01.07.2009

• Bei konstanter
Winkelgeschw. ω:
Φm = AB cos φ
Induktionsbeispiele
Rotierende Leiterschleife:
= AB cos(ωt + φ0)
• Induktionsspannung:
Uind = − dΦm
dt
= −AB [−ω sin(ωt + φ0)]
= ABω sin(ωt + φ0)
(Wechselspannung)
• Prinzip des Generators.
Spule mit Induktionsschleife:
• Magnetischer Fluss
in Spule mit
N Windungen:
Φm = AB
= πR 2 · µ0
N
L
• Spannung in
Induktionsschleife
(eine Windung):
· I(t)
2R
Uind = − dΦm
dt = −µ0πR 2N L
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 24. Juni 2009
A
A
φ
B
L
U ind
ω
· dI(t)
dt
U ind
N Windungen,
Strom I(t)

Selbstinduktion, Einschaltvorgang
Selbstinduktion:
• Beim Einschalten des Stroms in einer Spule
(Länge ℓ, N Windungen) induziert die
Flussänderung in der Spule eine Spannung Uind
in der Spule selbst.
• In N Windungen ist Uind N mal so groß wie in einer
einzelnen Induktionsschleife:
Uind = −N dΦm
dt
= −µ0AN 2
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 24. Juni 2009
ℓ
· dI(t)
dt
• Eine induzierte Spannung tritt bei Stromänderungen
in allen stromführenden Anordnungen auf, mit
Uind = −L · dI(t)
dt
L = Induktivität; [L] = Vs
A
• Selbstinduktivität einer Spule: L =
Einschaltvorgang:
• Stromkreis mit L, R und U0:
U0 = RI − Uind = RI + L dI
dt
• DG für I(t) mit Lösung
I(t) = U0
R
1 − e −(R/L)t
• Zeitkonstante des
Stromanstiegs: τ = L/R
0.63I 0
= Henry = H
µ0AN 2
ℓ
U 0
Uo /R R
I I0 =
τ
.
S
L
t

Die Lenzsche Regel
Vorzeichen von Induktionsspannungen:
Das negative Vorzeichen im Induktionsgesetz hat eine
generelle Konsequenz für alle Induktionseffekte:
Die durch Induktion bewirkten
Spannungen, Ströme und Felder
wirken stets dem die Induktion
verursachenden Vorgang entgegen.
I ind
B ind
Beispiel:
• Permanentmagnet bewegt sich auf Spule zu.
• Durch die Änderung des magnetischen Flusses
wird in der Spule eine Spannung Uind induziert,
durch die ein Strom Iind erzeugt wird.
• Der Strom erzeugt ein Magnetfeld Bind.
Lenzsche Regel: Bind wirkt der Flusszunahme
in der Spule entgegen, ist also dem Feld des
Permanentmagneten entgegengerichtet.
• Es resultiert eine abstoßende Kraft zwischen Spule
und Magnet.
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
v
F

Ausschaltvorgang
Abkoppeln der Spannungsversorgung
von einem Stromkreis mit Induktivität:
• Vor Öffnen des Schalters S
(lange nach Einschalten):
I1 = U0/R1
IL = U0/RL = I0
• Nach Öffnen des Schalters S:
0 = RI − Uind = RI + L dI
dt
(mit R = R1 + RL).
• DG für I(t) mit Lösung
I(t) = I0 · e −(R/L)t
• Die Induktion bewirkt einen
Strom, der das Magnetfeld
in der Induktivität
aufrechtzuerhalten versucht.
• Induktionsspannung an L:
Uind = −L dI
dt
= U0
R1 + RL
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
RL
e −(R/L)t .
Falls R1 ≫ RL ist, wird Uind ≫ U0
• Praktische Konsequenzen:
– Bei Ausschaltvorgängen entstehen u.U. hohe
Spannungsspitzen, die elektrische/elektronische
Geräte beschädigen können.
– Diese Spannungsspitzen werden z.B. zum Zünden
der Gasentladung in Leuchtstoffröhren
verwendet.
U 0
S
R
1
I I0 = Uo /R
L
I L,RL
t

Energieinhalt des Magnetfeldes
Energie des Magnetfeldes:
• Der Strom I(t) nach dem Ausschalten erzeugt im
Widerstand R = R1 + RL Joulesche Wärme, die
gleich der im Magnetfeld gespeicherten Energie ist:
Wm = R
∞
0
I 2 (t)dt = RI 2 0
− L
2R e−(2R/L)t
∞ 0
= 1
2 I2 0L
• Für eine Spule (Querschnitt A, Länge ℓ) ist die
magnetische Energiedichte
wm = Wm
V
= 1
Mit B0 = µ0I0N/ℓ wird
2 I2 0 µ0N 2A
ℓ
=L
wm = 1
2µ0
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
1
Aℓ
=1/V
B 2 0
= 1
2 µ0I 2N 0
2
ℓ2 Zusammenfassung
elektromagnetischer Energien:
Wel = 1
2 CQ2 Wm = 1
2 LI2
⎧
1
⎪⎨
ǫ0E
2
welm =
⎪⎩
2 + 1
B
µ0
2
ohne Materie
1
[ED + BH] mit Materie
2

Generator und Elektromotor
Funktionsprinzip
Rotierende Leiterschleife bzw. Spule im äußeren
Magnetfeld:
Generator:
Mechanischer Antrieb
↓
Rotation
↓
Induzierte Spannung
↓
Elektrische Leistung
Kontinuierliche Drehung des Motors erfordert
Umpolen des Stroms oder des Magnetfeldes.
Wechselstrommotor:
Dreht sich mit
Frequenz der
angelegten
Wechselspannung.
S
Elektromotor:
Angelegte Spannung
↓
Strom in Spule
↓
Drehmoment auf Spule
↓
Mechanische Leistung
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
B
U=
U0sin( ωt)
ω
N

Gleichspannungsmotor und
Gleichspannungsgenerator
• Umpolen der
Stromrichtung in
der Drehspule
(Rotator) durch
segmentierte
Schleifkontakte
an der Drehwelle
(Kommutator).
• Funktioniert
unabhängig
von Drehfrequenz.
Funktionsprinzip:
Kontakte zur
Drehspule
Kohlestifte
+ −
• Elektromotor: Betrieb mit Gleichspannung.
• Generator: Liefert Spannung mit festem Vorzeichen.
Technische Verbesserungen:
• Verwendung von N Spulen,
deren Drehwinkel um
π/N gegeneinander
versetzt sind:
– Erfordert meherere
Kommutatoren oder
mehr Segmente an
einem Kommutator.
– Generator: Glattere
Ausgangsspannung.
– Elektromotor:
runderer Lauf.
• Rotator mit Eisenkern
7 Zeitabhängige elektromagnetische Felder 01. Juli 2009
1
U
Drehachse
U
2
Beispiel: N=2
1 2
B
3
Isolator
Spulen
1+2
t