Anleitung 3 & 4 - ETH Zürich

Aus diesem Gleichungssystem geht hervor, dass
z1 = z3 (4.34)
z2 = z4 (4.35)
sein muss. Wenn wir wollen, dass die Anfangsbedingungen nur aus Auslenkungen
aus der Ruhelage bestehen, können wir z2 = z4 = 0 setzen. z1 und z3
entsprechen den anfänglichen Auslenkungen der Massen. Sie können beliebig
gewählt werden. Einzige Bedingung ist, dass sie gleich gross sind. Diese Anfangsbedinung
ist dieselbe wie in Abbildung (4.4).
Betrachten wir nun den zweiten Eigenwert. Das Gleichungssystem zur Berechnung
des zugehörigen Eigenvektors ergibt sich zu
⎡
⎢
⎣
− k1
m 0 − k1
0 −
m 0
k1
m 0 − k1
−
m
k1
m 0 − k1
0 −
m 0
k1
m 0 − k1
m
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
z1
z2
z3
z4
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
0
0
0
0
⎤
⎥
⎦
Daraus ergeben sich für den Eigenvektor folgende Bedingungen
(4.36)
z1 = −z3 (4.37)
z2 = −z4 (4.38)
Wiederum gehen wir davon aus, dass die Geschwindigkeiten der Massen zu Beginn
gleich Null sind, das heisst z2 = −z4 = 0. Aus (4.37) ergibt sich, dass die
anfänglichen Auslenkungen gleich gross, aber entgegengesetzt sein müssen um
die zweite Eigenschwingung anzuregen. Dies entspricht den Anfangsbedingungen
in Abbildung (4.6).
Sind die Massen nicht mehr gleich gross und haben auch die äusseren Federn
verschiedene Federkonstanten, wird das ganze etwas komplizierter. Sie werden
dies in ihren Experimenten im Labor 4 sehen.
4.3 Sieben gekoppelte Massen
Zur Veranschaulichung und zum besseren Verständnis von Eigenschwingungen
wird hier kurz auf ein System von sieben gekoppelten Massen an Pendel eingegangen.
Die Pendel sind mit Federn verbunden. Das System in Ruhe ist in
Abbildung (4.10) im obersten Bild gezeigt.
Das System hat 7 Freiheitsgrade. Entsprechend hat es 7 Normalschwingungen
(Eigenschwingungen). Wenn nur eine einzige Normalschwingung angeregt ist, erkennt
man dies daran dass alle Massen mit derselben Frequenz schwingen, eben
der Eigenfrequenz Ωi, die zu dieser Normalschwingung gehört. Durch spezielle
Anfangsbedingungen kann man dafür sorgen, dass eine einzige Normalschwingung
angeregt wird: Wenn man die Massen in eine der 7 unteren in Abbildung
(4.10) skizzierten Ausgangslagen bringt, wobei hier zur übersichtlicheren Darstellung
die Federn nicht gezeichnet wurden, und gleichzeitig aus der Ruhe heraus
loslässt, erhält man eine der 7 Normalschwingungen.Für die Eigenfrequenzen
gilt
Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4 < Ω5 < Ω6 < Ω7
8
(4.39)