Sonnensystembaukasten mit Simulation

1 Physikalische Grundlagen (Weltraum-Mechanik)
1.1 Gravitationskraft
Für alle Himmelkörper im Weltraum stellt die Gravitation die entscheidene
Wechselwirkung dar. Aus diesem Grund haben wir uns bei der Simulation
der dynamischen Prozesse auf die Gewichtskraft der Objekte als einzige
Einflußgröße beschränkt.
1.2 Gravitationsgesetz
Zwei Körper der Masse m1 und m2 ziehen sich gegenseitig mit der Gravitationskraft
F in Richtung der Verbindungslinie ihrer Schwerpunkte an.
F = γ m1m2
r 2
wobei γ = 6, 673 ∗ 10 −11 Nm 2 /kg 2 die Gravitationskonstante und r der
Schwerpunktabstand ist. In unserem Modell verwenden wir γ als Skalierungsfaktor.
Da unsere Planeten, Sterne, Monde etc. alle kugelförmig sind,
ist der Schwerpunkt immer gleich dem Mittelpunkt der jeweiligen Kugel.
1.3 Zwei-Körperproblem in R
Das Grundprinzip unserer Simuation ist das Zwei-Körperproblem, das wir
auf viele Körper ausdehnen. Die beiden Körper ziehen sich mit der Kraft F
(1) (Gravitationskraft) gegenseitig an. Die Massen m1 und m2 sind bekannt
genauso wie ihr Abstand r. Die Frage ist nun um wieviel sich jeder der beide
Körper in einem (kurzen) diskreten Zeitraum t auf den anderen zubewegt.
Aus der simplen Mechanik kennt man folgende Gleichungen:
F = aimi =⇒ ai = F
mi
(1)
(2)
vi = vi0 + ait (3)
si = ait 2 + vi0t + si0 (4)
wobei i = 1, 2; ai ist die (durch die Gravitation bewirkte) Beschleunigung
des i-ten Körpers. si ist der Ort, auf den der i-te Körper (nach t in Richtung
der Verbindungslinie) vorgerückt ist.
1.4 n-Körperproblem in R 3
Die Verallgemeinerung auf n Körper und 3 Dimensionen geschieht straight
forward:
Sei aijk die Beschleunigung, die zum Zeitpunkt k (k = 1, ...T ) durch den
j-ten Körper (j = 1, ...n) auf den i-ten Körper (i = 1, ...n) bewirkt wird.
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