Beleuchtungsmodelle - Universität Ulm

EINLEITUNG
Dieses Skriptum soll einen Überblick über die in der Computergrafik
verwendeten Beleuchtungsmodelle geben. Dabei werden
zuerst grundlegende physikalische Eigenschaften des Lichts behandelt.
Im folgenden werden dann die wichtigsten lokalen Beleuchtungsmodelle
und die dort verwendeten Schattierungsmodelle
vorgestellt. Anschließend werden die beiden globalen Beleuchtungsmodelle
Raytracing und Radiosity erläutert und die Vor- und
Nachteile der beiden Verfahren miteinander abgewogen.
1. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
1.1 Licht – Teilchen oder Welle ?
Licht kann mit verschiedenen Frequenzen vorkommen. Dabei
kann nur ein kleiner Teil des in der Natur vorkommenden Lichts
vom menschlichen Auge wahrgenommen werden. Dieser Bereich
bewegt sich zwischen ca. 400 nm (ultraviolett) und 800 nm (infrarot).
Des weiteren hat man bis heute noch kein einzelnes Modell
gefunden, welches die Eigenschaften des Lichts erklären kann. Es
gibt Versuche mit Licht, deren Ergebnis nur damit erklärt werden
kann, dass Licht aus Teilchen besteht, welche eine Energie von
W = h ⋅ f (1)
haben.
Dabei ist h = 6,625*10 -34 Js das Planksche Wirkungsquantum und
f die Frequenz des Lichts. Aus der Formel (1.1) ist auch zu erkennen,
dass die Energie des Lichtes mit zunehmender Frequenz
größer wird.
Zum anderen gibt es auch Versuche wie z.B. das Doppelspaltexperiment,
welches nur mit dem Modell des Lichts als Welle erklärt
werden kann. Dieses Phänomen ist in der Literatur als Welle-
Teilchen-Dualismus bekannt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit
des Lichts c beträgt 3*10 8 m/s. Die Wellenlänge λ kann mittel
folgender Formel in die Frequenz f des Lichts umgerechnet werden:
c
f = (2)
λ
1.2 Raumwinkel
In der Ebene wird der Bogenwinkel als Verhältnis des Bogens B
zum Radius R definiert. Analog dazu definiert man den Raumwinkel
als Verhältnis der durch A überdeckten Fläche zum Quadrat
des Kugelradius. Der Raumwinkel wird statt wie in der Ebene
nicht in Grad, sondern in sr = steradiant „stereo radiant“ gemessen.
Beleuchtungsmodelle
Ulrich Weidenbacher
Medieninformatik
Universität Ulm
Abert-Einstein-Allee 11
89069 Ulm
uw1@informatik.uni-ulm.de
Abb. 1 [1]
A 2
=
r
[ sr]
Ω (3)
1.3 Lichttechnische Größen
Die Lichttechnischen Größten lassen sich grob in 2 Klassen unterteilen.
Die raumwinkelunabhängigen Größen und die raumwinkelabhängigen
Größen.
Tabelle 1: Raumwinkelunabhängige Größen [1]
Bezeichnung Formel Einheit
Strahlungsenergie Q Joule [J]
Strahlungsleistung = [ W ]
Beleuchtungsstärke
dQ
Φ Lumen [lm]
dt
dΦ
E = Lux [lx]
dA
Tabelle 2: Raumwinkelabhängige Größen [1]
Bezeichnung Formel Einheit
Strahlstärke
Strahldichte
dΦ
I = Candela [cd]
dΩ
dΦ
L =
dA⋅
cos
( α ) ⋅dΩ
Candela/m2
[cd/m 2 ]

Die Strahlungsenergie beschreibt die Menge an Lichtenergie, die
von einer Lichtquelle abgegeben wird. Die Strahlungsleistung
bezieht sich dabei zusätzlich auf die Zeit, in der diese Lichtenergie
abgegeben wurde. Die Strahlungsleistung wird in Lumen gemessen.
Die Beleuchtungsstärke beschreibt, wie viel Strahlungsleistung
auf eine bestimmte Fläche trifft. Dabei ist zu beachten,
dass die Beleuchtungsstärke mit dem Quadrat der Entfernung zur
Strahlungsquelle abnimmt (photometrisches Entfernungsgesetzt).
Die Raumwinkelabhängigen Größen haben dagegen die Eigen-
schaft, dass sie nicht abhängig von der Entfernung zur Lichtquelle
sind. Die Strahlstärke gibt an wieviel Lumen pro Steradiant abgestrahlt
werden. Sie wird in Candela gemessen. Candela kommt aus
dem lateinischen und bedeutet Kerze. Die Flamme einer Kerze
strahlt genau ein Candela in alle Richtungen ab. Diese Größe ist
nur sinnvoll für punktförmige Lichtquellen. Die Strahldichte gibt
den Beitrag des Flächenelements dA einer Lichtquelle unter dem
Winkel α zur Strahlungsstärke I an. Mit der Strahldichte kann
man z.B. angeben wieviel Licht von einer leuchtenden Kugeloberfläche
auf das Auge des Betrachters fällt. Diese Größe wird später
beim Radiosityverfahren wichtig.
Tabelle 3: Strahldichten [2]
Straßenbeleuchtung 2 cd/m 2
Weißes Papier (400 Lux) 100 cd/m 2
Mond 2500 cd/m 2
Leuchtstofflampe 8000 cd/m 2
Glühfaden 7 Mio cd/m 2
Sonne 1650 Mio cd/m 2
1.4 BRDF: Bidirectional Reflectance
distribution Function
Die BRDF wurde 1977 amtlich definiert vom National Bureau of
Standards (USA) zur Vereinheitlichung von Reflexionsdarstellungen
und –berechnungen. Sie beschreibt das Verhältnis
aus der differenziellen Strahlungsdichte dL1 in
Betrachtungsrichtung und der differentiellen Bestrahlungsstärke
dE2, die aus der Beleuchtungsrichtung auf die Oberfläche wirkt.
dL1
( Θ2
, Φ 2;
Θ1,
Φ1)
( Θ2
, Φ 2;
Θ1,
Φ1)
=
dE ( Θ , Φ )
ρ (4)
2
2
2
Abb. 2: Geometrie der BRDF [1]
Aus der BRDF sind mehrere für das Verständnis der Beleuchtungsmodelle
wichtige Eigenschaften abzuleiten. Zum einen ändert
sich f nicht, wenn man Einfallswinkel und Ausfallswinkel
Vertauscht (Reziprozität). Diesen Effekt macht man sich vor allem
beim Raytracing zunutze. Zum anderen stellt man fest, dass
sich zwei Lichtstrahlen, die im selben Punkt auf ein Material treffen,
nicht stören. Des weiteren kann man drei weitere Begriffe im
Zusammenhang mit der BRDF einführen. Bei anisotropen Materialien
ändert sich f auch, wenn man das Material um seine Normale
rotiert. Bei isotropen Materialien ist dies nicht der Fall. Falls
einfallendes Licht in jede Richtung gleich stark reflektiert wird,
nennt man das Material einen Lambert-Reflektierer.
1.5 Lichtquellen
Man unterscheidet grob vier verschiedene Arten von Lichtquellen.
Die Simulation solcher Lichtquellen in der Computergrafik ist
unterschiedlich komplex. Folgende Aufzählung ist nach
aufsteigender Komplexität geordnet:
1.5.1 Umgebungslicht (ambient light)
Umgebungslicht ist im Gegensatz zu den anderen hier
beschriebenen Lichtquellen eine indirekte Lichtquelle. D.h. das
Licht hat keine Richtung, sondern es kommt aus allen Richtungen.
Dieses Licht entsteht durch Reflexion des Lichts einer anderen
Lichtquelle an matten Oberflächen und bewirkt eine gewisse
Grundhelligkeit in Bereichen, die nicht direkt von anderen
Lichtquellen beleuchtet werden.
1.5.2 Entfernte Lichtquellen (distant lights)
Entfernte Lichtquellen sind auch Punktlichtquellen, welche sich
aber so weit vom Objekt entfernt befinden, das ihre Lichtstrahlen
quasi parallel beim Objekt eintreffen. Ein Beispiel hierfür wäre
das Sonnenlicht, welches die Erde beleuchtet.
1.5.3 Punktlichtquellen (point lights)
Punktlichtquellen zeichnen sich dadurch aus, dass die Lichtquelle
selber relativ klein im Vergleich zum Objekt ist. Ein Beispiel
hierfür wäre eine Glühlampe ohne Begrenzung des Lichtkegels.
1.5.4 Spotlichter (spot lights)
Eine Spotlichtquelle emitiert Licht nur in einem begrenzten Kegel
mit abnehmender Intensität im Verhältnis zu den Rändern hin.

2. LOKALE BELEUCHTUNGMODELLE
2.1 Strategien
Um die im letzten Abschnitt genannten Lichtquellen in der
Computergrafik zu modellieren gibt es nun verschiedene Ansätze.
Umgebungslicht ist eine relativ einfach nachzubildende
Lichtquelle, da hier nur die innewohnende Farbe des Objektes für
jeden Punkt mit der Stärke des Umgebungslichts multipliziert
wird.
Entfernte Lichtquellen sind ebenfalls noch relativ leicht
umzusetzen, da ihr Licht ja parallel einfällt und somit der Winkel
zwischen Objektnormale und einfallendem Lichtstrahl nur durch
die Objektnormale bestimmt wird und nicht durch die Position
des Objekts. Ist also für ein Objekt die Beleuchtung berechnet, so
kann die Beleuchtung für gleiche Objekte, die sich an einem
anderen Ort im Raum befinden übernommen werden. Um
Schattenbildung zu vermeiden, wird die Lichtquelle in diesem
Fall immer genau in den Blickpunkt gesetzt. Dies bezeichnet man
als „head light“. Da die Beleuchtungsstärke quadratisch mit der
Entfernung abnimmt, simuliert man dies durch eine
Abschwächung der Intensität des Objektes. Dieses Verfahren wird
als „depth cueing“ bezeichnet.
Um Punktlichtquellen nachbilden zu können muss ein etwas
komplexeres Modell entwickelt werden. Die im nächsten Kapitel
besprochenen lokalen Beleuchtungsmodelle sind in der Lage, eine
solche Lichtquelle nachzubilden.
Spotlichter erfordern einen höheren Aufwand um mit lokalen
Beleuchtungsmodellen nachgebildet zu werden. Globale
Beleuchtungsmodelle wie Raytracing und Radiosity sind
letztendlich in der Lage jede erdenkliche Lichtquellenart
nachzubilden.
2.2 Eigenschaften
Da eine exakte Nachbildung der Beleuchtung wie sie in der Natur
vorkommt leider zu rechenaufwendig für die CPU ist, hat man
verschiedene Modelle entwickelt, die zum einen ein relativ
realistisches Ergebnis liefern und zum anderen wenig
Rechenleistung in Anspruch nehmen. Die stärkste Einschränkung
macht man dadurch, dass man nur den Einfluss emittierender
Lichtquellen in die Szene mit einbezieht. Es werden also Objekte,
die Licht reflektieren nicht als eigene Lichtquellen behandelt, was
man bei genauer Einhaltung der physikalischen Gesetze eigentlich
tun müsste. Bei den globalen Beleuchtungsmodellen (Kapitel 3)
hingegen wird dies jedoch durchaus berücksichtigt. Des weiteren
werden auch keine Schatten berücksichtig, indem man ein „head
light“ verwendet. Die lokalen Beleuchtungsmodelle sind darauf
abgestimmt, das sie in Echtzeit berechnet werden können und
finden hauptsächlich in 3D Computerspielen ihre Anwendung.
2.3 Ambiente Beleuchtung
Ambiente Beleuchtung ist das einfachste Beleuchtungsmodell, das
man sich vorstellen kann, da hier nur von einer indirekten Lichtquelle
ausgegangen wird. Indirektes Licht kommt aus allen Richtungen,
d.h. man musst die Richtung des einfallenden Lichtes
nicht berechnen, sondern nimmt an, dass das Licht an jedem
Punkt eines Objektes mit gleicher Intensität eintrifft. Man bezeichnet
die Intensität des ambienten Lichtes mit I a. Da jedes Objekt
verschieden stark reflektieren kann, wird jedem Objekt eine
Konstante k a zugewiesen. Jetzt können wir eine sog. Beleuch-
tungsgleichung für das Modell der ambienten Beleuchtung aufstellen:
I I ⋅
= (5)
a a k
Abb. 3: ambiente Beleuchtung [3]
In Abb. 3 ist zu sehen, dass dieses Beleuchtungsmodell noch kein
besonders realistisches Ergebnis liefert. Deshalb erweitern wir
nun das Modell um eine weitere Komponente.
2.4 Diffuse Reflexion
Das Modell der diffusen Reflexion setzt nun statt einer indirekten
Lichtquelle eine Punktförmige Lichtquelle voraus. Somit
verändert sich die Helligkeit jedes Punktes des Objekts je nach
Entfernung und Richtung zur Lichtquelle. Da bei diesem Modell
alle Flächen als diffuse Lambert-Reflektierer angenommen sind,
werde die eintreffenden Lichtstrahlen in alle Richtung gleichstark
reflektiert. Das bedeutet, dass die Reflexion unabhängig vom
Beobachtungspunkt ist, jedoch abhängig vom Winkel θ zwischen
der Flächennormal und dem einfallenden Lichtstrahl.
Abb. 4: Lambert-Reflektor [5]

Da ein unter dem Winkel θ zur Normale einfallender Lichtstrahl
eine um den Faktor 1/cosθ größere differenzielle Fläche trifft als
ein parallel zur Normale einfallender Lichtstrahl, nimmt die
Lichtintensität der beleuchteten Fläche entsprechend um dem
Faktor cosθ ab (Siehe Abb.5).
Abb. 5: Lambertsches Kosinus Gesetz [3]
Die Beleuchtungsgleichung zu diesem Modell lautet:
⋅ ⋅cosθ
I I (6)
= p d k
I p ist dabei die Intensität der Punktförmigen Lichtquelle, k d ist der
diffuse Reflexionskoeffizient. Er hängt vom Material ab und muss
zwischen 0 und 1 liegen. Wenn man davon ausgeht, dass die
Vektoren N und L (Siehe Abb.4) normalisiert sind, so lässt sich
cosθ leicht als Skalarprodukt von N und L berechnen. Damit lässt
sich Formel (6) umschreiben in
I p d
= I ⋅ k ⋅(
N ⋅ L)
(7)
Wendet man dieses Beleuchtungsmodell an, so stellt man fest,
dass Bereiche, die nur sehr schwach von Lichtstrahlen getroffen
werden fast schwarz erscheinen. Da diese Bereiche aber in
Wirklichkeit durch indirektes Licht immer eine gewisse
Grundhelligkeit besitzen, kombiniert man die beiden Modelle
miteinander, indem man den ambienten und den diffusen Anteil
zusammenaddiert:
I a a p d
= I ⋅k
+ I ⋅k
⋅(
N ⋅ L)
(8)
Um dem Modell noch mehr Tiefeneindruck zu verschaffen, fügt
man noch eine weitere Funktion hinzu:
I a a
p d
= I ⋅k
+ f ( d)
⋅ I ⋅k
⋅(
N ⋅ L)
(8)
Wie schon in Kapitel 1 besprochen nimmt die Intensität einer
beleuchteten Fläche mit dem Abstand zur Lichtquelle quadratisch
ab. Deshalb verwende man häufig folgende Funktion:
1
f ( d)
= (9)
2
r
Abb. 6: Diffuse Reflektion [3]
2.5 Spiegelnde Reflexion
Die meisten Materialien sind, wie beim diffusen Modell
angenommen, keine perfekten Lambert-Reflektoren. Dieses
bedeutet, dass Licht eben nicht gleichmäßig in alle Richtungen
reflektiert wird. Es gibt bestimmte Einfallswinkel, bei denen das
reflektierte Licht nicht mehr nach allen Richtungen gestreut wird,
sondern nur noch in einem bestimmten Bereich reflektiert wird
(Abb. 9). Im Extremfall wird das Licht nur noch in eine Richtung
reflektiert. Dieser Effekt kann bei einem Spiegel beobachtet
werden (Abb. 8).
Abb. 7+8: Diffuse und optimal spiegelnde Reflexion [6]
Abb. 9: nicht optimal spiegelnde Reflexion [6]
Abb.10: Kombination aus diffuser und nicht optimal
spiegelnder Reflexion [6]

Viele Materialien reflektieren Licht nicht nur direkt an der
Oberfläche, sonder auch noch in einer zweiten Schicht darunter.
Die oberste Schicht verhält sich bei glänzendem Material wie ein
nichtoptimaler Spiegeln. Die Schicht darunter verhält sich wie ein
Lambert-Reflektor. Es liegt also nahe, die Modelle diffuse
Reflexion und spiegelnde Reflexion zu kombinieren (Abb. 10).
Zuerst müssen wir aber noch eine Möglichkeit finden, die
spiegelnde Reflexion mathematisch umzusetzen. Phong Bui-
Tuong ging davon aus, dass die Reflektion maximal wird, falls der
Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist. Weicht der
Ausfallswinkel θ um den Winkel ψ ab, so nimmt die Reflektion
rapide ab. Der Term cos α ψ approximiert laut Phong dieses
Verhalten sehr gut. Dabei bestimmt α die stärke der Abnahme bei
steigendem ψ (siehe Abb 11 und 12).
Abb. 11: [5]
Abb. 12 [5]
Des weiteren benötigt man noch eine weitere Funktion ω(θ,λ),
welche als Spiegelreflexionskoeffizient bezeichnet wird. Diese
Funktion hängt vom Material ab und bestimmt die Stärke der
Spiegelung in Abhängigkeit vom Einfallswinkel θ und der
Wellenlänge λ des Lichts. Somit lässt sich nun folgende Formel
aufstellen:
α
I I ⋅ω(
θ , λ)
⋅cos
( ψ ) (10)
S
= L
Wenn wird nun nach unserer o.g. Überlegung diffuse Reflexion
und spiegelnde Reflexion noch kombinieren kommen wir zu
folgendem Ergebnis:
α
[ k cosθ
k cos ψ ]
I ka
I a + f ( d)
I L d + s
= (11)
Den Spiegelreflexionskoeffizient ω(θ,λ) nimmt man als konstant
k s an und legt ihn experimentell so fest, dass ästhetisch
ansprechende Resultate entstehen.
2.6 Schattierungsmodelle
Wir haben nun eine Formel, mit der wir die Beleuchtung an einem
Punkt des Objektes relativ gut approximieren können. Leider ist
es zu rechenaufwendig für echtzeitgenerierte Bilder, die Normale
an jedem Punkt zu bestimmen und dort das Beleuchtungsmodell
anzuwenden. Stattdessen verwendet man Polygongitter und
interpoliert die Beleuchtung zwischen den einzelnen Eckpunkten
entsprechend. Dabei gibt es mehrere Verfahren, die ich nun im
folgenden darstellen werde.
2.7 Konstante Schattierung
Das einfachste und schnellste Schattierungsmodell ist die
konstante Schattierung. Hier bestimmt man die Normale des
jeweiligen Polygons einmal, berechnet damit das
Beleuchtungsmodell und färbt dann das komplette Polygon in der
berechneten Intensität ein. Wie man sich leicht vorstellen kann,
hat diese Methode auch einen gravierenden Nachteil: zwischen
den einzelnen Polygonkanten gibt es starke Intensitätssprünge,
welche vor allem bei einer kleinen Zahl von Polygonen sehr
störend auf den Betrachter wirken.
Abb. 13: konstante Schattierung [4]
2.8 Gouraud-Schattierung
Die starken Sprünge an den Kanten versucht man nun zu
eliminieren, indem man zuerst aus den Flächennormalen neue
Normalen berechnet, die genau an den Kreuzungspunkten der
Polygone sitzen. Dazu summiert man einfach die Normalen der an
den Kreuzungspunkt angrenzenden Polygone auf und Teilt durch
ihre Anzahl (vorrausgesetzt, dass die Normalen normiert sind).

Abb. 14: Mittelung der normalisierten Polygonnormalen [5]
E
n
+ n
+ n
4
+ n
a b c d
= (12)
Im nächsten Schritt berechnet man das Beleuchtungsmodelle mit
den so gewonnenen Normalen und interpoliert die Intensität
zunächst entlang der Kanten und dann zwischen den Kanten
entlang jeder Rasterzeile (Abb. 15). Mit diesem Modell lassen
sich schon wesentlich realistischere Ergebnis erzielen als mit
konstanter Schattierung.
Abb. 15: Gouraud-Schattierung [4]
2.9 Phong-Schattierung
Das folgende Phong Schattierungsmodell darf nicht mit dem
Phong Beleuchtungsmodell verwechselt werden, es handelt sich
hierbei um zwei komplett verschiedene Modelle.
Der Unterschied zur Gouraud-Schattierung besteht hauptsächlich
darin, dass nicht die Intensität zwischen den Normalen interpoliert
wird, sonder die Normalen selber werden interpoliert.
Anschließend wird für jede interpolierte Normale das
Beleuchtungsmodell separat berechnet. Dies erfordert natürlich
einen wesentlich höheren Rechenaufwand, liefert dafür aber auch
bessere Ergebnisse als Gouraud.
Abb.16: Phong-Schattierung [4]
2.10 Vergleich Gouraud und Phong
Die Unterschiede zwischen Phong und Gouraud machen sich vor
allem beim Glanzpunkt bemerkbar. Fällt ein Glanzpunkt direkt in
die Mitte eines Polygons, so wird er vom Gouraud Modell unterdrückt,
da an dieser Stelle ja nur eine Interpolation der Randintensitäten
stattfindet (Abb. 17C). Fällt ein Glanzpunkt direkt auf ein
Polygoneck, so kommt bei Gouraud durch Interpolation zu einem
Verschmiereffekt (Abb. 17A).
Abb. 17: Vergleich Gouraud vs. Phong Schattierung [3]
A: Gouraud B: Phong C: Gouraud D: Phong
3. GLOBALE BELEUCHTUNGSMODELLE
3.1 Eigenschaften
Globale Beleuchtungsmodelle wie Raytracing und Radiosity
berücksichtigen nicht nur emittierende Lichtquellen, sonder
beziehen auch reflektiertes und transmittiertes Licht mit in ihre
Berechnungen ein. Dadurch lassen sich qualitativ wesentlich
bessere Ergebnisse erzielen als mit lokalen
Beleuchtungsmodellen. Jedoch wie schon erwähnt steigt der
Rechenaufwand dadurch auch beträchtlich an. Dies hat zur Folge,
dass ein einzelnes Bild bei entsprechender Größe und
Komplexität schon mehrere Stunden Rechnzeit benötigt.
3.2 Raytracing
Die Grundidee des Raytracing beruht darauf, einen Lichtstrahl
von der Lichtquelle aus bis zur Kamera bzw. zum Auge zu
verfolgen. Dabei kann er auf seinem weg reflektiert, gebrochen
und transmittiert werden (Abb. 18). Für diffuse Reflektionen ist
Raytracing daher nicht geeignet, da in diesem Fall ein
eintreffender Lichtstrahl in alle (also unendlich viele) Richtungen
reflektiert wird und es dann nicht mehr möglich ist die Strahlen
weiterzuverfolgen. Raytracing basiert also nur auf idealer
Spiegelung, Brechung und Transmission.
Abb. 18: Weg eines Lichtstrahls
Da ein sehr großer Teil des Lichtes gar nicht im Auge ankommt
kann man den Rechenaufwand etwas einschränken. Dabei nutzt
man die Reziprozität (Kapitel 1.4) des Lichtes aus, welche einem
erlaubt, die Richtung des Lichtstrahls umzukehren. Man verfolgt

also nicht mehr das Licht von der Quelle bis zum Auge, sondern
man sendet vom Auge aus Lichtstrahlen durch jeden Pixel des
Bildschirms in die Szene und verfolgt sie so lange, bis sie entweder
kein Objekt mehr schneiden, oder die zurückgelegte Strecke
eine gewisse Grenze erreicht. Diese Maßnahme hat allerdings zur
Folge, dass Raytracing ein blickpunktabhängiges Verfahren ist,
was bedeutet, dass bei einem Wechsel des Blickpunktes eine
komplette Neuberechnung der Szene notwendig wird. Zur Berechnung
der Schatten werden sog. Schattenstrahlen jeweils vom
Schnittpunkt des Objekt mit dem Lichtstrahl zur Lichtquelle geschickt.
Schneiden diese Strahlen auf ihrem Weg ein Objekt, so
liegt der Ausgangspunkt im Schatten. Falls der Punkt nicht im
Schatten liegt, wird an dieser Stelle das lokale Beleuchtungsmodell
nach Phong (siehe Formel 11) mit einer Erweiterung um den
Transmissions- und den Reflexionsanteil (I t und I r) berechnet.
I = k I + k I cos θ + k I + k I (13)
a
a
d
L
Dann werden die Vektoren für Reflektion und Brechung ermittelt
und es werden in diese Richtungen neue Lichtstrahlen ausgesendet.
Falls diese Lichtstrahlen wieder Objekte schneiden, beginnt
der Prozess von neuem. Ist die Verfolgung eines Lichtstrahls
komplett abgeschlossen, werden die durch das lokale Beleuchtungsmodell
berechneten Intensitäten entsprechend gewichtet
addiert und ergeben so die Gesamtintensität des Bildpunktes.
Abb. 20: Umkehrung der Strahlen
Abb. 21: Abtastung des Bildschirms und Verlauf
Schattenstrahlen (schwarze Pfeile)
Lichtquelle
Dieses Verfahren lässt sich elegant mit einem rekursiven
Algorithmus umsetzen:
t
t
r
r
Pseudocode eines Raytracing Programms
Für jede Zeile des Bildes
Für jeden Pixel der Zeile
Bestimme Strahl vom Auge zum Pixel
Pixelfarbe = Raytrace(Strahl)
Raytrace(Strahl)
Für alle Objekte der Szene
Wenn Strahl Objekt schneidet und Schnittpunkt ist
bisher am nächsten
notiere Schnitt
Wenn kein Schnitt dann Ergebnis := Hintergrundfarbe
sonst
Ergebnis := Raytrace(reflektierten Strahl) +
Raytrace(gebrochenem Strahl)
Für alle Lichtquellen
Für alle Objekte der Szene
Wenn Strahl zur Lichtquelle Objekt schneidet
Schleifenabbruch, nächste Lichtquelle
Wenn kein Schnitt gefunden
Ergebnis += lokale Beleuchtung
Der Algorithmus bricht ab, falls eine gewisse Rekursionstiefe
erreicht ist oder falls der Strahl kein reflektierendes bzw.
transmitierendes Objekt mehr schneidet (meistens der
Hintergrund).
Abb. 22: Mit Raytracing erstellte Szene [3]
3.3 Radiosity
3.3.1 Grundidee
Die Grundidee des Radiosity Modells beruht auf der Erhaltung
der Lichtenergie in einer geschlossenen Szene. Dazu wird die

Szene in viele kleine Flächen zerlegt. Jede dieser Flächen kann
nun Licht emittieren und Licht reflektieren.[3] Wenn wir nun jede
dieser Flächen als opaken, diffusen Lambertschen Strahler betrachten,
gilt für die Fläche i
B = E +
i
i
A
n
j
i∑
B j Fji
j= 1 Ai
ρ . (14)
Bi bzw. Bj bezeichnen dabei die Strahlung der Flächenelemente i
und j. Ei ist die Rate, mit der Fläche i Licht abstrahlt, ρi ist der
Reflexionskoeffizient der Fläche i. Der Formfaktor Fji bezieht sich
auf die gegenseitige Orientierung der beiden Flächen im Raum
und berücksichtigt dabei auch eventuelle vorhandene
Blockierungen durch andere Objekte.
Da diese Gleichung für alle Flächenelemente gelöst werden muss,
führt sie uns auf ein LGS, welches mittels dem Gauß-Seidel-
Verfahren gelöst werden muss. Die Lösung gibt dann die
Strahlungsintensität oder Radiosity jeder Fläche an, bei der ein
Energiegleichgewicht in der Szene herrscht. Um eine glatte
Schattierung der Flächen zu erreichen kann man aus den
Intensitäten der Flächen Intensitäten für die Knoten berechnen
und dann dazwischen ähnlich dem Schattierungsmodell von
Gouraud interpolieren.
Abb. 23: Aufteilung der Szene in Flächen [4]
3.3.2 Berechnung der Formfaktoren
Wie schon angesprochen beschreibt der Formfaktor die
gegenseitige Orientierung zweier Flächenelemente zueinander.
Auf die theoretische Herleitung möchte ich in diesem Kontext
verzichten, sie kann in [3] nachgeschlagen werden. Nusselt
entwickelte ein Verfahren zur Bestimmung der Formfaktoren,
welche die gleichen Ergebnisse liefert wie das theoretische
Modell, jedoch unter der Annahme, dass der Mittelpunkt eines
Flächenelements die anderen Punkte charakterisiert.
Abb. 23: Formfaktorbestimmung analytisch und numerisch
K
P
Dazu projiziert man Aj auf eine Halbkugel mit Radius eins um den
Mittelpunkt von Ai. Anschließend projiziert man diese Fläche
orthogonal auf die Kreisfläche K. Der Formfaktor ergibt sich dann
aus dem Quotienten von P und der Grundfläche K, welche in
diesem Fall π wäre.
Ein numerisches Verfahren zur Bestimmung des Formfaktors
liefern Coen und Greenberg, indem sie statt der Halbkugel einen
Halbwürfel „Hemicube“ um die Grundfläche Ai legen. Aj wird
dann auf den Halbwürfel projiziert, welcher in einzelne Quadrate
aufgeteilt ist. Die Anzahl der geschnittenen Quadrate im
Verhältnis zur Anzahl der Quadrate auf der Grundfläche bestimmt
dann den Formfaktor.
Das Radiosity Verfahren hat einen entscheidenden Vorteil
gegenüber dem Raytracing Verfahren: es ist
blickpunktunabhängig, was bedeutet, dass eine Szene, die einmal
mit Radiosity berechnet wurde ohne großen Aufwand aus
verschiedenen Blickwinkeln dargestellt werden kann. Jedoch hat
Radiosity den Nachteil, dass nur diffuse Reflexionen
berücksichtigt werden und somit der spiegelnde Anteil fehlt. Eine
Kombination aus Raytracing und Radiosity vereinigt die Vorteile
beider Verfahren zu einem optimalen Ergebnis.
3.3.3 Schrittweise Verfeinerung
Das bisher besprochene Verfahren zur Berechnung des
Energiegleichgewichts einer Szene hat jedoch noch einen
weiteren praktischen Nachteil: es ist nicht möglich inkrementelle
Zwischenlösungen zu berechnen, sonder man muss am Anfang
zuerst alle Formfaktoren bestimmen, und anschließend das LGS
per Gauß-Seidel lösen, welches sich aus Formel 14 ergibt.
Wünschenswert wären jedoch Zwischenergebnisse, welche man
sukzessive verbessern kann. Dazu gibt es folgende Idee: statt wie
beim herkömmlichen Weg von einer Fläche die Summe des
abgestrahlten Lichtes der anderen Flächen „einzusammeln“ kehrt
man die Richtung um und „verteilt“ sozusagen das Licht von
einer Fläche aus an alle anderen Flächen. Zusätzlich wird das
Licht noch in kleine Pakete ∆B unterteilt, welche dann
„häppchenweise“ an die umliegenden Flächen verteilt werden.
Dies hat den Vorteil, dass im ersten Schritt nur die Lichtquelle
selber Licht austeilt und somit nur die Formfaktoren für einen
Halbwürfel berechnet werden müssen. Das Vorgehen lässt sich
durch folgenden Algorithmus beschreiben:
Programm 2:Pseudecode des inkrementellen Radiosity
Verfahrens [3]
Berechne Fij für jedes Flächenelement j
Für (jedes Flächenelement j)
∆Bi=0;
∆Radiosity=ρi ∆BiFijAi/Aj;
∆Bj= ∆Bj +∆Radiosity;
Bj= Bj+ ∆Radiosity;

Im ersten Schritt leuchten in einer Szene also nur die Lichtquellen
und der Rest ist schwarz. Nach den ersten Iterationen wird die
Szene in Bereichen, wo das Licht nicht direkt eintrifft immer noch
sehr dunkel bleiben, deshalb setzt man am Anfang einen
zusätzlichen ambienten Term ein, welcher die dunklen Regionen
etwas aufhellt, damit die Bilder realistischer werden. Mit
steigender Zahl der Iterationen wird der ambiente Term kleiner
und verschwindet schließlich ganz [3].
Abb. 24: Schrittweise Verfeinerung mit Radiosity [3]
4. ZUSAMMENFASSUNG
Wir haben nun einige Beleuchtungsmodelle kennen gelernt, welche
schrittweise zu immer komplexeren Berechnungen geführt
haben. Welches Modell nun im einzelnen zum Einsatz kommt ist
von Fall zu Fall abzuwägen. Bei sich verändernder Szenerie
kommen zumindest mit herkömmlichen Rechnern momentan nur
lokale Beleuchtungsmodelle in Betracht. Dort gibt es noch einige
Erweiterungen, welche im Text nicht angesprochen wurden, wie
z.B. Transparenzeffekte, echte Spiegelungen und Schatten. Diese
Erweiterungen machen es möglich auch mit lokalen Beleuchtungsmodellen
sehr nahe an eine photorealistische Darstellung
einer bewegten Szene heranzukommen. Anwendungsschwerpunkte
sind hier sicherlich Computerspiele. Globale Beleuchtungsmodelle
finden ihre Anwendung eher in CAD Anwendungen und in
der Architektur, da dort nur einzelne unbewegte Bilder generiert
werden. Mit der Radiosity Methode wäre sogar ein virtueller Flug
durch ein Gebäude realisierbar.
5. REFERENCES
[1] Foley James D., Grundlagen der Computergrafik
[2] Domik G., Universität Paderborn, Skript Computergrafik
[3] Godbersen, TFH Berlin, Skript Lokale Beleuchtungsmodelle
[4] Rothermel A., Skript Fernsehtechnik WS 2001/2002, Universität
Ulm, Abteilung Elektrotechnik und Mikroelektronik
[5] Brill, M., FH Kl, Beleuchtungsmodelle
[6] S. Schäffner, D. Fellner, TU Braunschweig, Radiosity
[7] http://www.gris.uni-tuebigen.de/gris/grdev/java/doc/ht
ml/etc/AppletIndex.html
[8] http://olli.informatik.uni-oldenburg.de/ilight/theorie.html
[9] http://fuzzyphoton.tripod.com/whatisrt.htm
[10] http://www.uni-giessen.de/~gc1087/schoenh/raytraci/fr
ame1.html
[11] http://www.irtc.org/
[12] http://www.cs.wpi.edu/~matt/courses/cs563/talks/radio
sity.html
[13] http://www.siggraph.org/