Zur Angemessenheit von Optionspreisen - ESCP Europe

ESCP-EAP Working Paper
Nr. 4
Dezember 2003
Zur Angemessenheit von Optionspreisen
Ergebnisse einer empirischen Überprüfung
des Black/Scholes-Modells
Ulrich Pape
Andreas Merk
Autoren: Herausgeber:
Prof. Dr. Ulrich Pape ESCP-EAP
Dipl.-Kfm. Andreas Merk Europäische Wirtschaftshochschule Berlin
Lehrstuhl für Finanzierung und Heubnerweg 6
Investition 14059 Berlin
ESCP-EAP Deutschland
Europäische Wirtschaftshochschule Berlin T: ++49(0)30 / 32007 147
Heubnerweg 6 F: ++49(0)30 / 32007 108
14059 Berlin workingpaper-berlin@escp-eap.net
Deutschland www.escp-eap.de
T: ++49(0)30 / 32007 134
F: ++49(0)30 / 32007 110
upape@escp-eap.net
ISSN 1619-7658

Zusammenfassung: Die kontroverse Diskussion hinsichtlich der Bilanzierung aktienbasierter
Vergütungsregelungen verweist auf die unverändert hohe praktische
Bedeutung der Optionsbewertung. Nach dem Standardentwurf des IASB zur Bilanzierung
aktienbasierter Vergütungen sollen Aktienoptionen erfolgswirksam erfasst
werden, wobei der Wert dieser Optionen mittels anerkannter Optionsbewertungsmodelle
ermittelt werden soll, sofern kein Marktwert existiert. Die Frage nach der Angemessenheit
der mit Bewertungsmodellen wie dem Black/Scholes-Modell berechneten
Optionspreise ist insofern von herausragendem Interesse für die empirische
Kapitalmarktforschung. Probleme beim Vergleich von theoretischen Optionspreisen
mit realisierten Marktpreisen entstanden in der Vergangenheit vor allem aufgrund der
unzureichenden Datenbasis. So nutzen einschlägige empirische Studien überwiegend
Aktien-Schlusskurse, um die theoretischen Optionspreise zu berechnen. Diese
rechnerischen Optionspreise werden den im Laufe des Tages beobachteten Optionspreisen
gegenübergestellt, die sich allerdings mehrheitlich nicht auf die Aktien-
Schlusskurse beziehen. Folglich kommen die Studien zu widersprüchlichen Ergebnissen.
Angesichts dieser Problematik nutzt die vorliegende Arbeit sekundengenaue
Daten, um die Marktpreise von 1.250 Optionsnotierungen der drei liquidesten deutschen
Aktien mit den korrespondierenden theoretischen Optionspreisen zu vergleichen.
Nach den Ergebnissen unserer Untersuchung liefert das Black/Scholes-Modell
systematische Fehlbewertungen hinsichtlich Laufzeit und Ausübungspreis. Zusätzlich
gibt es Indizien dafür, dass der deutsche Optionsmarkt nicht vollkommen effizient ist.
Schlüsselwörter: Optionsbewertung, Optionspreistheorie, Black/Scholes-Modell,
Kapitalmarkteffizienz, empirische Kapitalmarktforschung, aktienbasierte Vergütungen,
Bilanzierung von Aktienoptionen
Abstract: This study examines whether the underlying assumptions of the Black/
Scholes model to price European stock options hold in reality. For this purpose we
calculate the theoretical values of 1,250 options under the Black/Scholes assumptions
and compare them with market prices. The input for calculating the option
prices is most accurate as we attribute each option the exact share price at the very
moment of trading. We find that the Black/Scholes model systematically misprices
options with respect to exercise price and time to maturity. The study also examines
the efficiency of the German option market.
Key Words: Option pricing, Black/Scholes model, efficient capital markets, empirical
capital market research, stock option plans, stock option valuation

III
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung .................................................................................................... 1
2. Das Black/Scholes-Modell ......................................................................... 2
3. Empirische Studien zum Black/Scholes-Modell...................................... 4
4. Kritische Diskussion der Modellprämissen ............................................. 8
5. Empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells ............................ 9
5.1 Beschreibung der Daten ............................................................................... 9
5.2 Explorative Datenanalyse............................................................................ 11
5.3 Überprüfung der Modellprämissen .............................................................. 12
5.4 Methodik zur Modellüberprüfung................................................................. 13
5.5 Resultate der Modellüberprüfung ................................................................ 14
5.5.1 Wahrscheinlichkeit von Fehlbewertungen ........................................ 14
5.5.2 Höhe von Fehlbewertungen ............................................................. 16
5.5.3 Statistischer Test der Nullhypothese ................................................ 18
5.5.4 Indizien für die Ineffizienz des Optionsmarktes ................................ 19
5.6 Zur Bilanzierung von Aktienoptionen nach ED 2......................................... 20
6. Fazit............................................................................................................ 21

IV
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Sensitivitätsanalyse des Optionspreises ............................................ 3
Abbildung 2: Einordnung des Black/Scholes-Modells in die Literatur...................... 7
Abbildung 3: Negative Korrelation von DAX und Volatilität ..................................... 9
Abbildung 4: Dichtefunktion des DAX.................................................................... 11
Abbildung 5: Quantil-Quantil-Diagramm des DAX................................................. 11
Abbildung 6: Theoretische versus empirische logarithmierte Dichtefunktion
des DAX ........................................................................................... 12
Abbildung 7: Volatilität des DAX............................................................................ 12
Abbildung 8: Abweichungen der rechnerischen Optionspreise von den
Marktpreisen..................................................................................... 14
Abbildung 9: Wahrscheinlichkeiten für Über- bzw. Unterbewertungen.................. 15
Abbildung 10: Wahrscheinlichkeit der Überbewertung in Abhängigkeit von
Laufzeit und Ausübungspreis ........................................................... 16
Abbildung 11: Abweichungen zwischen rechnerischen Optionspreisen und
Marktpreisen..................................................................................... 17
Abbildung 12: Höhe der durchschnittlichen Überbewertung in Abhängigkeit von
Laufzeit und Ausübungspreis ........................................................... 18
Abbildung 13: Unterschiedliche Marktpreise trotz Quasi-Konstanz der Parameter . 19

V
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis
C Preis der Call-Option
CAPM Capital Asset Pricing Model
CEV Constant Elasticity of Variance
DAX Deutscher Aktienindex
∆ Delta (Veränderung)
e Basis des natürlichen Logarithmus
ED Exposure Draft
H0
Nullhypothese
H-Statistik Kruskal-Wallis-Test
IASB International Accounting Standards Board
IFRS International Financial Reporting Standards
ln Natürlicher Logarithmus
n Anzahl
N(.) Kumulative Normalverteilungsfunktion (
1
∫ e
−∞
2π
P Wahrscheinlichkeit
p-Wert statistische Signifikanz
r sicherer Anlagezinssatz
ρ Spearman-Pearsonscher Korrelationskoeffizient
S Aktienkurs
σ konstante Volatilität des Aktienkurses
sec. Sekunden
T Laufzeit
U-Statistik Mann-Whitney-Test
WPI Wertpapierinformationssystem
W-Statistik Wilcoxon-Rank-Test
X Ausübungspreis
1
x − y
2
2
dy )

1. Einleitung
- 1 -
Die kontroverse Diskussion hinsichtlich der Bilanzierung aktienbasierter Vergütungsregelungen
verweist auf die unverändert hohe praktische Bedeutung einer korrekten
Optionsbewertung. 1 Der Standardentwurf des IASB zur Bilanzierung aktienbasierter
Vergütungen sieht in diesem Zusammenhang vor, Aktienoptionen erfolgswirksam zu
erfassen, 2 so dass das Bewertungsergebnis einen direkten Einfluss auf die Darstellung
der unternehmerischen Ertragslage hat. Sofern kein Marktwert existiert, soll der
Wert dieser Optionen mit anerkannten Optionsbewertungsmodellen wie beispielsweise
dem Black/Scholes-Modell ermittelt werden. 3 Vor diesem Hintergrund stellt
sich die Frage nach der Angemessenheit der mit dem Black/Scholes-Modell ermittelten
theoretischen Optionspreise.
Die Bewertung von Optionen ist seit über einhundert Jahren ein zentraler Gegenstand
der Finanzierungsliteratur. Bereits im Jahr 1900 legte Bachelier durch seine
Feststellung, dass der stochastische Prozess von Aktienkursen zufällig ist, den
Grundstein für alle folgenden analytischen Modelle. 4 Optionsbewertungsmodelle
können differenziert werden in analytische Modelle (Bachelier (1900), Black/Scholes
(1973)), numerische Modelle (Boyle (1977)), Differenzialmodelle (Schwartz (1977)
und Courtadon (1982)) sowie Binomialmodelle (Cox/Ross/Rubinstein (1979) und
Ho/Lee (1986)). Mittlerweile hat sich das auf Arbitrage-Argumenten aufbauende
Black/Scholes-Modell als Standardverfahren zur Optionsbewertung durchgesetzt. 5
Die große Beliebtheit und weite Verbreitung des Black/Scholes-Modells rühren
daher, dass vier der fünf zur Optionspreisberechnung erforderlichen Variablen
unmittelbar beobachtet werden können – lediglich die zukünftige Standardabweichung
der Aktienkurse muss geschätzt werden. 6 Andererseits erwecken die restriktiven
Prämissen des Black/Scholes-Modells Zweifel an der generellen Eignung des
Modells zur Bewertung von Optionen.
Eine empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells kann durch den Vergleich
der theoretischen Optionspreise mit den tatsächlich an der Börse realisierten
Optionspreisen erfolgen. Bislang existieren erst relativ wenige empirische Studien zur
Überprüfung des Black/Scholes-Modells (Black/Scholes (1972), MacBeth/Merville
(1980), Beckers (1980), Ball/Torous (1985), Rubinstein (1985)). Daher bestehen –
trotz aller theoretischen Fortschritte – noch erhebliche Lücken hinsichtlich der empirischen
Erkenntnisse zum Black/Scholes-Modell. Problematisch sind beispielsweise
die widersprüchlichen Ergebnisse der bisherigen empirischen Studien, die nicht
1
Vgl. z. B. Döring (2003), S. 8; Kuckelkorn (2003) S. 1; Becker (2003), S. 11; Merk (2003a), S. 8;
Merk (2003b), S. 11 sowie Schildbach (2003), S. 893-898.
2
Siehe IASB (2002a).
3
ED 2.19 anerkennt, dass in der Regel für aktienbasierte Vergütungen keine Marktwerte existieren.
Für die Bestimmung des Optionswertes werden in ED 2.20 explizit das Black-Scholes-Modell sowie
das Binomialmodell genannt. Vgl. IASB (2002a).
4
Vgl. Bachelier (1900), S. 21-86; Bacheliers Formel enthält allerdings auch unrealistische Annahmen
wie beispielsweise die Existenz negativer Aktienkurse.
5
Vgl. Rubinstein (1985), S. 455 sowie IASB (2002b), S. 76.
6
Siehe zu den fünf Variablen Black/Scholes (1973), S. 644; zur Popularität des Modells siehe Black
et al. (1992), S. 21.

- 2 -
zuletzt aus der teilweise unzureichenden Datenbasis dieser Studien resultieren. So
bemängelt Rubinstein beispielsweise die geringe Aussagekraft von Untersuchungen,
die theoretische Optionspreise auf Basis von Aktien-Schlusskursen berechnen und
diese Optionswerte dann mit variablen Optionspreisen vergleichen. 7 Mit Bezug auf
die Daten der vorliegenden Untersuchung lässt sich diese Kritik verdeutlichen: für
einen September-Call (at-the-money) auf die Deutsche Bank ergab sich z. B. am
24.7.2002 um 16:02 Uhr 4 sec. unter Verwendung des zeitgleichen Aktienkurses ein
rechnerischer Optionspreis von 4,59 Euro, während der theoretische Optionspreis
auf Schlusskursbasis bei 8,71 Euro lag. Angesichts der teilweise erheblichen innertäglichen
Aktienkurs-Schwankungen greifen wir daher die Kritik von Rubinstein auf
und verwenden zur Überprüfung des Black/Scholes-Modells variable, sekundengenaue
Options- und Aktiennotierungen.
2. Das Black/Scholes-Modell
1973 leiteten Fischer Black und Myron Scholes ihre Formel zur Bewertung europäischer
Call-Optionen ab. 8 Das Black/Scholes-Modell basiert auf Arbitrageüberlegungen.
Hierzu wird die zugrunde liegende Aktie gekauft, während gleichzeitig so viele
Call-Optionen verkauft werden, dass das Portfolio von Änderungen des Aktienkurses
unabhängig wird (Delta-neutrale Position). 9 Das Duplikationsportfolio ist risikofrei und
besteht ausschließlich aus Zerobonds. Im Marktgleichgewicht kann ein abgesichertes
Portfolio (Hedge) daher keine höhere Rendite generieren als die Verzinsung risikofreier
Anlagen. Folglich muss sich ein Optionspreis ergeben, der den Marktteilnehmern
keine Arbitragemöglichkeit bietet. 10 Nach dem Black/Scholes-Modell errechnet
sich der Optionspreis, der keine Arbitrage zulässt, folgendermaßen:
C
N(.)
E
S
2
⎛
⎞
⎜
⎛ S ⎞ ⎛ σ ⎞
ln⎜
⎟ + ⎜r
+ ⎟T
⎟
⎜ ⎝ X ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟
C = S⋅N
⎜
⎟ − X⋅
e
⎜
σ T
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
= Preis der Call Option
= kumulative Normalverteilungsfunktion
= Basis des natürlichen Logarithmus
= Aktienkurs
−rT
X
T
r
σ 2
2
⎛
⎞
⎜
⎛ S ⎞ ⎛ σ ⎞
ln⎜
⎟ + ⎜r
− ⎟T
⎟
⎜ ⎝ X ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟
⋅N
⎜
⎟
⎜
σ T
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
= Ausübungspreis
= Restlaufzeit
= risikoloser Zinssatz
= konstante Varianz des Aktienkurses
7
Vgl. Rubinstein (1985), S. 456f.
8
Vgl. Black/Scholes (1973), S. 637-659.
9
Vgl. Hull (2000), S. 311 und Black/Scholes (1973), S. 641; siehe ähnlich auch Mason in Black et al.
(1992), S. 33.
10
Vgl. Black/Scholes (1972), S. 400; den Beweis, zur Duplizierung der Auszahlungsströme einer
Option mit dem Basiswert und der risikolosen Anlage siehe auch Merton (1973).

- 3 -
Die Höhe des Optionspreises ist von den folgenden fünf Variablen abhängig:
1. dem Aktienkurs (S),
2. dem Ausübungspreis (X),
3. der Restlaufzeit (T),
4. dem risikolosen Zinssatz (r) und
5. der Varianz des Aktienkurses (σ 2 ).
Mit Ausnahme der Erwartung des Marktes hinsichtlich der zukünftigen Aktienvolatilität
(σ) während der Laufzeit der Option können die Variablen direkt beobachtet werden.
11 Im Gegensatz zu anderen Bewertungsmodellen wie z. B. dem Capital Asset
Pricing Model (CAPM) üben die Risikoeinstellung des Investors sowie die erwartete
Aktienrendite keinen Einfluss auf den Optionspreis aus, weil die in der Black/Scholes-
Gleichung verwendeten Variablen unabhängig von Risikopräferenzen sind. 12 Der
Optionspreis hängt damit lediglich von der durchschnittlichen Höhe der Aktienkursschwankungen
(Volatilität) ab, nicht aber von der Richtung dieser Schwankungen.
Abbildung 1: Sensitivitätsanalyse des Optionspreises
In Abbildung 1 ist dargestellt, wie stark der rechnerische Optionspreis ceteris paribus
auf die Änderung einer Variablen (∆S, ∆σ, ∆T, ∆r) reagiert. Ausgangspunkt ist eine
11 Vgl. Schmalensee/Trippi (1978), S. 129.
12 Zum CAPM siehe Sharpe (1964), S. 425-442 sowie Lintner (1965), S. 613-637.

- 4 -
Call-Option mit einem Ausübungspreis von 65 Euro und einer Restlaufzeit von 122
Tagen. Der aktuelle Kurs der zugrunde liegenden Aktie beträgt 50 Euro, die
geschätzte Volatilität des Aktienkurses 58% und der risikofreie Zinssatz 4,0%. Nach
dem Black/Scholes-Modell hat diese Option einen rechnerischen Wert von 2,50 Euro.
Der Zinssatz übt nur einen geringen Einfluss auf den Optionspreis aus: In dem vorliegenden
Beispiel sinkt der Optionspreis selbst bei einem Zinssatz von 0% nur von
2,50 Euro auf 2,35 Euro, während der Optionspreis bei einem Zinssatz von 10%
lediglich auf 2,74 Euro ansteigt. 13 Bei Änderungen der anderen Variablen reagiert der
Optionspreis demgegenüber deutlich stärker. Allerdings lässt sich die mit der Sensitivitätsanalyse
verbundene Ceteris-paribus-Annahme angesichts der Interdependenzen
zwischen den einzelnen Variablen nicht aufrecht erhalten. So induziert beispielsweise
ein sinkender Aktienkurs (d. h. ceteris paribus ein sinkender Optionspreis) in
der Regel eine höhere Volatilität (d. h. ceteris paribus einen steigenden Optionspreis),
löst also diametral entgegengesetzte Effekte auf den Optionspreis aus.
3. Empirische Studien zum Black/Scholes-Modell
Angesichts der mit den Annahmen des Black/Scholes-Modells verbundenen Anwendungsprobleme
wurde das Modell bereits frühzeitig empirischen Tests unterzogen.
Darüber hinaus finden sich in der einschlägigen Literatur alternative Modelle zur
Optionsbewertung. Die erste empirische Überprüfung erfolgte durch die Begründer
des Modells selbst – noch vor Veröffentlichung ihrer Formel. 14 In ihrer Untersuchung
vergleichen Black/Scholes theoretisch errechnete Optionspreise mit Over-thecounter-Optionspreisen.
Als Schätzung für die künftige Volatilität verwenden sie die
historische Volatilität und halten diese ebenso wie den kurzfristigen Zinssatz auf
Basis sechsmonatiger Commercial Papers über die Laufzeit konstant. Ihre Schlussfolgerung
lautet, dass das Black/Scholes-Modell
1. Aktien mit einer hohen (geringen) Volatilität überbewertet (unterbewertet),
2. Out-of-the-money-Optionen unterbewertet bzw. In-the-money-Optionen überbewertet
3. Optionen mit einer Laufzeit von weniger als drei Monaten überbewertet.
Die Aussagekraft der Ergebnisse leidet allerdings darunter, dass die Zeitgleichheit
von Optionspreis und zugeordnetem Aktienkurs nicht gewährleistet ist. Black/Scholes
vergleichen die Optionspreise eines Händlerbuches mit den Schlusskursen der
zugrunde liegenden Aktien, obwohl sich die Over-the-counter-Optionspreise nicht
zwingend auf die Aktien-Schlusskurse beziehen. 15
13 Siehe auch Cox/Ross (1976), S. 145-166 sowie MacBeth/Merville (1979), S. 1174.
14 Vgl. Black/Scholes (1972), S. 399-417 sowie Black (1975), S. 36-72.
15 Diese Problematik wird erstmals von Rubinstein (1985) thematisiert.

- 5 -
Im Vergleich zu Black/Scholes gelangen MacBeth/Merville zu diametral entgegengesetzten
Ergebnissen. 16 Sie schlussfolgern, dass
1. das Black/Scholes-Modell In-the-money-Optionen unterbewertet und Out-of-themoney-Optionen
überbewertet 17 , und dass
2. die Unterbewertung (Überbewertung) umso größer ausfällt, je mehr die Option inthe-money
(out-of-the-money) liegt. Mit Verkürzung der Restlaufzeit nimmt die
Fehlbewertung ab. Von dieser Gesetzmäßigkeit ausgenommen sind In-themoney-Optionen
mit weniger als 90 Tagen Restlaufzeit.
MacBeth/Merville berücksichtigen in ihrer Untersuchung Dividenden und aktualisieren
darüber hinaus den risikofreien Zinssatz wöchentlich, wobei die Autoren jedoch
konzedieren, dass die wöchentliche Aktualisierung des Zinssatzes aufgrund der
geringen Sensitivität für die Höhe des Optionspreises nicht erforderlich gewesen
wäre. In jedem Fall leidet die Studie von MacBeth/Merville ebenso wie diejenige von
Black/Scholes unter der Verwendung von Aktien-Schlusskursen. Da die Mac-
Beth/Merville-Studie Optionen auf lediglich sechs verschiedene Aktien einbezieht,
kritisiert Beckers deren fehlende Repräsentativität. 18 Hierzu bemerkt Rubinstein
jedoch, dass ohnehin nahezu alle Aktien die gleichen Resultate hervorbringen, so
dass die Repräsentativität auch mit sechs Aktien gewährleistet sei. 19
In einem Vergleich des Black/Scholes-Modells mit dem Modell von Merton (1976)
stellen Ball/Torous fest, dass die Abweichungen zwischen beiden Modellen für Outof-the-money-Optionen
am größten und für In-the-money-Optionen am geringsten
sind. 20 In einer weiteren Studie kommt Beckers (1980) zu dem Ergebnis, dass das
Black/Scholes-Modell In-the-money-Optionen niedriger bewertet als das von
Cox/Ross (1976) entwickelte Constant-Elasticity-of-Variance-Modell (CEV-Modell),
während Out-of-the-money-Optionen höher bewertet werden als im CEV-Modell. 21
Das CEV-Modell modifiziert die Volatilität durch eine zum Aktienkurs inverse Funktion,
so dass die Volatilität mit steigendem Aktienkurs sinkt und mit sinkendem
Aktienkurs steigt. 22 Somit trägt das CEV-Modell der empirisch belegten negativen
Korrelation zwischen Aktienkurs und Volatilität Rechnung. 23
Die Studie von Rubinstein (1985) geht in Umfang und Datenpräzision erheblich über
die vorangegangenen Arbeiten hinaus. Als erste Untersuchung ordnet Rubinstein
den beobachteten Optionspreisen exakt zeitgleiche Aktienkurse zu. Da sich die beiden
für die Überprüfung der rechnerischen Optionspreise notwendigen Kursdaten auf
den gleichen Zeitpunkt beziehen, wird das Black/Scholes-Modell durch Rubinstein
erstmals auf Basis vergleichbarer Daten überprüft. Die Ergebnisse werden mittels
16 Vgl. MacBeth/Merville (1979), S. 1173-1186.
17 Vgl. MacBeth/Merville (1980), S. 287.
18 Vgl. Beckers (1980), S. 669.
19 Vgl. Rubinstein (1985), S. 478.
20 Vgl. Ball/Torous (1985), S. 171.
21 Vgl. Beckers (1980), S. 670.
22 Vgl. Cox und Ross (1976), S. 145-166. Das CEV-Modell definiert die Varianz der prozentualen
Aktienkursveränderung als:
2
σ
2−α
23 Vgl. z. B. MacBeth/Merville (1980), S. 299.
S
.

- 6 -
nichtparametrischer Tests ausgewertet. Rubinstein kommt zu dem Ergebnis, dass
das Black/Scholes-Modell Out-of-the-money-Optionen mit kurzer Laufzeit relativ zu
At-the-money-Optionen mit mittlerer Laufzeit überbewertet. 24
Latané/Rendleman (1976) sehen schließlich einen möglichen Grund für die Abweichungen
zwischen theoretischen und tatsächlichen Optionspreisen in der unterschiedlichen
Bedeutung der Volatilität für verschiedene Ausübungspreise. Wenn die
Prämissen des Black/Scholes-Modells erfüllt und der Optionsmarkt effizient wäre,
würden sämtliche Optionen auf eine bestimmte Aktie mit der gleichen monatlichen
Standardabweichung bewertet. Dies ist jedoch selbst in einem annähernd effizienten
Markt nicht wahrscheinlich, 25 da verschiedene Optionen in unterschiedlichem Maße
von der exakten Spezifizierung der Standardabweichung abhängig sind. Bei Optionen,
die tief im Geld liegen und nur noch eine geringe Restlaufzeit haben, spielt die
Höhe der Standardabweichung kaum eine Rolle, da die Ausübung praktisch sicher
ist. Für die Bewertung von Optionen, bei denen die Ausübung sehr unsicher ist, ist
die exakte Höhe der Standardabweichung jedoch von großer Bedeutung.
Die nachfolgende Abbildung 2 gibt einen Überblick über die Literatur zur empirischen
Überprüfung des Black/Scholes-Modells sowie zu alternativen Optionspreismodellen.
26
24 Vgl. Rubinstein (1985), S. 455.
25 Vgl. Latané/Rendleman (1976), S. 371.
26 An dieser Stelle werden nur die analytischen Modelle betrachtet und keine eigenständigen numerischen
Modelle wie die Monte-Carlo-Simulation (Boyle (1977)), Differenzialmodelle (Schwartz (1977)
und Courtadon (1982)) oder Binomialmodelle (Cox/Ross/Rubinstein (1979) und Ho/Lee (1986)).

Zeit
1990
1985
1982
1980
1976
1973
1900
Analytische Modelle und
wesentliche Verbesserungen
Jarrow/Rudd (1982)
Einführung von Korrekturfaktoren zur Behebung
von Schiefe und Kurtosis der wahren Aktienkursveränderung
Cox/Ross (1976)
Konstantes Varianzelastizitätsmodell: Die
Varianz ist selbst ein stochastischer Prozess
Folge: Berücksichtigung der negativen
Korrelation zwischen Aktienkurs und Volatilität;
indirekte Kritik an konstanter Volatilität im
Black/Scholes Modell
Black/Scholes (1973)
Optionspreis in Abhängigkeit von fünf Variablen
Risikoeinstellung von Investoren ohne
Bedeutung
Restriktive Annahmen, insbesondere Log-
Normalverteilung und konstante Volatilität
Bachelier (1900)
Stochastischer Prozess von Aktienkursen
Aktueller Preis ist beste Schätzung für
künftigen Aktienkurs
Theoretische und empirische Untersuchungen
zum Black/Scholes-Modell
Black (1990)
Stärkere Gewichtung aktueller Volatilitäten
Problem: Kompromiss zwischen historischer
Datenlänge und Relevanz neuerer Volatilitäten
Beckers (1980)
Unterbewertung von In-the-money-Optionen
durch Black/Scholes relativ zum CEV-Modell
Überbewertung von Out-of-the-money-Optionen
durch Black/Scholes relativ zum CEV-Modell
MacBeth/Merville (1979)
Unterbewertung von In-the-money-Optionen
durch Black/Scholes
Überbewertung von Out-of-the-money-Optionen
durch Black/Scholes
Problem: Weiterhin restriktive Annahmen;
Studie auf Schlusskursbasis von sechs Aktien
Ingersoll (1976)
Einführung von Dividendensteuern
Folge: relative Verteuerung von Optionen
Merton (1976); auch Ball/Torous (1985)
Sprünge in Aktienkursen: implizite Kritik an der
Black/Scholes Annahme der Stetigkeit
Dividenden vermindern Wert der Option
Merton (1973)
Stochastischer Prozess von Zinsen
Abbildung 2: Einordnung des Black/Scholes-Modells in die Literatur
Rubinstein (1985)
Verwendung variabler Aktienkurse und explizite
Kritik an bisherigen empirischen Studien wegen
unpräzisen Dateninputs
MacBeth/Merville (1980)
Negative Korrelation zwischen Aktienkurs und
Volatilität infolge technologischer Verbesserungen
und Mergers & Acquisitions
Implizite Volatilität variiert systematisch für Unterschiede
in Restlaufzeit und Ausübungspreis
Problem: Geringer Datenumfang
Latané/Rendleman (1976)
Berechnung der impliziten Volatilität statt
Schätzung aus historischen Daten
Problem: Verwendung von Schlusskursen
Merton (1976)
Unterbewertung aller nicht At-the-money-
Optionen durch Black/Scholes
Black (1975)
Unterbewertung von Out-of-the-money-
Optionen durch Black/Scholes
Überbewertung von In-the-money-Optionen
durch Black/Scholes
Symbolbedeutung:
Widerspruch
Kritik an
(Pfeilspitze)

- 8 -
4. Kritische Diskussion der Modellprämissen
Zur Herleitung ihres Optionsbewertungsmodells treffen Black/Scholes die folgenden
Annahmen: 27
1. Kapitalaufnahme zum risikofreien Zinssatz, der über die Laufzeit der Option
konstant bleibt,
2. keine Dividendenzahlungen,
3. keine Steuern,
4. keine Transaktionskosten,
5. Möglichkeit des Leerverkaufs,
6. konstante Volatilität des Aktienkurses sowie
7. zufälliger und stetiger log-normaler Verlauf des Aktienkurses.
Angesichts der sehr geringen Sensitivität des Optionspreises auf die Höhe des Zinssatzes
ist Annahme (1) unbedenklich. 28 Annahme (2) kann relativ unproblematisch
aufgehoben werden, indem die während der Laufzeit fälligen Dividenden in die
Bewertungsformel einbezogen werden. 29 Entsprechendes gilt für Annahme (3), da
sich auch Steuern in die Black/Scholes-Formel integrieren lassen. 30 Durch Integration
von Transaktionskosten kann Annahme (4) ebenfalls aufgehoben werden.
Schließlich lässt sich nach der Modifikation von Merton (1976) auch ein unstetiger
Verlauf des Aktienkurses in das Modell integrieren. 31 Sieht man von der für das rechnerische
Ergebnis nicht relevanten Annahme (5) ab, so verbleiben die konstante
Volatilität und der log-normale Verlauf der Aktienkurse als restriktive Annahmen des
Modells.
Die Annahme der bekannten und konstanten Volatilität ist problematisch, da die
zukünftige Volatilität der Aktie zum Bewertungszeitpunkt nicht bekannt ist und da
zudem die Volatilität während der Restlaufzeit regelmäßig auch nicht konstant ist.
Nach empirischen Erkenntnissen ist die Volatilität vielmehr negativ mit dem Aktienkurs
korreliert (siehe beispielhaft Abbildung 3). 32
27
Vgl. Black/Scholes (1973), S. 640.
28
Vgl. Cox/Ross (1976), S. 145-166 sowie MacBeth/Merville (1979), S. 1174.
29
Vgl. Merton (1973), S. 141-183.
30
Vgl. Ingersoll (1976), S. 83-123.
31
Vgl. Merton (1976), S. 125-144.
32
Diesen Zusammenhang berücksichtigen Cox/Ross (1976) in ihrem CEV-Modell; siehe auch
MacBeth/Merville (1980), S. 299.

- 9 -
Abbildung 3: Negative Korrelation von DAX und Volatilität
ρ1.1.02-31.10.02 = -96,9%
n = 214 Handelstage
Abbildung 3 illustriert die negative Korrelation von Aktienkurs und Volatilität im Zeitraum
Januar bis Oktober 2002. 33 Die Berechnung des Spearman-Pearsonschen Korrelationskoeffizienten
(ρ) über zwei verschiedene Zeiträume ergibt zudem, dass die
Korrelation nicht konstant ist. Im Zeitraum Januar bis Oktober 2002 war die negative
Korrelation mit -0,97 fast perfekt (vgl. Grafik), während die Korrelation im Zeitraum
Oktober 1998 bis Oktober 2002 bei nur -0,70 lag.
Um auf die Annahme der konstanten Volatilität verzichten zu können, haben
Cox/Ross (1976), Geske (1979) und Rubinstein (1983) jeweils konkurrierende Alternativen
vorgeschlagen. 34 Die weiterhin verbleibende restriktive Annahme der lognormalen
Verteilung der Aktienkurse versuchen Jarrow/Rudd (1982) durch Erweiterung
der Formel um Korrekturfaktoren aufzuheben. 35
5. Empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells
Die beiden problematischen Modellprämissen sind die Annahmen der konstanten
Volatilität sowie der log-normalen Verteilung der Aktienkurse. Nachfolgend soll daher
untersucht werden, ob diese beiden Annahmen zu restriktiv sind, um das
Black/Scholes-Modell sinnvoll zur Bewertung von Optionen anwenden zu können.
5.1 Beschreibung der Daten
Eine wesentliche Schwäche bisheriger empirischer Studien zur Überprüfung des
Black/Scholes-Modells (z. B. MacBeth/Merville (1979), MacBeth/Merville (1980),
Beckers (1980)) liegt in der Verwendung von Schlusskursdaten. MacBeth/Merville
(1980) entnehmen sowohl die Optionspreise als auch die Aktienkurse für ihre Studie
33 Quelle: Deutsche Börse AG; eigene Berechnungen.
34 Vgl. Cox/Ross (1976), S. 145-166; Geske (1979), S. 63-81 bzw. Rubinstein (1983), S. 213-217.
35 Vgl. Jarrow/Rudd (1982), S. 347-369.

- 10 -
dem Wall Street Journal. Beckers (1980) gibt für die von ihm verwendeten Daten
keine Quelle an. 36
Optionspreise beziehen sich jedoch nicht zwingend auf den Schlusskurs der
zugrunde liegenden Aktie, denn Optionen werden ebenso wie Aktien kontinuierlich
gehandelt und Optionspreise sowie Aktienkurse ändern sich fortlaufend. 37 Die Verwendung
von Aktien-Schlusskursen zur Berechnung des theoretischen Optionspreises
stellt eine häufig vernachlässigte Fehlerquelle empirischer Studien zur Optionsbewertung
dar. Entsprechend bemängelt auch Rubinstein die Verwendung nicht
korrespondierender Daten: „Most empirical work designed to test [the Black/Scholes
model] has suffered from a number of deficiencies including (…) severe limitations
created by use of closing option and stock prices (…).” 38 Black bezieht sich ebenfalls
auf die Bedeutung variabler Options- bzw. Aktiennotierungen, wenn er als Fehlerquelle
bei der Überprüfung des Black/Scholes-Modells angibt: „The stock price may
be observed at a different time from the option price.“ 39 Basieren dagegen sowohl
Aktienkurse als auch Optionspreise auf variablen Notierungen, kann jeder Option
genau der zeitlich passende Aktienkurs zugeordnet werden. Bei der ausschließlichen
Verwendung von Aktien-Schlusskursen wird demgegenüber die tatsächliche Volatilität,
die sich aufgrund der innertäglichen Wertschwankungen ergibt, nicht berücksichtigt
und damit vermutlich unterschätzt. Somit wird das Ziel konterkariert, das
Black/Scholes-Modell auf Validität zu überprüfen.
In der vorliegenden Studie werden die Preise von 1.250 Call-Optionen auf die Aktien
von Deutscher Telekom, Siemens und Deutscher Bank analysiert. Diese drei Werte
haben einen Anteil von 30% am Deutschen Aktienindex (DAX), der die 30 bedeutendsten
und umsatzstärksten deutschen Aktien umfasst und ca. 70% der gesamten
Marktkapitalisierung inländischer börsennotierter Gesellschaften repräsentiert. 40 Die
drei untersuchten Aktienwerte machen damit rund ein Fünftel der Marktkapitalisierung
sämtlicher inländischen börsennotierten Gesellschaften aus. Der Untersuchungszeitraum
läuft vom 2. September bis 30. September 2002. In diesem Zeitraum
wurden bei Siemens 285, bei der Deutschen Telekom 451 und bei der Deutschen
Bank 514 Optionspreise analysiert. Insgesamt wurden somit die rechnerischen
Preise zu 1.250 Optionsnotierungen berechnet und mit den tatsächlich am Markt
zustande gekommenen Optionspreisen verglichen.
Um das zeitliche Auseinanderfallen von Optionspreis und Aktienkurs zu vermeiden,
werden sekundengenaue Aktien- und Optionsnotierungen verwendet, wobei jeder
Option der jeweils passende Aktienkurs zugeordnet wird. Sowohl die Optionsnotierungen
als auch die Aktienkurse stammen von der Deutschen Börse. Die variablen
Aktienkurse auf Xetra wurden über das Wertpapierinformationssystem (WPI) der
Börsen-Zeitung bezogen. Je nach Aktie und Handelsvolumen handelt es sich um ca.
5.000 bis 10.000 tägliche Kursnotierungen.
36 Vgl. MacBeth/Merville (1980), S. 287 sowie Beckers (1980), S. 663.
37 Vgl. Rubinstein (1985), S. 456f.
38 Rubinstein (1985), S. 456.
39 Black et al. (1992), S. 51.
40 Vgl. Deutsche Börse (2002), S. 3.

5.2 Explorative Datenanalyse
- 11 -
Für die Anwendung der korrekten Testverfahren ist es notwendig, die Eigenschaft
der zu untersuchenden Daten zu kennen, weil klassische Methoden der inferenziellen
Statistik auf den Annahmen beruhen, dass die Daten
1. normalverteilt,
2. seriell unkorreliert sind und
3. keine Ausreißer haben.
Einige ungewöhnlich hohe Aktienkurse im Zeitraum 2.1.1997 bis 31.10.2002 führen
zu einer leicht rechtsschiefen Dichtefunktion des DAX. Die Verteilung ist bimodal und
platykurtisch und entspricht nicht annähernd einer Normalverteilung (siehe Abbildung
4).
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0
0.0000
2000 4000 6000 8000
2000 4000 Dax-Stand (Xetra-Schlusskurse)
6000 8000
µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ
Dax-Stand
8000
6000
4000
2000
-4 -2 0 2 4
Normalverteilung
Abbildung 4: Dichtefunktion des DAX Abbildung 5: Quantil-Quantil-Diagramm
des DAX
Das Quantil-Quantil-Diagramm für den Zeitraum vom 2.1.1997 bis 31.10.2002 verläuft
insbesondere wegen der Baisse an den Aktienmärkten, in deren Folge der DAX
am 9.10.2002 mit 2.519 Punkten ein Sechs-Jahrestief erreichte, nicht linear auf der
Winkelhalbierenden. Die starken Abweichungen von der Winkelhalbierenden im
untersuchten Zeitraum lassen den Schluss zu, dass die empirische Verteilung nicht
normalverteilt ist und dass Ausreißer auftreten (vgl. Abbildung 5). Auch nach der
Value-at-Risk-Methode treten Extremwerte (über 4,16%) signifikant häufiger auf, als
es nach der Normalverteilungshypothese der Fall sein dürfte.
Der Autokorrelationskoeffizient erster Ordnung liegt bei 0,51%, während auf dem
95%-Konfidenzniveau serielle Korrelation erst bei 5,21% vorläge. Das heißt, die
Kursveränderungen erfolgen nicht nach einem systematischen Muster, sondern sind
voneinander unabhängig.
Als Ergebnis der explorativen Datenanalyse kann festgehalten werden, dass auf die
vorliegenden Daten keine parametrischen Verfahren angewendet werden können, da
die Normalverteilungshypothese abgelehnt wird und darüber hinaus Ausreißer auftreten.

- 12 -
5.3 Überprüfung der Modellprämissen
Es wurde bereits gezeigt, dass das Black/Scholes-Modell auf die Aufhebung der
Annahmen hinsichtlich Zinssatz, Dividende, Steuern und Transaktionskosten robust
reagiert. Als problematische Modellprämissen verbleiben daher die Annahmen der
log-normalen Aktienkursverteilung sowie der konstanten Volatilität. Aus diesem
Grund wird nachfolgend überprüft, ob diese Annahmen so stark von der Realität
abweichen, dass das Black/Scholes-Modell nicht mehr sinnvoll angewendet werden
kann.
Die von Black/Scholes angenommene Normalverteilung von Aktienkursveränderungen
stützt sich auf eine lange Tradition in der Finanzierungsliteratur, deren Ursprung
man Bachelier zuschreiben kann. 41 Wie Abbildung 6 allerdings zeigt, folgen die logarithmierten
Aktienkurse im Zeitraum 2.1.1997 bis 31.10.2002 nicht annähernd einer
Log-Normalverteilung. Marktteilnehmer, die Optionen mit dem Black/Scholes-Modell
bewerten, unterschätzen offensichtlich die Häufigkeit extremer Wertänderungen.
Abbildung 6: Theoretische versus empirische
logarithmierte Dichtefunktion des DAX
Abbildung 7: Volatilität des DAX
Die Annahme einer konstanten Volatilität erscheint für den Zeitraum vom 2.1.1997
bis 31.10.2002 aufgrund der hohen Schwankungen zweifelhaft (siehe Abbildung 7)
und wird in der H-Statistik auf dem 99%-Konfidenzniveau abgelehnt. Die Volatilität ist
für keinen Sechsmonatszeitraum innerhalb dieser Periode konstant. Die Modellprämissen
der konstanten Volatilität sowie der log-normalen Aktienkursverteilung müssen
aufgrund der empirischen Ergebnisse als problematisch angesehen werden.
41 Vgl. Bachelier (1900), S. 21-86.

5.4 Methodik zur Modellüberprüfung
- 13 -
In der vorliegenden Untersuchung werden theoretische Optionspreise nach dem
Black/Scholes-Modell berechnet und mit den korrespondierenden Marktpreisen verglichen,
um eventuell vorhandene Fehlbewertungen aufzudecken. Grundsätzlich entspricht
die Methodik derjenigen von Black/Scholes (1972). 42 Im Unterschied zu
Black/Scholes verwendet die vorliegende Studie allerdings zeitgleiche Daten. Damit
wird dem beobachteten Optionspreis die Aktiennotierung zugeordnet, die sich exakt
zum Zeitpunkt der Feststellung des Optionspreises ergeben hat. 43 Die zukünftige
Volatilität der Aktie wird aus den Kursbewegungen der vorangegangenen 30 Handelstage
abgeleitet.
In Anlehnung an Rubinstein (1985) werden die Optionen in drei Laufzeitkategorien
unterteilt: 44
1. kurze Laufzeit (T ≤ 120 Tage)
2. mittlere Laufzeit (121 ≤ T ≤ 221 Tage)
3. lange Laufzeit (> 221 Tage)
Hinsichtlich des Ausübungspreises wurden die Optionen ebenfalls in drei verschiedene
Kategorien eingeteilt (Ausübungspreis im Verhältnis zum Aktienkurs):
1. out-of-the money (< 95%)
2. at-the-money (95-105%)
3. in-the-money (> 105%)
Aus der Kombination der unterschiedlichen Laufzeiten mit den verschiedenen Ausübungspreisen
ergeben sich neun unterschiedliche Datenreihen, anhand derer überprüft
wird, ob es zu systematischen Abweichungen zwischen den theoretischen
Optionspreisen und den korrespondierenden Marktpreisen kommt.
42 Vgl. Black/Scholes (1972), S. 399-417.
43 Auch Rubinstein (1985) nimmt eine vergleichbare sekundengenaue Zuordnung vor.
44 Vgl. Rubinstein (1985), S. 466.

5.5 Resultate der Modellüberprüfung
- 14 -
5.5.1 Wahrscheinlichkeit von Fehlbewertungen
Die Überprüfung des Black/Scholes-Modells fördert für die untersuchten Aktien systematische
Preisabweichungen zu Tage. 45 Für die 1.250 untersuchten Optionsnotierungen
wurden die prozentualen Abweichungen der mit dem Black/Scholes-Modell
errechneten theoretischen Optionspreise von den tatsächlichen Optionspreisen
ermittelt und hinsichtlich Ausübungspreis und Laufzeit systematisiert (siehe
Abbildung 8).
Kurze Laufzeit
Minimum
Maximum
Mittelwert
Median
Standardabweichung
Mittlere Laufzeit
Minimum
Maximum
Mittelwert
Median
Standardabweichung
Lange Laufzeit
Minimum
Maximum
Mittelwert
Median
Standardabweichung
In-the-money At-the-money Out-of-the-money
187 Optionen
-15,68%
26,77%
3,49%
0,88%
8,59%
30 Optionen
-13,12%
30,65%
7,68%
4,83%
13,57%
31 Optionen
-10,54%
17,39%
5,49%
5,43%
7,55%
241 Optionen
-20,84%
435,67%
20,68%
10,73%
41,07%
33 Optionen
-12,50%
53,31%
15,09%
14,02%
13,60%
21 Optionen
-6,14%
46,16%
20,85%
23,52%
14,53%
524 Optionen
-98,12%
3.352,83%
123,61%
67,11%
252,93%
102 Optionen
-14,48%
181,35%
49,40%
48,41%
44,62%
81 Optionen
-5,50%
195,61%
60,49%
61,77%
42,15%
Abbildung 8: Abweichungen der rechnerischen Optionspreise von den Marktpreisen
45 Rubinstein kommt ebenfalls zu dem Ergebnis, dass systematische Preisabweichungen nicht
aktienspezifisch sind, sondern für alle Werte existieren; vgl. Rubinstein (1985), S. 478.

- 15 -
Die Wahrscheinlichkeit einer Fehlbewertung (Über- bzw. Unterbewertung) hängt
systematisch mit der Änderung der Variablen Laufzeit und Ausübungspreis zusammen.
Angesichts der (teilweise deutlich) positiven Mediane besteht nach dem
Black/Scholes-Modell eine höhere Wahrscheinlichkeit für die Überbewertung einer
Option als für deren Unterbewertung. 46 Die Wahrscheinlichkeiten für Über- bzw.
Unterbewertungen sind in Abbildung 9 hinsichtlich unterschiedlicher Ausübungspreise
und Laufzeiten zusammengefasst.
Kurze Laufzeit
Überbewertung
Unterbewertung
Mittlere Laufzeit
Überbewertung
Unterbewertung
Lange Laufzeit
Überbewertung
Unterbewertung
In-the-money At-the-money Out-of-the-money
187 Optionen
59,7%
40,3%
30 Optionen
70,0%
30,0%
31 Optionen
80,6%
19,4%
241 Optionen
75,1%
24,9%
33 Optionen
90,1%
9,9%
21 Optionen
90,5%
9,5%
Abbildung 9: Wahrscheinlichkeiten für Über- bzw. Unterbewertungen
524 Optionen
89,1%
10,9%
102 Optionen
80,4%
19,6%
81 Optionen
96,3%
3,7%
In insgesamt 81,2% der Fälle (gewichteter Durchschnitt sämtlicher untersuchten
Optionen) bewertet das Black/Scholes-Modell europäische Optionen zu hoch. Die
Wahrscheinlichkeit einer Überbewertung liegt im Intervall von [59,7%; 96,3%] in
Abhängigkeit von Ausübungspreis und Laufzeit. Abbildung 10 veranschaulicht den
Zusammenhang zwischen den Variablen Restlaufzeit und Ausübungspreis und der
Wahrscheinlichkeit einer Überbewertung durch das Black/Scholes-Modell.
46 Das folgt aus der Definition des Medians z = x[(n+1)/2] für ungerade n bzw. z = ½ (x[n/2] + x[n/2+1])
für gerade n, vgl. z. B. Schweitzer (1999), S. 48 oder Rönz (2001), S. 45f.

100,00%
90,00%
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
In-themoney
At-the
money
- 16 -
Out-of-the
money
lange Laufzeit
mittlere Laufzeit
kurze Laufzeit
Abbildung 10: Wahrscheinlichkeit der Überbewertung in Abhängigkeit von Laufzeit und
Ausübungspreis
Nach Abbildung 10 ist eine Überbewertung durch das Black/Scholes-Modell umso
wahrscheinlicher, je weiter die Option aus dem Geld liegt und je länger die Laufzeit
ist. Nur jede zweite Option mit positivem innerem Wert und kurzer Laufzeit wird
überbewertet, während nahezu alle Out-of-the-money-Optionen mit langer Laufzeit
überbewertet werden.
5.5.2 Höhe von Fehlbewertungen
Die sehr hohen Maximalabweichungen zwischen theoretischen und tatsächlichen
Optionspreisen sowie die im Vergleich zum Median überwiegend hohen Mittelwerte
verweisen auf die Tendenz des Black/Scholes-Modells zur Überbewertung der
Optionen. Dagegen fällt die Unterbewertung – abgesehen von einem Fall und auf die
große Anzahl von 1.250 untersuchten Optionspreisen bezogen – mit minus 20,84%
moderat aus. 47
Beim Vergleich der Mittelwerte ist ein Anstieg der Abweichung mit zunehmenden
Ausübungspreisen zu beobachten. Während die Abweichung für In-the-money-
Optionen gering ist (5,6%), ist sie für At-the-money-Optionen (18,9%) und Out-of-themoney-Optionen
(77,8%) deutlich größer. Je weiter die Option aus dem Geld liegt,
desto höher ist die prozentuale Preisabweichung. Zusätzlich steigt die Höhe der
Preisabweichung mit der Länge der Laufzeit. Die gewichtete Überbewertung beträgt
65,35%, wobei die mit der Höhe des Ausübungspreises ansteigenden Überbewertungen
für alle untersuchten Einzelwerte zu beobachten sind.
47 Die extreme Unterbewertung von 98% bezieht sich auf einen Deutsche Bank Call mit einem
Ausübungspreis von 70 Euro bei einem Aktienkurs von 51,24 Euro und ist so hoch, weil der
Marktpreis mit 0,01 Euro absolut gesehen sehr tief liegt.

- 17 -
Nicht zuletzt vor dem Hintergrund der Fair-Value-Bewertung, die eng mit den für
kapitalmarktorientierte Konzerne ab 2005 verpflichtend anzuwendenden International
Financial Reporting Standards (IFRS) verbunden ist, 48 ist die Frage interessant, wieviel
Prozent aller Optionen durch das Black/Scholes-Modell „akzeptabel“ bewertet
werden. Da eine akzeptable Bewertung nur subjektiv definiert werden kann, werden
in Abbildung 11 diejenigen Optionen dargestellt, deren betragsmäßige Abweichung
zwischen rechnerischem Optionswert und Marktpreis jeweils maximal 5%, 10% bzw.
20% beträgt.
Abweichung
(in %)
Kurze Laufzeit
+/− 5%
+/− 10%
+/− 20%
Mittlere Laufzeit
+/− 5%
+/− 10%
+/− 20%
Lange Laufzeit
+/− 5%
+/− 10%
+/− 20%
In-the-money At-the-money Out-of-the-money
Anzahl
(absolut)
88
132
182
9
13
23
12
20
31
Anteil
(prozentual)
47,06%
70,59%
97,33%
30,00%
43,33%
76,67%
38,71%
64,52%
100,00%
Anzahl
(absolut)
60
104
148
3
10
26
2
5
9
Anteil
(prozentual)
24,90%
43,15%
61,41%
9,09%
30,30%
78,79%
9,52%
23,81%
42,86%
Anzahl
(absolut)
40
67
123
9
21
31
7
9
16
Anteil
(prozentual)
7,63%
12,79%
23,47%
8,82%
20,59%
30,39%
8,64%
11,11%
19,75%
Abbildung 11: Abweichungen zwischen rechnerischen Optionspreisen und Marktpreisen
Wenn man eine Abweichung zwischen rechnerischem Wert und Marktpreis von
maximal 5% akzeptiert, liegt der Anteil akkurat bewerteter In-the-money-Optionen mit
kurzer Laufzeit bei 47,06%, während er für Out-of-the-money-Optionen bei nur
7,63% liegt. Bei einer tolerierten Abweichung von maximal 5% bewertet das
Black/Scholes-Modell im gewichteten Durchschnitt nur knapp ein Fünftel (18,40%)
sämtlicher Optionen akkurat. Bei 10%-Fehlertoleranz beträgt der Anteil akkurat
bewerteter Optionen 30,48% und bei 20%-Toleranz 47,12%. In Abbildung 12 ist die
Höhe der durchschnittlichen Überbewertung in Abhängigkeit von Laufzeit und Ausübungspreis
der zugrunde liegenden Optionen dargestellt.
48 Europäisches Parlament (2002), S. 1-4.

140,00%
120,00%
100,00%
80,00%
60,00%
40,00%
20,00%
0,00%
In-the
money
- 18 -
At-the
money Out-of-the
money
lange Laufzeit
mittlere Laufzeit
kurze Laufzeit
Abbildung 12: Höhe der durchschnittlichen Überbewertung in Abhängigkeit von Laufzeit
und Ausübungspreis
Die Fehlbewertung durch das Black/Scholes-Modell ist nach diesen Ergebnissen
umso höher, je weiter die Option aus dem Geld liegt (Abbildung 12). Hinsichtlich
Laufzeit und Fehlbewertung ist dagegen kein so eindeutiger Zusammenhang feststellbar.
Für In-the-money- und At-the-money-Optionen führt eine Änderung der
Laufzeit nicht zu systematischen Fehlbewertungen. Bei Out-of-the-money-Optionen
wird die Fehlbewertung dagegen durch eine kurze Laufzeit tendenziell erhöht.
5.5.3 Statistischer Test der Nullhypothese
Um den Aussagegehalt der mit dem Black/Scholes-Modell errechneten Optionspreise
zu ermitteln, wurde die Nullhypothese (H0: „die theoretischen Optionspreise
entsprechen den tatsächlichen Optionspreisen“) empirisch getestet. Die Überprüfung
der Hypothese erfolgte mit dem nichtparametrischen Wilcoxon-Rank-Test (W-Statistik).
Im Rahmen der Überprüfung wurde für die Nullhypothese ein Wert von „0“
errechnet.
Das Ergebnis der empirischen Untersuchung lautet daher, dass die Hypothese „die
Black/Scholes-Preise entsprechen den Marktpreisen“ für die untersuchten Optionspreise
mit annähernd sicherer Wahrscheinlichkeit abgelehnt wird. Auf Basis der
durchgeführten statistischen Untersuchung kann somit nicht bestätigt werden, dass
das Black/Scholes-Modell Optionen „korrekt“ (d. h. zu Marktpreisen) bewertet. Die
auf Basis des Black/Scholes-Modells errechneten Optionspreise weichen so stark
von den Marktpreisen ab, dass die Nullhypothese praktisch auf jedem Konfidenzniveau
abgelehnt wird. Dieses eindeutige Untersuchungsergebnis war aufgrund der
Voruntersuchung zu erwarten, weil der Datenumfang von 1.250 Optionspreisen groß
genug ist, um statistisch aussagefähig zu sein und die Preisabweichung zwischen

- 19 -
theoretischen und tatsächlichen Optionspreisen im gewichteten Durchschnitt 65,35%
beträgt.
Unter der Voraussetzung, dass die einbezogenen Untersuchungsdaten zutreffend
sind, lässt sich aus dem vorliegenden Ergebnis ableiten, dass entweder (a) die
mathematische Struktur der Black/Scholes-Formel nicht korrekt ist bzw. dass die
Modellprämissen in der Realität nicht zutreffen, oder dass (b) der Optionsmarkt ineffizient
ist. 49 Im Folgenden wird untersucht, ob auf dem Optionsmarkt Ineffizienzen zu
beobachten sind.
5.5.4 Indizien für die Ineffizienz des Optionsmarktes
Kapitalmärkte gelten als arbitragefrei, wenn gleichwertige Wertpapiere mit äquivalenten
Zahlungsstrukturen den gleichen Preis aufweisen. An der deutschen Terminbörse
ließen sich dagegen im Untersuchungszeitraum unterschiedliche Preise für
gleichwertige Optionen beobachten. Obwohl das Black/Scholes-Modell für zwei
Optionen mit quasi-gleichen Parametern den gleichen Preis ermittelt, traten an der
Terminbörse unterschiedliche Preise auf. Diese Beobachtung könnte ein Hinweis
darauf sein, dass das Nicht-Arbitrage-Argument, auf dem das Black/Scholes-Modell
basiert, nicht zutrifft. Mit anderen Worten: am Markt bestehen Arbitragemöglichkeiten.
Ein gutes Beispiel hierfür ist die Call-Option auf die Aktie der Deutschen Telekom mit
Laufzeit November 2002 und einem Ausübungspreis von 12,00 Euro. Diese Option
hatte am 11.9.02 um 13:13 Uhr 25 sec. einen Marktpreis von 0,64 Euro. Am 12.9.02
um 10:35 Uhr 23 sec. lag der Marktpreis der gleichen Option bei lediglich 0,58 Euro,
obwohl der zugrunde liegende Aktienkurs (S) in beiden Fällen exakt 10,70 Euro
betrug. Auch die übrigen Parameter, insbesondere die Volatilität (σ) mit 71,6% bzw.
71,9% sowie die Laufzeit (T) mit 80 bzw. 79 Tagen, waren annähernd unverändert.
Deutsche Telekom November 02 Call
Datum X S σ T B/S-Preis Marktpreis
11.9.2002 12 € 10,70 € 71,6% 80 0,97 € 0,64 €
12.9.2002 12 € 10,70 € 71,9% 79 0,97 € 0,58 €
Abbildung 13: Unterschiedliche Marktpreise trotz Quasi-Konstanz der Parameter
Bei Quasi-Konstanz von X, S, σ, T und r kam es zu einer nicht unerheblichen Marktpreisdifferenz
von 10%. Das Black/Scholes-Modell kann diese Preisschwankung
nicht erklären und berechnet einen theoretischen Optionspreis von jeweils 0,97 Euro.
Bei einer offenen Position wäre ein durch das Modell nicht erklärbarer Verlust von
10% entstanden. Alternativ wäre es möglich gewesen, durch einen Verkauf des
Telekom-Calls (Short-Position) am 11.9.02 und den Rückkauf der gleichen Option
am 12.9.02 eine Rendite von 3.600% p. a. zu realisieren.
49 Sehr ähnlich auch Rubinstein (1985), S. 457.

- 20 -
Ein weiteres Beispiel für Preisdifferenzen ist eine Call-Option auf die Deutsche Telekom
mit Fälligkeit Dezember 2002 und einem Ausübungspreis von 13,00 Euro. Am
18.9.02 um 11:46 Uhr 36 sec. lag der Marktpreis dieser Option bei 0,38 Euro und am
19.9.02 um 11:27 Uhr 36 sec. bei 0,45 Euro. Nach dem Black/Scholes-Modell ergeben
sich genau umgekehrte rechnerische Optionspreise von 0,47 € für den ersten
Fall und von 0,38 Euro für den zweiten Fall.
Diese für einen vollkommenen Markt paradoxen Beobachtungen sprechen dafür,
dass entweder die Annahmen des Black/Scholes-Modells in der Realität nicht vorliegen
oder dass der Optionsmarkt möglicherweise nicht vollkommen effizient ist. Black
vermutet Ineffizienzen des Optionsmarktes. 50 Eine Folge dieser Ineffizienzen ist die
Existenz von Arbitragemöglichkeiten, die in den oben erwähnten Beispielen allerdings
nicht genutzt wurden. Damit ergeben sich Probleme bei der Nutzung von Absicherungsstrategien,
da der Optionsmarkt infolge von Marktunvollkommenheiten kein
perfektes Hedging ermöglicht.
5.6 Zur Bilanzierung von Aktienoptionen nach ED 2
Die mit dem Black/Scholes-Modell verbundenen Probleme bei der Bewertung von
Optionen werfen die Frage auf, ob mit der systematischen Fehlbewertung auch praktische
Implikationen auf die Darstellung der Ertragslage von Unternehmen bei Bilanzierung
nach IFRS verbunden sind, wenn Aktienoptionen unter Bezug auf den Exposure
Draft (ED) 2 unter Anwendung des Black/Scholes-Modells bewertet werden. 51
Aus finanzierungstheoretischer Sicht ergeben sich zwei wesentliche Probleme aufgrund
der im Black/Scholes-Modell angenommenen konstanten (unbekannten) Volatilität
in Verbindung mit dem im ED 2 vorgesehenen Bewertungszeitpunkt, der auf
den Zeitpunkt der Gewährung von Aktienoptionen abstellt. Einerseits steht zum Zeitpunkt
der Gewährung noch nicht fest, welche Volatilität die Aktie während der Laufzeit
der Option aufweisen wird. Andererseits ist auch die Dynamik der Volatilität im
Zeitablauf unbekannt (siehe auch Abbildung 3). Sofern kein stochastischer Prozess
für die Volatilität angenommen wird, muss diese auf Basis von Vergangenheitsdaten
geschätzt werden. Der ED 2 lässt aber sowohl offen, über welchen Zeitraum diese
Volatilität geschätzt werden soll, als auch aufgrund welcher Datendichte. Je längerfristig
das Aktienoptionsprogramm angelegt ist, desto stärker fällt die Volatilität ins
Gewicht. Allein durch unterschiedliche Vorgehensweisen zur Berechnung der Volatilität
eröffnet der ED 2 damit weitgehende bilanzpolitische Spielräume bei der
Bewertung von Aktienoptionen.
Auch die dem Modell inhärente Prämisse der Normalverteilung von Aktienkursveränderungen
spiegelt offensichtlich nicht die Realität wider (siehe auch Abbildung 6).
Wird das Black/Scholes-Modell ohne eine Modifikation der Volatilität verwendet, werden
bei 5%-Fehlertoleranz 81,6% aller Optionen fehlbewertet. Da somit nur ein
50
Vgl. Black (1972), S. 413-415; Black schließt jedoch Arbitragegewinne nach Berücksichtigung von
Transaktionskosten aus.
51
An dieser Stelle soll keine Würdigung des ED 2 hinsichtlich buchhalterischer Probleme
vorgenommen werden, wie etwa dem Verstoß gegen das pagatorische Prinzip durch die
erfolgswirksame Erfassung realer Optionen selbst bei deren ausübungslosem Verfall.

- 21 -
geringer Anteil von Optionen mit dem Marktpreis bewertet wird, bietet das
Black/Scholes-Modell grundsätzlich keine Gewähr für eine verlässliche Darstellung
der Ertragslage.
6. Fazit
Um das Black/Scholes-Modell empirisch zu überprüfen, wurden 1.250 rechnerisch
ermittelte Optionswerte (theoretische Optionspreise) mit den zeitlich exakt korrespondierenden
Marktpreisen dieser Optionen verglichen. Die Nullhypothese der Preisgleichheit
von theoretischen Preisen und Marktpreisen wurde in der W-Statistik abgelehnt.
Die Studie hat folgende Kernresultate hervorgebracht:
1. Das Black/Scholes-Modell bewertet Optionen mit einer Wahrscheinlichkeit von
81,2% zu hoch. Die Wahrscheinlichkeit der Fehlbewertung nimmt zu, je mehr die
Option aus dem Geld notiert und je länger die Laufzeit ist.
2. Die Höhe der Überbewertung steigt, je mehr die Option aus dem Geld notiert.
Zwischen Restlaufzeit und Fehlbewertung besteht zumindest für In-the-moneyund
At-the-money-Optionen kein eindeutiger Zusammenhang.
3. Die dem Black/Scholes-Modell zugrunde liegenden Annahmen sind in der Realität
offensichtlich nicht vollständig erfüllt. Darüber hinaus gibt es Hinweise, dass
der Optionsmarkt nicht vollkommen effizient ist.
Die Ergebnisse der vorliegenden Studie decken sich grundsätzlich mit den Resultaten
der Studien von MacBeth/Merville (1980) sowie Rubinstein (1985). Einschränkend
bleibt jedoch festzuhalten, dass die generelle Überbewertung von Optionen
durch das Black/Scholes-Modell mit der außergewöhnlich hohen Volatilität im September
2002 zusammenhängen kann. So haben auch Black/Scholes (1972) bei stark
schwankenden Aktien eine beträchtliche Überbewertung von Optionen durch das
Black/Scholes-Modell festgestellt. 52
Vergleichbar der vorliegenden Studie stellen auch MacBeth/Merville (1979) fest, dass
die Fehlbewertung steigt, je mehr die Option aus dem Geld liegt, während die Fehlbewertung
mit kürzerer Laufzeit abnimmt. 53 Black (1975) konstatiert ebenfalls Fehlbewertungen
− allerdings mit dem Unterschied, dass das Black/Scholes-Modell tief
im Geld liegende Optionen überbewertet und tief aus dem Geld liegende Optionen
unterbewertet. 54
Trotz seiner Schwächen ist das Black/Scholes-Modell aus empirischer Perspektive
zur Bewertung von Optionen nicht vollkommen ungeeignet. Zumindest jede fünfte
Option wird akkurat bewertet (bei einer tolerierten Abweichung von +/- 5%). Hierzu
bemerkt Black im Jahr 1992: „Because the formula is so popular, because so many
traders and investors use it, option prices tend to fit the model even when they
shouldn’t.“ 55
52
Vgl. Black (1972), S. 408.
53
Vgl. MacBeth/Merville (1979), S. 1185.
54
Vgl. Black (1975), S. 36-72.
55
Black (1992), S. 21.

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Aus theoretischer Sicht resultieren Zweifel an den mit dem Black/Scholes-Modell
errechneten Optionspreisen infolge der unrealistischen Modellannahmen. Problematisch
ist zum einen die im Zeitablauf schwankende Volatilität, deren Bedeutung für
die Höhe des Optionswertes zudem von der Restlaufzeit und dem inneren Wert der
Option abhängig ist. Zum anderen ist die Annahme log-normalverteilter Aktienkurse
problematisch, da das Black/Scholes-Modell hierdurch die Häufigkeit von Extremwerten
unterschätzt.
Neunzehn Jahre nach Veröffentlichung seiner revolutionären Formel fasst Fischer
Black die empirische Kritik am Black/Scholes-Modell zusammen: „When we calculate
option values using the Black-Scholes model, and compare them with option prices,
(...) it is rare that the value of an option comes out exactly equal to the price at which
it trades on the exchange. Given the multitude of variables, it is remarkable that
option formulae even occasionally get close to matching market values.” 56
In Bezug auf die Bilanzierung von Aktienoptionen nach Exposure Draft (ED) 2 bleibt
festzuhalten, dass das Black/Scholes-Modell bei der Ermittlung von Optionswerten
für Bilanzierungszwecke weitgehende bilanzpolitische Spielräume eröffnet. Sofern
die für die Bewertung anzusetzenden Variablen nicht näher präzisiert werden
(können), besteht bei unreflektierter Anwendung der Black/Scholes-Formel die
Gefahr einer unzutreffenden Darstellung der Ertragslage des bilanzierenden Unternehmens.
56 Black et al. (1992) S. 51f.

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Working Paper Series
ESCP-EAP Europäische Wirtschaftshochschule Berlin
ISSN 1619-7658
Bisher sind folgende Beiträge erschienen:
Nr. 1 Jacob, Frank (2002): Kundenintegrations-Kompetenz: Konzeptionalisierung,
Operationalisierung und Erfolgswirkung.
Nr. 2 Schmid, Stefan (2003): Blueprints from the U.S.? Zur Amerikanisierung der
Betriebswirtschafts- und Managementlehre.
Nr. 3 Festing, Marion/Hansmeyer, Marie Christine (2003): Frauen in
Führungspositionen in Banken - Ausgewählte Ergebnisse einer empirischen
Untersuchung in Deutschland.
Nr. 4 Pape, Ulrich/Merk, Andreas (2003): Zur Angemessenheit von Optionspreisen -
Ergebnisse einer empirischen Überprüfung des Black/Scholes-Modells.