Elementare Einführung in die Physik II – SS 2009 – Lösung der 4 ...
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U N I V E R S I T A S<br />
S A R A V I E N S I S<br />
<strong>Elementare</strong> <strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Physik</strong> <strong>II</strong><br />
<strong>–</strong> <strong>SS</strong> <strong>2009</strong> <strong>–</strong><br />
<strong>Lösung</strong> <strong>der</strong> 4. Übung <strong>–</strong> 20. Mai <strong>2009</strong><br />
Aufgabe 13: Arbeit im homogenen elektrischen Feld<br />
PD Dr. Patrick Huber<br />
Bau E26 Zi. 3.23<br />
T +49 (681) 302 3944<br />
v +49 (681) 302 4676<br />
k p.huber@physik.uni-saarland.de<br />
Wegen W = F ·ds muss nur entlang den Wegen parallel zu den Feldl<strong>in</strong>ien Arbeit verrichtet werden<br />
bzw. wird nur entlang den Wegen parallel zu den Feldl<strong>in</strong>ien Arbeit verrichtet (je nach Vorzeichen<br />
<strong>der</strong> Ladung und Bewegungsrichtung). Damit wird<br />
1 → 2:<br />
2 → 3:<br />
3 → 4:<br />
4 → 5:<br />
W = Q E (−s) s<strong>in</strong>(α − 90 ◦ ) = − √ 2 J ≈ −1.414 J (1)<br />
W = Q E (−s) = −0, 5 J (2)<br />
W = 0 J (3)<br />
W = Q E (−s) s<strong>in</strong>(α − 90 ◦ ) = − 1<br />
√ 2 J ≈ −0, 707 J (4)<br />
Die aufsummierte Arbeit ist W ≈ −2, 62 J. Sie ist negativ, also muss <strong>die</strong> Arbeit von Ihnen verrichtet<br />
werden. Zurück zum Punkt 1 wird dann aber wie<strong>der</strong> genau <strong>die</strong>se Arbeit vom System verrichtet (also<br />
W = +2, 62 J), so dass <strong>die</strong> <strong>in</strong>sgesamt geleistete Arbeit W = 0 J beträgt. Das System ist konservativ.<br />
Aufgabe 14: Potential e<strong>in</strong>er Punktladung<br />
a) Das elektrische Feld e<strong>in</strong>er positiven Punktladung Q zeigt radial nach außen von <strong>der</strong> Ladung<br />
weg. Der Betrag <strong>der</strong> Feldstärke als Funktion des Abstandes r ist<br />
Es ist also E(10 m) = 898, 8 V<br />
m .<br />
b) Die Kraft auf <strong>die</strong> Ladung q ist<br />
E(r) = 1<br />
4 π ɛ0<br />
Q<br />
. (5)<br />
r2 F = E(10 m) q = 4, 49 mN . (6)<br />
Entsprechend wirkt auf Q e<strong>in</strong>e betragsgleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft, <strong>die</strong> von<br />
q hervorgerufen wird (actio = reactio).<br />
c) Das Potential <strong>der</strong> Punktladung Q ist φ(r) = − r<br />
E(r) dr, also<br />
∞<br />
φ(r) = 1<br />
4 π ɛ0<br />
Q<br />
r<br />
+ C . (7)<br />
Die Integrationskonstante C wird wegen φ(∞) = 0 zu Null. Es ist also φ(10 m) = 8988 V.
d) Die potentielle Energie Wpot <strong>der</strong> Ladung q im elektrischen Feld <strong>der</strong> Ladung Q ist<br />
Wpot = φ(10 m) q = 44, 9 mJ . (8)<br />
e) Die vom System verrichtete Arbeit W entspricht gerade <strong>der</strong> Differenz <strong>der</strong> potentiellen Energie,<br />
also<br />
W = Wpot(10 m) − Wpot(∞) = q [φ(10 m) − φ(∞) ] = 44, 9 mJ . (9)<br />
<br />
=0<br />
Aufgabe 15: Bewegung im elektrischen Feld<br />
a) Welche Spannung U muss e<strong>in</strong> Elektron durchlaufen, damit es aus <strong>der</strong> Ruhe auf <strong>die</strong> Geschw<strong>in</strong>digkeit<br />
v0 gebracht wird?<br />
Die Energie, <strong>die</strong> das Elektron im elektrischen Feld gew<strong>in</strong>nt, wird <strong>in</strong> k<strong>in</strong>etische Energie umgesetzt:<br />
Ek<strong>in</strong> = 1<br />
2 · m · v2 0 = U · e (10)<br />
<br />
2 · U · e<br />
⇒ v0 =<br />
(11)<br />
b) Bei welcher Spannung erreicht das Elektron 10% <strong>der</strong> Lichtgeschw<strong>in</strong>digkeit (angenommene<br />
Grenze für klassische Rechnung)?<br />
Auflösen von (1) gibt:<br />
me<br />
U = me · (0, 1c) 2<br />
2 · e<br />
(12)<br />
= 2556, 8 V (13)<br />
c) E<strong>in</strong> Elektron tritt mit <strong>der</strong> Anfangsgeschw<strong>in</strong>digkeit v0 <strong>in</strong> e<strong>in</strong> räumlich begrenztes, homogenes<br />
elektrisches Feld <strong>der</strong> Stärke E e<strong>in</strong>. Wie verläuft <strong>die</strong> weitere Bewegung? Fallunterscheidung<br />
mit Skizzen <strong>der</strong> Flugbahnen.<br />
Fallunterscheidung: Feld parallel & senkrecht zur Flugbahn<br />
Skizzen: Elektron wird beschleunigt // abgelenkt<br />
d) Wie lauten <strong>die</strong> quantitativen Beschreibungen des Ortes r(t) und <strong>der</strong> Geschw<strong>in</strong>digkeit v(t) als<br />
Funktionen <strong>der</strong> Zeit, wenn das Elektron parallel zu den Platten zwischen zwei Kondensatorplatten<br />
h<strong>in</strong>durchfliegt (Anfangsgeschw<strong>in</strong>digkeit ist v0)?<br />
Tipp: Betrachten Sie x- und y- Komponente <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em geeigneten Koord<strong>in</strong>atensystem separat.<br />
Es gilt: F = E · q = m · a<br />
Wichtig: Die Aufspaltung <strong>in</strong> x- und y-Komponente <strong>der</strong> Flugbewegung. Die unabhängige Betrachtung<br />
führt auf<br />
vy(t) = v0 = const (14)<br />
vx(t) = E · qe<br />
me<br />
· t (15)<br />
ry(t) = y0 + v0 · t (16)<br />
rx(t) = x0 + 1 qe<br />
· E ·<br />
2 me<br />
· t 2<br />
(17)
Aufgabe 16: Millikan-Versuch<br />
Ist <strong>der</strong> Tropfen im Gleichgewicht, so gilt (Die Auftriebskraft ist vernachlässigbar, da <strong>die</strong> Dichte <strong>der</strong><br />
Luft weniger als e<strong>in</strong> Prozent <strong>der</strong> des Öls beträgt):<br />
mit<br />
Somit gilt:<br />
mg = qE (18)<br />
m = 4<br />
3 πR3 ρ (19)<br />
q = mg<br />
E<br />
(20)<br />
= 4πr3ρg 3E<br />
(21)<br />
= 8, 0 · 10 −19 C (22)<br />
q<br />
e = 8, 0 · 10−19 C<br />
1, 60 · 10 −19 C<br />
(23)<br />
(24)<br />
= 5 (25)