Q12 * Mathematik m4 * Uneigentliche Integrale * Zweite Ableitung

Q12 * Mathematik m4 * Uneigentliche Integrale * Zweite Ableitung * Lösungen
1. Zuordnung: f1 blauer Graph, f2 grüner Graph, f3 violetter Graph, f4 schwarzer Graph, f5 roter Graph
b
1
b 2
b b
1
1
b
8 8 8 8 8
8 8
A lim dx lim lim " "
(x 2) x2 b 2 1 2 3 3
b
x x b
1
4
A2 lim 4 e dx lim
4e
" 4 e " 4 e 0 1,47
1
e
bb 1
b
0,5x 0,5x b
0,5
6
A3 lim 3
e dx lim
6e
" 6 e " 6 e 0 3,64 f
1
2(x)
4 e
e
4
bb 1
b
1
b
A4
b b 1
1 x1
existiert also nicht!
A lim dx lim 2 x 1 "2 " 2 2
b
4 4 44
A lim dx lim " " 4
x
x
1
1
b 2
b
1
2. a) Gf grün und Gg rot
4 4
(x 1)
b)
b
1
0,5x
lim (2 f (x)) lim " " 0 und lim (2 g(x)) lim e "e " 0
x x 2
x x
b b
4 4 4 4
A lim (2f (x))dx lim dx lim " " 4
(x 1)
x1 1
f
b b 2
b
0 0
b b
b b b
0 0
0,5x 0,5x b
Ag lim (2 g(x))dx lim e dx lim
2e
" 2 e " ( 21) 2
3. a) Beachte: Wegen lim f (x) muss Gf für x < -1 noch einen Tiefpunkt besitzen!
x
b)
f steigt streng monoton in [?; 0] und ungefähr in [1,8 ; ∞[
Rechtskrümmung ungefähr in ] ? ; 1 [ und Linkskrümmung in ] 1 ; ∞ [
2
Im Punkt P(1 / ) scheint sich das Krümmungsverhalten zu ändern.
3
c)
1 3 2 x 2
f´(x) (4x 6x 24x ) (2x 3x 12)
12 6
1 2 2
f´´(x) (12x 12x 24) x x 2
12
und
f´(x) 0 x1 0 und
1
x 2/3 ( 3
2 2
3 105
9 4 212 )
4
x23,31undx3 1,81 ( x2 ist im Bild nicht erkennbar!)
f ist streng monoton steigend in [x2;0] und in [x3;∞[
2
f´´(x) 0 x x 2 0
1
x 4/5 ( 1
2
1 4 2 ) x4 2 und x5 1
Rechtskrümmung in [-2;1] , Linkskrümmung in ]-∞; -2] und [1;∞[
4. a) Rechtskrümmung in ]-∞;1[, Linkskrümmung in ]1;∞[ ; Wendepunkt ≈ (1 / -2,2)
b)
x x x
f´(x) 0,4 1e (x 3) e 0,4 x 2 e und
x x
f´´(x) 0,4 1 (x 2) e 0,4 (x 1) e also f´´(x) 0 x 1
f´´(x) 0 x 1 also Rechtskrümmung in ]-∞;1[ und Linkskrümmung in ]1;∞[
Wendepunkt (1 / f(1) ) ≈ (1 / -2,175)
b
0
0
1
x