Q12 * Mathematik m4 * Uneigentliche Integrale * Zweite Ableitung

Q12 * Mathematik m4 * Uneigentliche Integrale * Zweite Ableitung
1. Das Bild zeigt die Graphen der Funktionen
8
f 1(x)
2
(x 2)
;
x
f 2(x)
4 e
f (x) 3 e
3
4
f 5(x) 2
x
0,5 x
; 4
f (x)
1
x 1
Ordnen Sie die Graphen den angegebenen
Funktionen korrekt zu und untersuchen Sie,
ob die uneigentlichen Integrale
2. Das Bild zeigt die Graphen der beiden
4
Funktionen f (x) 2 und 2
(x 1)
0,5 x
g(x) 2 e
.
b
lim f i(x)
dx
b
existieren!
1
a) Ordnen Sie die Funktionen den Graphen
korrekt zu und zeigen Sie, dass die
waagrechte Gerade y = 2 jeweils
eine Asymptote für x → ∞ ist.
b) Prüfen Sie, ob die von der y-Achse, der Asymptote y = 2 und dem Graphen begrenzte
Fläche jeweils endlichen Inhalt besitzt. Bestimmen Sie diesen Flächeninhalt gegebenenfalls.
3. Das Bild zeigt den Graphen der Funktion
1 4 3 2
f (x) ( x 2x 12x ) .
12
a) Bestimmen Sie anhand des Bildes möglichst
genau die Intervalle, in denen die Funktion f
streng monoton steigt und rechts- bzw. linksgekrümmt
ist.
b) Bei welchem Punkt des Graphen ändert sich
das Krümmungsverhalten? Man diesen Punkt
auch Wendepunkt des Graphen.
c) Überprüfen Sie Ihre Antworten zu a) und b)
durch entsprechende Rechnung!
4. Das Bild zeigt den Graphen der Funktion
x
f (x) 0,4 (x 3) e .
a) Kennzeichnen Sie möglichst genau die Intervalle, in
denen der Graph der Funktion f rechts- bzw. links-
gekrümmt ist.
Bei ungefähr welchem Punkt des Graphen ändert
sich das Krümmungsverhalten von f ?
b) Bestätigen Sie Ihre Angaben in a) durch geeignete Rechnung!

Q12 * Mathematik m4 * Uneigentliche Integrale * Zweite Ableitung * Lösungen
1. Zuordnung: f1 blauer Graph, f2 grüner Graph, f3 violetter Graph, f4 schwarzer Graph, f5 roter Graph
b
1
b 2
b b
1
1
b
8 8 8 8 8
8 8
A lim dx lim lim " "
(x 2) x2 b 2 1 2 3 3
b
x x b
1
4
A2 lim 4 e dx lim
4e
" 4 e " 4 e 0 1,47
1
e
bb 1
b
0,5x 0,5x b
0,5
6
A3 lim 3
e dx lim
6e
" 6 e " 6 e 0 3,64 f
1
2(x)
4 e
e
4
bb 1
b
1
b
A4
b b 1
1 x1
existiert also nicht!
A lim dx lim 2 x 1 "2 " 2 2
b
4 4 44
A lim dx lim " " 4
x
x
1
1
b 2
b
1
2. a) Gf grün und Gg rot
4 4
(x 1)
b)
b
1
0,5x
lim (2 f (x)) lim " " 0 und lim (2 g(x)) lim e "e " 0
x x 2
x x
b b
4 4 4 4
A lim (2f (x))dx lim dx lim " " 4
(x 1)
x1 1
f
b b 2
b
0 0
b b
b b b
0 0
0,5x 0,5x b
Ag lim (2 g(x))dx lim e dx lim
2e
" 2 e " ( 21) 2
3. a) Beachte: Wegen lim f (x) muss Gf für x < -1 noch einen Tiefpunkt besitzen!
x
b)
f steigt streng monoton in [?; 0] und ungefähr in [1,8 ; ∞[
Rechtskrümmung ungefähr in ] ? ; 1 [ und Linkskrümmung in ] 1 ; ∞ [
2
Im Punkt P(1 / ) scheint sich das Krümmungsverhalten zu ändern.
3
c)
1 3 2 x 2
f´(x) (4x 6x 24x ) (2x 3x 12)
12 6
1 2 2
f´´(x) (12x 12x 24) x x 2
12
und
f´(x) 0 x1 0 und
1
x 2/3 ( 3
2 2
3 105
9 4 212 )
4
x23,31undx3 1,81 ( x2 ist im Bild nicht erkennbar!)
f ist streng monoton steigend in [x2;0] und in [x3;∞[
2
f´´(x) 0 x x 2 0
1
x 4/5 ( 1
2
1 4 2 ) x4 2 und x5 1
Rechtskrümmung in [-2;1] , Linkskrümmung in ]-∞; -2] und [1;∞[
4. a) Rechtskrümmung in ]-∞;1[, Linkskrümmung in ]1;∞[ ; Wendepunkt ≈ (1 / -2,2)
b)
x x x
f´(x) 0,4 1e (x 3) e 0,4 x 2 e und
x x
f´´(x) 0,4 1 (x 2) e 0,4 (x 1) e also f´´(x) 0 x 1
f´´(x) 0 x 1 also Rechtskrümmung in ]-∞;1[ und Linkskrümmung in ]1;∞[
Wendepunkt (1 / f(1) ) ≈ (1 / -2,175)
b
0
0
1
x