Anleitung 3 & 4 - ETH Zürich

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Aus diesem Gleichungssystem geht hervor, dass z1 = z3 (4.34) z2 = z4 (4.35) sein muss. Wenn wir wollen, dass die Anfangsbedingungen nur aus Auslenkungen aus der Ruhelage bestehen, können wir z2 = z4 = 0 setzen. z1 und z3 entsprechen den anfänglichen Auslenkungen der Massen. Sie können beliebig gewählt werden. Einzige Bedingung ist, dass sie gleich gross sind. Diese Anfangsbedinung ist dieselbe wie in Abbildung (4.4). Betrachten wir nun den zweiten Eigenwert. Das Gleichungssystem zur Berechnung des zugehörigen Eigenvektors ergibt sich zu ⎡ ⎢ ⎣ − k1 m 0 − k1 0 − m 0 k1 m 0 − k1 − m k1 m 0 − k1 0 − m 0 k1 m 0 − k1 m ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ z1 z2 z3 z4 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Daraus ergeben sich für den Eigenvektor folgende Bedingungen (4.36) z1 = −z3 (4.37) z2 = −z4 (4.38) Wiederum gehen wir davon aus, dass die Geschwindigkeiten der Massen zu Beginn gleich Null sind, das heisst z2 = −z4 = 0. Aus (4.37) ergibt sich, dass die anfänglichen Auslenkungen gleich gross, aber entgegengesetzt sein müssen um die zweite Eigenschwingung anzuregen. Dies entspricht den Anfangsbedingungen in Abbildung (4.6). Sind die Massen nicht mehr gleich gross und haben auch die äusseren Federn verschiedene Federkonstanten, wird das ganze etwas komplizierter. Sie werden dies in ihren Experimenten im Labor 4 sehen. 4.3 Sieben gekoppelte Massen Zur Veranschaulichung und zum besseren Verständnis von Eigenschwingungen wird hier kurz auf ein System von sieben gekoppelten Massen an Pendel eingegangen. Die Pendel sind mit Federn verbunden. Das System in Ruhe ist in Abbildung (4.10) im obersten Bild gezeigt. Das System hat 7 Freiheitsgrade. Entsprechend hat es 7 Normalschwingungen (Eigenschwingungen). Wenn nur eine einzige Normalschwingung angeregt ist, erkennt man dies daran dass alle Massen mit derselben Frequenz schwingen, eben der Eigenfrequenz Ωi, die zu dieser Normalschwingung gehört. Durch spezielle Anfangsbedingungen kann man dafür sorgen, dass eine einzige Normalschwingung angeregt wird: Wenn man die Massen in eine der 7 unteren in Abbildung (4.10) skizzierten Ausgangslagen bringt, wobei hier zur übersichtlicheren Darstellung die Federn nicht gezeichnet wurden, und gleichzeitig aus der Ruhe heraus loslässt, erhält man eine der 7 Normalschwingungen.Für die Eigenfrequenzen gilt Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4 < Ω5 < Ω6 < Ω7 8 (4.39)
Beachte die Symmetrie der Anfangslage für die Normalschwingungen 2, 4 und 6. Man sieht sofort, dass das mittlere Pendel in Ruhe bleiben wird. Symmetriebetrachtungen können eine grosse Rolle spielen, wenn man ein Schwingungssystem mit bestimmten Eigenschaften entwerfen muss. Bei einer allgemeinen freien Bewegung des Systems sind alle Normalschwingungen angeregt, d.h. die Bewegung ist durch eine Linearkombination von Normalschwingungen gegeben. Entsprechend schwingen die einzelnen Massen nicht mehr harmonisch, sondern ihre Bewegungskoordinaten sind als superpositionen von 7 harmonischen Schwingungen mit den Frequenzen Ω1, ..., Ω7 darstellbar. 9
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Seite 3 und 4: Die Eigenwerte λ der Systemmatrix
Seite 5 und 6: oder Eigenschwingung angeregt. Ist
Seite 7: werden die Positionen x1 und x2 der

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