Mathe-Intensivierung * Jahrgangsstufe 9 * Sinus, Kosinus und ...

Mathe-Intensivierung * Jahrgangsstufe 9 * Sinus, Kosinus und Tangens
Bei allen folgenden Aufgaben ist jeweils geeignet zu runden!
Beachte: Alle Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu!
1. Das abgebildete Dreieck ist gleichschenklig mit a = b .
a) Es ist a = 5,0 und ß = 75 o .
Berechne c und den Flächeninhalt des Dreiecks.
b) Es ist a = 5,0 und c = 4,0 gegeben.
Berechne ß und den Flächeninhalt des Dreiecks.
2. In einem Rechteck betragen die Seitenlängen a = 3,0
und b = 7,0. Unter welchem Winkel ✩ schneiden sich
die beiden Diagonalen?
3. Das abgebildete Viereck ABCD ist eine Drache
mit der Symmetrieachse AC.
a) Gegeben ist a = 6,0 und b = 4,0 und ✍ = 45 o .
Berechne die beiden Diagonallängen und ß.
b) Gegeben ist a = 6,0 und b = 4,0 und BC = 6,0 .
Berechne alle Winkel.
4. Das abgebildete Parallelogramm hat die
Seitenlängen a = 3,0 und b = 5,0 und den
Winkel ✍ = 70 o .
a) Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
b) Berechne den Schnittwinkel ✩ der beiden
Diagonalen.
5. Von einem Leuchtturm
der Höhe h = 80m über
dem Meer sieht man das
vordere bzw. hintere
Ende eines Segelschiffs
h = 80m
unter einem Tiefenwinkel
von ✩ = 79,2 o bzw.
✒ = 80,7 o .
Berechne die Entfernung x
des Segelschiffs vom Leuchtturm
und die Länge a des Segelschiffs.
✩ ✒
✩ = 79,2 o
✒ = 80,7 o
x = ?
A
✍
✍
b
d
a
✩
c
b
b
ß
ß
a
D
B
✩
a = ?
c
✏
✏
b
C
a
a

Mathe-Intensivierung * Jahrgangsstufe 9 * Sinus, Kosinus und Tangens * Lösungen
c / 2
1. a) =
a
⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≈
h
= sin ß
a
⇒
o
h = a ⋅ sin ß = 5,0 ⋅ sin 75 = 4,829... ≈ 4,83
1 1
A = ⋅c ⋅h ≈ ⋅ 2,59 ⋅4,83 ≈ 6,25
2 2
b) cos ß
c / 2 c 4
= = = = 0,4
a 2a 10
⇒
o
ß = 66, 42...
o
≈ 66, 4
α = ß und
o o
γ = 180 − 2⋅ ß ≈ 47,2
2.
o
cos ß c 2 a cos ß 2 5,0 cos 75 2,588... 2,59
a 3
tan ε = =
b 7
⇒ ε = tan
3
( ) = 23,198...
7
≈ 23, 2
o
ϕ = 2⋅ε ≈ 2⋅ 23, 2
o
= 46,4
−1
o o
α x
3. a) cos =
2 a
⇒
o
x = 6,0 ⋅cos(22,5 ) ≈ 5,54
d
D
c
α z
sin =
2 a
γ z
sin =
2 b
γ y
cos =
2 b
x y
o
⇒ z = 6,0 ⋅sin(22,5 ) ≈ 2,30
A
✍
✏ C
z ✏
−1
2,30
o
a ß b
⇒ γ ≈ 2⋅ sin ( ) ≈ 70, 2
4,0
B
o
⇒ y = 4,0 ⋅cos(35,1 ) ≈ 3, 27 also DB = 2⋅ z ≈ 4,6 und AC = x + y ≈ 8,8
1 α z 3
b) z = ⋅ BD = 3,0 und sin = = = 0,5
2 2 a 6
⇒
α o
= 30
2
und
o
α = 60
γ z 3
sin = = = 0,75
2 b 4
⇒
γ
o
= 48,59...
2
und
o
γ ≈ 97,2
o
2⋅β + α + γ = 360
o
⇒ β ≈ 101,4 und δ = β
b
h
o
4. a) = sin α ⇒ h = a ⋅sin α = 3,0 ⋅ sin 70 = 2,819... ≈
a
A = b ⋅h ≈ 5,0 ⋅ 2,82 = 14,1
2,82 a
✍
h
✘
b1
b) = cos α ⇒
a
o
b1 = 3,0 ⋅cos70 ≈ 1,03 und b2 = b − b1 ≈ 3,97 b1
h
tan ε =
b
2,82
≈
3,97
o
⇒ ε ≈ 35,4
h
und tan λ =
2⋅ b + b
2,82
≈
6,03
o
⇒ λ ≈ 25,1
2 1 2
o o o
ϕ = λ + ε ≈ 25,1 + 35, 4 = 60,5
5. x
= tan ϕ ⇒
h
o
x = h ⋅ tan ϕ = 80m ⋅ tan 79,2 ≈ 419m
x + a
= tan ε ⇒
h
o
x + a = h ⋅ tan ε = 80m ⋅ tan 80,7 ≈ 489 m
⇒ a ≈ 489 m − 419m =
70m
✩ ✒
h = 80m
✒ = 80,7 o
✒
b
✩
h
c
b
✩ = 79,2 o
ß
b2
a
✒
✒
✩
✒
x = ? a = ?
a
a
b1
h