Anleitung 3 & 4 - ETH Zürich

Daraus erhält man mit
k1 + k2 f
=
m m = ω2 0
die allgemeine ungedämpfte Schwingungsgleichung
(4.2)
¨x + ω 2 0x = 0. (4.3)
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
x(t) = c1 · sin(ω0t) + c2 · cos(ω0t) (4.4)
Die Parameter c1 und c2 sind von den Anfangsbedingungen abhängig. Die An-
fangsbedingungen können zum Beispiel lauten
x(0) = A > 0
Die Masse startet aus der Ruhe heraus mit der
v(0) = ˙x(0) = 0 anfänglichen Auslenkung A
Für die Parameter c1 und c2 in der allgemeinen Lösung ergeben sich folgende
Werte:
x(0) = A ⇒ c1 · sin(0) + c2 · cos(0) = A ⇒ c2 = A (4.5)
˙x(t) = c1ω0 · cos(ω0t) − c2ω0 · sin(ω0t) =
= c1ω0 · cos(ω0t) − Aω0 · sin(ω0t)
˙x(0) = 0 ⇒ c1ω0 · cos(0) − Aω0 · sin(0) = 0
Die Lösung lautet demnach
⇒ c1ω0 = 0 ⇒ c1 = 0 (4.6)
x(t) = A · cos(ω0t) (4.7)
Die Masse vollführt harmonische Schwingungen mit der Frequenz ω0 =
k1+k2
m
und der Amplitude A.
Die Eigenfrequenz eines Oszillators ist definiert als die Frequenz, die man beobachtet,
wenn weder antreibende noch dämpfende Kräfte wirken. Diese Beschreibung
trifft in obigem Beispiel auf ω0 zu. Durch die anfängliche Auslenkung gerät
das System in Schwingung und schwingt ohne äussere Einflüsse weiter.
Die anfängliche Auslenkung hat nur Einfluss auf die Amplitude, nicht aber auf
die Schwingungsfrequenz. Die Auslenkung kann also beliebig gewählt werden,
es wird immer die Eigenschwingung mit der Frequenz ω0 angeregt.
Die Eigenfrequenzen und die Anfangsbedingungen, die nötig sind um eine Eigenschwingung
anzuregen, können auch über die Eigenwerte und Eigenvektoren
der Systemmatrix gefunden werden. Betrachten wir also die Zustandsraumdar-
stellung des Systems. Diese lautet
˙x
˙v
=
0 1
−( k1+k2
y =
m )
x
[ 1 0 ]
v
0
2
x
v
(4.8)
(4.9)