Schnitt von Ebenen und Geraden im R 3

GK m2 * Ebenen und Geraden im R 3
1. Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge der beiden Ebenen.
a) E 1 : − x1 + 2 x2 + x3 = 1 und E 2 : x1 + 4 x2 + 3x 3 = 7
b) E 1 : − 4x1 + 3x 2 + 2 x3 = 5 und E 2 : 2 x1 + x2 − x3 = 0
c) E 1 : − x1 + 2 x2 − 2 x3 = 5 und E 2 : 2 x1 − 4 x2 + 4 x3 = − 10
d) E 1 : − x1 + 2 x2 + x3 = 1 und E 2 : 2 x1 − 4 x2 − 2 x3 = − 5
2. Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge der beiden Ebenen.
−1
2 0¡
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a) E 1 : 2x1 + 3x 2 − x3 = 13 und E 2 : X = 2 + r ⋅ 1 + s ⋅ −1
1 3 2
2 0 2
b) E 1 : − x1 + 2 x2 + x3 = − 4 und E 2 : X = 0 + r ⋅ 1 + s ⋅ −1
−1 −2
3 ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¤ ¥ ¤ ¥ ¤ ¥ ¦§ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £
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1 4 2
c) E 1 : x1 + 2 x2 − 2 x3 = 5 und E 2 : X = 1 + r ⋅ 1 + s ⋅ −1
2 3 0 £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¤¥ ¤¥ ¤ ¥ ¦§ ¢ £ ¢ ¢ £ ¢ £
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7 4 2
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d) E 1 : x1 + 2 x2 − 2 x3 = 5 und E 2 : X = 1 + r ⋅ 1 + s ⋅ −1
2 3 0
3. Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge von Ebene und Gerade.
3 1¡
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a) E : x1 + x 2 − 2 x3 = − 3 und
b) E : x1 − x 2 + 2 x3 = − 8 und
c) E : x1 + x 2 − 2 x3 = 2 und
d) E : x1 + x 2 − 2 x3 = 0 und
g : X = 4 + r ⋅ 1 ¢ £ ¤¥ ¤¥ £ ¢
9 3¡
¡
1 1 £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢
g : X = 0 + r ⋅ 2 ¢ £ ¤¥ ¤ ¥ ¦§ £ ¢
2 −1¡
¡
1 4 £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢
g : X = 3 + r ⋅ 2 ¢ £ ¤¥ ¤¥ ¦§ £ ¢
2 3¡
¡
1 4 £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢
g : X = 3 + r ⋅ 2 ¢ £ ¤¥ ¤¥ ¦§
£ ¢
2 3

GK m2 * Ebenen und Geraden im R3
Lösungen:
1. a)
b)
2. a)
1 1¡
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Schnittgerade g : X = 0 + r ⋅ 2 ¢ £ ¤¥ ¤ ¥ ¦§ £ ¢
2 −3
0 1¡
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Schnittgerade g : X = 1 + r ⋅ 0 ¢ £ ¤¥ ¤¥ ¦§ £ ¢
c) E1 = E2 d.h. E1 ∩ E2 = E1
d) E1 ∩ E 2 = { } d.h. E1 E2
b)
1 2
−1
10 ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¡ ¡
Schnittgerade g : X = 4 + r ⋅ 1 ¢ £ ¤ ¥ ¤ ¥ ¦§ £ ¢
−3
23
4 0¡
¢ £ ¢ £ ¢ £ ¢ £ ¡
Schnittgerade g : X = − 1 + r ⋅ 1£
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c) E1 ∩ E 2 = { } d.h. E1 E2
d) E1 = E2 d.h. E1 ∩ E2 = E1
3. a) Schnittpunkt S ( 1 / 2 / 3 )
b) Schnittpunkt S ( 4 / 8 / -2 )
c) E ∩ g = { } d.h. g E
d) E ∩ g = g d.h. g ⊂
E
2 −2