Aufgaben zur Kurvendiskussion

Lösungen zu „Übungsaufgaben für den LK Mathematik * Kurvendiskussion“
1. a) Df = R \{ − 3 ; 3} ; Nullstellen : x1 = 0 , x2/ 3 = ± 2
b)
x→ ±∞ x→ − 3 ± 0 x→ 3 ± 0
c)
lim f (x) = ± ∞ ; lim f (x) = ∞ und lim f (x) = ∞
senkrechte Asymptoten : x = − 3 und x = 3
schräg liegende Asymptote : y = x (für x → ± ∞ )
4 2
x − 5x + 12
f ´(x) =
;
2 2
(x − 3)
4 2 2 2
f ´(x) = 0 ⇔ x − 5x + 12 = 0 ⇔ u − 5u + 12 = 0 (mit u = x )
2
aber u − 5u + 12 = 0 hat keine Lösung wegen D = 25 − 4⋅ 12 < 0 , also gibt es
keine Stelle mit waagrechter Tangente.
2. a) Dg = R ; Nullstelle : x1 = 0 ; g( − x) = − g(x) d.h. Gg ist punktsymmetr.
b) lim f (x) = ± ∞
x→
±∞
;
1
schräg liegende Asymptote : y = ⋅ x (für x → ± ∞ )
2
4 2
2x − 7x + 5
c) g´(x) = 2 2
(2x + 1)
; g´(x) = 0 ⇔
2 2
2u − 7u + 5 = 0 mit u = x ⇔
5
10
2 2
2
2u − 7u + 5 = 0 ⇔ u1 = und u2 = 1 d.h. x1/ 2 = ± und x3/ 4 = ± 1
HOP (1/ 2) , TIP (
10 5 10
/ ) und HOP ( −
2 8
10 5 10
/ − ) , TIP ( −1/ − 2)
2 8
1 9x
g(x) − ⋅ x =
2 4x + 2
und für a ≥ 1 gilt
d) 2
∞ ∞ ∞
9x 9x 1
dx ≥ dx = dx ≥ ln ∞ = ∞
4x + 2 9x x
2 2
a a a
+ 1
3. a) Df = R \{ ; e}
e
; es gibt keine Nullstellen .
lim f (x) = − 1 also waagrechte Asymptote y = − 1 ;
b)
x→
+∞
¡ ¡ ¡
lim f (x) = ± ∞ und lim f (x) = ∞
−1 x→ e ± 0
x→ e± 0
1
senkrechte Asymptoten : x =
e
und x = e
4 ln (x)
c) f ´(x) = 2 2
x ⋅(1 − ln (x) )
und f ´(x) = 0 ⇔ ln (x) = 0 ⇔ x1 = 1
( )
f ´ ändert bei x1 = 1 das Vorzeichen von - auf + , d.h. Gf hat bei x1 den
Tiefpunkt TIP ( 1 / 1 ).