Anleitung 3 & 4 - ETH Zürich

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Daraus erhält man mit k1 + k2 f = m m = ω2 0 die allgemeine ungedämpfte Schwingungsgleichung (4.2) ¨x + ω 2 0x = 0. (4.3) Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet x(t) = c1 · sin(ω0t) + c2 · cos(ω0t) (4.4) Die Parameter c1 und c2 sind von den Anfangsbedingungen abhängig. Die An- fangsbedingungen können zum Beispiel lauten x(0) = A > 0 Die Masse startet aus der Ruhe heraus mit der v(0) = ˙x(0) = 0 anfänglichen Auslenkung A Für die Parameter c1 und c2 in der allgemeinen Lösung ergeben sich folgende Werte: x(0) = A ⇒ c1 · sin(0) + c2 · cos(0) = A ⇒ c2 = A (4.5) ˙x(t) = c1ω0 · cos(ω0t) − c2ω0 · sin(ω0t) = = c1ω0 · cos(ω0t) − Aω0 · sin(ω0t) ˙x(0) = 0 ⇒ c1ω0 · cos(0) − Aω0 · sin(0) = 0 Die Lösung lautet demnach ⇒ c1ω0 = 0 ⇒ c1 = 0 (4.6) x(t) = A · cos(ω0t) (4.7) Die Masse vollführt harmonische Schwingungen mit der Frequenz ω0 = k1+k2 m und der Amplitude A. Die Eigenfrequenz eines Oszillators ist definiert als die Frequenz, die man beobachtet, wenn weder antreibende noch dämpfende Kräfte wirken. Diese Beschreibung trifft in obigem Beispiel auf ω0 zu. Durch die anfängliche Auslenkung gerät das System in Schwingung und schwingt ohne äussere Einflüsse weiter. Die anfängliche Auslenkung hat nur Einfluss auf die Amplitude, nicht aber auf die Schwingungsfrequenz. Die Auslenkung kann also beliebig gewählt werden, es wird immer die Eigenschwingung mit der Frequenz ω0 angeregt. Die Eigenfrequenzen und die Anfangsbedingungen, die nötig sind um eine Eigenschwingung anzuregen, können auch über die Eigenwerte und Eigenvektoren der Systemmatrix gefunden werden. Betrachten wir also die Zustandsraumdar- stellung des Systems. Diese lautet ˙x ˙v = 0 1 −( k1+k2 y = m ) x [ 1 0 ] v 0 2 x v (4.8) (4.9)
Die Eigenwerte λ der Systemmatrix A ergeben sich aus der Gleichung det(λI − A) = 0. (4.10) Angewendet auf (4.8) ergibt dies die Gleichung λ 2 k1 + k2 + = 0. (4.11) m Die Eigenwerte sind in diesem Fall k1 + k2 λ = ±j m = ±jω0 (4.12) Die Eigenwerte entsprechen also genau den Eigenfrequenz multipliziert mit ±j. Berechnen wir nun die Eigenvektoren. Dies ist einfacher, wenn wir die Eigenvektoren der quadratischen Systemmatrix A2 betrachten, denn die Eigenvektoren von A enthalten sowohl komplexe wie auch reelle Werte. Dies ist bei A2 nicht so. A 2 k1+k2 − = m 0 0 − k1+k2 (4.13) m Die Eigenwerte von A2 entsprechen den quadratischen Werten der Eigenwerte von A. Also hat A2 den doppelten Eigenwert − k1+k2 m . Für die Berechnung der Eigenvektoren müssen wir diejenigen Vektoren z ungleich Null finden die folgende Gleichung erfüllen (λI − A 2 )z = 0 (4.14) Dies entspricht mit eingesetzten Werten der Gleichung 0 0 0 0 z1 0 = 0 z2 (4.15) z1 und z2 können also beliebig gesetzt werden. Was bedeutet dies nun? Die Eigenvektoren spiegeln die Anfangsbedingungen des Systems wieder, die nötig sind, um eine Eigenschwingung anzuregen. Mit beliebiger Auslenkung und beliebiger Anfangsgeschwindigkeit wird hier die Eigenschwingung angeregt. Damit wird auch verständlich wieso wir keine komplexen Elemente in den Eigenvektoren haben wollten. Denn komplexe Anfangsbedingungen für Auslenkung und Geschwindigkeit sind nicht brauchbar. 4.2 Doppel-Schwinger Im Labor 4 wird der Doppel-Schwinger im Mittelpunkt stehen. Unter einem Doppel-Schwinger wird das System in Abbildung (4.3) verstanden. Ihre Aufgabe wird darin bestehen das Systemmodell herzuleiten. Zur Kontrolle sind hier die Bewegungsgleichungen gegeben, wenn das System symmetrisch 3
Seite 1: Institut für Automatik D-ITET, 2.
Seite 5 und 6: oder Eigenschwingung angeregt. Ist
Seite 7 und 8: werden die Positionen x1 und x2 der
Seite 9 und 10: Beachte die Symmetrie der Anfangsla

Anleitung 3 & 4 - ETH Zürich

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?