λ) =(λ − 12) q(λ) mit
q(λ) :=λ 3 − 147λ − 12 und damit den Eigenwert 12 sowie
jeweils einen Eigenwert in jedem der Intervalle (−∞, −1),
(−1, 0) und (0, ∞) (weildortq jeweils einen Vorzeichenwechsel
hat). Also hat (Hess L)(1, 1, −1, 3) zwei positive
und zwei negative Eigenwerte; nach (98.13) hat dann die
Hesseform von f |M einen positiven und einen negativen
Eigenwert. An der Stelle (1, 1, −1) liegt also ein Sattelpunkt
von f |M vor. Gleiches gilt für (1, −1, 1) und
(−1, 1, 1). �