Hilfestellung zur?Bratwurst? Aufgabe

Hilfestellung zur ” Bratwurst“ Aufgabe
1 Einführung
Stefan Große
Lehrstuhl für Mikroökonomie insb. Ind. Ök.
6. Dezember 2005
Die ” Bratwurst“ Aufgabe ist intuitiv nicht so einfach zu erfassen. In der Übung im WS
2004/05 hatten zumindest einige Studenten Probleme damit. Um die Aufgabe anschauli-
cher zu machen habe hier neben der Lösung der Aufgabe ein Beispiel angegeben um den
Effekt besser zu verdeutlichen. Dieses Beispiel habe ich mit einer allgemeinen Herleitung
begonnen um auch diese nochmals zu verdeutlichen. In diese allgemeine Lösung können
dann Werte eingesetzt werden. Für das Beispiel wurde zusätzlich eine Nutzenfunktion
und ein Budget angenommen, die es ermöglichen sollen, die Argumente der Übung durch
konkrete Zahlen zu veranschaulichen und zudem z.B. mittels Excel Grafiken darzustellen.
2 Aufgabe
Student S aus E sei ein nutzenmaximierendes Individuum aus der Mikroökonomie mit
den dort unterstellten typischen Präferenzen. Er kauft neben anderen Gütern 10 Thü-
ringer Bratwürste pro Monat, wenn der Preis je Wurst ¤ 4,00 beträgt. Jetzt steigt aber
der Preis auf ¤ 5,00, alle anderen Preise bleiben gleich. Gleichzeitig steigt auch sein
Einkommen um ¤ 10,00 pro Monat. Steigt der Nutzen von S, bleibt er gleich oder sinkt
er? (Graphisch zu lösen. Starten Sie mit den zwei passenden Tangentiallösungen...)
2.1 Lösung
Der neue Nutzen ist mindestens genau so groß wie der alte. Wenn das erhöhte Ein-
kommen vollständig für Bratwürste eingesetzt würde, könnte der Preisanstieg vollstän-
1

dig kompensiert werden. Andererseits kann das erhöhte Einkommen ja auch für andere
Güter ausgegeben werden. Bei verändertem relativen Preis habe ich dadurch sogar einen
höheren Nutzen. Wahrscheinlich werden also weniger Bratwürste und mehr andere Güter
auf einem höheren Nutzenniveau konsumiert.
Abbildung 1: Graphische Lösung der Bratwurstaufgabe
Vielleicht wird es ein wenig plausibler wenn ich die Änderung der Ursprungssituation
in zwei Phasen teile:
1. Preiserhöhung der Bratwürste
2. Budgeterhöhung
Durch die Preiserhöhung der Bratwürste wird die Budgetgeraden entgegengesetzt des
Uhrzeigersinnes gedreht. Ich kann mir jetzt, wenn ich alles Geld in Bratwürste stecke
weniger Bratwürste leisten. Daher berührt die Budgetgerade die y Achse in einem tieferen
Punkt. Der Berührungspunkt mit der x-Achse ändert sich nicht, da ja der Preis der
anderen Güter gleich bleibt.
Erhöht sich nunmehr das Budget, verschiebt sich die Budgetgerade parallel vom Ur-
sprung weg. Der Student kann sich nun sowohl mehr Bratwürste als auch mehr andere
Güter leisten.
Da die Budgeterhöhung in der Aufgabe den theoretischen Verlust durch die Preiser-
höhung kompensiert, schneidet die neue Budgetgerade (orange) die alte (grün) im alten
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Optimum. Der Student ist also theoretisch in der Lage das selbe Konsumgüterbündel zu
konsumieren.
Dies wird er aber nicht tun. Warum? Wir sehen die neue Budgetgeraden schneidet
die alte Nutzenkurve. Das liegt am veränderten Anstieg respektive Preisverhältnis. Der
Student könnte seinen Nutzen steigern, indem er sich vom alten Optimum auf der Bud-
getgeraden nach rechts bewegt.
Dies heißt nun wiederum aber auch, daß er weniger Bratwürste als im alten Optimum
konsumieren wird. Man darf nicht vergessen: er setzt sein neues Budget natürlich auch
dazu ein, mehr andere Güter zu konsumieren.
3 Das Beispiel
Zusätzlich zu der Aufgabe oben (Bratwurstpreis sei ¤ 4, wobei 10 Würste pro Monat
konsumiert werden, nun erhöhe sich der Preis auf ¤ 5 und das Budget um ¤ 10) kommt
nun hinzu: Es sei ein Budget von ¤ 400 gegeben und die anderen Güter haben einen
durchschnittlichen Preis von ¤ 5. Die Nutzenfunktion sei U(x; y) = x 0,1 y 0,9 wobei x die
Bratwürste und y die anderen Güter bezeichnen soll. Mögliche Fragestellungen:
• Wo sind die optimalen Güterbündel zu Beginn, nach Preiserhöhung, sowie nach
Preiserhöhung und Budgeterhöhung?
• Wie hoch sind die Nutzenniveaus in diesen drei Fällen?
• Wie kann ich die Budgetgeraden und die Nutzenkurven (Iso-Nutzenlinien: Nutzen-
niveau ist gleich auf der ganzen Linie) graphisch darstellen? (Gleichungen herlei-
ten?)
3.1 Allgemeine Lösung
Statt von der Funktion direkt auszugehen soll nun erst einmal eine allgemeinere Lösung
hergeleitet werden. Daher werden die Potenzen vorerst durch a und b ersetzt. Also leiten
wir zuerst die Lösung für eine Nutzenfunktion U(x; y) = x a y b und für ein Budget m =
pxx + pyy her:
U(x; y) = x a y b
MUx = ax a−1 y b
3

MUy = bx a y b−1
MRS = − MUx
= −
MUy
axa−1yb bxa x
= −a
yb−1 b
a
xa 1 y
x
b
yb =
y
1
− a y
b x
MRS = MRT
− a y
b x
=
→
−px
py
x = a
m =
=
py
y
b px
pxx + pyy
a py
px y + pyy =
b px
a
b pyy + pyy
→ y = b m
a + b
MRS = MRT
− a y
b x
= −px
py
→ y = b px
x
a py
m = pxx + pyy
=
b px
pxx + py x = pxx +
a py
b
a pxx
→ x = a m
a + b
3.2 Einsetzen
py
px
Nun können die Werte aus dem Beispiel in die allgemeine Lösung eingesetzt werden.
1. Anfang: x = a
m 0,1 400 = a+b px 1 4
xayb = x0,1y0,9 = 100,1720,9 = 59, 1
2. nach Preiserhöhung: x = a
= 10 und y = b
m 0,1 400 = a+b px 1 5
U(x; y) = xayb = x0,1y0,9 = 80,1720,9 = 57, 8
m
a+b py
0,9 400 = 1 5
= 8 und y = b
3. nach Preiserhöhung und Budgeterhöhung: x = a
b m
a+b py
m
a+b py
= 72 sowie U(x; y) =
0,9 400 = 1 5
= 72 sowie
m 0,1 410 = a+b px 1 5
0,9 410 = 1 5 = 73, 8 sowie U(x; y) = xayb = x0,1y0,9 = 8, 20,173, 80,9 = 59, 24
= 8, 2 und y =
Wir sehen: wir befinden uns am Ende tatsächlich auf einem höheren Nutzenniveau. Die
Budgeterhöhung schlägt sich auch in der Konsumtion anderer Güter nieder,
wird nicht nur in Bratwürste umgesetzt.
4

3.3 Zeichnen
Wie kann ich dies nun graphisch umsetzen? Bzw. wie setze ich die Beispielzahlen gra-
phisch um? Für die Budgetgeraden sollte es klar und bis dato hinreichend geübt sein.
Um Verwirrungen zu vermeiden lösen wir uns von der Notation der allgemeinen Lösung
und kehren zurück zu: w sei die Zahl der Würste und g die anderer Güter. Die Preise
sind entsprechend gezeichnet.
Die mit w bezeichneten Bratwürste sind nun auf der y-Achse verzeichnet, die mit
g bezeichneten anderen Güter werden auf der x-Achse abgetragen, das heißt also es
wird zum einen die Budgetrestriktion nach w (also der y-Achse) aufgelöst: m = pww +
pgg →= −pgg + m
pw
womit w = −5g + 400
4
= −5g + 100 die Gleichung zum zeichnen
der ursprünglichen Budgetgeraden ist. Für die anderen Budgetgeraden müssen lediglich
noch die Werte ausgetauscht werden.
Die Vorgehensweise für Nutzenfunktionen, also die Iso-Nutzenlinien ist ähnlich. Hier-
bei muß lediglich beachtet werden, daß die Iso-Nutzenlinie für das optimale Güterbündel
gesucht wird. Wir erhielten für den Ausgangszustand einen Nutzen in der Höhe von 59,1.
Auf der Iso-Nutzenlinie ist der Nutzen überall konstant, also 59,1. In die Nutzenfunktion
U(w; g) eingesetzt heißt das: 59, 1 = w0,1g0,9 . Diese Gleichnung muß nun nach x aufgelöst
59,1
werden. Ich erhalte: w = g0,9 10 = 59, 110 · g−9 . Damit kann ich nun die Iso-Nutzenlinie
der Ausgangssituation einzeichnen. Für die anderen Szenarien sind die entsprechenden
Werte zu nutzen.
Tabelle 1: Übersicht zum Zeichnen. Die Bratwürste (w) sind auf der y Achse abgezeichnet,
daher ist alles nach w umgestellt.
alt w = − 5
4g + 100 w =
nach Preisänderung w = − 5
5g + 80 w =
nach Budgetänderung w = − 5
5g + 82 w =
Optima
Budgetgeraden Nutzenkurven
10 59,1
w(Bratw.) g(andere G.)
g 0,9
10 57,8
g 0,9
59,24
g 0,9
10
= 59, 1 10 · g −9 10 72
= 57, 8 10 · g −9 8 72
= 59, 24 10 · g −9 8,2 73,8
Diese Gleichungen können nun benutzt werden um die Graphiken für das Beispiel z.B.
mittels Excel, Matlab (oder die freie alternative Octave) oder das kostenlose gnuplot
(www.gnuplot.info) zu zeichnen.
Das Excel file wird zur Verfügung gestellt. Der Matlab Code könnte so aussehen:
clear
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g=70:0.01:76;
Ualt=59.1^10*g.^(-9);
Unachp=57.8^10*g.^(-9);
Uneu=59.24^10*g.^(-9);
BGalt=-5/4*g+100;
BGnachp=-5/5*g+80;
BGneu=-5/5*g+82;
plot (g,Ualt,g,Unachp,g,Uneu,g,BGalt,g,BGnachp,g,BGneu)
axis([70 76 6 12])
h = legend(’U_{alt}’,’U_{nachp}’,’U_{neu}’, ’BG_{alt}’,...
... ’BG_{nachp}’, ’BG_{neu}’ ,6);
h=ylabel(’Bratwürste’);
h=xtitle(’andere Güter’);
h=text(72,10,’ \leftarrow altes Opt..’,’HorizontalAlignment’,’left’)
h=text(72,8,’ \leftarrow Opt. nach Preisänd.’,’HorizontalAlignment’,’left’)
h=text(73.8,8.2,’Opt. nach Preisänd. und Budgetänd.\rightarrow’,...
...’HorizontalAlignment’,’right’)
h=title(’ \textbf{Bratwurst Aufgabe}’);
set(h,’Interpreter’,’latex’);
Hier wird nur der Ausschnitt zwischen 70 und 76, resp. 6 bis 12 betrachtet. Für das
” Gesamtbild“ muß das Intervall bei g und bei axis entsprechend angepaßt werden.
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Abbildung 2: Matlab Output (Ausschnitt)
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Mit gnuplot in einer etwas einfacheren Variante (** bedeutet Potenz):
set xrange[70:76]
set yrange[6:12]
set title "Bratwurstaufgabe"
set xtitle "andere Gueter"
set ytitle "Bratwuerste"
plot 59.1**10*x**(-9), 57.8**10*x**(-9), 59.24**10*x**(-9), ...
... -1.25*x+100, -x+80, -x+82
Mit diesem Ergebnis:
Abbildung 3: Gnuplot Output (Ausschnitt)
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