Sonnensystembaukasten mit Simulation

Fortgeschrittenen Softwarepraktikum
Sonnensystembaukasten mit Simulation
Physikalische Grundlagen
30. Mai 2005
von
Julian M. Kunkel und Jan C. Neddermeyer
(Julian.Kunkel@web.de - Jan@Neddermeyer.net)

1 Physikalische Grundlagen (Weltraum-Mechanik)
1.1 Gravitationskraft
Für alle Himmelkörper im Weltraum stellt die Gravitation die entscheidene
Wechselwirkung dar. Aus diesem Grund haben wir uns bei der Simulation
der dynamischen Prozesse auf die Gewichtskraft der Objekte als einzige
Einflußgröße beschränkt.
1.2 Gravitationsgesetz
Zwei Körper der Masse m1 und m2 ziehen sich gegenseitig mit der Gravitationskraft
F in Richtung der Verbindungslinie ihrer Schwerpunkte an.
F = γ m1m2
r 2
wobei γ = 6, 673 ∗ 10 −11 Nm 2 /kg 2 die Gravitationskonstante und r der
Schwerpunktabstand ist. In unserem Modell verwenden wir γ als Skalierungsfaktor.
Da unsere Planeten, Sterne, Monde etc. alle kugelförmig sind,
ist der Schwerpunkt immer gleich dem Mittelpunkt der jeweiligen Kugel.
1.3 Zwei-Körperproblem in R
Das Grundprinzip unserer Simuation ist das Zwei-Körperproblem, das wir
auf viele Körper ausdehnen. Die beiden Körper ziehen sich mit der Kraft F
(1) (Gravitationskraft) gegenseitig an. Die Massen m1 und m2 sind bekannt
genauso wie ihr Abstand r. Die Frage ist nun um wieviel sich jeder der beide
Körper in einem (kurzen) diskreten Zeitraum t auf den anderen zubewegt.
Aus der simplen Mechanik kennt man folgende Gleichungen:
F = aimi =⇒ ai = F
mi
(1)
(2)
vi = vi0 + ait (3)
si = ait 2 + vi0t + si0 (4)
wobei i = 1, 2; ai ist die (durch die Gravitation bewirkte) Beschleunigung
des i-ten Körpers. si ist der Ort, auf den der i-te Körper (nach t in Richtung
der Verbindungslinie) vorgerückt ist.
1.4 n-Körperproblem in R 3
Die Verallgemeinerung auf n Körper und 3 Dimensionen geschieht straight
forward:
Sei aijk die Beschleunigung, die zum Zeitpunkt k (k = 1, ...T ) durch den
j-ten Körper (j = 1, ...n) auf den i-ten Körper (i = 1, ...n) bewirkt wird.
1

Natürlich ist aijk = 0 für i = j.
Analog seien Fijk, vik, aik und sik definiert. Wir erhalten somit:
n n Fijk
aik = aijk = =
mi
j=1 j=1
n
j=1
γ mj
r 2
(5)
vik = v i(k−1) + aikt (6)
sik = aikt 2 + v i(k−1)t + s i(k−1)
wobei sik der Ortsvektor des i-ten Körpers zum Zeitpunkt k ist.
1.5 Zentraler unelastischer Stoß
Eine Kollision von zwei oder mehreren (m ≥ 2) Körpern simulieren wir als
zentralen elastischen Stoß. D.h. die Körper verschmelzen zu einem einzigen
Körper, der sich gemaß der Impulserhaltung weiterbewegt. Seien pi = mivi
die Impulse der kollidierenden Körper. Dann folgt aus dem Impulserhaltungssatz
m
m
(8)
1.6 Energieerhaltung
pi = ps = vs mi
i=1
i=1
1.6.1 Energieerhaltungssatz der Mechanik
In einem abgeschlossenen System ist die Summe der mechanischen Energien,
d.h. die Summe aus kinetischer und potenieller Energie konstant, solange die
Vörgänge im System reibungsfrei ablaufen.
1.6.2 Energieerhaltung auf Bahnellipse
Die Gesamtenergie setzt sich aus kinetischer (zentripetaler) und potentieller
(gravitativer) Energie zusammen und ist konstant.
EG = Ekin + Epot = 1
2 mv2 − γ mM
r
(7)
= const. (9)
wobei M die Masse des Zentralkörpers ist. Für den Spezialfall der Kreisbahn
gilt
mv 2 /r = γmM/r 2 =⇒ EG = 1
2 Epot
2
(10)

1.7 Keplersche Gesetze
Die Keplerschen Gesetze beschreiben wie sich die Planeten um die Sonne
bewegen. Diese Gesetze gelten aber auch allgemein im Weltraum.
• Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren gemeinsamen Brennpunkt
die Sonne steht.
• Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten übersteicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen.
• Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die
Kuben ihrer großen Bahnhalbachsen.
1.8 Umlaufbahnen
In unserem Modell sollten sich Körper herauskristalisieren, die um einen anderen
Körper herum kreisen bzw. sich auf einer elliptischen Bahn um diesen
herum bewegen.
Der Verbleib auf einer solchen Umlaufbahn hängt davon ab, ob der Betrag
der kinetischen Energie kleiner als der der potentiellen Energie bleibt.
Gleichsetzen der kinetischen mit der poteniellen Energie liefert die Grenzgeschwindigkeit
v 2 = 2γM/r
Wenn v ∗ r = 0 (d.h v steht senkrecht auf die Verbindunglinie zwischen
den beiden Körpern) folgt, daß alle Kegelschnitte als Bahnform vorkommen
können:
für v 2 > 2γM/r eine Hyperbel (EG > 0), (11)
für v 2 = 2γM/r eine Parabel (EG = 0), (12)
für v 2 < 2γM/r eine Ellipse (EG < 0), (13)
für v 2 = γM/r eine Kreis (EG < 0). (14)
wobei EG die Gesamtenergie des Körpers ist.
2 Realisierung in unserem Programm
2.1 Himmelsmechanik
Für die Beschreibung der gravitativen Wechselwirkungen von n Himmelskörpern
(mit Hilfe des newtonschen Gravitationsgesetzes) verwendet man folgendes
3

Differentialgleichungssystem
mi
d2xi = γ mi
dt2 xj − xi
mj
|xj − xi|
j=i
3 i = 1, . . . , n (15)
wobei γ = 6, 67 ∗ 10−11Nm2 /kg2 die Gravitationskonstante ist, mi die Massenwerte
sind und xi die Positionen im Raum.
Um dieses System numerisch zu lösen, muß es in ein Differentialgleichungssystem
erster Ordnung umgeschrieben werden
(komponentenweise Notation k = 1, 2, 3)
aik := γ xjk − xik
mj
3
(16)
dvik
dt
dxik
dt
j=i
3l=1 (xjl − xil) 2 )
= aik (17)
= vik (18)
mit den Anfangsbedingungen xik(0) und vik(0).
Um dieses Systems zu lösen, werdet man nun einen Integrator, etwa ein
Rungekutta-Verfahren.
In unserem Programm kann man ein einfaches RungeKutta-Verfahren oder
einen RungeKutta-Verfahren mit adaptiver Schrittweitenwahl auswählen. Es
ist möglich noch weitere Verfahren hinzuzufügen.
2.2 Astronomische Objekte
Wir haben die Objekttypen Stern (Sonne) und Planet implementiert, aber
es besteht die Möglichkeit leicht noch weitere Objekttypen hinzuzufügen.
2.2.1 Objekteigenschaften
• Radius, Masse, Geschwindigkeit, Position, Textur, Name
2.2.2 Gravitation
In jedem Zeitpunkt t wird die Gravitationswechselwirkung entsprechend des
Gravitationsgesetzes bestimmt (Lösung der DGL’n), der Geschwindigkeitsvektor
jedes Objektes angepasst, das Objekt bewegt und eine Kollisionskontrolle
durchgeführt.
2.2.3 Kollisionen
Die Kollisionen werden als zentraler unelastischer Stoß simuliert. Dabei wird
dem Impulserhaltungsgesetz (??) Rechnung getragen. Die Eigenschaften
(Radius, Masse... ) des nun entstandenen Objekts werden sinnvoll angepasst.
4
2

3 Himmelskörper
3.1 Sterne
3.1.1 Weißer Zwerg
• entwickelt sich aus einem Roten Riesen, der seine äuere Hülle abgestoßen
hat
• klein und sehr heiß
• Temperatur: 10.000 − 100.000 Grad =⇒ weiße Farbe
• Bestandteile: hauptsächlich C, O, N
3.1.2 Gelber Zwerg
• Hauptreihenstern
• Masse und Größe wie Sonne, aber kühler
• T ∼ 5500 Grad
• Farbe: gelb (Spektralklasse G)
3.1.3 Roter Zwerg
• Hauptreihenstern
• 8 − 9 % < Masse < Sonnemasse
• kühler als Sonne, Leuchtkraft deutlich geringer
• Farbe: rot (Spektralklasse M)
• Lebensdauer: mehrere 100 Mio. Jahre (sehr lang)
• 70 % aller Sterne sind rote Zwerge
3.1.4 Brauner Zwerg
• Zwischenstellung zwischen Planeten und Sternen
• entsteht, wenn Masse einer Gaswolke nicht zur Wasserstofffusion ausreicht
• Masse: 13 − 75 Jupitermassen (Jupitermasse = 1, 9876 ∗ 10 27 kg
• Radius ∼ M −1/3
• T = 3 Mio. Kelvin
• Farbe: abhängig vom Alter und der Masse (Spektralklasse M, L, T)
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3.1.5 Schwarzer Zwerg
• Sternüberrest
• entsteht aus Weißem Zwerg oder Neutronenstern, in denen keine Kernfusion
mehr stattfindet (gesamte Energie abgestrahlt)
• Farbe: schwarz, daher schwierig zu beobachten
3.1.6 Roter Riese
• entsteht aus vielen Hauptreihensternen
• sehr groß, ≤ 100 Sonnenradien
• T = 2000 − 3500 Kelvin (relativ kühl)
• Farbe: rot (Spektralklasse M)
• Bestandteile: hauptsächlich Eisen, schwere Elemente (daher auch die
große Ausdehnung)
3.1.7 Blauer Riese
• gleiche Ausdehnung wie roter Riese, aber deutlich höhere Masse ( 10−
50 Sonnenmassen)
• nicht wie der rote Riese erst im Endstadium einer Sternenentwicklung
groß, sondern von Anfang an
• hohe Masse =⇒ hohe Dichte =⇒ hohe Temperatur
(20.000 − 30.000 Grad an der Oberfläche)
• Farbe: blau (liegt eigentlich im ultravioletten Teil des Lichtspektrums)
• Lebensdauer: (nur) 10 Mio. Jahre, danach wird er zum Roten Überriesen
und endet in einer Typ-2 Supernova
3.1.8 Roter Überriese
• sehr ausgedehnter Stern, der am Ende seiner Entwicklung angelangt
ist
• ähnelt dem Roten Riesen, ist aber wesentlich größer und massereicher
• Drei-Alpha-Prozess läuft im Kern ab (Fusion dreier Helium-Kerne zu
Kohlenstoff)
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3.1.9 Neutronenstern
• entsteht aus einem Stern (1, 4 − 3 Sonnenmassen ) im Rahmen einer
Supernova
• Durchmesser: nur 20 km, aber durchschnittliche Masse
• anfangs T = 100 Milliarden Kelvin , später dann (nur noch)
1 Milliarde Kelvin
3.2 Nebel
3.2.1 Planetarischer Nebel
• Gashülle, die von einem Roten Riesen (M < 8 Sonnenmassen) abgestoßen
wird (es bleibt schließlich ein Weißer Zwerg übrig)
• gehört zu den Emissionsnebeln
• sieht ein bißchen wie eine neblige Scheibe aus
• Ausdehnung: einige Lichtjahre
• Masse ≤ Sonnenmasse
• Bestandteile: hauptsächlich H (70%) und He (28%), aber auch K, N
und O
• Temperatur: 10.000 − 25.000 Grad
• Farben: rot, gelb, weiß, grün, blau
3.2.2 Reflextionsnebel
• Wolken interstellaren Staubs, die das Licht eines oder mehrerer benachbarter
Sterne reflektieren
• Bestandteile: F e, Ni u.a.
• Farbe: meistens blau
• es existiert formale Beziehung zwischen scheinbarer Größe R des Nebels
und der scheinbaren Helligkeit m des assoziierten Sterns
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3.2.3 Dunkelwolke/Dunkelnebel
• entsteht vor allem aus Supernovaexplosionen
• Temperatur 7 − 15 Kelvin
• besteht aus Staub und Gas und verfärbt das Sternenlicht
• Bestandteile: vorwiegend H
• Größe ≤ 150 Lichtjahre, Masse ≤ 1 Mio. Sonnenmassen
• ihre Form ist höchst irregulär
3.3 Sonstiges
3.3.1 Planet/Asteroid
• ein Himmelskörper, der nicht selbst leuchtet und sich in einer keplerschen
Umlaufbahn um einen Stern bewegt
• Planetesimale aus der Entstehungsphase eines Sonnensystems
• Unterscheidung Planet Asteriod: ”Ein Objekt im Sonnensystem wird
als Planet bezeichnet, wenn es eine größere Masse hat, als alle anderen
Objekte zusammen, die sich im selben Orbit befinden.”
3.3.2 Schwarzes Loch
• Gravitation so stark, daß selbst Licht nicht entweichen kann =⇒ schwarze
Farbe
• entsteht aus einem Stern (> 3 Sonnenmassen ) im Rahmen einer
Supernova
3.3.3 Supernova
• Eine Supernova ist das schnell eintretende, helle Aufleuchten eines
Sterns, der dabei millionen- bis milliardenfach heller wird, vergleichbar
hell wie eine ganze Galaxie
• Man unterscheidet historisch nach ihren Spektrallinien grob zwei Typen
von Supernovae: Typ I (mit den Untergruppen Ia, Ib und Ic) und
Typ II
8

3.3.4 Supernova Typ II
• tritt am Ende des Lebens eines Sterns auf, wenn er seinen Kernbrennstoff
komplett verbraucht hat.
• Der Wasserstoff ist bereits zu Helium fusioniert; nun geht die Fusion
weiter und zwar immer schneller: zunächst entsteht Kohlenstoff (Drei-
Alpha-Prozess), danach Sauerstoff und schließlich Neon, Aluminium,
Calcium, Titan und zuletzt Eisen. Währenddessen heizt sich der Kern
des Stern immer weiter auf.
• Wenn im Kern des Stern nur noch Eisen ist, kommt die Fusion zu
erliegen =⇒ es fehlt Gegenkraft zu Gravitation =⇒ Explosion
• Bei der Explosion werden die auf den Eisenkern stürzenden Gasschichten
extrem stark erhitzt und erbrüten dabei sämtliche schweren Elemente
jenseits des Eisens wie z.B. Kupfer, Germanium, Silber, Gold
oder Uran.
3.3.5 Supernova Typ Ib und Ic
• im Prinzip genauso wie Typ II, nur das bei Typ Ib bzw. Typ Ic bereits
vor der Explosion die Wassenstoffhülle bzw. die Wasserstoff- und
Heliumhülle abgestoßen worden ist.
3.3.6 Supernova Typ Ia
• entsteht nur im Doppelsternsystemen, wobei der eine Stern ein Weißer
Zwerg und der andere ein Roter Riese ist
• Es bleibt nach der Explosion kein Himmelskörper übrig.
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4 Unser Sonnensystem
4.1 Sonne und Planeten
Name Radius (in m) Masse (in kg) Entfernung 1 (in m)
Sonne 6.96 ∗ 10 8 1.99 ∗ 10 30 0
Merkur 2.44 ∗ 10 6 3.30 ∗ 10 23 5.79 ∗ 10 10
Venus 6.05 ∗ 10 6 4.86 ∗ 10 24 1.08 ∗ 10 11
Erde 6.38 ∗ 10 6 5.97 ∗ 10 24 1.49 ∗ 10 11
Mars 3.4 ∗ 10 6 6.42 ∗ 10 23 2.27 ∗ 10 11
Jupiter 7.1 ∗ 10 7 1.89 ∗ 10 27 7.78 ∗ 10 11
Saturn 6.03 ∗ 10 7 5.68 ∗ 10 26 1.43 ∗ 10 12
Uranus 2.55 ∗ 10 7 8.68 ∗ 10 25 2.87 ∗ 10 12
Neptun 2.46 ∗ 10 7 1.02 ∗ 10 26 4.49 ∗ 10 12
Pluto 2.39 ∗ 10 6 1.25 ∗ 10 22 5.87 ∗ 10 12
1 mittlerer Abstand zur Sonne
4.2 Monde (Auswahl)
Name Radius (in m) Masse (in kg) Entfernung 2 (in m) Planet
Mond 1.74 ∗ 10 6 7.35 ∗ 10 22 3.85 ∗ 10 8 Erde
Io 1.82 ∗ 10 6 8.94 ∗ 10 22 4.21 ∗ 10 8 Jupiter
Miranda 2.35 ∗ 10 5 6.59 ∗ 10 19 1.29 ∗ 10 8 Uranus
Charon 5.86 ∗ 10 5 1.90 ∗ 10 21 1.94 ∗ 10 7 Pluto
2 mittlerer Abstand zum umlaufenden Planeten
5 Anhang
5.1 Physikalische Konstanten
c = 299792458 ms −1 (Lichtgeschwindigkeit)
e = 1, 602176462(63) ∗ 10 −19 C (Elementarladung)
G = 6, 67259(85) ∗ 10 −11 m 3 /(kgs 2 ) (Gravitationskonstante)
h = 4, 13566727(52) ∗ 10 −15 eV s = 6, 62606876(52) ∗ 10 −34 Js (Planck’sche
Konstante)
me = 9, 10938188(72) ∗ 10 −31 kg (Ruhemasse des Elektrons)
mp = 1, 67262158(13) ∗ 10 −27 kg (Ruhemasse des Protons)
Ms = 1, 99 ∗ 10 30 kg (Sonnenmasse)
NA = 6, 0221367 ∗ 10 23 mol −1
−273, 15 C = 0 K (Absoluter Nullpunkt)
1 pc = 3, 086 ∗ 10 16 m = 3, 26 Lj (Parsec)
1 u = 1, 66053873(13) ∗ 10 −27 kg (atomare Masseneinheit)
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Rs = 6, 96 ∗ 10 8 m (Sonnenradius)
σ = 5, 67 ∗ 10 −8 W/(m 2 K 4 ) (Stefan-Boltzmann-Konstante)
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Literatur
[1] Grehn, Krause (Hrsg.) - Metzler Physik, Schroedel Verlag GmbH, Hannover,
1998
[2] Wikipedia
[3] M.Treichel - Teilchenphysik und Kosmologie, Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg, 2000
[4] H.Schafer - Astronomische Probleme und ihre physikalischen Grundlagen,
Vieweg, Braunschweig, 1988
[5] Wikipedia - Die freie Enzyklopadie, www.wikipedia.de
[6] K.-H.Spatschek - Astrophysik, Teubner Verlag, Wiesbaden, 2003
[7] Povh, Rith, Scholz, Zetsche - Teilchen und Kerne, Springer-Verlag, Berlin
Heidelberg, 1999
[8] G.Musiol, J.Ranft, R.Reif, D.Seeliger - Kern- und Elementarteilchenphysik,
VCH, Weinheim, 1988
[9] Ranu Malhotra: Chaos and stability of the solar system
12