Arbeitsblatt zum Heron-Verfahren

Mathematik * Jahrgangsstufe 9
Das Heron-Verfahren zur Ermittlung der Quadratwurzel von a
Wie berechnet man möglichst schnell die Wurzel einer Zahl a > 0 ?
Nehmen wir den Fall a = 10 .
Wie bestimmt der Taschenrechner den Wert 10 3,16227766... ?
Auch ohne Taschenrechner sieht man sofort
3 < 10 < 4 , denn
2 2
3 = 9 < 10 < 16 = 4
Durch geeignetes Suchen und Rechnen findet man die nächste Dezimalstelle von 10
3,1 < 10 < 3,2 , denn
2 2
3,1 = 9,61 < 10 < 10, 24 = 3,2
Um die nächste Dezimalstelle von 10 zu finden, muss man sich schon mehr anstrengen.
3,16 < 10 < 3,17 , denn
2 2
3,16 = 9,9856 < 10 < 10,0489 = 3,17
Einen wesentlich schnelleren und effektiveren Weg zum Ermitteln der Dezimalbruchentwicklung
von 10 = 3,16227766... liefert das so genannte Verfahren von Heron.
Die Idee für diese Berechnung von Quadratwurzeln ist schon sehr alt und wird nach dem
griechischen Mathematiker und Ingenieur Heron von Alexandria (1. Jh. N. Chr.) benannt.
Das Heron-Verfahren war aber schon 2000 Jahre früher den Babyloniern bekannt.
Wir beginnen mit einer natürlichen Zahl x1 , die in der Nähe der Quadratwurzel a liegt und
berechnen anschließend der Reihe nach immer nach dem gleichen Schema Brüche, die sich
der gesuchten Wurzel immer genauer annähern.
Wähle eine natürliche Zahl x1
Wenn wir z.B. 10 berechnen wollen, so beginnen wir z.B. mit x1 =
¡ ¢ £ ¤
3
10 10 9 10 19
x = x + : 2 = 3 + : 2 = = ≈ 3,16666666...
x 3 3 2 6
¡ ¢ ¡ ¢ £ ¤ £ ¤
¢
¥
⋅
¥ ¦ ¥ ¦ ¦
⋅
¡ ¢ £ ¤ £ ¤
⋅ ¡ ¦ ¥ ¤ £ ¤ £ ¦ ¥
¢ ¡ ¤ £ ¢
+
usw.
2 1
1
⋅ £ ¤ £ ¤ ¥ ¦ ¥ ¦ ¡ ¢ ¡ ¢
¤ £
a und berechne dann
a a a
x = x + : 2 und dann x = x + : 2 und dann x = x + : 2
2 1 3 2 4 3
x1 x2 x3
10 19 10 19 19+ 10⋅ 6⋅ 6 721
x3 = x 2 + : 2 = + : 2 = = ≈ 3,162280702....
x 19
2 6 6 19⋅ 2 228
6
10 721 10 721 721+ 10⋅ 228⋅ 228 1039681
x4 = x 3 + : 2 = + : 2 = = ≈ 3,16227766....
x 721
3 228 228⋅ 721⋅ 2 328776
228 ¥ ¦ ¤ £ ¤ £ ¦ ¥ ¤ £ ¤ £
Der Vergleich mit dem Taschenrechnerwert 10 = 3,16227766.... zeigt, dass das Heron-
Verfahren sehr schnell gute Näherungswerte für die Quadratwurzel liefert.

Graphische Veranschaulichung des Heron-Verfahrens am Beispiel 6
Im Bild wird veranschaulicht, wie
man mit dem Heron-Verfahren die
Wurzel von a = 6 berechnet.
a
Der Graph der Funktion f mit f (x) =
x
6
[ bei uns also f (x) = ]
x
wird von der Winkelhalbierenden
des ersten Quadranten genau im
Punkt ( 6 ; 6 ) geschnitten, denn
6
f ( 6 ) = = 6
6
y
y2
y1
5
4
3
2
1
-1 1 2 3 4 5
-1
f(x) = 6 / x
Die Parallelen zu den beiden Achsen vom Punkt ( 6 ; 6 ) aus bilden zusammen mit den
Achsen ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 6 ⋅ 6 = 6 .
Wir nähern uns dem noch unbekannten Wert von
Wert x1 beginnen, z.B. x1 = 4 .
6 , indem wir mit einem beliebigen
Wir berechnen y1 = f (x 1)
6
=
x
6
= =
4
3
; nun gilt x1 ⋅ y1 = 6 und ersichtlich ist x1 größer
2
1
als 6 und y1 kleiner als 6 .
Im Diagramm sehen wir ein Rechteck mit den Seiten x1 und y1 und dem Flächeninhalt 6.
Der gesuchte Wert für 6 liegt also zwischen y1 und x1 .
Deshalb bilden wir den Mittelwert von x1 und y1 und nennen ihn x2. Der Wert von x2 liegt
sicher dichter am Wert von 6 als der Wert von x1 und es gilt: ¢ £ ¤ ¡
6 11
6 6⋅ 4 24
x = ( x + y ) : 2 = x + : 2 = ... = = 2,75 ( y2 = = = = 2,1818... )
x 4
x 11 11
2 1 1 1
.
1¦
¥
Also gilt nun y2 = 2,1818... < 6 < 2,75 = x2
. Wir sind aber noch nicht zufrieden!
Wieder bilden wir den Mittelwert von x2 und y2 und erhalten einen besseren Wert x3. ¤ £ ¢ ¡
6 217
x = x + : 2 = ... = = 2,4659...
x 88
3 2
2¦
¥
Wenn wir die Rechenschritte wiederholen, dann kommen wir dem Wert von 6 immer näher. ¢ £ ¤ ¡
6 93553
x = x + : 2 = ... = = 2,4495...
x 38192
4 3
und
3 ¡ ¢ £ ¤ ¦ ¥
5 4
(vgl.
4¦
¥
6 17503936993
x = x + : 2 = ... = ≈ 2, 449489743
x 7145952352
2
x 3
x 2
x 1
6 ≈ 2,449489743 )
Schon nach 5 Schritten haben wir mit diesem Iterationsverfahren 6 sehr genau bestimmt.
Aufgabe:
Bereche nach dem Heron-Verfahren 5 , 4 und 3 und vergleiche mit dem TR-Wert!
x