Diskrete Versetzungssimulation von Nanoindentierung

Diskrete Versetzungssimulation von
Nanoindentierung
An der Montanuniversität Leoben
eingereichte Dissertation zur Erlangung
des akademischen Grades eines Doktors
der montanistischen Wissenschaften
Herbert Kreuzer

Diskrete Versetzungssimulation von
Nanoindentierung
Dissertation
an der
Montanuniversität
Leoben
verfasst von
Herbert Kreuzer
Herbert Kreuzer

Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung v
1 Einleitung 1
1.1 Die Gliederung der vorliegenden Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Das Grundprinzip und einige Anwendungsgebiete der Härtemessung . . . . 2
1.3 Verschiedene Methoden zur Simulation von Härtetests . . . . . . . . . . . . 5
2 Das Computerprogramm zur Simulation von Nanoindentierung 7
2.1 Das diskrete Versetzungsmodell der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Der Programmablauf der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Der Belastungszyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Der Entlastungszyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Ein Beispiel zur Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Ergebnisse und Diskussion der Simulationen 18
3.1 Der Einfluss der Quelldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Der Einfluss von Quell- und Reibspannung auf den Verlauf der Härte . . . 22
3.3 Der Einfluss der Indenterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt vorhandenen
Versetzungsquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Der Effekt von Korngrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.2 Dünne Filme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Abschließende Diskussion einzelner Phänomene und Ausblick 56
4.1 Mögliche Ursachen für einen Größeneffekt bei der Härtemessung . . . . . . 56
4.2 Erweiterungsmöglichkeiten des Programms und die zu erwartenden Änderungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Was kann man aus Nanoindentierung lernen? . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A Mathematische Grundlagen der Simulation 64
A.1 Das verwendete Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.2 Die Komplexe Darstellung der Spannungen und Verschiebungen . . . . . . 65
iii

Inhaltsverzeichnis
A.3 Das Prinzip der analytischen Fortsetzung von Funktionen im Komplexen . 65
A.4 Eine Herleitung der komplexen Spannungs- und Verschiebungsfelder für den
Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.5 Die komplexen Potentiale einer Versetzung im Halbraum . . . . . . . . . . 68
A.6 Cauchy’sche Integrale und die Formel von Sokhotski und Plemelj . . . . . . 71
A.7 Das Kontaktelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.8 Zusammenfassung der benötigten Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 74
B Die Berechnung der Spannungsfelder für das Indenterproblem 75
B.1 Die Kollokationsmethode zur Berechnung der Kontaktspannungen . . . . . 75
B.2 Die Berechnung der lokalen Scherspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
iv

Zusammenfassung
Mittels eines zweidimensionalen, diskreten Versetzungsmodells wird in dieser Arbeit, anhand
der Vorgabe eines Gleitsystems, sowie von Frank- Read Versetzungsquellen mit konstanter
Quellstärke (Emissionsspannung) und der Annahme eines bestimmten Kristallgitterwiderstandes
(Reibspannung) für die Versetzungsbewegung, Nanoindentierung am
Computer simuliert. Dabei können unter dem Einfluss der lokalen Scherspannung im Modellmaterial
Versetzungen an den Quellen entstehen, sich im Anschluss darin bewegen
und schließlich, unter der Annahme bestimmter Kriterien, annihilieren. Die Berechnung
der Kontaktspannungen aus den Verschiebungsfeldern an der Probenoberfläche in jedem
Rechenschritt, mit Hilfe der Kollokationsmethode, erlaubt im Modell überdies auch die
Vorgabe einer beliebigen Indentergeometrie.
Mit dem entwickelten Computerprogramm werden verschiedene Studien durchgeführt,
in denen einerseits die mikrostrukturellen Parameter, wie Quelldichte, Quellspannung,
Reibspannung, Gleitgeometrie und Versetzungshindernisse variiert werden und andererseits
auch eine unterschiedliche Indenterform (Klinge, Zylinder und abgerundete Klinge)
vorgegeben wird. Die Ergebnisse werden im Anschluss anhand der erhaltenen Last- bzw.
Härte- Verschiebungskurven, sowie der Versetzungsanordnungen unterhalb des Indenters
und der daraus resultierenden Oberflächenkonturen, interpretiert. Insbesondere im Verlauf
der Härte- Verschiebungskurven zeigt sich in den Ergebnissen fast immer eine Zunahme der
Härte mit kleiner werdenden Indents – ein Phänomen, das in der Literatur als “Indentation
Size Effect” (ISE) bezeichnet wird. Die durchgeführten Studien in dieser Arbeit haben
dabei folgendes gezeigt: Eine höhere Quelldichte bedingt in den Simulationen eine stärkere
Abnahme der Härte mit zunehmender Eindringtiefe des Indenters (geringerer ISE), als eine
kleinere. Der Grad der Abnahme der Härte mit zunehmender Eindringtiefe, ist für einen
kleineren Wert der Reibspannung und ebenso bei einer kleineren Quellspannung, kleiner.
Jeder dieser beiden Parameter für sich, bedingt die Ausprägung des ISE, wohingegen der
kontinuumsmechanische Härtewert, nur von der angenommenen Quellspannung beeinflusst
wird. Beim Studium einer Anordnung von Gleitbändern normal zur Oberflche äussert sich,
gegenüber einer parallelen Orientierung, ein deutlicher Geometrieeffekt, indem der ISE im
ersten Fall deutlich schwächer ausgeprägt ist. Einen markanten Geometrieeffekt im Verlauf
der Härte mit zunehmender Eindringtiefe beobachtet man ebenso durch die Vorgabe einer
unterschiedlichen Indenterform, indem beispielsweise für einen zylinderförmigen Indenter
kein ISE im herkömmlichen Sinn festgestellt wird. Sobald der Indenter, mit zunehmender
Eindringtiefe im Modell, einen Einfluss von angenommenen Versetzungshindernissen
v

Zusammenfassung
oder auch einen Mangel an aktivierbaren Versetzungsquellen “spürt”, kommt es zu einem
Härteanstieg.
Es wurde in allen durchgeführten Simulationen klar gezeigt, wie allein aufgrund der
diskreten Natur der Versetzungen und der angenommenen Mikrostruktur, das plastische
Materialverhalten im untersuchten Längenskalenbereich entscheidend beeinflusst wird und
so ein ISE zustande kommen kann. So konnte auf diese Art, neben allen gängigen Erklärungen
in der Literatur, eine weitere mögliche Ursache für dieses Phänomen gefunden
werden.
vi

Kapitel 1
Einleitung
1.1 Die Gliederung der vorliegenden Arbeit
In der Einleitung, die Sie gerade zu lesen begonnen haben, möchte ich zunächst die Methode
der Härtemessung zur Charakterisierung der mechanischen Eigenschaften von (in unserem
Fall) kristallin aufgebauten Materialien kurz diskutieren. Im weiteren Verlauf werde ich
dann auf die verschiedenen, zur Verfügung stehenden Methoden, um den Vorgang des
Indentierens am Computer zu modellieren, etwas näher eingehen und Sie auf die Besonderheiten,
des in dieser Arbeit verwendeten diskreten Versetzungsmodells zur Simulation
von Nanoindentierung, hinweisen.
In Kapitel 2 werde ich Ihnen die Modellannahmen des Versetzungsmodells beschreiben
und den Ablauf des Computerprogramms anhand eines Flussdiagramms erklären. Mittels
eines konktreten Beispiels, das repräsentativ für alle in der vorliegenden Arbeit durchgeführten
Parameterstudien sein soll, will ich abschließend in diesem Kapitel noch die
wichtigsten Ergebnisse einer typischen Simulation demonstrieren und illustrieren.
Kapitel 3 möchte ich der Präsentation und einer Interpretation der, mit dem in Kapitel
2 vorgestellten Computerprogramm erhaltenen Ergebnisse, widmen. Dabei werden
sowohl Studien, die den Einfluss der Schlüsselparameter der Simulationen (Kriterien, die
die Emission und die Bewegung von Versetzungen bestimmen) zeigen sollen, als auch Simulationsabläufe
dargestellt, die die Bedeutung der Orientierung des Gleitsystems wiedergeben.
Weiters werden in dieser Arbeit die Auswirkungen der Indenterform (klingenförmig,
zylindrisch und abgerundete Klinge) auf die Resultate untersucht. Schließlich wird zum
Abschluss der Einfluss der Mikrostruktur auf den Verlauf der Härte- Verschiebungskurven,
auch anhand von Versetzungshindernissen und begrenzt vorhandenen Versetzungsquellen
(z.B. Korngrenzen oder dünne Filme) gezeigt.
In einer Abschließenden Diskussion in Kapitel 4 werde ich einige Phänomene, insbesondere
verschiedene mögliche Ursachen für einen Größeneffekt bei der Härtemessung (Zunahme
der Härte bei kleiner werdender Eindringtiefe), behandeln und die grundlegenden
Einflussfaktoren, die in den hier vorgestellten Simulationen den Härteverlauf mit zunehmender
Eindringtiefe steuern, zusammenfassen. In einem Ausblick werde ich einige Erwei-
1

1.2 Das Grundprinzip und einige Anwendungsgebiete der Härtemessung
terungsmöglichkeiten des entwickelten Programms vorschlagen. Dabei wird selbstverständlich
auch immer wieder auf die zu erwartenden Änderungen in den Resultaten eingegangen.
Beenden möchte ich dieses Kapitel dann mit einer Diskussion, was man letztendlich aus
Nanoindentierung lernen kann.
Die mathematischen Grundlagen der Simulation und die verwendeten Methoden zur
Berechnung der Spannungsfelder für das Indenterproblem habe ich im Anhang dieser Arbeit
zusammengestellt. Dort soll, vor allem für den mathematisch interessierten Leser,
eine Möglichkeit geboten werden, die Lösung des vorliegende Randwertproblems des elastischen
Halbraumes (Kontaktproblem des Indenters mit der freien Oberfläche der Probe)
und der Herleitung der Spannungs- und Verschiebungsfelder einer Stufenversetzung im
Halbraum, mittels der Methoden der komplexen Analysis, nachvollziehen zu können. Dabei
wurde bewusst auf eine rigorose mathematische Behandlung des Problems, mit allen
dazugehörenden Beweisführungen, verzichtet und stattdessen an den einzelnen Stellen im
Text des Anhangs auf weiterführende Literatur verwiesen. Da in erster Linie ein Computerprogramm
zur Simulation von Härtetests entwickelt wurde, habe ich mich bemüht,
die Arbeit so zu gestalten, dass der theoretische Teil nicht unbedingt zum Verständnis
herangezogen werden muss.
1.2 Das Grundprinzip und einige Anwendungsgebiete
der Härtemessung
Die Messung der Härte stellt heutzutage eine einfache und direkte Methode zur Charakterisierung
der mechanischen Eigenschaften zahlreicher Materialien dar. Dabei wird ein Eindringkörper
(Indenter) mit vorgegebener Geometrie (meist pyramidenförmig) in die Probe
gedrückt, und der Widerstand, den das Material gegen diesen Vorgang leistet, gemessen.
Als Härte ist dabei die dafür nötige, maximale Kraft, dividiert durch die Kontaktfläche
des Indenters, definiert. Die zur Messung der makroskopischen Härte verwendeten Eindringkörper
liegen dabei in der Größenordnung von Millimetern. Mit der zunehmenden
Bauteil- Miniaturisierung, vor allem im Bereich der Mikroelektronik, wo man besonders an
den lokalen mechanischen Eigenschaften von Leiterbahnen in integrierten Schaltkreisen interessiert
ist, oder auch zur Charakterisierung der Belastbarkeit dünner Filme (Steigerung
der mechanischen Beständigkeit durch Oberflächenbeschichtungen) etc., ist es aber notwendig
geworden, die Methode der Indentierung zu verfeinern. Eine moderne, registrierende
Härtemessung, bei der die Last fortwährend als Funktion der Eindringtiefe gemessen und
aufgezeichnet wird, emöglicht daher, die mechanischen Eigenschaften von Festkörpern im
Nanometerbereich unter hoher lokaler Belastung zu untersuchen (Nanoindentierung). Vom
Standpunkt eines Materialwissenschafters aus gesehen ist dies eine ausgezeichnete Methode,
um die mechanischen Eigenschaften kleinster Volumselemente in der Mikrostruktur von
Materialien zu untersuchen. So ist es z.B. möglich, die Härte der einzelnen Phasen in mehrphasigen
Werkstoffen (z.B. Duplex- Stähle, Lamellen in TiAl Legierungen etc.) separat zu
bestimmen. Generell im Vordergrund steht dabei aber immer das Ziel, das makroskopische
2

1.2 Das Grundprinzip und einige Anwendungsgebiete der Härtemessung
Abbildung 1.1: Gemessene Last- Verschiebungskurve zur Illustration des “Pop-in” Effektes
bei Nanoindentierung an einer Nickel-Basis Legierung [1].
Abbildung 1.2: AFM Bild (Rasterkraftmikroskop) zur Illustration des “Pile-up” an den
Rändern eines Härteeindrucks an einer Nickel-Basis Legierung (Höhe der Pile-ups beträgt
ca. 3–4 µm) [1].
3

1.2 Das Grundprinzip und einige Anwendungsgebiete der Härtemessung
hardness [GPa]
11
10
9
8
7
0 20 40 60 80 100
indentation depth [nm]
Abbildung 1.3: Zur Illustration des “Indentation Size Effect” (gemessen an den Ausscheidungen
einer Nickel-Basis Legierung) [2].
Materialverhalten aufgrund der Information, die über die Mikrostruktur erhalten wurde,
vorherzusagen und so gezielt Materialien mit gewünschten mechanischen Eigenschaften
herstellen zu können (Materialdesign).
Im Experiment zeigen sich auch zahlreiche Effekte, von denen ich die wichtigsten in
phänomenologischer Hinsicht kurz anführen möchte, da diese in den Simulationen dieser
Arbeit zum Teil ebenfalls sehr schön verifiziert werden konnten. Wird beispielsweise an einer
lokal versetzungsfreien Oberfläche die kritische Spannung zur homogenen Versetzungsnukleation
überschritten, so beobachtet man eine sprunghafte Zunahme der Eindringtiefe,
die als “Pop-in” Effekt bezeichnet wird (siehe Abb. 1.1). Die an den Rändern des Härteeindrucks
entstehenden Hügel bzw. Täler werden mit “Pile-up” (siehe z.B. Abb.1.2) bzw.
“Sink-in” (tritt z.B. bei weichgeglühtem Kupfer auf, ist aber nur sehr schwer zu sehen)
bezeichnet. Unter dem sogenannten “Indentation Size Effect” (ISE) versteht man die Zunahme
der Härte mit kleiner werdender Eindringtiefe des Indenters, wie es beispielsweise
in Abb. 1.3 dargestellt ist.
4

1.3 Verschiedene Methoden zur Simulation von Härtetests
1.3 Verschiedene Methoden zur Simulation von Härtetests
Um ein tieferes Verständnis für das plastische Materialverhalten von rein Metallen, Legierungen
und intermetallischen Werkstoffen zu bekommen, ist es heutzutage in zunehmenden
Maße notwendig geworden, die Theorie der hierfür verantwortlichen Versetzungen besser
zu verstehen. Als Ergänzung zu tatsächlichen Experimenten ermöglichen Computersimulationen
einen guten Einblick in die verschiedenen, mikrostrukturell beeinflussten Abläufe
während der Verformung (z.B. des Indentierens). Für die Überprüfung von Modellvorschlägen
zur Klärung diverser Phänomene sind Computersimulationen oft unumgänglich.
Die Wahl des zugrundegelegten Modells und des damit verbundenen Längenmaßstabes
hängt allerdings in entscheidender Weise davon ab, an welchen Aspekten der Plastizität
man im konkreten Fall interessiert ist. Möchte man beispielsweise das Einsetzen der plastischen
Verformung im Frühstadium des Indentierens studieren, so sollte man vorzugsweise
atomistische Modelle heranziehen (siehe z.B. [3, 4]), die es ermöglichen, die Mechanismen
der Defekt- Nukleation und -Bewegung im Kristall zu untersuchen. Als Pendant zur
atomistischen Beschreibung kann sicherlich die Methode der Finiten Elemente (FE- Rechnung)
bezeichnet werden, die vor allem, wenn man Makrohärtetests modellieren möchte,
gute Resultate liefert (siehe z.B. [5, 33]). FE- Rechnungen werden aber auch zur Simulation
von Nano- und Mikrohärtetests verwendet und zwar dann, wenn damit das elastische
oder elasto- plastische Materialverhalten beschrieben werden soll. In diesen Modellen werden
Eindringtiefen- abhängige Härteverläufe mit intrinsischen Materiallängenparametern
korreliert [7]. Nachdem aber Nano- und Mikroindentierung (kleine plastische Zone) in kristallin
aufgebauten Materialien normalerweise immer von Versetzungsbewegung begleitet
ist, versagt hier sozusagen das makroskopische FE- Modell, da damit die an sich diskrete
Natur der Versetzungen nicht mehr erfasst werden kann bzw. “verschmiert” wird. In
diesem Fall können mesoskopische Zugänge, die auf der Versetzungstheorie beruhen, herangezogen
werden. Ein solches Modell stellt das sogenannte “Diskrete Versetzungsmodell”
[8, 9, 10, 11, 12], das auch in dieser Arbeit verwendet wurde, dar, bei dem Versetzungen
als Liniendefekte im elastischen Medium angesehen werden und unter Krafteinfluss und
gewissen, vorgegebenen Parametern entstehen (meist an Frank- Read Versetzungsquellen)
und sich bewegen können. Obwohl man genaugenommen von diskreten Versetzungsmodellen
(in der Mehrzahl) sprechen müsste, verwende ich den Begriff in der Einzahl, denn es
gibt im Wesentlichen nur kleine Unterschiede, die meist in der Abstimmung des Modells
auf die jeweilige Problemstellung (Randwertproblem) liegen. So findet man beispielsweise
bei der Modellierung von Rißspitzenplastizität [11] oder von Mikro- Biegebalken [20] oft
eine Lösung des Randwertproblems, indem die Versetzungen in ein FE- Netz eingebettet
werden. In den hier vorgestellten Simulationen wird hingegen das Ranwertproblem des elastischen
Halbraumes mit Hilfe der Methoden der komplexen Analysis gelöst (siehe z.B. auch
Modellierung von Rißspitzenplastizität [13, 14, 15]), wobei Versetzungen unter dem Einfluss
der lokalen Scherspannungen im Medium generiert und bewegt werden. Ein Vergleich
mit verschiedenen Veröffentlichungen zu diesem Thema zeigte zudem, dass die Anwendung
5

1.3 Verschiedene Methoden zur Simulation von Härtetests
eines diskreten Versetzungsmodells auf die Modellierung von Nanoindentierung, in der Art
und Weise, wie sie in dieser Dissertation realisiert wurde, neu ist.
Selbstverständlich ist bei allen hier angeführten Methoden immer zu bedenken, dass es
trotz der steigenden Computerleistung immer noch unmöglich ist, experimentelle Härtetests
tatsächlich vollständig, also über den gesamten Längenskalenbereich (und in drei
Dimensionen), auf Computern zu simulieren. Zwar liefern sogenannte Mehrskalen- Modelle
(Hybrid- Modelle), in denen versucht wird, die oben angeführten Methoden in geeigneter
Weise zu kombinieren (siehe z.B. [16, 17, 18]) gute Ansätze in diese Richtung, doch der
Rechen- und der Zeitaufwand für den Computer wird dabei enorm groß.
6

Kapitel 2
Das Computerprogramm zur
Simulation von Nanoindentierung
In diesem Kapitel will ich zunächst die grundlegenden Annahmen des, in unserer Simulation
verwendeten, diskreten Versetzungsmodells vorstellen und diskutieren [19]. In weiterer Folge
erkläre ich anhand eines Flussdiagramms den Programmablauf und beschreibe ausführlich
die darin enthaltenen Routinen. Mittels eines konktreten Beispiels, das repräsentativ
für alle in der vorliegenden Arbeit durchgeführten Parameterstudien sein soll, will ich abschließend
in diesem Kapitel noch die wichtigsten Ergebnisse einer typischen Simulation
demonstrieren und illustrieren.
2.1 Das diskrete Versetzungsmodell der Simulation
Wie ich bereits in der Einleitung diskutiert habe, muss man heutzutage im Bereich der
Modellierung, trotz der ständig steigenden Computerleistung, immer noch einen sinnvollen
Kompromiss zwischen einer möglichst realitätsnahen Beschreibung der, in einem wirklichen
Experiment auftretenden, Phänomene und der Berechenbarkeit des Problems mit den jeweils
zur Verfügung stehende Mitteln finden. Einen solchen Mittelweg habe ich in dieser
Arbeit mit der Anwendung eines diskreten Versetzungsmodells auf die Beschreibung desplastischen
Materialverhaltens während des Indentierens, versucht zu finden. Dabei wurden
folgende Kriterien, die insbesondere die Emission unddie Bewegung der Versetzungen unter
dem Einfluss der lokalen Scherspannungsfelder betreffen, getroffen:
Im unteren Halbraum werden Gleitbänder unter einem vorgegebenen Winkel zur freien
Oberfläche angeordnet. In jedem dieser Bänder werden dann zufällig, punktartige
Frank-Read Versetzungsquellen positioniert 1 . Selbstverständlich erfolgt die Verteilung
der Quellen – also die Vorgabe einer bestimmten Quelldichte – unter Berück-
1 Grundsätzlich wird in jedem Band jeweils nur eine Versetzungsquelle angenommen, was aber keinerlei
Einschränkung für unser Modell darstellt, da, wie später noch klar werden wird, so nur ein eventuelles
Annihilieren von Versetzungen während der Simulation verhindert wird. Dies wäre mit einer zusätzlichen
Abfrage im Programm verbunden und würde nur wertvolle Rechenzeit konsumieren. Im Falle einer An-
7

2.1 Das diskrete Versetzungsmodell der Simulation
sichtigung des Abstandes zwischen den Gleitbändern, um einen sinnvollen Ablauf der
Simulation zu gewährleisten.
Die Emission von Versetzungen erfolgt in der Simulation ausschließlich durch die
Aktivierung von Frank-Read Quellen 2 . Dabei lautet das dabei angenommene Emissionskriterium:
Erreicht die lokale Scherspannung im Gleitband, die sich aus der
Summe der, durch den Indenter und den Versetzungen induzierten Scherspannungsfelder
errechnet, an der Position einer Versetzungsquelle den vorgegebenen kritischen
Wert für die Emission σEm, so wird ein Versetzungsdipol emittiert (siehe dazu auch
Abschnitt B.2 im Anhang). Zu beachten ist dabei, das durch die Vorgabe des Wertes
für σEm, auch die Distanz zwischen den beiden Dipolversetzungen dEm direkt nach
deren Emission bestimmt wird [20] als
dEm =
µ
4π(1 − ν2 )
b
σEm
. (2.1)
µ bezeichnet den Schubmodul, ν die Poissonzahl und b den Betrag des Burgersvektors.
Bei dieser Distanz sind die beiden Versetzungen gerade im Gleichgewicht und ein
vollständiger “Versetzungs- loop” (Pendant zum Dipol im 3D Fall) hat sich gewissermaßen
abgelöst. Bei geringeren Abständen könnte durch die gegenseitige Anziehung
der beiden Versetzungen der gebildete Dipol gleich wieder ausgelöscht werden. In
wirklichen Metallen gibt es natürlich Quellen mit unterschiedlicher Emissionsspannung.
Um aber die Einflussgrößen klarer zu sehen, wurden sie hier stets konstant
angenommen.
Die emittierten Versetzungen dürfen sich nur auf den vorgegebenen Gleitbändern
bewegen - ein eventuelles Klettern von Versetzungen ist nicht zulässig.
Wir erlauben in der Simulation in diesem Kapitel nur parallele Stufenversetzungen.
Somit müssen wir später im Falle einer Anordnung der Gleitbänder parallel
zur Oberfläche nur zwischen “positiven” und “negativen” Versetzungen unterscheiden.
Mit positiv meine ich hier, das der Burgersvektor der Versetzung in die positive
x1-Richtung zeigt, wohingegen mit negativ gemeint ist, dass dieser in die negative
x1-Richtung weist (siehe Abb. A.1).
Sobald die lokale Scherspannung an der Position einer Versetzung den vorgegebenen
ordnug von Gleitbändern parallel zur Oberfläche haben wir aber ausnahmsweise, um die Quelldichte zu
erhöhen, in jedes Gleitband zwei Versetzungsquellen positioniert, und zwar so, dass sich jeweils eine Quelle
an zufälliger Position mit negativer x1-Koordinate und eine mit positiver x1-Koordinate im Halbraum
befindet. Wir werden ebenfalls später noch sehen, dass auf diese Weise nur Versetzungen mit gleichem Vorzeichen,
die sich gegenseitig abstoßen, begegnen können, und somit kein Annihilieren der beiden möglich
ist 2Grundsätzlich wäre auch eine direkt von der Oberfläche ausgehende Versetzungsemission denkbar und
sicherlich auch in unserem Programm realisierbar. Da wir aber im Programm auch Versetzungsquellen, die
sich sehr nahe an der Oberfläche befinden, zulassen, ist dieser Fall bereits in der Simulation enthalten.
8

2.2 Der Programmablauf der Simulation
Wert der Reibspannung σReib 3 unterschreitet, kommt diese zum Stillstand. Ansonsten
wird sichdie Versetzung in jene Richtung bewegen, wo sie zu einer Verringerung der
lokalen Scherspannung beiträgt. Sobald der Wert der lokalen Scherspannung an der
neuen Position der Versetzung kleiner wird als die Reibspannung, bleibt diese wieder
stehen.
Wenn der gegenseitige Abstand zweier Versetzungen mit entgegengesetzten Burgersvektoren
auf dem selben Gleitband kleiner als 50b ist, so können sich die beiden Versetzungen
annihilieren. Unter Beachtung der vorherigen Bedingung sieht man, dass
Annihilation in unserem Fall nur während der Entlastung auftreten kann und somit
auch nur in der Entlastungsroutine des Programms berücksichtigt werden muss.
2.2 Der Programmablauf der Simulation
In diesem Abschnitt möchte ich dem Leser den von mir entwickelten Algorithmus zur Simulation
eines Nanoindentierungsprozesses erklären. Da das Programm selbst grundsätzlich
in jeder (höheren) Programmiersprache implementiert werden kann 4 , habe ich mich für
eine unabhängige Darstellung mittels Flussdiagramm, welches in Abb. 2.1 dargestellt ist,
entschieden. Diese Darstellung trägt sicherlich zu einem besseren Verständnis des Simulationsablaufs
bei, und ein Abdrucken des Quellcodes an dieser Stelle wäre sehr unanschaulich.
Bereits auf den ersten Blick erkennt man als die zwei Hauptteile des Programms, die Belastungsroutine
und die Entlastungsroutine. Die wohl größte Bedeutung haben darin die
beiden Routinen “Gleichgewichtsanordnung der Versetzungen berechnen” und “Berechnung
der Kontaktspannungen aus der Oberflächenkontur”. Die erste Routine berechnet
mit Hilfe der Methoden aus der Funktionentheorie die relativ umfangreichen Ausdrücke
für die Spannungsfelder und Verschiebungsfelder einer Stufenversetzung im Halbraum (siehe
insbesondere Anhang Abschnitt A.5). Zudem muß die Gleichgewichtsroutine aufgrund
der häufigen Aufrufe und, wie wir noch sehen werden, der großen Anzahl von Versetzungen
besonders effizient programmiert werden, um die Rechenzeit so gut als möglich, zu
verkürzen. In der zweiten Routine kommt bei der Lösung des Halbraum- Randwertproblems
(Kontaktproblem) ebenso die Theorie der komplexen Funktionen umfangreich zur
Anwendung (siehe Anhang A.7). Bei der dabei verwendeten Kollokationsmethode zur Berechnung
der Kontaktspannungen, die im Abschnitt B.1 des Anhangs beschrieben wird,
treten je nach Größe des Überlappintervalls, mehr oder weniger große Gleichungssysteme
auf (n × n-Matrix, mit der Zahl der Kontaktelemente n bis zu 3000), die wir mit einem
iterativen Verfahren lösen.
3 Die Reibspannung ist eine vom jeweiligen Material abhängige Größe und stellt den Widerstand dar,
welchen der Kristall einer Versetzungsbewegung entgegenbringt.
4 Ich habe mich für die Programmiersprache C++ entschieden, da der verwendete GNU C Compiler
einen gut optimierten, schnellen Code erzeugt und außerdem frei erhältlich ist.
9

2.2 Der Programmablauf der Simulation
START
Wahl der Lage der Gleitbänder und zufällige
Verteilung von Versetzungsquellen
BELASTUNGSROUTINE
Eindringtiefe schrittweise
vergrößern
Berechnung der Kontaktspannungen
aus der Oberflächenkontur
Gleichgewichtsanordnung
der Versetzungen berechnen
Aufsuchen jener Versetzungsquelle
wo am größten ist
12,
lok
?
12,
lok
Em
JA
Emission eines Versetzungsdipoles
Gleichgewichtsanordnung
der Versetzungen berechnen
NEIN
NEIN
Ist die
vorgegebene
Eindringtiefe
erreicht?
JA
ENTLASTUNGSROUTINE
Eindringtiefe schrittweise
verringern
Berechnung der Kontaktspannungen
aus der Oberflächenkontur
Gleichgewichtsanordnung
der Versetzungen berechnen
Annihilation von Versetzungen die
die Annihilationsbedingung erfüllen
Ist der
Indenter noch
in Kontakt mit der
Oberfläche?
NEIN
Ende der Simulation
ist erreicht
Abbildung 2.1: Flussdiagramm des Programms zur Simulation von Nanoindentierung.
2.2.1 Der Belastungszyklus
Nach Vorgabe von Gleitbändern im unteren Halbraum und der zufälligen Verteilung von
Versetzungsquellen, wie oben beschrieben, wird die Eindringtiefe des Indenters schrittweise
vergrößert - typischerweise in der Größenordnung von b, um eine Reihenfolgenabhängigkeit
bei der Emission und der Berechnung der Gleichgewichtsanordnung der Versetzungen
so gut wie möglich ausschließen zu können 5 . Aus der Oberflächenkontur können in jedem
Schritt die Kontaktspannungen sowie die lokalen Scherspannungen berechnet werden. Danach
werden in der Gleichgewichtsprozedur die Gleichgewichtspositionen der Versetzungen
bestimmt, indem die lokale Scherspannung an der Position jeder einzelnen Versetzung berechnet
wird. Jene Versetzungen, die dabei eine Scherspannung erfahren, welche größer ist
5 Hierzu wurden auch Vergleichsrechnungen mit noch kleineren Verschiebungsinkrementen als b durchgeführt,
die gezeigt haben, dass das hier gewählte Verschiebungsinkrement klein genug ist.
10
JA

2.3 Ein Beispiel zur Illustration
als die Reibspannung, werden solange schrittweiseverschoben, bis sie in deren Gleichgewichtspositionen
sind. Die Prozedur wird solange wiederholt, bis 98% aller Versetzungen
zu Stillstand gekommen sind. Im Anschluß daran wird abgefragt, für welche der Frank-
Read Quellen die lokale Scherspannung maximal wird. Ist für die Quelle zusätzlich das
Emissionskriterium erfüllt, so wird ein Versetzungsdipol emittiert und die Gleichgewichtsroutine
erneut ausgeführt. Dieser Programmteil wird solange wiederholt, bis keine Quelle
mehr aktiv wird. Den Belastungszyklus lassen wir mehrmals durchlaufen, bis die maximal
vorgegebene Eindringtiefe erreicht ist.
2.2.2 Der Entlastungszyklus
Im Entlastungszyklus wird die Eindringtiefe schrittweise verringert. In jedem Schritt werden,
wie schon im Belastungszyklus, die Kontaktspannungen und die lokalen Scherspannungen
berechnet. Im Anschluß daran wird die Gleichgewichtsprozedur ausgeführt, wobei
jene Versetzungen, für die die lokale Scherspannung größer wird als die negative Reibspannung,
stehenbleiben. Ist für zwei Versetzungen die Bedingung für die Annihilation,
wie oben beschrieben, erfüllt, so wird der betroffene Dipol aus dem Ensemble entfernt.
Wir wiederholen den Entlastungszyklus schließlich solange, bis der Indenter nicht mehr in
Kontakt mit der Oberfläche ist.
2.3 Ein Beispiel zur Illustration
In folgendem Beispiel will ich anhand konkreter Annahmen (Materialparameter, Vorgabe
der Gleitbandorientierung und Indenterform, etc.) den typischen Simulationsablauf und
einige wichtige, aus der Simulation ablesbare, Ergebnisse demonstrieren.
Die Materialparameter der folgenden Beispielsimulation sind in Tabelle 2.1 zusammengefasst.
Tabelle 2.1: Materialparameter eines Simulationsbeispiels
Schubmodul µ 80 GPa
kritische Scherspannung zur Erzeugung von Versetzungen σEm 500 MPa
Reibspannung σReib 100 MPa
Absolutbetrag des Burgersvektors b 2.5 × 10 −10 m
Poisson Zahl ν 0.3
Wir geben einen V-förmigen Indenter mit einem Öffnungswinkel von 140 vor, das einem
vereinfachten Härtetest mit einer Klinge entsprechen würde. Die Vorgabe eines Gleitsystems
erfolgt, indem wir Gleitbänder im unteren Halbraum mit einem gegenseitigen Abstand
von 5b, parallel zur freien Oberfläche anordnen. Die auf den Gleitbändern verteilten
Versetzungsquellen sind in Abb. 2.2 als Punkte dargestellt. Verfolgt man den Ablauf der
Simulation während des Belastens schrittweise, so kann man erkennen, dass zuerst jene
Quellen, die nahe an der Oberfläche und in einer zentralen Region um die x2-Achse liegen,
11

2.3 Ein Beispiel zur Illustration
x 2 [b]
0
-2000
-4000
-6000
-8000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . .
. . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . Versetzungsquelle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
. . .
. . . . .
.
. .
. . . .
.
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
. . .
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . positive
.
. Versetzung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . .
.
.
.
. . . . . .
. .
. . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
.
. . . .
.
.
. . . .
. . . .
. .
.
. . negative . . . Versetzung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
. .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
. . . .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . .
.
.
.
. .
. .
. . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . .
.
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . .
. .
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. . . . . .
. . . .
.
. .
. . . . . . .
.
.
. .
. . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. .
.
. . . .
. . . .
.
. .
. . .
.
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. .
. . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
.
.
.
.
. . . .
. .
. . .
. .
.
.
. .
. . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. .
.
. . . .
.
. . . . .
.
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . .
.
. .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. . .
. . . . .
. .
. .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . .
. . .
.
.
. . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
. .
. .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
. .
. .
.
. . . .
. . . .
. . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . .
.
.
.
. .
. .
. .
. . . .
. .
. . . . . . . . . . . . .
. . .
.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
.
. . . .
.
. .
.
. . .
.
.
. .
. .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. .
. . .
.
. .
.
. . .
. .
. . . .
. .
. . .
. . .
. .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . .
. . . . .
. .
. .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
.
. .
. . . . . . .
. . . . .
. . .
. .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
.
. . .
. . .
. . . . .
. . . . . .
. .
. .
. . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
.
.
. .
. . . . . .
. . . . . .
. . .
. .
.
. . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
.
.
. . . . .
. . . . .
. . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . .
. .
. .
.
. . . . .
. .
. . . .
.
. . .
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. .
. . .
. . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
.
.
. .
. .
. . . . . . .
.
. .
. . .
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
. .
.
. . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . .
. . . .
. . . . . . . .
. . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . .
. . . . .
.
. . .
.
.
. . . . . .
. .
.
.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . .
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
.
. . . . .
. . .
. . . . . . . . . . .
. .
. . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
. . .
. . . .
. . . . .
. .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-10000
.
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000
x 1 [b]
Abbildung 2.2: Positionen der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe und
die Verteilung der angenommenen Quellen.
aktiv werden. Da mit steigender Eindringtiefe auch das Maximum der Scherspannung zufolge
des Indenters größer wird und weiter nach außen wandert (siehe Abb. B.4 im Anhang),
werden zugleich zunehmend auch die tiefer und weiter außen liegenden Quellen aktiviert.
Die Versetzungen wandern unmittelbar nach der Emission unter dem Einfluss der lokalen
Scherspannung in ihre Gleichgewichtspositionen. In Abb. 2.2 ist eine Momentaufnahme der
Positionen der Versetzungen nach erreichter maximaler Eindringtiefe dargestellt. Man erkennt,
dass sich bei dieser Gleitbandorientierung die negativen Versetzungen bevorzugt in
einem zentralen Bereich unterhalb des Indenters ansammeln, während die positiven Versetzungen
weit nach außen wandern und so zu einer relativ großen plastischen Zone beitragen.
Auffällig ist in diesem Bild auch die Anordnung der Versetzungen untereinander in einer
vertikalen Richtung. Diese energetisch besonders “günstige” Lage kann am besten anhand
des σ22-Spannungsfeldes einer Stufenversetzung im Halbraum (siehe Abb. A.4) erklärt werden:
Man erkennt, dass sich im Falle einer solchen Anordnung gerade das Zugspannungsfeld
einer darüberliegenden Versetzung, mit dem Druckspannungsfeld einer darunterliegenden
Versetzung überlagert und sich die Versetzungen wie zwei ungleichnamige Pole eines Magneten
anziehen 6 . Das dabei durch die Versetzungen entstehende Verschiebungsfeld an der
Oberfläche ist, zusammen mit der Verformungskontur (berechnet aus den Kontaktspan-
6 Besonders augenscheinlich tritt dieses Phänomen natürlich bei Versetzungen auf, die sich von der
großen Mehrheit in der Mitte des “Kollektivs” etwas abgespalten haben, wie etwa jene, die bei uns den
Rand der plastischen Zone bilden.
12

2.3 Ein Beispiel zur Illustration
Kont [MPa]
a.)
b.)
u 2 [b]
0
-50000
-100000
-150000
Kontaktspannungsverlauf
-200000
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
100
0
-100
-200
-300
-400
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
x 1 [b]
-10000-8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000
x 1 [b]
Abbildung 2.3: a.) Verlauf der Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe.
b.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen in Abb. 2.2 sowie die
sich einstellende Verformungskontur (=Verschiebung, verursacht durch die Versetzungen
plus den Verschiebungen die sich aus den Kontaktspannungen a.) ergeben) nach erreichter,
maximaler Eindringtiefe.
13

2.3 Ein Beispiel zur Illustration
Kont [MPa]
Kont / N Kont [MPa]
9.e+06
8.e+06
7.e+06
6.e+06
5.e+06
4.e+06
3.e+06
2.e+06
1.e+06
elastische Losung
Belastung
Entlastung
0
0 100 200 300 400 500 600 700
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
x 2-Verschiebung [b]
Abbildung 2.4: Last- Verschiebungskurve.
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
plastische Rechnung
Abbildung 2.5: “Härte”- Verschiebungskurve.
14

2.3 Ein Beispiel zur Illustration
x 2 [b]
0
-2000
-4000
-6000
-8000
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . .
. . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . Versetzungsquelle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
. . .
. . . . .
.
. .
. . . .
.
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
.
. . .
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . positive
.
. Versetzung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . .
.
.
.
. . . . . .
. .
. . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . .
.
. . . .
.
.
. . . .
. . . .
. .
.
. . negative . . . Versetzung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
. .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
. . . .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . .
.
.
.
. .
. .
. . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . .
.
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . .
. .
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. . . . . .
. . . .
.
. .
. . . . . . .
.
.
. .
. . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. .
.
. . . .
. . . .
.
. .
. . .
.
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. .
. . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
.
.
.
.
. . . .
. .
. . .
. .
.
.
. .
. . . . . . . . . . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. .
.
. . . .
.
. . . . .
.
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . .
.
. .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. . .
. . . . .
. .
. .
. . . . . . .
. . . . . . . .
. .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . .
. . .
.
.
. . . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
. .
. .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
. .
. .
.
. . . .
. . . .
. . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . .
.
.
.
. .
. .
. .
. . . .
. .
. . . . . . . . . . . . .
. . .
.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
.
. . . .
.
. .
.
. . .
.
.
. .
. .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. .
. . .
.
. .
.
. . .
. .
. . . .
. .
. . .
. . .
. .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . .
. . . . .
. .
. .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
.
. .
. . . . . . .
. . . . .
. . .
. .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
.
. . .
. . .
. . . . .
. . . . . .
. .
. .
. . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
.
.
. .
. . . . . .
. . . . . .
. . .
. .
.
. . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
.
.
. . . . .
. . . . .
. . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . .
. .
. .
.
. . . . .
. .
. . . .
.
. . .
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. .
. . .
. . . . . . .
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
.
.
. .
. .
. . . . . . .
.
. .
. . .
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
. .
.
. . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. . .
. . . .
. . . . . . . .
. . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . .
. . . . .
.
. . .
.
.
. . . . . .
. .
.
.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . .
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
.
. . . . .
. . .
. . . . . . . . . . .
. .
. . .
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
. . .
. . . .
. . . . .
. .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-10000
.
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000
x 1 [b]
Abbildung 2.6: Positionen der Versetzungen nach der totalen Entlastung.
nungen in Abb. 2.3 a), in Abb. 2.3 b dargestellt. Der Verlauf der Kontaktspannungen zeigt
sehr schön die deutliche Zunahme der Druckspannungen (negativ) im Bereich der Indenterspitze
7 . Man erkennt in Abb. 2.3 b die deutliche Absenkung, die durch die negativen
Versetzungen hervorgerufen wird, und den sogenannten “Pile-up” an den Rändern, der
durch die positiven Versetzungen verursacht wird (siehe Abb. A.5 a) 8 . Es ist sehr schön
zu sehen, wie das System durch die Emission und das Wandern von Versetzungen und das
sich aus diesen Versetzungen ergebende Verschiebungsfeld versucht, die Form des Indenters
bestmöglich “wiederzugeben”.
Nachdem alle Simulationen in dieser Arbeit verschiebungskontrolliert ablaufen, setzt
sich jeder einzelne Punkt in der Last- Verschiebungskurve, wie sie in Abb. 2.4 dargestellt
ist, zusammen aus der Summe der Kontaktspannungen σKont der Kontaktelemente mit
Druckspannungen (Gesamtlast) und der x2-Verschiebung der Indenterspitze (vorgegebene
Eindringtiefe, plus dem Beitrag, der durch die Versetzungen deformierten Oberflächenkontur),
nach jedem Be- bzw. Entlastungsschritt. Ebenso ist die elastische Lösung miteingezeichnet,
die der Lösung des Kontaktproblems, ohne dass eine Versetzungsemission
7 Nachdem in unserem Fall das Kontaktintervall in Kontaktelemente endlicher Breite diskretisiert wurde
und sich direkt an der Indenterspitze ein solches Kontaktelement befindet (siehe Abb. B.1 im Anhang),
besitzen die Spannungen an der Spitze einen endlichen Wert (u2-Verschiebung wäre an einer Ecke nicht
differenzierbar!).
8 Man kann diesen Verlauf des Verschiebungsfeldes am besten verstehen, indem man sich die jeweilige
σ22-Spannung einer Versetzung mit Burgersvektor parallel zur Oberfläche in Abb. A.4 b des Anhangs
ansieht: Der Druckbereich baucht die Oberfläche aus, während der Zugbereich diese absenkt.
15

2.3 Ein Beispiel zur Illustration
zugelassen wird, entspricht.
Die wohl interessantesten Größen in allen durchgeführten Simulationen sind sicherlich
die Härte und deren Verlauf mit zunehmender Eindringtiefe des Indenters, wie er beispielsweise
in Abb. 2.5 dargestellt ist. Zu diesem Zweck habe ich eine mittlere Spannung
ausgerechnet, indem ich die Summe der Kontaktelemente mit Druckspannungen durch die
Anzahl der Kontaktelemente welche Druckspannungen aufweisen, NKont, dividiert habe.
Die so definierte, mittlere Spannung erlangt in unseren Simulationen die Bedeutung einer
nominellen Härte. In Abb. 2.5 ist diese gegen die x2-Verschiebung der Indenterspitze aufgetragen.
Man erkennt deutlich, dass im Anfangsstadium des Indentierens die Härte noch den
selben Verlauf wie im rein elastischen Fall annimmt, in weiterer Folge mit steigender Eindringtiefe
abnimmt, und letztendlich einen konstanten Wert erreicht. Als Sättigungswert
der nominellen Härte wird dabei jener Wert definiert, der sich in den Simulationen ohne angenommene
Versetzungshindernisse und bei ausreichender Anzahl von Versetzungsquellen
einstellt und sich mit zunehmender Eindringtiefe des Indenters nicht mehr ändert. Somit
können wir diesen typischen Verlauf der Härte mit zunehmender Eindringtiefe des Indenters
als Übergang vom diskreten plastischen zum Sättigungswert der nominellen Härte
bezeichnen. Es ist ebenso bemerkenswert, dass die Abnahme der Härte mit zunehmender
Eindringtiefe (ein Phänomen, das in der Literatur als “Indentation size effect (kurz
ISE)” bekannt ist) als intrinsischer Effekt unseres Modells bei kleinen Eindringtiefen des
Indenters in Erscheinung tritt. Einige weitere mögliche Ursachen und Erklärungen für das
Auftreten dieses Effekts werde ich im Kapitel 4 diskutieren.
u 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
Kontur der Versetzungen bei Maximallast
Kontur der Versetzungen nach Entlastung
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000
x 1 [b]
Abbildung 2.7: Vergleich der von den Versetzungen verursachten Konturen bei Maximallast
und im entlasteten Zustand.
16

2.3 Ein Beispiel zur Illustration
In Abb. 2.6 habe ich die Versetzungsanordnung nach der totalen Entlastung eingezeichnet.
Man erkennt bei einem Vergleich mit Abb. 2.2, dass die am weitesten außen liegenden
Versetzungen beinahe alle an ihren Positionen geblieben sind, währenddessen die innen
liegenden einander nahe genug gekommen sind und annihilieren konnten. Nach totaler Entlastung
ist in diesem Fall etwa die Hälfte der im Belastungszyklus emittierten Dipole im
Medium verblieben und bildet dort die plastische Zone. Abbildung 2.7 zeigt einen Vergleich
der von den Versetzungen in Abb. 2.2 (Maximallast) und in Abb. 2.6 (totale Entlastung)
verursachten Oberflächenkonturen. Da, wie bereits erwähnt, während der Entlastung viele
Dipole im Bereich der zentralen Region unterhalb des Indenters ausgelöscht werden, weist
der verbleibende Eindruck im entlasteten Zustand eine deutlich geringere Tiefe und auch
wesentlich kleinere, deutlich flachere pile-ups an den Rändern auf als bei Maximallast.
17

Kapitel 3
Ergebnisse und Diskussion der
Simulationen
In diesem Teil der Arbeit will ich die, mit dem im vorigen Kapitel vorgestellten Computerprogramm,
erhaltenen Ergebnisse präsentieren und versuchen, diese zu interpretieren.
Dabei werden sowohl Parameterstudien, die den Einfluss von Quelldichte sowie Quell- und
Reibspannung zeigen sollen, als auch Simulationsabläufe dargestellt, welche die Bedeutung
der Orientierung des Gleitsystems wiedergeben. Weiters werden in dieser Arbeit die
Auswirkungen der Indenterform (klingenförmig, zylindrisch und abgerundete Klinge) auf
die Resultate untersucht. Schließlich wird zum Abschluss der Einfluss der Mikrostruktur
auf den Verlauf der Härte- Verschiebungskurven, auch anhand von Versetzungshindernissen
und räumlich begrenzter Versetzungsbewegung (z.B. Korngrenzen oder dünne Filme),
gezeigt [21, 22].
3.1 Der Einfluss der Quelldichte
Ich habe bereits in Abschnitt 2.1 diskutiert, dass wir in unserem Modell die Quellen zufällig
verteilen. Im Falle der Anordnung von Gleitbändern parallel zur Oberfläche, den wir hier
studieren wollen, haben wir die Möglichkeit, die Quelldichte einerseits durch den Abstand
zwischen den Gleitbändern und andererseits durch den Intervallbereich der x1-Koordinaten
der Versetzungsquellen vorzugeben. Für die beiden folgenden Simulationen habe ich die
Materialparameter aus Abschnitt2.3, Tabelle 2.1 übernommen. Ebenso wurden sowohl die
Form des Indenters (V-förmig mit Öffnungswinkel von 140), als auch der Abstand zwischen
den Gleitbändern (5b) beibehalten.
In Simulation (a) wurden 12000 Frank-Read Quellen innerhalb eines Bereiches von
(4000 × 30000)b verteilt, in Simulation (b) habe ich die Quelldichte verringert, indem ich
ebenfalls 12000 Quellen auf einer Fläche von (14000 × 30000)b positioniert habe (dh.: die
Quelldichte ist im zweiten Fall in etwa um 1/3 geringer).
In Abb.3.1 ist die Versetzungsanordnung für die Simulationen (a) und (b) nach der
maximalen Eindringtiefe, zusammen mit den aktiven Versetzungsquellen, dargestellt. Ver-
18

3.1 Der Einfluss der Quelldichte
x 2 [b]
x 2 [b]
(a)
(b)
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
. aktive Versetzungsquelle
positive Versetzung
negative Versetzung
. . . . . . .
. . .
. .
. .. .
.
. . .
.
.
.
. . . ..
. . . . . .. . .. .
. .
.
. . .. . . ... . .
.. . . . .
. . .
. .. .
.. .
.
. . .
. . .. . . . .. ... .
. .
. .. .
. .
. . . .. . .. . ..
.
. . .. .
.. . .. . .
. . . . .. . . . .
. . . .. . .
. .. . .
. .. . .
. . .. . . . .. .
. . .
. . . . . . .. . . .
.
.
.. . . . . . . ... .
.. .
. ... .
.. . .. . . . .
. . . . .
. . .
.. .
.
.
. .
. . . . . .
. .
. .. .
.
. .
. . . . .. .
. .
.
. . .
. . . . . .. .
..... . ..
. . .
. . . . . ..
.
.
. .
. . .
.
. .
. . .
. . . . . .
. ... . . .. . ... . . . .
. . . . . . . . .
.
.. .
. .. . .. . . . . . . . .
.
.
. . . . . .. . . . . . .. . .
. . .. . . . . .
. . . .
.
.
.
. .
.. .. . . . . .
. . . . .
. . . . . .. . . . .
. .. .
. .
.
.
.
. . .. . .. . . .. .
. ... . . . .
. . . .
. . .
. ... .
.
.
. .
.
. .. . . . . .
. . .
.. . . .. . . .
.
.
. . . .
. . . .
. . .. . .. . . .. . .. . . . . .
. .
. .. . . . . . .. .
. . . . . . .
. .. . .
.
. . .. . .
. . .
.. .
.
.
. .
.
. . . . . . . . . . .
.
. .
.
. .. .
. .
. .. . . .
.
. .. . .
.
. . ..
. .. . .
. .. . .
. . . .. . . .
.
.
.
. .
... . . . .
. .. . . . .. .
. . . . . . . .
.
. . . .. .
. . ... . ... .
.
.. . .
.. . . ... . .
.. .. . ... . ...
. ... .. .
.. . . . .
..
.. ... . .
. . .
. . . .
. .
. . . . .
. . . . .
. .
. . . ... . . .. .
.. . . . .
. .
. . .
. .
. . .. . . .
.
. . .
. . . .. . .
. . .. . .
.
... . . . . .
..
.
.
. .
. . .
. .. . .
.. .
.
. . .. . .. . .
. .
.. .
. . . . .
.. .
. .
. . .
. .
. .
. . .
. . .
. . .
.. . .
. . ..
. . . .
. . . .
. . .. .. . ... ... . . . .. . . .. .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. .
. .. .. . ..
.
. . .
. ... .. .
.. .
. . . ..
. . .
. . .. .
. . . .
. . ..
. .
. ... .
. . .. . . .
. . ..
. . . . . . .
. . . .
.
.
. . . . .
. . . . . .
. . . . .. . .
..
. . . . .
.
. . .
. . .. .
.
. .
. . . .
. ... . .
. .
. . .
. .
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
Abbildung 3.1: Positionen der Versetzungen nach der maximalen Eindringtiefe von 400b:
(a) für die höhere und (b) für die geringere Quelldichte.
19

3.1 Der Einfluss der Quelldichte
Kont [MPa]
0
-20000
-40000
-60000
-80000
-100000
-120000
-140000
-160000
-180000 Simulation (a)
Simulation (b)
-200000
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
x 1 [b]
Abbildung 3.2: Verlauf der Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
in Simulation (a) und (b).
Kont [MPa]
9.e+06
8.e+06
7.e+06
6.e+06
5.e+06
4.e+06
3.e+06
2.e+06
1.e+06
elastische Losung
Simulation (a)
Simulation (b)
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
Abbildung 3.3: Last- Verschiebungskurven der Simulationen: (a) für die höhere und (b) für
die geringere Quelldichte.
20

3.1 Der Einfluss der Quelldichte
gleicht man (a) mit (b), so fällt sofort auf, dass im Falle der höheren Quelldichte (a),
mehr Versetzungsdipole emittiert wurden (2886 in Simulation (a) gegenüber 1965 in (b)).
Dieses Ergebnis verwundert nicht allzusehr, denn man kann sich überlegen, dass in Simulation
(a) eine größere Anzahl von Frank-Read Quellen im Bereich vom Maximum des
Scherspannungsfeldes zufolge des Indenters liegt und somit auch eine mögliche Aktivierung
dieser Versetzungsquellen steigt. Zudem werden aber auch durch die größere Anzahl
an negativen Versetzungen die Kontaktspannungen in Simulation (a) deuticher verringert
als vergleichsweise in (b) (siehe Abb. 3.2).
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
Simulation (a)
Simulation (b)
Abbildung 3.4: Härte- Verschiebungskurven der Simulationen: (a) für die höhere und (b)
für die geringere Quelldichte.
Abbildung 3.3 zeigt den Verlauf der Last- Verschiebungskurven der beiden Simulationen.
Wie zu erwarten, ist in Simulation (b) eine höhere Last erforderlich, um dieselbe
Eindringtiefe wie in Simulation (a) zu erreichen. Da es, wie wir bereits vorhin erkannt
haben, bei einer höheren Quelldichte leichter ist, Quellen zu finden, die aktiviert werden
können, lässt sich das Material in (a) besser plastisch verformen und die beiden Kurvenverläufe
werden klar. Den Verlauf der Härte habe ich in Abb. 3.4 dargestellt. Wie bereits
in der Beispielsimulation des vorherigen Kapitels beobachtet man auch hier eine Abnahme
der Härte mit zunehmender Eindringtiefe. Für das Material mit der höheren Quelldichte
passiert diese Abnahme schneller, und der Sättigungswert der nominellen Härte wird bereits
nach kleineren Eindringtiefen erreicht als in Simulation (b). Dafür verantwortlich ist,
wie auch schon zuvor angeführt, das zahlreichere Vorhandensein von Quellen im Bereich
des Maximums der Scherspannung vom Indenter. Man erkennt aber auch, dass sich der
21

3.2 Der Einfluss von Quell- und Reibspannung auf den Verlauf der Härte
Sättigungswert der nominellen Härte der beiden Simulationen mit zunehmender Eindringtiefe
immer mehr ein und demselben Wert nähert, wie es letztendlich auch in einem realen
Experiment der Fall ist. Auf eine Darstellung der diversen Konturen (Versetzungen sowie
Eindruck) wurde hier verzichtet, da sich diese sowohl untereinander als auch von denen in
Abb. 2.3 kaum unterscheiden. Ebenso wurden die Versetzungsanordnungen nach der totalen
Entlastung hier weggelassen, da sich ohnehin ein ähnliches Bild wie in Abb. 2.6 ergibt,
wo etwa die Hälfte der nach der Belastung emittierten Versetzungen annihilieren konnten.
3.2 Der Einfluss von Quell- und Reibspannung auf
den Verlauf der Härte
Das plastische Materialverhalten wird vor allem in rein Metallen, Legierungen und einigen
intermetallischen Werkstoffen entscheidend durch das Vorhandensein und die Bewegung
von Versetzungen bestimmt. Für letzteres sind in unseren Simulationen jeweils die Quellund
die Reibspannung die beiden hauptverantwortlichen Parameter.
Tabelle 3.1: Einfluss von Quell- und Reibspannung.
Simulation (c) (d) (e) (f) (g) (h)
σEm (MPa) 250 250 250 500 500 500
σReib (MPa) 50 100 200 50 100 200
Die Auswirkungen einer Variation dieser beiden materialabhängigen Größen auf den
Härteverlauf mit zunehmender Eindringtiefe des Indenters wollen wir in diesem Abschnitt
etwas genauer untersuchen. Zu diesem Zweck wurden insgesamt 6 Simulationen (c)–(h)
durchgeführt, wobei die entsprechenden Variationen von σEm und σReib in Tabelle 3.1 zusammengefasst
sind. Der Indenter ist auch hier V-förmig mit einem Öffnungswinkel von
140, und der Abstand zwischen den parallel zur Oberfläche angeordneten Gleitbändern
beträgt 5b. Selbstverständlich habe ich für alle Simulationen die gleiche Anordnung der
Quellen angenommen, damit ein eventueller Einfluss der vorgegebenen Quelldichte auf das
Ergebnis auszuschließen ist (siehe Abschnitt 3.1).
Sieht man sich den Verlauf der Härte mit zunehmender Eindringtiefe in Abb. 3.5 an, so
ist das Ergebnis zunächst ein wenig überraschend: Die Reibspannung nimmt zwar Einfluss
auf die Abnahme der Härte mit zunehmender Eindringtiefe (siehe dazu auch Abschnitt 2.3:
“Indentation Size Effect”), eine Auswirkung auf den Sättigungswert der nominellen Härte
scheint aber hier nicht gegeben zu sein. Dieser wird in unseren Simulationen offensichtlich
nur von σEm gesteuert und zwar derart, dass in etwa die doppelte Härte erhalten wird,
wenn wir ebenso die Emissionsspannung verdoppeln. Eine Erklärung dafür, warum der
Grad der Abnahme der Härte mit zunehmender Eindringtiefe für einen kleineren Wert von
σReib kleiner ist, liefert eine Betrachtung der beiden Bilder 3.6 und 3.7. Man erkennt, dass
sich die positiven Versetzungen unter dem Einfluss einer kleineren Reibspannung weiter
vom Zentrum unterhalb des Indenters wegbewegen (Abb. 3.6) und deshalb auch der “pile-
22

3.2 Der Einfluss von Quell- und Reibspannung auf den Verlauf der Härte
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
x 2-Verschiebung [b]
elastische Losung
Simulation (c)
Simulation (d)
Simulation (e)
Simulation (f)
Simulation (g)
Simulation (h)
Abbildung 3.5: Härte- Verschiebungskurven der Simulationen (c)–(h) zur Studie des Einflusses
von Quell- und Reibspannung mit den Parametern aus Tabelle 3.1.
up” (siehe Abschnitt 2.3) an den Rändern des Indents kleiner wird. Somit wird aber auch
das Kontaktintervall kleiner, und die unmittelbare Auswirkung auf den Härteverlauf wird
klar. Ein weiterer, deutlich sichtbarer Effekt, der in unserem Modell in erster Linie von
der Quellspannung gesteuert wird, ist der ausgeprägtere Indentation Size Effect für den
kleineren Wert von σEm. Ich will die unterschiedlichen Härteverläufe exemplarisch anhand
von Abb. 3.8 verständlich machen, in der die in Simulation (d) und (g) aktivierten Quellen
dargestellt sind. Man erkennt zunächst, dass für den kleineren Wert der Quellspannung
weitaus mehr Quellen auch in den Randbereichen (und in größeren Tiefen) rund um den
Indenter aktiviert wurden als vergleichsweise in Simulation (g). Vor allem für die, von den
äußeren Quellen emittierten, “negativen” Versetzungen hat das zur Folge, dass diese (gleiche
Reibspannung vorausgesetzt) erst viel “später”, also bei größeren Eindringtiefen, wenn
auch die lokale Scherspannung größer ist, in die zentrale Region unterhalb des Indenters
gelangen. Somit wird die Form des Indenters, die hier in erster Linie vom Verschiebungsfeld
der negativen Versetzungen bestmöglich wiederzugeben versucht wird (siehe dazu auch Abschnitt
2.3 und Abb. 2.2 bzw. Abb. 2.3), in Simulation (d) ebenfalls erst später realisiert.
Dies äußert sich in Rechnung (d) gerade deshalb in einer geringeren Abnahme der Härte
mit zunehmender Eindringtiefe als in Simulation (g).
23

3.2 Der Einfluss von Quell- und Reibspannung auf den Verlauf der Härte
x 2 [b]
x 2 [b]
(a)
(b)
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
. aktive Versetzungsquelle
positive Versetzung
negative Versetzung
. . .
. . .
.. . . .
. . .. . . . .
. . .
.
. .
. .. . .. .
. .
. .
. . .
.
. . . .... ..
. . . . . . . .. . .. .
.
.
.
.
.
. . . . .... . . .. .
. .
.
. . . . .. . . .
. .
. .. . . . .
. . . .
. . . . . . . . .. . .
.
.
. .
. .
. . .. . . . . .
. . . .
. . . . . . .
. .. .
.
. .
. .. . .. . .. . . .
. . . . .. .
. . .
. .
. ..
.
. .
. . . .. . . . .
. .
.
.
.
.
. .
. .
. . . .. . . . . .
. .
.. . .. . . . .. .
. .. . . . .
. . . . . . . .. . . ... . .
. .
. . .
. . .
. . . . . . . .. . .
.
. .
. . . .
.
. .
. .. . . . . . .
.
. . . .. . .. . . .. .. . . .. . . . .
.
. . .
. . .
. . . .
. . .. . ... .
.
. . . .
.
. . . .
. ..
. ..
. . .. . .
. . .
.
. .
. . . . . .. . .
. .. . . . .
. . .. . .
. . .... .. . . . . . . .
.
. . .. .
.
. . . . .. . .
.
. . . . .. . . .. . .. .
. .. . . . . . . .. . . ... . . .
. . . . .
. . . . .. .
. .
.
.
. . .. . . .. . .
.. . ..
.
. .
. .. . . .. .
. .
.. . . .
. . . . .. . . . . . .
... . . . . . .. .
.. . . .
. .
. . .. . . . . . . .
.
. .
. . . . .. . . .
. . .
.
.
.
. . .
. .
.. . . . .
. ..
.
. . .
. .
. .. . . . .. . .
. . . .
. . . . . . . .
. . . . .
. .
. . . ... . . . . .. . . . .
.. . . .
. . .. . . . .
.
.
. .
. . . .. . .
. . .. .
.
. . .
.
.
.
. . . . .... . . .
.
.
. . .
.
.
. . . .. . . . .
.
. .
. .
. .
. .
.
.
. . .. . .
.
. . . . . .. . . .. .
... . . .
. .
. . . .
. . . . . . . . .
. .
.
. . . .
. . . . . . . . .. . .
. . .
. . . .. . .
. .
. .. .
.
. . . . . .
. . . . . .
. . . ..
. . .
. .. . .
. .
.
. .
. . . . . . . . .
.
.. . . .. . .
. . . ..
. . . . .
. . . . . .
. . . .
. .
. .. . . .. . .. . .
. . . . . .. . . .. . . .
.
.
. . .. .
. .
. . . . . . .. . . .
. . .
. .
. .
. . .
. . . . . . . .
.. . . . . .. . .. .
. . .
. .
. .
. . ..
. . . . . . . .. .
. . . .. . . . . .. . .
. . .. .
. . .
. .
. . . . . .
.
.. . . . . . . .
.. . .
. .
. .
. . . .
. . . .
. . . . .
. . .. . . . . . . .. . .
.
.
.
. .
. . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . .
. . . . .
.
.
. . . . .
. . . . . .. .
.. . .. .
. . ... . . .
.. . . .
. . . . .
.
. .. .. . . .
. . . . .
.. . . .. .
. . . . .
.
. . . . . . . .
. .. . . . . .
. .
.
. .. . . . . .
. .. . .
. . .
. . . .. .
. .. . .. . .
. .. . . . . .. . .
.
. . . .. . .. . . ..
.
.
.
. . . .
. . . .. . . . . . .
..
. . . . . ... . .
.. .
.. . . . .
. . .
.
.
. . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . .
...
.
. . . . . ....
. . .
.
. . . . . . .
. . .. .
. . .
. ... . .... . . .. . .. .
. .
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
Abbildung 3.6: Positionen der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe: (a)
für Simulation (g): σEm = 500 MPa, σReib = 100 MPa; (b) für Simulation (h): σEm = 500
MPa, σReib = 200 MPa.
24

3.2 Der Einfluss von Quell- und Reibspannung auf den Verlauf der Härte
u 2 [b]
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300 Kontur von Sim. (g)
Kontur von Sim. (h)
-350
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
Abbildung 3.7: Verschiebungen an der Oberfläche, hervorgerufen durch die Versetzungen
in Abb. 3.6.
x 2 [b]
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
-12000
-14000
aktive Quellen in Sim. (d)
aktive Quellen in Sim. (g)
-16000
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000
x 1 [b]
Abbildung 3.8: Aktivierte Quellen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe für Simulation
(d): σEm = 250 MPa, σReib = 100 MPa und Simulation (g): σEm = 500 MPa, σReib = 100
MPa.
25

3.3 Der Einfluss der Indenterform
3.3 Der Einfluss der Indenterform
In allen bisherigen Simulationen habe ich bis jetzt die Indentergeometrie (Klingenform)
nicht verändert. Das hatte selbstverständlich einen guten Grund, denn in der Regel sind
nur Härtewerte untereinander vergleichbar, die unter den gleichen Bedingungen ermittelt
wurden 1 . Meist werden dabei in Experimenten pyramidenförmige Indenter verwendet,
wie z.B. Berkovich Indenter (3-seitige Pyramide) oder Vickers Indenter (4-seitig). Aber
auch radialsymmetrische Formen (z.B. sphärischer Indenter, kegelförmiger Indenter etc.)
kommen vielfach zum Einsatz. Bei den ersteren ist besonders zu beachten, dass eine herstellungsbedingte
Spitzenverrundung (r ≈ 50nm), die nach häufigem Indentieren zunimmt
(Verschleiß), unvermeidbar ist. Um die Auswirkungen der Form des Indenters zu studie-
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
Tabelle 3.2: Einfluss der Indentergeometrie.
Simulation σEm (MPa) σReib (MPa) α () r (b)
(i) 500 100 – 400
(j) 500 200 140 100
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
x 2-Verschiebung [b]
Simulation (h)
Simulation (i)
Simulation (j)
elast. Losung v. Sim. (i)
elast. Losung v. Sim. (j)
Abbildung 3.9: Härte- Verschiebungskurven der Simulationen (i) (Zylinder) und (j) (abgerundete
Klinge im Vergleich mit der Klinge aus Simulation (h)) zur Studie des Einflusses
der Indenterform.
1 So findet man in einem vollständigen Ergebnis einer Härtemessung auch immer eine Angabe des jeweils
angewandten Prüfverfahrens, das Aufschluss über die Form des Eindringkörpers gibt.
26

3.3 Der Einfluss der Indenterform
Kont [MPa]
1.e+07
9.e+06
8.e+06
7.e+06
6.e+06
5.e+06
4.e+06
3.e+06
2.e+06
1.e+06
Simulation (i)
Simulation (j)
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
Abbildung 3.10: Last- Verschiebungskurven der Simulationen (i) (Klinge) und (j) (abgerundete
Klinge) zur Studie des Einflusses der Indenterform.
Kont [MPa]
0
-5000
-10000
-15000
-20000
-25000
-30000
-35000 Simulation (i)
Simulation (j)
-40000
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
x 1 [b]
Abbildung 3.11: Verlauf der Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
in Simulation (i) (Zylinder) und (j) (abgerundete Klinge).
27

3.3 Der Einfluss der Indenterform
u 2 [b]
50
0
-50
-100
-150
Simulation (i)
Simulation (j)
-200
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
Abbildung 3.12: Vergleich, der von den Versetzungen von Simulation (i) (Zylinder) und (j)
(abgerundete Klinge) verursachten Konturen im entlasteten Zustand.
ren, habe ich zusätzlich zu der bereits bestehenden Rechnung (h) des vorigen Abschnittes
(klingenförmiger Indenter) zwei weitere Simulationen durchgeführt. In Simulation (i) wurde
ein Härtetest mit einem zylinderförmigen (Pendant zum sphärischen Indenter in drei
Dimensionen) und in Simulation (j) mit einem klingenförmigen Indenter mit (zylindrisch)
abgerundeter Spitze (Simulation der Spitzenverrundung von pyramidenförmigen Indentern)
durchgeführt. Die Materialparameter sind zusammen mit den jeweiligen Annahmen
für die Indentergeometrie (Öffnungswinkel der Klinge α und Radius des Zylinders bzw.
der abgerundeten Klinge r) in Tabelle 3.2 eingetragen. Die Gleitbänder wurden in beiden
Simulationen, wie schon in Abschnitt 3.2, parallel zur Oberfläche in einem Abstand von
5b angeordnet. Ebenso wurde auch die dort getroffene Quellanordnung beibehalten, um
das Ergebnis der abgerundeten Klinge mit dem klingenförmigen Indenter vergleichen zu
können.
In Abb. 3.9 sind die Härte- Verschiebungskurven der Simulationen dargestellt. Für den
Zylinder erkennt man im Frühstadium des Indentierens dabei einen deutlich Anstieg der
nominellen Härte, bis diese im weiteren Verlauf einen nahezu konstanten Wert annimmt.
Wir erhalten somit keinen Indentation Size Effect im herkömmlichen Sinn, was mit den
Ergebnissen, die vergleichsweise für sphärische Indenter erhalten werden [31], gut übereinstimmt.
In Simulation (j) zeigt sich ein Anstieg der Härte mit zunehmender Eindringtiefe,
solange der zyliderförmige Teil des Indenters den Prozess dominiert. Danach beginnt der
klingenförmige Anteil mehr Einfluss auf den Kurvenverlauf zu nehmen, und die Abnahme
28

3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
der Härte mit zunehmender Eindringtiefe ist deutlich zu erkennen. Es ist bemerkenswert,
dass der Sättigungswert der nominellen Härte dieser Rechnung in guter Übereinstimmung
mit dem Ergebnis aus Simulation (h), das ich zum direkten Vergleich ebenfalls in Abb.
3.9 dargestellt habe, ist. Dieses Resultat deutet darauf hin, dass in unserer Simulation der
angenommene Radius der abgerundeten Klinge keinen Einfluss auf den Sättigungswert der
Härte hat.
Ein interessantes Bild liefert an dieser Stelle auch ein Vergleich der Last- Verschiebungskurven
und der übrigbleibenden Konturen der Versetzungen nach der totalen Entlastung.
Sieht man sich zunächst exemplarisch die Belastungskurven von Simulation (i) und (j) in
Abb. 3.10 an, so erkennt man, dass im Frühstadium des Belastens für das Erreichen der gleichen
(plastischen) Eindringtiefe im Falle des zylinderförmigen Indenters eine größere Last
erforderlich ist, als im Falle der abgerundeten Klinge (kleinerer Radius des zylinderförmigen
Teils!). Im weiteren Verlauf bewirkt dann die flachere Kontur der abgerundeten Klinge
ein deutlich erschwertes Eindringen des Indenters. Dieses Verhalten geht auch sehr deutlich
aus Abb. 3.11, in der die Kontaktspannungsverläufe der beiden Rechnungen vergleichsweise
dargestellt sind, hervor. Man erkennt ein deutlich breiteres Kontaktintervall im Falle der
abgerundeten Klinge und ebenso die größere Fläche unter der Kurve (entspricht in unserer
Simulation der Gesamtlast) in Simulation (j). Weiters entnimmt man den Entlastungskurven
und der Abb. 3.12, welche die Oberflächenkonturen nach dem Entlasten zeigt, dass der
zurückbleibende Eindruck und damit die im Medium verbleibende plastische Verformung
im Falle der abgerundeten Klinge größer ist.
3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
Bisher haben wir in allen Simulationen ein Gleitsystem angenommen, das parallel zur
Oberfläche orientiert war. Unter einer solchen Voraussetzung ist es selbstverständlich für die
Versetzungen unmöglich, an die freie Oberfläche zu gelangen. Dies wird bei einer beliebigen,
allgemeinen Orientierung der Gleitbänder sehr wohl möglich und muss auch im Programm
entsprechend berücksichtigt werden.
Im Falle von Gleitbändern normal zur Oberfläche verursacht jene Versetzung des Dipols,
die sich an der Oberfläche befindet, eine Stufe (Stufenhöhe=Absolutbetrag b des Burgersvektors),
wie es der Abbildung A.5 b des Anhangs zu entnehmen ist. Für den korrekten
Ablauf des Computerprogramms bedeutet das in unserem Fall, dass die Versetzungen,
die der Oberfläche nahe genug kommen (hier wurde ein Abstand von 5b angenommen),
bereits zur Oberfläche gezählt, d.h. an die Oberfläche gesetzt werden 2 . Jede Versetzung
bedeutet dabei eine Vergrößerung der Stufenhöhe um den Betrag b. Durch das Auftreten
dieser Oberflächenstufe geht aber der eigentliche Versetzungscharakter der verursachenden
Versetzung gewissermaßen verloren, und ihr Spannungsfeld muss bei der Berechnung
2 Rein rechentechnisch werden die Versetzungen genaugenommen auf eine Position, einen b vor der Oberfläche
entfernt, gesetzt, um einen definierten Wert der Verschiebung dieser Versetzungen an der Oberfläche
zu erhalten.
29

3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
x 2 [b]
(a)
u 2 [b]
(b)
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-5000
-10000
-15000
-20000
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
. .
. . . . . . .
. . ... .
. ..
. . . .
. . . . . . .. . . .
-25000 . aktive Versetzungsquelle
Versetzung
-30000
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000
x 1 [b]
..
.
. . . .. . . Abbildung 3.13: Simulation (k) (kleinere Quelldichte): a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen
durch die Versetzungen in b.) sowie die sich einstellende Verformungskontur (Verschiebungen,
verursacht durch die Versetzungen, plus den Verschiebungen, die sich aus den
Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter, maximaler Eindringtiefe. b.) Positionen der
Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe und die aktivierten Quellen.
30

3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
Kont [MPa]
0
-50000
-100000
-150000
-200000
-250000
Simulation (k)
-300000
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000
x 1 [b]
Abbildung 3.14: Verlauf der (lokalen) Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
in Simulation (k) (kleinere Quelldichte).
der lokalen Scherspannungen nicht mehr berücksichtigt werden 3 . Sie liefert aber trotzdem
indirekt, wie ich bereits im Abschnitt B.2 des Anhangs angedeutet habe, mit ihrem Verschiebungsfeld
einen Beitrag zum lokalen Scherspannungsfeld, da sie die Kontaktspannung
und damit auch das Scherspannungsfeld zufolge des Indenters verändert. Um die beiden
auftretenden Typen von Versetzungen (“positiv” und “negativ” macht nach der in Kapitel
2 getroffenen Vereinbarung hier keinen Sinn) unterscheiden zu können, sprechen wir
im Weiteren von Versetzungen, die zur Oberfläche, und jenen, die tiefer in das Material
wandern.
Um den Einfluss der Orientierung des Gleitsystems zu studieren, habe ich in Simulation
(k) und (l) Gleitbänder mit einem gegenseitigen Abstand von 5b angenommen, die
mit der freien Oberfläche einen Winkel von 90 einschließen. In jedes Gleitband wurde
dann an zufälliger x2-Position jeweils eine Versetzungsquelle positioniert. Die Quelldichte
in Simulation (k) (also das Intervall für die zufälligen x2- Positionen) wurde in der Rechnung
so gewählt, dass man im Anschluss den erhaltenen Härteverlauf mit dem in Simulation
(g) (Gleitbänder parallel zur Oberfläche) vergleichen kann. Alle übrigen Parameter
in Rechnung (k) und (l) wurden wie im Abschnitt 3.2 für Simulation (g) angenommen
(σEm = 500MPa, σReib = 100MPa, keilförmiger Indenter mit einem Öffnungswinkel von
140).
3 Die Stufe ist nur zur Aufrechterhaltung der Eindruckgeometrie notwendig und bewirkt keine Span-
nungen im Halbraum.
31

3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
x 2 [b]
(a)
u 2 [b]
(b)
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-5000
-10000
-15000
-20000
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
.. . . . . . .. . . . . .
.... . . . . .. . . . .
-25000 . aktive Versetzungsquelle
Versetzung
-30000
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000
x 1 [b]
. . . . . .. . . . .
Abbildung 3.15: Simulation (l) (größere Quelldichte): a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen
durch die Versetzungen in b.) sowie die sich einstellende Verformungskontur (Verschiebungen,
verursacht durch die Versetzungen, plus den Verschiebungen, die sich aus den
Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter, maximaler Eindringtiefe. b.) Positionen der
Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe und die aktivierten Quellen.
32
.. . ..

3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
Simulation (g)
Simulation (k)
Simulation (l)
Abbildung 3.16: Härte- Verschiebungskurven der Simulationen (g) (Gleitbänder parallel
zur Oberfläche), (k) und (l) (Gleitbänder normal zur Oberfläche).
In Abb. 3.13 b sind die sich einstellende Versetzungsanordnung nach dem letzten Belastungsschritt
(plastische Zone) sowie die aktivierten Versetzungsquellen in Simulation
(k) dargestellt. Wie man sieht, werden aufgrund des Scherspannungsfeldes zufolge des Indenters
bevorzugt Quellen nahe an der Oberfläche aktiviert. Man erkennt, dass jeweils
unterschiedliche Typen von Versetzungen sich im linken und rechten unteren Halbraum
unter dem Einfluss der lokalen Scherspannung in das Medium und an die Oberfläche bewegt
haben. Letztere verursachen, wie bereits erwähnt, die deutlich ausgeprägten Stufen
an der Oberfläche (siehe Abb. 3.13 a). Die relativ breiten Intervalle, zwischen denen offensichtlich
keine Versetzungsemission stattfindet, ergeben sich dadurch, dass beim Kontakt
des Indenters mit den Oberflächenstufen (sehr kleiner Kontaktbereich, siehe Abb. 3.13 a)
sehr hohe Kontaktspannungen (darauf werde ich im Abschluss dieses Abschnitts noch besonders
eingehen!), wie sie beispielsweise in Abb. 3.14 für Simulation (k) dargestellt sind,
auftreten 4 , die an den verursachenden Versetzungsquellen wiederum die lokale Scherspannung
stark erhöhen. Die in unmittelbarer Umgebung liegenden Quellen werden dadurch von
den (lokal) zahlreich emittierten Versetzungen gewissermaßen “abgeschirmt” und können
deshalb nur äußerst schwer bzw. nicht aktiviert werden. Dass dies in erster Linie wirklich
ein Phänomen der Quellenabschirmung durch die Versetzungen ist und nicht (bzw. kaum)
von der angenommenen Quelldichte abhängt, will ich durch einen Vergleich mit Simulati-
4 Der Mittelwert der Kontaktspannungen in den lokalen Kontaktbereichen liegt in der Größenordnung
der theoretischen Festigkeit des Materials!
33

3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
x 2 [b]
(a)
u 2 [b]
(b)
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-5000
-10000
-15000
-20000
Kontur nach Belastung
Kontur nach Entlastung
. .
. . . . . . .
. . ... .
. ..
. . . .
. . . . . . .. . . .
-25000 . aktive Versetzungsquelle
Versetzung
-30000
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000
x 1 [b]
..
.
. . . .. . . Abbildung 3.17: Simulation (k): a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen
in b.) (totale Entlastung), im Vergleich mit den Verschiebungen nach erreichter,
maximaler Eindringtiefe (Abb. 3.13). b.) Positionen der Versetzungen nach totaler Entlastung
und die aktiven Quellen.
34

3.4 Der Einfluss der Orientierung des Gleitsystems
Kont [MPa]
8.e+06
7.e+06
6.e+06
5.e+06
4.e+06
3.e+06
2.e+06
1.e+06
elastische Losung
Belastung
Entlastung
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800
x 2-Verschiebung [b]
Abbildung 3.18: Last- Verschiebungskurve der Simulation (k) (Gleitbänder normal zur
Oberfläche).
on (l) (siehe Abb. 3.15) illustrieren. Hier wurde die Quelldichte gegenüber Simulation (k)
verdoppelt, und man erkennt erneut deutlich die relativ breiten Bereiche emissionsfreier
Zonen.
Würde man den Simulationsablauf in Abb. 3.13 oder auch in Abb. 3.15 schrittweise verfolgen,
so könnte man erkennen, dass die Oberflächenstufen entstehen, bevor der Indenter
mit diesen in Kontakt gerät 5 (Das Kontaktintervall verläuft von der äußerst linken bis zur
äußerst rechten noch in Kontakt mit dem Indenter stehenden Oberflächenstufe.). Vergleicht
man den Verlauf der Härte in Abb. 3.16 von Simulation (k) nun mit dem der Rechnung
(g), wo die Gleitbänder parallel zur Oberfläche angeordnet waren, so erkennt man, dass
der Abfall der Härte mit zunehmender Eindringtiefe nun nicht mehr so ausgeprägt verläuft
sondern gestuft, mit einem abrupten Sprung bereits nach kleinen Eindringtiefen des Indenters.
Der Sättigungswert der nominellen Härte wird dabei, ebenso wie in Abschnitt
3.1 (Gleitsystem parallel zur Oberfläche), für eine höhere Dichte von Versetzungsquellen
bereits früher erreicht als in Rechnung (k). In einem realen Experiment würden je nach
Orientierung der vorgegebenen Gleitbänder zur Oberfläche und der vorgegebenen Indenterform,
während des Indentierens unterschiedliche Gleitsysteme und Versetzungsquellen
ausgewählt und aktiviert werden. Das hat zur Folge, dass in den Ergebnissen bei denen die
5 Man erkennt dies auch an den Randbereichen der Oberflächenkonturen in Abb. 3.13 a bzw. Abb.
3.15 a, wo sich ebenfalls bereits Stufen ausgebildet haben, die, würde man den Belastungszyklus noch
weiterführen, später in Kontakt geraten.
35

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Gleitbänder normal zur Oberfläche orientiert sind, gegenüber jenen bei denen Gleitbänder
parallel zur Oberfläche angeordnet sind, ein sehr deutlicher Effekt der vorgegebenen Gleitbandorientierung
bemerkbar ist, der sich in einem unterschiedlichen Sättigungswert der
nominellen Härte äußert.
Ein sehr interessantes Ergebnis liefert auch das Studium der Entlastung im Falle der
Gleitbandorientierung normal zur Oberfläche, die hier exemplarisch für die Simulation (k)
durchgeführt wurde. Die Betrachtung von Abb. 3.17 lässt erkennen, dass, im Vergleich mit
Abb. 3.13, nach dem Ende der Simulation (Totalentlastung) nur sehr wenige Versetzungen
zurückgewandert sind und annihilieren konnten. Nachdem die Versetzungen an die Oberfläche
gewandert sind und dort in Form von Stufen (wie bereits oben diskutiert) keinen
Beitrag mehr zur lokalen Scherspannung liefern, werden die Versetzungen im Halbraum
von diesen nicht mehr angezogen. Dadurch verbleiben ca. 80% der Versetzungen in dieser
Simulation im Medium und bilden die plastische Zone (im Falle der Orientierung der
Gleitbänder parallel zur Oberfläche waren es in etwa nur die Hälfte). Dies äußert sich auch
im Verlauf der Last- Verschiebungskurve in Abb. 3.18, wo man einen relativ steilen Abfall
der Entlastungskurve, der zum Großteil nahezu parallel zum Verlauf der elastischen Lösung
ist, erkennen kann. Eine plastische Rückverformung des Materials findet also im Gegensatz
zu einer Gleitsystemanordnung parallel zur Oberfläche (siehe z.B. Abb. 2.4) im Falle der
90-Anordnung erst relativ spät und in viel geringerem Ausmaß statt.
Ich möchte noch bemerken, dass die Ausbildung der relativ hohen Stufen an der Oberfläche
sicherlich unrealistisch ist, aber ein unmittelbares Ergebnis für die von mir getroffenen
Annahmen darstellt. In den Kontaktpunkten wird es vermutlich wohl zur spontanen
Emission von Versetzungen (hervorgerufen durch die hohen Spannungen) kommen. In diesem
Fall hätte man dann zwei Typen von Quellen: Leicht aktivierbare im Inneren, die
üblicherweise die Plastizität verursachen und die auch ich hier untersuche, und sehr schwer
aktivierbare direkt an der Oberfläche oder in deren unmittelbarer Nähe (hohe Aktivierungsspannung).
Letztere spielen üblicherweise in der Plastizität keine Rolle 6 . Ziel meiner Arbeit
ist es aber, nicht unbedingt alle möglichen Effekte, die beim Nanoindentieren auftreten,
zu erklären, sondern zu untersuchen, was unter ganz bestimmten Bedingungen (diskrete
Versetzungen mit Quellen konstanter Quellstärke, Einfluss der Gleitgeometrie und Versetzungshindernisse
usw.) beim Indentieren passiert.
3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich
begrenzt vorhandenen Versetzungsquellen
In diesem Abschnitt werde ich den Einfluss von Hindernissen für die Versetzungsbewegung
und die Auswirkungen von Versetzungsquellen, welche nur in begrenzter Anzahl in
einem Teilraum des Halbraumes vorgegeben werden, anhand von verschiedenen Studien
zeigen. Es werden sowohl Härteeindrücke in ein Korn bzw. nahe einer Korngrenze als auch
6 Nur bei Kontaktproblemen oder anderen sehr lokalen Effekten können derart hohe Spannungen ent-
stehen.
36

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
solche in einen dünnen Film auf einem ideal elastischen Substrat bzw. in einen (dünnen)
ideal elastischen Film auf einem plastisch weichen Substrat simuliert. Wir werden dabei
sehen, dass das plastische Materialverhalten in den durchgeführten Rechnungen einerseits
durch Hindernisse für die Versetzungsbewegung und andererseits durch eine Limitierung
der zur Verfügung stehenden Versetzungsquellen gesteuert wird. In allen Rechnungen dieses
Abschnittes habe ich einen klingenförmigen Indenter mit einem Öffnungswinkel von
140 angenommen und die Werte für die Quell- und die Reibspannung mit jeweils 500 MPa
bzw. 100 MPa festgesetzt.
3.5.1 Der Effekt von Korngrenzen
Auf dem Gebiet der Werkstoffkunde ist man vor allem an einer Behinderung der Versetzungsbewegung
interessiert, um eine Festigkeitssteigerung in metallischen Werkstoffen
zu erreichen. Bei der sogenannten Feinkornhärtung spielt dabei die Hinderniswirkung von
Korngrenzen eine wichtige Rolle (Versetzungen können nur bis zu den Korngrenzen ungehindert
laufen). Das Gefüge sollte dabei möglichst viele kleine Körner anstatt wenige
große aufweisen, um so das Wandern der Defekte zu minimieren und die Bildung von Versetzungsaufstaus
an den Korngrenzen so klein wie möglich zu halten und eine plastische
Verformung des Nachbarkorns zu vermeiden. Anhand von zwei Simulationen möchte ich
hier die Auswirkungen von Versetzungshindernissen auf den Verlauf der Härte als Funktion
der Eindringtiefe demonstrieren.
In Studie (m) wurde ein Härteeindruck in der Nähe einer Korngrenze simuliert. Die
Gleitbänder wurden parallel zur Oberfläche mit einem gegenseitigen Abstand von 5b verteilt.
Weiters habe ich angenommen, dass sich im rechten Teil des unteren Halbraumes im
Abstand von 400b von der x2-Achse eine Korngrenze befindet, die ein unüberwindliches
Hindernis für die Versetzungsbewegung in die positive x1-Richtung darstellen soll. Das wurde
im Programm realisiert, indem die ersten emittierten Versetzungen jeder Quelle nach
Erreichen der Korngrenze einfach dort festgehalten wurden (die Reibspannung im Halbraum
rechts von x1 = 400b ist sozusagen unendlich groß!). Rechts von x1 = 400b wurden
in der Simulation auch keine Versetzungsquellen angenommen. Somit wird ein Härteeindruck
nahe einer Korngrenze simuliert, bei dem das (linke) Nachbarkorn als ideal elastisch
angenommen wurde.
In Abb. 3.19 sind die Positionen der Versetzungen nach dem Erreichen der maximalen
Eindringtiefe des Indenters sowie die sich einstellenden Konturen dargestellt. Man erkennt
sehr schön den Versetzungsaufstau an der Korngrenze, der auch zu einer deutlichen
Erhöhung der Kontaktspannungen unterhalb des Indenters in diesem Bereich führt, wie
man Abb. 3.20 entnehmen kann. Das Ansteigen der Kontaktspannungen hat aber auch
Auswirkungen auf den Verlauf der Härte (siehe Abb. 3.21), wo man ebenso einen leichten
Anstieg der Kurve ab einer Eindringtiefe von ca. 380b erkennen kann. Ab dieser Tiefe
beginnt der Indenter die Anwesenheit des Versetzungshindernisses zu spüren. Nach dem
Erreichen dieser Tiefe ist der Indenter noch 112b von der Grenze entfernt (Breite des Kontaktintervalls
bei dieser Eindringtiefe = 576b) und merkt deren Einfluss also schon vor dem
eigentlichen Kontakt mit dieser. Das Verhältnis von halber Kontaktintervallbreite (sym-
37

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
-6000
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
. aktive Versetzungsquellen
positive Versetzung
negative Versetzung
x 1 [b]
-12000 -10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0
x 1 [b]
. . .
. .. . . . .. . .. . ..
. .. .. . . .. .
. . . . . .
. .. . .. .
. .. .
.
. . . . . . . . . .
.
.
. . . . . .. .
. .. . . .. .
.
. . . . .
.. . .
..
. . .. . .. .
. . . . . .
. . . . . ..
.
.
.. .
. .
.
.. . . . . .
.
.
. .
.
. . . .. . .. . .. . . .
.. . .
.
.
.
. .. . . . . . . .. .
.. .
.. .
. . . .
. .
.
. .
.
. . .
. . .. . . . .
. . . ... .. .
. . . . .. . . .
. .. .
.
. . .. . . . .. . . .. .
.
. . . . .. . .
.
. . . .
. . . .. .
. .. . . . . .. .
. . . . . . . .
. . . . . ..
.
. . . . .. . ..
. . .. . . .
.
. . . ..
.
. . .
.
. .
.
.. . . .
.. .
. . . .
. ..
. . . . ... . .. .
. . .
.
Abbildung 3.19: Simulation (m) eines Härteeindrucks nahe einer Korngrenze: a.) u2-
Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen in b.), sowie die sich einstellende
Verformungskontur (Verschiebungen, verursacht durch die Versetzungen, plus die Verschiebungen,
die sich aus den Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter, maximaler
Eindringtiefe. b.) Positionen der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
und die Positionen der aktiven Quellen.
38

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Kont [MPa]
0
-20000
-40000
-60000
-80000
-100000
-120000
-140000
Eindringtiefe = 320b
Eindringtiefe = 660b
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
x 1 [b]
Abbildung 3.20: Verlauf der Kontaktspannungen bei einer Eindringtiefe von 320b und nach
erreichter, maximaler Eindringtiefe (660b) in Simulation (m) (Korngrenze).
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
Simulation (m)
Abbildung 3.21: Härte- Verschiebungskurve der Simulation (m) (Korngrenze).
39

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-2000
-4000
-6000
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
. . .
. .
. .
.
. .. .
.
.
. . .
. .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. .
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
. .
.
.
. .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
.
.
.
. .
.
.
.
. .
. .
. .
.
.
. . .
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. .
.
.
.
.
. . .
.
. .
.
.
. .
. .
. . . . . . . . . .
.
.
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
. .
. .
.
. . .
.
. .
. .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . .
. .
. . .
.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
.
.
.
. . .
. .
.
.
. . . .
.
. .
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
. .
.
.
.
. .
.
.
.
.
. .
. . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
.
. .
. . .
. .
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. . .
.
.
. .
. .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. .
.
. . . . . .
.
. .
.
.
. .
.
.
. .
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
. . .
.
. .
. .
. .
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
. .
.
. .
. .
.
.
. . .
. .
.
. . . .
.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . .. . .
. .
.
.
. . . . .
.
.
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
.
. . . .
. . .
.
. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
. . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
. . .
.
.
.
.
.
.
.
. .
. . .
.
. . . .
.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . .
.
.
. . . . . .
. . .
.
.
.
. .
.
.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
.
. .
. . .
. .
. .
. . .
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . .
. .
. . .
. .
.
. .
. . .
.
. . . . . .
. . . . . . . . .
.
. . . .
. . . . . . . . .
. . . . . .
. . .
.
. . . . . . .
. . .
.
. .
. .
.
. . .
. .
.
. .
. .
. .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . .
. .
. .
. . . . .
.
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . .
. . .
. . . . . . . . .
.
. . . . . . .
. . . . . . .
. .
.
. . .
. .
.
. . .
. .
.
.
.
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. .
. . . .. .
. . . .
.
-8000 . . .
.
.
.
. . .
.
. .
. . . . .
. .
.
aktive . Versetzungsquellen
. . . .
positive Versetzung
negative Versetzung
-10000
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
x 1 [b]
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
Abbildung 3.22: Simulation (n) mit symmetrischer Anordung von Versetzungshindernissen:
a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen in b.) sowie die sich einstellende
Verformungskontur (Verschiebungen, verursacht durch die Versetzungen, plus die
Verschiebungen die sich aus den Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter, maximaler
Eindringtiefe. b.) Positionen der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
und die Positionen der aktiven Quellen.
40

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-1000
-2000
-3000
-4000
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
-5000
... .. .... ... .... .
.
... .. ...
.. ... .
...
. ..
. . .
aktive Versetzungsquellen . .. .
-6000
. ..
positive Versetzung
... .
. ..
.
negative Versetzung
-7000
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000
. . . .. . . . .. . .. . .. . . .
.
.
. .
.
.
.
.
. . . . . . . ..
. .. . .
.
.
.
.
.
.
. . . . .. . . .. . . . .. . ... .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . .. . ..
.
. .
.
. . ... . . . ... .. . ..
. .
.
.
.
. . . . .. . .
.
. .
. .. . . . . .. . . ..
.. .
.
.
.
.
. .
. . . .. . . . .. . ..
. .
.
.
.
.
.
.
.
. . ... . .. .
. .. . .. .
.. . . . .. . ... . ..
.
.
.
.
.
.
. . ... . . . .. . .. .
.
..
..
.. .. .
.
. .
. .
.. . .. . ..
.
. .. .
...
. . .... . .
.
.
.
.
.
. . . .. ... . .. .
.
. . . . .. .
.
.
.
.
.. . . . .. . .
.. .
.
.
. . .. . .. ... . .. . . ... . .. . . .
.
.
. .
.
.
.
. .. . .. ... . .. . .
. . .. .
.
. . .. . ..
. .
.
.
. .... . . .. .... .
.
. .. . ... . .. .
.
.
. .. . . . .
.
. .
. . . . .. . ... . .
. .. .
. .
. . ..
.. . ..
.. .... . .. .
. .
.
.
. . . ..
. ... . .
. .
... .
. .
.
... . .. . ..
. .
.
.
...
. .. . . .
... .. . . .. . .. .
. .
.. .
. .. . . .. . ..
. .. .
.. . ... . . . .
.
. . . . .. . .... . .. .
. . ... .
. ... . . .
. . . .
. .. .. . .
.
. .. . .
... .. ... .
.
. ...
.
. . . .... . . . .
. .. . .. . .. . .
.
. ..
.
. ... . ... .
.. .
. .. . ... .
. . ... .. . .. .
.. . .
. .. .. .
..
.
.
. . .
. ...
.
.
x 1 [b]
Abbildung 3.23: Simulation ohne Versetzungshindernisse zum Vergleich mit Simulation
(n): a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen in b.) sowie die sich einstellende
Verformungskontur (Verschiebungen, verursacht durch die Versetzungen, plus die
Verschiebungen, die sich aus den Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter, maximaler
Eindringtiefe. b.) Positionen der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
und die Positionen der aktiven Quellen.
41

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Kont [MPa]
0
-20000
-40000
-60000
-80000
-100000
-120000
mit Versetzungshindernissen
ohne Versetzungshindernisse
-140000
-600 -400 -200 0 200 400 600
x 1 [b]
Abbildung 3.24: Verlauf der Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
in Simulation (n) (mit Versetzungshindernissen) im Vergleich mit der Studie ohne angenommene
Versetzungshindernisse.
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
mit Versetzungshindernissen
ohne Versetzungshindernisse
Abbildung 3.25: Härte- Verschiebungskurve der Simulation (n) (mit Versetzungshindernissen)
im Vergleich mit der Studie ohne angenommene Versetzungshindernisse.
42

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
metrischer Kontakt) zum Abstand der Korngrenze von der Indenterspitze ist somit 3/4.
In dieser Studie kann man sich die Zunahme der Härte am besten so vorstellen, dass der
Indenter durch den Aufstau der Versetzungen im Bereich der Korngrenze einen größeren
Widerstand gegen das Eindrücken erfährt, sobald dieser in Kontakt mit diesem gerät. Dies
soll anhand von Abb. 3.20 veranschaulicht werden, wo man im Bereich des Härteplateaus
(320b) im Verlauf der Kontaktspannungen noch keinen Anstieg erkennt (der Indenter
ist hier auch noch nicht in Kontakt mit dem Aufstau). Nach Erreichen der maximalen
Eindringtiefe (660b) sieht man hingegen den deutlichen Anstieg der Kontaktspannungen
im Bereich des Versetzungsaufstaues. Die in den rechten Teil des Halbraumes emittierten
Versetzungen können gewissermaßen die Form des Indenters nur mehr bis zur Korngrenze
hin möglichst gut realisieren, wie man der Kontur, die von den Versetzungen verursacht
wird, der Abb. 3.19 a entnehmen kann.
In Simulation (n) habe ich, verglichen mit Simulation (m), zusätzlich noch eine weitere
Korngrenze in einem Abstand von 400b links von der x2-Achse eingeführt. Auf diese Weise
realisiert man gewissermaßen einen Härteeindruck in ein kleines Korn (oder in eine Lamelle).
Sowohl im linken als auch im rechten Nachbarkorn können dabei weder Versetzungen
emittiert noch bewegt werden. Für die Emission und Bewegung der Versetzungen (sowohl
nach links als auch dach rechts von x2 = 0 bis zu den Korngrenzen) gelten hier die selben
Annahmen und Einschränkungen wie in Simulation (m). Betrachtet man in Abb. 3.22 die
Konturen und die Versetzungsanordnung nach dem Erreichen der maximalen Eindringtiefe,
so ergibt sich ein ähnliches Bild wie bereits in Rechnung (m). Der zusätzliche Versetzungsaufstau
im linken Teil des Halbraumes bewirkt allerdings noch eine weitere Vergrößerung
der Kontaktspannungen (siehe Abb.3.24) und trägt so zu einem noch stärkeren Anstieg der
Härte bei, wie man der Abb. 3.25 entnehmen kann, als in Studie (m) (eine Korngrenze).
Zum Vergleich habe ich noch eine weitere Rechnung unter den selben Annahmen wie in
(n) mit Ausnahme, dass die Korngrenzen hier weggelassen wurden, durchgeführt. In Abb.
3.23 b sind die Anordnung der Versetzungen und die aktivierten Quellen nach Erreichen
der Maximallast dargestellt. Nachdem die Quellen in dieser Studie extrem dicht auf einem
schmalen Band angeordnet sind, kommt es bevorzugt zu einer, bereits im Abschnitt 2.3
diskutierten energetisch günstigen Anordung von Versetzungen 7 . Der Verlauf der Härte-
Verschiebungskurve dieser Simulation ist ebenfalls in Abb. 3.25 miteingezeichnet, und man
erkennt, dass der Indenter die Anwesenheit von Versetzungshindernissen in etwa ab einer
Eindringtiefe von 250b zu bemerken beginnt (deutlicher Anstieg der Kurve gegenüber der
Rechnung ohne Hindernisse 8 ). Bei dieser Eindringtiefe ist das Kontaktintervall 402b breit,
und der Indenter spürt die Korngrenzen somit bereits, nachdem er in etwa zur Hälfte in
7 Die Wahrscheinlichkeit ist bei dieser Quellenanordnung sehr groß, dass Versetzungen in einem Gleitband
zugleich mit Versetzungen in einem anderen, das nahe darunter oder darüber liegt, emittiert werden,
sodass die anziehende Wechselwirkung der Versetzungen von Beginn an (gleich nach der Emission) zu
tragen kommt.
8 Der Kurvenanstieg in der Vergleichssimulation ohne Versetzungshindernisse kommt übrigens daher,
dass durch das sehr schmale Band von Versetzungsquellen gewissermaßen ein Verlust an aktivierbaren Versetzungsquellen
in den äußeren Bereichen unterhalb des Indenters herrscht, die zur plastischen Verformung
beitragen könnten (siehe dazu auch Abschnitt 3.5.2 Simulation (p)).
43

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
das Korn eingedrungen ist.
3.5.2 Dünne Filme
Das Studium der mechanischen Eigenschaften, insbesondere der Härte dünner Filme und
Beschichtungen stellt heutzutage ein wichtiges Forschungsgebiet dar. Dabei bestimmt vor
allem eine möglichst geringe Konzentration an Gitterfehlstellen in entscheidender Weise
die Qualität einer solchen Schicht.
In Studie (o) soll ein Härteeindruck in eine dünne Lamelle simuliert werden, indem
Gleitbänder normal zur Oberfläche angenommen wurden. Die Simulationsannahmen wurden
hier einfach aus Rechnung (l) in Abschnitt 3.4 übernommen, und es wurde zusätzlich
eine Korngrenze zum (unteren) Nachbarkorn in einer Tiefe von 2000b parallel zur Oberfläche
angenommen. Diese soll, wie im oben beschriebenen Sinn (Simulation (m) und (n)),
ein Hindernis für die Bewegung der Versetzungen nach unten hin darstellen. Abbildung
3.26 zeigt die sich einstellende Versetzungsanordnung und die Konturen nach dem letzten
Belastungsschritt. Man erkennt wiederum deutlich, wie schon in Studie (k) und (l), die
ausgeprägten Stufen an der Oberfläche, die in den Kontaktbereichen mit dem Indenter
die außerordentlich hohen Kontaktspannungen verursachen, deren (lokaler) Verlauf nach
Erreichen der Maximallast in Abb. 3.27 dargestellt ist. In Abb. 3.28 sind die Last- Verschiebungskurven
(Belastungskurven) von Simulation (o) und (l) dargestellt. Beim Indentieren
in die Lamelle erkennt man mit zunehmender Eindringtiefe des Indenters dabei einen deutlichen
Anstieg der Last gegenüber der Simulation des plastisch verformbaren Halbraumes.
Dadurch wird der Widerstand des unteren Nachbarkorns gegen eine plastische Verformung
des Gesamtsystems (Lamelle und Korn) ausgedrückt. Um den relativ frühen Anstieg im
Härteverlauf (siehe Abb. 3.29) bei einer Eindringtiefe von nur ca. 150b (deutlich weniger als
ein Zehntel der Lamellendicke), ab welcher der Indenter den Einfluss des darunterliegenden
Korns bereits zu spüren beginnt, erklären zu können, habe ich in Abb. 3.27 zusätzlich
noch die Kontaktspannungen von Simulation (l) (plastischer Halbraum) eingezeichnet. Ein
Vergleich mit Studie der Lamelle (o) zeigt sehr deutlich, dass erstens in (o) die (lokalen)
Kontaktspannungen wesentlich höher sind als in (l) und zweitens das Kontaktintervall 9 in
Rechnung (o) kleiner ist als in (l). Ganz im Sinne der Definition einer nominellen Härte in
unseren Simulationen wird der beobachtete Härteanstieg erklärt.
Im Vergleich von Rechung (o) mit den Simulationen des plastischen Halbraumes ((l)
oder auch (k)) erkennt man in Abb. 3.26 b, dass es in den Bereichen zwischen den großen
Oberflächenstufen auch zu Versetzungsemissionen kommt, im Gegensatz zu (l) bzw. (k)
(siehe Abb. 3.15 b bzw. 3.13 b). Die Ursache dafür liegt an einer Übersättigung des Systems,
denn durch den Versetzungsaufstau an der Korngrenze geht die Abschirmwirkung
der Versetzungen gegenüber den benachbarten Quellen verloren und diese können nun
durch die überhöhte, lokale Scherspannung aktiviert werden.
In den beiden folgenden Simulationen möchte ich den Einfluss einerseits eines dünnen,
9 Zur Erinnerung: Das Kontaktintervall verläuft von der äußerst linken bis zur äußerst rechten noch in
Kontakt mit dem Indenter stehenden Oberflächenstufe.
44

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-500
-1000
-1500
-2000
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
. .
.
.
.. .
.
. .
. .
.
.
.
. .
. .
. . .
. . . . . . .
. . .
. .
. . . . .
.
.
.
.. .
. .
.
.
.
.
.
. .
.
.
. .
.
.
.
.
. . . .
.
.
. .
. . .
. .
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.
. .
.
.
.
. . .
.
. ... .
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
. .
.
..
. . . .. . .
. .
.
-2500 . aktive Versetzungsquelle
Versetzung
-3000
-3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000
x 1 [b]
.
.
.
.
. .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
..
. . .
. . . .
. . .
.
.
.
. .
.. .
. .
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
. .
.
. .
. .
. . . ..
.
. . .
. . . . . .
.
.
. .
.
. . .
. . . . . .
.
.
.
.
. .
. . ..
. . . . .
.
.
. .
.
.
.
.
.
. .
.
.
. .
. .
...
.
.
.
. . .
. .
. .
.
.
.
.
Abbildung 3.26: Simulation (o) einer dünnen Lamelle: a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen
durch die Versetzungen in b.) sowie die sich einstellende Verformungskontur (Verschiebungen,
verursacht durch die Versetzungen, plus die Verschiebungen, die sich aus
den Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter, maximaler Eindringtiefe. b.) Positionen
der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe und die Positionen der aktiven
Quellen.
45

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Kont [MPa]
0
-100000
-200000
-300000
-400000
-500000
Simulation (o)
Simulation (l)
-600000
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
x 1 [b]
Abbildung 3.27: Verlauf der Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
in Simulation (o) (Lamelle) und (l) (plastischer Halbraum).
Kont [MPa]
2.5e+07
2.e+07
1.5e+07
1.e+07
5.e+06
elastische Losung
Lamelle
plastischer Halbraum
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
Abbildung 3.28: Last- Verschiebungskurve der Simulation (o) einer dünnen Lamelle im
Vergleich mit der Studie des plastischen Halbraumes.
46

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
Simulation (o)
Simulation (l)
Abbildung 3.29: Härte- Verschiebungskurven der Simulationen (o) (Lamelle) und (l) (plastischer
Halbraum).
plastisch weichen Filmes auf einem ideal elastischen Substrat und andererseits eines dünnen,
ideal elastischen Filmes auf einem plastisch weichen Substrat (Beschichtung) studieren. In
beiden Fällen wurden dabei Gleitbänder parallel zur Oberfläche mit einem gegenseitigen
Abstand von 5b angenommen.
Um den Einfluss eines dünnen, plastisch weichen Filmes auf einem ideal elastischen Substrat
zu studieren, wurden in Simulation (p) folgende Annahmen getroffen: Gleitbänder
und damit auch Versetzungsquellen wurden nur bis in eine Tiefe von 1000b angeordnet
bzw. verteilt. Im darunterliegenden Substrat befinden sich weder Quellen noch Versetzungen
(ideal elastisch), die eventuell aktiviert bzw. bewegt werden könnten. In Abb.3.30 b
sind die Anordung der Versetzungen nach Erreichen der Maximalen Eindringtiefe sowie
die Konturen in a.) dargestellt. Da nach unten hin keine Quellen mehr verfügbar sind,
versucht hier das System besonders im Bereich der unteren Grenzfläche sehr viele Dipole
zu emittieren und zu bewegen, um die Form des Härteeindrucks so gut als möglich wiederzugeben.
Dies gelingt aber aufgrund der eingeschränkt zur Verfügung stehenden Quellen
nicht besonders gut und führt, wie in den Simulationen (m), (n) und (o) zuvor (hier war
allerdings die eingeschränkt mögliche Bewegung der Versetzungen dafür verantwortlich),
zu einer Erhöhung der Härte mit zunehmender Eindringtiefe im späteren Verlauf der Simulation,
wie man es der Abbildung 3.33 entnehmen kann 10 . Zum Vergleich wurde hier
10 Durch den Abfall im Härteverlauf in Abb. 3.33 kommt auch zum Ausdruck, dass im Anfangsstadium
des Indentierens noch genügend Quellen vorhanden waren, um den Härteeindruck durch emittierte
47

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-200
-400
-600
-800
-1000
. . .
.
. . .
. . ..
. . . . .. .
. .
.
. .
.. .
. .. . .
.. .
.
. . ....
. . . ..
. .
. . .
.. . ..
.
. . . .
. . .
. .
. ... .
. .. .
. .
. . . .
. .. . ... .
. . .. . .
. . . .
. . .
. . . .
.
. . .. . .
.
. .
-1200
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
. aktive Versetzungsquellen
positive Versetzung
negative Versetzung
Abbildung 3.30: Simulation (p) eines plastisch weichen Filmes auf einem ideal elastischen
Substrat: a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen in b.) sowie die
sich einstellende Verformungskontur (Verschiebungen, verursacht durch die Versetzungen,
plus die Verschiebungen, die sich aus den Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter,
maximaler Eindringtiefe. b.) Positionen der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
und die Positionen der aktiven Quellen.
48

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
-6000
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
x 1 [b]
. .. . . . . . . . . . . . .. .
.
.
.
.
. .. . .. . .
.
. .
.
.. .
. . . .
.. .
. ... . .. .
.
. . . .
.. . . .
.
.
.
. . . . . . . . .. . .. . . .. . . .
.
.
. .
.
.
. . . . .. . . . . . .. . .
. . .
. .
.
. .
.
.
. .
.
. .
. .. . . . .
. . . . . . . . .
. .. . .
.
.
. . .
.. .
.
.
. . .. . .
. . . ... . . .
. .. .
. . .
.
.
.
.
. . . . .. . ... . . .
. .
. .. . .
. .. . . . .
... . . .. . . .
. . .. . .
... . .. . . . . .. . .
.. .
. .
. . .
. .
.. . .
.
. . ..
. . . . .. . . .
. .. . .
.. .
. . .. . .
.
. . .
.
.
.
.
.
.
. .
. . . . . . .
. .. .
.
.
. .. . . . .
. .. .
.
. .. .
.
.
.
.
.
.
. .. . . . .
. ..
. .. . ... . .. . .
. . .
.
. .. .
.
. . .. . . . .. . .. . . . . . .. . .. . . .. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . ... .
. . .
. . . . . .. . .. . . .
.
.
.
.. .
. .. . .
. .. .
.
.
. . .
.
. . .
. .. .
. . . . .. . . .
.
.. .
. . .
. . .
.
. .. . . .
.
. . . . . .
.. .
.
.. . .. .
. .. .
.
. . .. ... . . ..
. . . .
. .. . .
.
.
.. . . .
.
. . . . . . .. .
. . . .. . .. . . .. . . . ... . .
. .
. ..
.
.. . .. . . ... . .
. . . . . .
. .
. .
.
.
.
. . . .. . . . . .. . . . . . . .. .
.. .
. ..
.
. .. .
. .. . ... . .. . . .. . .. . . . .
. . .. . .
.
. .
. .. . .. .
. .. . . . . . .. .
. . .. . . . . . .. . . .. . .. .
-7000
-8000
. . .
. . .. . . . .
. . .
. .. . .. .
.. . .. . .
. .
.. . .. .
. aktive Versetzungsquellen
positive Versetzung
negative Versetzung
-9000
-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000
x 1 [b]
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
Abbildung 3.31: Simulation des plastischen Halbraumes zum Vergleich mit Simulation (p):
a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen in b.) sowie die sich einstellende
Verformungskontur (Verschiebungen, verursacht durch die Versetzungen, plus die
Verschiebungen, die sich aus den Kontaktspannungen ergeben) nach erreichter, maximaler
Eindringtiefe. b.) Positionen der Versetzungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
und die Positionen der aktiven Quellen.
49

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Kont [MPa]
0
-20000
-40000
-60000
-80000
-100000
-120000
-140000
-160000
-180000 Film auf Substrat
plastischer Halbraum
-200000
-600 -400 -200 0 200 400 600
x 1 [b]
Abbildung 3.32: Verlauf der Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
in Simulation (p) (plastisch weicher Film auf ideal elastischem Substrat) im Vergleich mit
der Studie des plastischen Halbraumes.
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
Film auf Substrat
plastischer Halbraum
Abbildung 3.33: Härte- Verschiebungskurve der Simulation (p) (plastisch weicher Film auf
ideal elastischem Substrat) im Vergleich mit der Studie des plastischen Halbraumes.
50

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
. aktive Versetzungsquellen
positive Versetzung
negative Versetzung
. .
. . . .. .
.. .
. .. . . . . .. .
.. .
. . .. .
.
.
.
. .. . . ... .. .
.. . .
.
. .
. . .. . . . . . .
.
.
. . .. . .. . .
.
. .. .
. .
. . . . . . .. . .. . . .
.. .
. .. . .. .
.
.
. . .
. .. . . .
. . .. . .
. . . .
.
. . . . .
. . . . .
. . .. .. .
. .
. .. .
. . . .. .
. . .
. . . . . .
. . . .
. ... . .
. . . . .
. .
.
. . .
.. . . .. .
.
. . .
. .
.
. . . . ... . .
. .
. .
.
. .
.
. .
. . .
.
. .
.
.
. . . .. . . . . . . .
. . . . .. . .
. .
.
.
. .. .
.
.
.
. . . . . .
. .
. .. .
. . .
.
.
. . . . . . . .. .
.
. . . .
.
. .. . .. .
.
.
.
.
. . . .
. .. . .
. . .
. . ... .
.
.
.
.
. .
.. . . .
.
.. . . . .
.. . .
. .. . .
.
. .
. . .. . . .
.
. . . .
.
.
.
. . . .
. . . .
.
. . .
. . .
. . .
.. .
. .
.
. .
. . .
. . . .. . .
.
. . .. . . .. . ... . . . . . .
. . . .
. . .
. . . . . .. .
.
.
.
. . . .
. . . . . . .. .
..
. . . ..
.
. . .
. . . .
. . .
. .. .
.
.
. . . .
.
.
. .
.
.
. .
.
.
.
. .
.
. .
. . . . . . . .
. .. . .
. .
.. .
. . .
.
. .. . . . ..
. . .. .
. .
.
.
. . . ... .
.
.. .
.
.
.. .
.
-10000 -5000 0 5000 10000
x 1 [b]
Abbildung 3.34: Simulation (q) eines ideal elastischen Filmes mit einer Dicke von 200b auf
einem plastisch weichen Substrat: a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die Versetzungen
in b.) sowie die sich einstellende Verformungskontur (Verschiebungen, verursacht
durch die Versetzungen, plus die Verschiebungen, die sich aus den Kontaktspannungen
ergeben) nach erreichter, maximaler Eindringtiefe. b.) Positionen der Versetzungen nach
erreichter, maximaler Eindringtiefe und die Positionen der aktiven Quellen.
51

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
(a)
u 2 [b]
(b)
x 2 [b]
100
0
-100
-200
-300
-400
0
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
Kontur der Versetzungen
Verformungskontur
Indenter
. aktive Versetzungsquellen
positive Versetzung
negative Versetzung
. . . .
. . .
. . . .. .
. .. . . . . . .
. . . .
. . . .
... . ... . .. . . ... .
. ... .
.
.
. .
. . .. . . ... . . .. ..
.
. .
. . . . . . ... . .. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.. .
.
. . .
. . . . . .. .
. .
. . . . . .
. . . . .. .. .
.
. .. . .
.. . ..
. . ... .
.
. .. .
.
.
. . . .
. .
.
.
. .
. . ... . .. .
. . . .. . . .
. .
.
.
.
.
.
. . .
. . .. . ... . . . . .. . . . .
.
.
. . . . . . . .
.. . . ... .
. . . . . .
. . . . .. . .. . . . .. . . .
.
. .
. ..
.
.
.
. .. . .. . .. . . .. . .. .
.
.
.
.. . .
.
. . .
. . . . ..
. .... . .
. . .
. . . . .. .. .
. .
.
. .
. .. . . ... . .. . .
.
. .. . . .. .. . . .. .
...
. . .
.. . . .. . .
. . .. ... .. . . . . . .
. .. .. .
... .
.
.
.
. . .. . . ...
.
. . .. . .
. .
. .. .. . . .
. . . . . . . .
. .. . .
.
.. ... .. . .. . . . .. . .
. .
. . . .. .
.
.
.
. .
. . .. . .
. . .. .
. . . . .
. . .. . . . .
-10000 -5000 0 5000 10000
x 1 [b]
Abbildung 3.35: Simulation des plastischen Halbraumes zum Vergleich der Versetzungsanordnung
mit Simulation (q) in Abb. 3.34: a.) u2-Verschiebungen, hervorgerufen durch die
Versetzungen in b.) sowie die sich einstellende Verformungskontur (Verschiebungen, verursacht
durch die Versetzungen, plus die Verschiebungen, die sich aus den Kontaktspannungen
ergeben) nach erreichter, maximaler Eindringtiefe. b.) Positionen der Versetzungen
nach erreichter, maximaler Eindringtiefe und die Positionen der aktiven Quellen.
52

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Kont [MPa]
0
-20000
-40000
-60000
-80000
-100000
-120000
-140000
-160000
-180000 el. Film auf pl. Substrat
plastischer Halbraum
-200000
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
x 1 [b]
Abbildung 3.36: Verlauf der Kontaktspannungen nach erreichter, maximaler Eindringtiefe
in Simulation (q) (ideal elastischer Film auf plastisch weichem Substrat) im Vergleich mit
der Studie des plastischen Halbraumes.
Kont [MPa]
9.e+06
8.e+06
7.e+06
6.e+06
5.e+06
4.e+06
3.e+06
2.e+06
1.e+06
elastische Losung
Film auf Substrat
plastischer Halbraum
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
Abbildung 3.37: Last- Verschiebungskurve der Simulation (q) (ideal elastischer Film auf
plastisch weichem Substrat) im Vergleich mit der Studie des plastischen Halbraumes.
53

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
Kont / N Kont [MPa]
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
0 100 200 300 400 500 600 700
x 2-Verschiebung [b]
elastische Rechnung
el. Film auf pl. Substrat
plastischer Halbraum
Abbildung 3.38: Härte- Verschiebungskurve der Simulation (q) (plastisch harter Film auf
Substrat) im Vergleich mit der Studie des des plastischen Halbraumes.
zusätzlich noch eine Studie durchgeführt, bei der das Substrat weggelassen wurde (plastischer
Halbraum, siehe Abb. 3.31) und in der man erkennt, dass durch die ausreichend
vorhandenen Quellen, kein Härteanstieg in Abb. 3.33 zu beobachten ist. Abbildung 3.32
zeigt hierzu auch die viel kleineren Kontaktspannungen nach dem Erreichen der maximalen
Eindringtiefe des Indenters. Der Einfluss des Substrates macht sich in Rechnung (p) etwa
ab einer Eindringtiefe von 290b, also nachdem der Indenter etwas mehr als ein Viertel des
Filmes durchdrungen hat, klar bemerkbar, wie man dem Anstieg der Härtekurve in Abb.
3.33 entnimmt.
In Simulation (q) soll das Verhalten eines dünnen, ideal elastischen Films auf einem
plastisch weichen Substrat studiert werden, um beispielsweise den Einfluss einer dünnen
Oxidschicht auf der Probenoberfläche, den Indentation Size Effect (siehe Kap. 4) oder den
Effekt von dünnen, defektfreien Beschichtungen zu simulieren. Dazu wurde angenommen,
dass sich im Bereich zwischen der Oberfläche und einer Tiefe von 200b keine Versetzungsquellen
oder Versetzungen befinden dürfen (ideal elastischer Film). Im darunterliegenden
Teil wurden dann die Gleitbänder parallel zur Grenzfläche angeordnet und darin Versetzungsquellen
verteilt (Substrat).
Die Anordnung der Versetzungen und der aktivierten Quellen sowie die diversen Konturen
sind in Abb. 3.34 a bzw. b dargestellt. Aufgrund der Skalierung der x2-Achse ist der
quellen- bzw. versetzungsfreie Bereich nahe der Oberfläche in Abb. 3.34 b leider nicht gut
Versetzungen wiederzugeben.
54

3.5 Der Einfluss von Versetzungshindernissen und räumlich begrenzt
vorhandenen Versetzungsquellen
erkennbar. Würde man den Ablauf der Simulation schrittweise verfolgen, so könnte man
erkennen, dass die Versetzungsquellen im Substrat erst relativ spät in größerem Ausmaß
aktiv werden. Aufgrund der raschen Abnahme des Scherspannungsfeldes zufolge des Indenters
in größerer Tiefe muss der Indenter zuerst den Film bis zu einer gewissen Tiefe
durchdrungen haben, damit er die ersten Quellen knapp unterhalb der Grenze zum Substrat
aktivieren kann. Dieses Verhalten äußert sich auch sehr schön in Abb. 3.38, wo man
den anfangs sehr ausgeprägten Indentation Size Effect sehen kann. Im weiteren Verlauf
kommt dann der Einfluss des (weichen) Substrats deutlich zur Geltung, indem nun sehr
viele Versetzungen emittiert werden und zu einem starken Abfall der Härte mit zunehmender
Eindringtiefe beitragen. Auch hier habe ich, wie oben, zum Vergeich eine Simulation des
plastischen Halbraumes durchgeführt, in der auch im Bereich des ideal elastischen Filmes
mit gleicher Dichte wie im Substrat Quellen verteilt wurden. Man erkennt dabei in Abb.
3.34 b (Film) im Vergleich zu 3.35 b (Halbraum), dass in der Simulation des elastischen
Filmes auf einem Substrat, bevorzugt jene Quellen aktiviert werden, die sich weiter außen
befinden. Das muss auch so sein, denn der ideal elastische Film bewirkt ein relativ spätes
Einsetzen der plastischen Verformung durch den Indenter, dessen Scherspannungsfeld mit
zunehmender Eindringtiefe ebenfalls nach außen wandert (siehe dazu auch Abb. B.4 im
Anhang). Nachdem die emittierten negativen Versetzungen dieser Quellen in der selben
Weise, wie in Simulation (d) des Abschnittes 3.2, die Form des Indenters auch erst relativ
spät realisieren können, erklären sich auch auf diese Weise nochmals die unterschiedlichen
Härteverläufe in Abb. 3.38. Den Einfluss des Filmes spürt hier der Indenter relativ lange,
denn die beiden Härtekurven schneiden sich erst bei einer Eindringtiefe von ca. 520b (deutlich
mehr als die halbe Filmdicke). Der geringere kontinuumsmechanische Härtewert beim
Schichtsystem erklärt sich durch den Verlauf der Kontaktspannungen nach Erreichen der
maximalen Eindringtiefe in Abb. 3.36 und einer Betrachtung der Last- Verschiebungskurven
in Abb. 3.37. Die Kontaktspannungen sind in etwa gleich groß, das Kontaktintervall ist
allerdings in der Simulation des ideal elasischen Filmes größer, und die Härte wird damit
kleiner. Durch den ausgeprägten “Buckel” in der Belastungskurve von Simulation (q) in
Abb. 3.37 (höhere Kontaktspannungen gegenüber der Halbraumstudie), kommt auch hier
der Widerstand, den das Substrat dem Eindringen des Indenters entgegensetzt, gut zum
Ausdruck.
55

Kapitel 4
Abschließende Diskussion einzelner
Phänomene und Ausblick
Ich habe in der Einleitung anhand von Bildern einige Effekte, die während des Indentierens
auftreten, veranschaulicht. Unter anderem wurde dabei auch das Phänomen des Indentation
Size Effect (Zunahme der Härte mit kleiner werdenden Härteeindrücken) vorgestellt.
Nachdem in der Literatur für diesen Effekt verschiedene Erklärungsmöglichkeiten angeboten
werden und sich diese von jener in der vorliegenden Arbeit unterscheiden, möchte
ich dem Leser einen kurzen Überblick darüber geben. Die grundlegenden Ergebnisse, die
den Größeneffekt in meinen Simulationen unmittelbar betreffen, werden dabei noch einmal
zusammengefasst dargestellt und hervorgehoben. Zudem werde ich in einem Ausblick auf
die Erweiterungsmöglichkeiten des hier entwickelten Computerprogramms sowohl in zwei
als auch in drei Dimensionen hinweisen und auf die zu erwartenden Änderungen in den
Ergebnissen der vorliegenden Arbeit kurz eingehen. Abschließen möchte ich dieses Kapitel
dann mit einer Diskussion, was man letztendlich aus Nanoindentierung lernen kann.
4.1 Mögliche Ursachen für einen Größeneffekt bei der
Härtemessung
Wir haben in fast allen hier durchgeführten Simulationen gesehen, dass die Härte mit
abnehmender Eindringtiefe des Indenters (bei kleinen Indents) zunimmt. Als Ursachen
werden in der Literatur für dieses, in Experimenten oftmals verifizierte und als “Indentation
Size Effect” (ISE) bekannte Phänomen mehrere Erklärungsmöglichkeiten angeführt.
Einmal abgesehen von diversen Artefakten, wie sie z.B. durch die größere Streuung der
Meßwerte bei kleiner werdenden Indents aufgrund der Schwierigkeiten bei Vermessung der
tatsächlichen Kontaktfläche mittels optischer Methoden auftreten, kann man die verursachenden
Mechanismen im Wesentlichen in solche, die durch die Probenpräparation und die
Meßatmosphäre (Luft bzw. Vakuum) und solche, die durch das Material selbst verursacht
werden [30], einteilen.
So kann die Probenoberfläche von Metallen durch Polieren oder durch die Bildung einer
56

4.1 Mögliche Ursachen für einen Größeneffekt bei der Härtemessung
Indenter
Plastische Zone
Abbildung 4.1: Zweidimensionale, schematische Darstellung der “Geometrisch notwendigen
Versetzungen”, hervorgerufen durch einen Härteeindruck mit einem konischen Indenter und
die verursachten Stufen im Kontaktbereich, nach [23].
Oxidschicht unter atmosphährischer Luft härten und sich so in einem Anstieg der Härte bei
kleinen Eindringtiefen äussern. Da der ISE aber auch nach sorgfältiger Probenpräparation
in Versuchen bei nahezu “reinsten” Oberflächen auftritt, muß es auch noch einen, vom
Material selbst verursachten Effekt geben. Eine mögliche Erklärung bezieht sich dabei auf
die höhere Wahrscheinlichkeit, bei sehr kleinen Härteeindrücken auf defektfreies Material
zu stoßen, das plastisch schwer verformbar ist. Das würde sich in einer größeren Härte
im Frühstadium des Indentierens äußern. Ein weiterer, sehr interessanter Erklärungsversuch
[23], den ich hier aufgrund des versetzungsmechanischen Hintergrundes etwas genauer
diskutieren möchte, betrifft die die sogenannten “geometrisch notwendigen Versetzungen”
[24, 25] unterhalb des Indenters. Es wird dabei angenommen, dass das Material unterhalb
eines konischen Indenters in Form von idealisierten Versetzungs- Loops gewissermaßen
verdrängt wird und sich eine halbkugelförmige plastische Zone ausbildet (siehe Abb.4.1).
Nachdem die Anzahl dieser geometrisch notwendigen Versetzungen in der zweidimensionalen
Betrachtung linear mit der Kontaktintervallbreite des Indenters skaliert, die “plastisch
verdrängte Fläche” unterhalb des Indenters aber mit dem Quadrat, gibt die sich ändernde
Dichte der geometrisch notwendigen Versetzungen Anlass zu einem größenabhängigen
Gradienten in der plastischen Dehnung: Je kleiner der Indent, desto größer der Gradient.
Dies ist in der Literatur untrennbar mit dem Begriff “Strain Gradient Plasticity” (SGP)
[26, 27, 28, 29] verbunden, der unter anderem auch zur Erklärung von Größeneffekten bei
Biege- bzw. Torsionsversuchen herangezogen wird.
In dieser Arbeit konnte ich zeigen, wie im Sinn der Definition der Härte (nötige, maximale
Kraft um den Eindruck zu erzeugen, dividiert durch die Kontaktfläche des Indenters)
allein aufgrund der diskreten Natur der Versetzungen und der angenommenen Mikrostruk-
57

4.2 Erweiterungsmöglichkeiten des Programms und die zu erwartenden
Änderungen
tur ein ISE zustandekommen kann. Wir haben dabei in einzelnen Studien des Kapitels 3
folgendes beobachtet:
Eine größere Quelldichte bedingt eine stärkere Abnahme der Härte mit zunehmender
Eindringtiefe als eine geringere Quelldichte. Eine größere Quelldichte verursacht also
einen geringeren ISE, ein Resultat, das man in der “Strain Gradient Plasticity” nicht
erwartet (Abschnitt 3.1).
Der Grad der Abnahme der Härte mit zunehmender Eindringtiefe ist für einen kleineren
Wert der Reibspannung und ebenso bei einem kleineren Wert der Quellspannung
kleiner. Jeder dieser beiden Parameter für sich bedingt die Ausprägung des ISE.
Der Sättigungswert der nominellen Härte wird jedoch nur von der Quellspannung
beeinflusst (Abschnitt 3.2).
Auch die Indentergeometrie nimmt Einfluss auf den Verlauf der Härte mit zunehmender
Eindringtiefe. Beispielsweise wird für einen zylinderförmigen Indenter kein
ISE im herkömmlichen Sinn beobachtet wird (Abschnitt 3.3).
Ein deutlicher Effekt äußert sich ebenso bei der Annahme der Gleitgeometrie, wo
ein weitaus weniger ausgeprägter ISE für eine Anordnung der Gleitbänder normal
zur Oberfläche, gegenüber einer Anordnung parallel zur Oberfläche zu sehen ist (Abschnitt
3.4).
Versetzungshindernisse und auch ein Mangel an aktivierbaren Versetzungsquellen
geben in den Simulationen Anlass zu einem Anstieg der Härte, sobald der Indenter
gewissermaßen diese Einschränkungen im Bewegungs- und Emissionsfreiheitsgrad der
Versetzungen zu “spüren” beginnt (Abschnitt 3.5).
4.2 Erweiterungsmöglichkeiten des Programms und
die zu erwartenden Änderungen
Grundsätzlich möchte ich bemerken, dass das hier entwickelte Computerprogramm nahezu
beliebig erweiterbar ist, vom Prinzip her sogar für 3D- Berechnungen. Allerdings mußten,
wie ich bereits in der Einleitung und in Kapitel 2 erwähnt habe, in erster Linie aus Gründen,
welche die Berechenbarkeit des vorliegenden Problems mit den jeweils zur Verfügung stehenden
Mitteln betreffen, einige Vereinfachungen gemacht werden, um Nanoindentierung
am Computer zu simulieren. Nur so konnten die verschiedenen Effekte, die auf der diskreten
Natur der Versetzungen und der mikrostrukturellen Enflussfaktoren (Quelldichte,
Versetzungshindernisse, Gleitgeometrie etc.) beruhen in “akzeptabler Zeit” studiert werden.
Ich habe bei der Beschreibung des diskreten Versetzungsmodells in Abschnitt 2.1 in
mehreren Punkten Annahmen getroffen, die ich hier, im Hinblick auf eine möglichen Programmerweiterung
und die zu erwartenden Auswirkungen auf die Resultate, im Einzelnen
kurz diskutieren möchte. Einige Konsequenzen dieser Annahmen auf die Resultate waren
58

4.2 Erweiterungsmöglichkeiten des Programms und die zu erwartenden
Änderungen
dabei zum Teil schon in den durchgeführten Studien dieser Arbeit (Kapitel 3) sichtbar und
wurden bereits dort erläutert.
Die Vorgabe eines bestimmten Gleitsystems.
In Abschnitt 3.4 haben wir bereits gesehen und diskutiert, dass die Festlegung einer
bestimmten Orientierung des Gleitsystems in Bezug auf die freie Oberfläche einen
deutlichen Effekt im Härteverlauf mit sich bringt. Die Annahme von mehr als einem
(bevorzugten) Gleitsystem (je nach Kristallsystem) könnte ohne große Probleme in
unser Programm integriert werden. Sie würde in unseren Simulationen bewirken,
dass sich die Versetzungen in ihrer Bewegung durch den Kristall gegenseitig behindern
und sogar blockieren könnten. Auf diese Weise könnte ein vereinfachter Verfestigungsmechanismus
im Material implementiert und studiert werden. Dabei muß für
einen korrekten Programmablauf allerdings sichergestellt werden, dass sich niemals
zwei Versetzungen auf unterschiedlichen Gleitbändern an gleicher Position befinden
dürfen (Singularitäten in den “Core- Bereichen” einer Verssetzung!). Dies kann aber
mit entsprechenden Abfragen im Programm sehr leicht vermieden werden.
Versetzungsemission ausschließlich an Frank- Read Quellen mit gleicher Stärke.
Die Annahme einer gleich hohen Quellspannung für alle Quellen ist selbstverständlich
unrealistisch. Im Abschnitt 3.2 haben wir aber beim Studium des Einflusses von
Quell- und Reibspannung gesehen, welchen Einfluss die Quellstärke auf den Härteverlauf
mit zunehmender Eindringtiefe nimmt. Das lässt bei einer zufälligen Vorgabe
der Quellspannung in einem Intervall zwischen zwei fixen Emissionsspannungen ebenso
auf einen Härteverlauf irgendwo zwischen den Lösungen an den Intervallgrenzen
schließen. Die Möglichkeit einer von der Oberfläche ausgehenden Emission habe ich
bereits in Abschnitt 2.1 erläutert und die möglichen Auswirkungen unter anderem in
Abschnitt 3.4 beschrieben. Eine weitere Möglichkeit wäre durch die Entstehung neuer
Versetzungsquellen im Medium [32] denkbar. Ich will dies Anhand von Abb.4.2
illustrieren und erklären. Die beiden Versetzungen in der horizontalen Gleitebene
Abbildung 4.2: Zweidimensionale Darstellung der Emission eines Verstzungsdipoles (farbige
Versetzungen) von einer dynamisch entstandenen Versetzungsquelle (grüne Kreise), nach
[32].
59

4.2 Erweiterungsmöglichkeiten des Programms und die zu erwartenden
Änderungen
(Dipol) werden durch die Versetzungen im schräg liegenden Gleitsystem in ihrer Bewegung
blockiert (Engl. “gepinnt”). Unter dem Einfluss der Scherspannung wird dann
der Dipol (Versetzungsloop) solange ausgebaucht, bis sich ein neuer Dipol abspalten
kann (Zusammenwachsen der Segmente des Versetzungsloops). So können die beiden
festgehaltenen Versetzungen quasi als dynamisch erzeugte Frank- Read Quelle
durch den Multiplikationsmechanismus weitere Versetzungen erzeugen. Man müsste
sich allerdings auch überlegen, wie man eine solche Versetzungskonstellation wieder
auflösen kann. Dies kann zum Beispiel durch die Vorgabe einer kritischen Spannung,
ab der die Versetzungen durch den entstehenden Aufstau wieder losgerissen werden,
realisiert werden.
Kein Klettern der Versetzungen zulässig.
Unter einem bestimmten Temperatureinfluss wäre es für die Versetzungen durch
die thermisch aktivierte Diffusionsprozesse im Material möglich, die vorgegebenen
Gleitbänder durch Klettern zu verlassen. Das wäre im Programm nur mit zusätzlichen
Abfragen verbunden und würde grundsätzlich an den Resultaten der vorgestellten
Simulationen kaum etwas ändern.
Linienspannung der Versetzungsloops wird in 2D Simulation nicht berücksichtigt.
In drei Dimensionen würde die Linienspannung (=Energie pro Einheitslänge der Versetzung)
versuchen, ein ausgebauchtes Versetzungssegment gerade zu ziehen und so
dessen Länge zu verkürzen (Energieminimierung!). Dies würde sich in unserer zweidimensionalen
Betrachtung in einer größeren Emissionsspannung und damit über
Gl. (2.1) in einer kleineren Dipoldistanz nach der Emission äussern. Die ebenfalls
zusätzlich auftretende Behinderung in der Bewegung der Versetzung könnte durch
eine größere angenommene Reibspannung im Programm realisiert werden. Diese Modifikationen
würden aber an den Ergebnissen nur quantitativ etwas ändern, und die
beobachteten Trends in den verschiedenen Kurvenverläufen würden weitgehend dieselben
bleiben.
Im Weiteren möchte ich noch einige Hinweise geben, die im Falle einer Erweiterung
des entwickelten Programms für 3D Simulationen zu beachten wären. Zunächst einmal
müsste man, um das Kontaktproblem (Randwertproblem) im dreidimensionalen Fall mit
der im Abschnitt B.1 des Anhangs beschriebenen Kollokationsmethode lösen zu können,
das Spannungs- und Verschiebungsfeld für den Punktkontakt mit dem elastischen Halbraum
formulieren. Die Lösung für den Punktkontakt findet man in der Literatur (z.B.
[33]), wobei gegebenenfalls auch die mögliche Übertragung von Scherspannungen auf die
Oberfläche miteinbezogen werden sollte. Für einfache, radialsymmetrische Indentergeometrien
kann man die Lösung des rein elastischen Problems mit den analytischen Resultaten
in der Literatur vergleichen [34, 35, 36]. Des Weiteren wäre zu beachten, dass die Versetzungsdipole
in drei Dimensionen, insbesondere bei diesen einfachen, radialsymmetrischen
Indentergeometrien und vereinfachten Gleitgeometrien, geschlossene Versetzungsloops dar-
60

4.2 Erweiterungsmöglichkeiten des Programms und die zu erwartenden
Änderungen
z
y
x
Gleitebene
Versetzungsloop
P n
d n
Abbildung 4.3: Schematische Darstellung der Diskretisierung eines dreidimensionalen Versetzungsloops
in n Segmente der Länge dn.
stellen 1 , die man am besten in einzelne, geradlinige Versetzungssegmente diskretisiert (siehe
Abb.4.3). Die Spannungsfelder dieser Versetzungsringe erhält man, indem man die Einzelspannungsfelder
der Segmente (siehe z.B. [37]), die im übrigen von deren Länge abhängen,
superponiert. Hinzu kommt auch noch ein weiterer Term, der das Eigenspannungsfeld bzw.
Linienspannung der Versetzung berücksichtigt. In der Literatur [38] findet man dabei eine
effiziente Methode 2 , die unter Beachtung der Reichweite der Spannungsfelder die Rechenzeit
minimiert. Nachdem aber die lokale Scherspannung an den Mittelpunkten der Segmente
berechnet wird, bekommt man bei gößeren Versetzungsloops aufgrund der gleichbleibenden
Segmentanzahl ungenaue Resultate, und man muß daher einen Kompromiß zwischen Rechenzeit
und gewünschter Genauigkeit suchen. Diese Methode sollte also in unserem Fall,
besonders bei kleinen Indents, recht gute Ergebnisse liefern. Da ich den Einfluss dieser
Linienspannung auf die Ergebnisse bereits oben diskutiert habe, möchte ich hier nur noch
auf eine weitere, sehr interessante Erklärungsmöglichkeit für den ISE hinweisen [30]: Bei
kleinen Indents sind die sich formierenden Versetzungsringe stärker gekrümmt und daher
schwerer zu bewegen als bei größeren Indents. Deswegen steigt dabei der Widerstand gegen
die Verformung, und die Härte muss bei kleineren Eindrücken größer sein, oder noch größer
als in unserem 2D- Fall sein.
1 Will man z.B. die Schneidprozesse, die bei einer Wechselwirkung zwischen Versetzungsloops in zwei
unterschiedlichen, einander schneidenden Gleitebenen auftreten können oder auch ein mögliches Quergleiten
von Schraubenversetzungen miteinbeziehen, so werden die geschlossenen Versetzungsloops u. U. in
einzelne, nicht mehr geschlossene, Segmente getrennt.
2 Diese Methode berüchsichtigt übrigens auch den, bei der Lösung des Halbraum- Randwertproblems
auftretenden, Einfluss der Spiegelversetzungen.
61
b

4.3 Was kann man aus Nanoindentierung lernen?
Wie ich aber bereits angedeutet habe, sind 3D Simulationen enorm rechenintensiv und
stellen auch heutzutage noch eine gewaltige Herausforderung für große Computer- Cluster
(oft hunderte vernetzte Rechner) dar. Selbst damit können aber auch nur einige Studien,
in denen man die Generierung und Bewegung von wenigen Versetzungen und, in weiterer
Folge, einige einfache Wechselwirkungsmechanismen zwischen ihnen berechnen kann,
durchgeführt werden.
4.3 Was kann man aus Nanoindentierung lernen?
Wir haben letztendlich auch in den Simulationen dieser Arbeit gesehen, dass die Messung
der Mikro- und insbesondere der Nanohärte mittels Indentierung eine Methode darstellt,
bei der versucht wird, die mechanischen Eigenschaften von sehr kleinen, räumlich begrenzten
Bereichen zu bestimmen. Nachdem aber in einem so kleinen Längenmasstab bereits der
diskrete kristalline Aufbau (Gitter) und die Mikrostruktur des untersuchten Bereichs eine
entscheidende Rolle spielen, stellt sich berechtigterweise die Frage, ob man nicht vielleicht
mit dieser Methodik auch grundsätzlichere Dinge z.B. über den Ursprung und das Wesen
der Plastizität lernen kann.
Zunächst stellt für den untersuchten Volumsbereich auf einer Probe (z.B. Korn in einem
Metall) ein Indenter, insbesondere im Nanometerbereich, eine kleine, sehr flache (abgerundete)
Spitze dar, die nach dem Eindrücken in einem gewissen Bereich in flächenhaftem
Kontakt mit der Probe steht. Bei kleinen Eindringtiefen ist anfangs der Kontakt noch rein
elastisch. Die dabei auftretenden Kontaktspannungen werden in den lokalen Bereichen mit
zunehmender Eindringtiefe des Indenters immer größer und können ab einem bestimmten
Punkt, wie es unter anderem atomistische Simulationen gezeigt haben, spontan durch die
extremen elastischen Verzerrungen im Kristallgitter Versetzungen generieren, oder wie in
dieser Arbeit gezeigt, bereits vorhandene Versetzungsquellen aktivieren. Ab diesem Punkt
setzt die plastische Verformung im Medium ein. Unter dem Einfluss dieser hohen Spannungen,
die im Bereich der theoretischen Festigkeit des Materials bzw. darüber liegen, können
dabei nahezu fast alle Gitterbaufehler wie z.B. auch Leerstellen, als mögliche Versetzungsquellen
fungieren. Wäre es möglich, einen idealen Punktkontakt technisch zu realisieren
(ideal scharfe Indenterspitze), so sollte es beispielsweise in einem Indenterierungsversuch
möglich sein, die für das Einsetzen der plastischen Verformung kritische Spannung aus
den Last- Verschiebungskurven (Pop in) zu bestimmen. Aus den Simulationen dieser Arbeit
geht aber auch deutlich hervor, wie man prinzipiell aus den verschiedenen Kurvenverläufen,
insbesondere den Härte- Verschiebungskurven, im Frühstadium des Indentierens
einiges über die Mikrostruktur des untersuchten Materials aussagen kann. Der tendenzielle
Härteverlauf gibt, wie wir gesehen haben, zumindest eine relative Information über die
Quelldichte bzw. auch die im Medium dominierende Quellspannung, die hier letztendlich
auch den Sättigungswert der nominellen Härte bestimmt. Nach unseren Studien wäre allerdings
ein Einfluss der Reibspannung, wenn überhaupt, nur im Grad der Abnahme der
Härte mit zunehmender Eindringtiefe des Indenters feststellbar. Dabei müsste man aber
in gezielten Versuchen den zusätzlichen Effekt von Quellspannung und -dichte separieren.
62

4.3 Was kann man aus Nanoindentierung lernen?
Schließlich ist in den gemessenen Kurvenverläufen, wie ich es in mehreren Studien demonstriert
habe, auch einiges an Information über Versetzungshindernisse und deren Abstand
vom Indenter oder auch die Anzahl an verfügbaren und aktivierbaren Quellen in räumlich
begrenzten Volumsbereichen enthalten.
So hoffe ich abschließend, dass ich in den hier vorgestellten Simulationen gezeigt habe,
wie man zahlreiche Phänomene, die auf der diskreten Natur der Versetzungen und der
Mikrostruktur des Materials beruhen, im Rahmen der zur Verfügung stehenden Ressourcen
(Computerleistung) recht klar studieren kann. Ebenso habe ich versucht, einen Ausblick
zu geben, wie es ohne allzugroßen Aufwand, allerdings mit wesentilch stärkeren Rechnern,
möglich wäre, das Programm auch für kompliziertere Studien einzusetzen.
63

Anhang A
Mathematische Grundlagen der
Simulation
A.1 Das verwendete Koordinatensystem
Abbildung A.1: Koordinatensystem des Problems.
Wie wir in diesem Anhang später noch sehen werden, ist es zweckmäßig für die Formulierung
unseres Problems, ein komplexes Koordinatensystem einzuführen (siehe Abb.A.1).
In diesem Bild sind der Indenter, dessen Spitze sich an Position (0, x2) befindet, und exemplarisch
eine Stufenversetzung an Position z0(x1, x2) in allgemeiner Lage im unteren
Halbraum eingezeichnet. Mit b(b1, b2) bezeichnen wir den Burgersvektor der Vesetzung.
64

A.2 Die Komplexe Darstellung der Spannungen und Verschiebungen
A.2 Die Komplexe Darstellung der Spannungen und
Verschiebungen
Die, in der ebenen Elastizitätstheorie eine große Rolle spielende Airysche Spannungsfunktion
U(x1, x2) stellt als Lösung der Differentialgleichung
△△U = 0 (A.1)
eine biharmonische Funktion dar. Diese auf direktem Wege (durch Lösen der Differentialgleichung
(A.1)) zu finden, ist nur eingeschränkt möglich. Zum einen zählt die Biharmonische
Gleichung nicht unbedingt zu den einfachsten, zu lösenden Differentialgleichungen,
und zum anderen ist es oft sehr schwierig, aus den Airy-Funktionen auch die Verschiebungsfelder,
an denen wir in dieser Arbeit besonders interessiert sind, zu ermitteln. Ein einfacher,
systematischer Lösungsweg, um diese Probleme zu umgehen, besteht darin, das Randwertproblem
mit Hilfe der Methode der komplexen Potentiale zu formulieren (siehe [39]). Die
Airysche Spannungsfunktion lässt sich nämlich sehr einfach mit Hilfe zweier Funktionen
Ω(z) und ω(z) (auch als komplexe Potentiale bezeichnet) der komplexen Veränderlichen
z = x1+ix2, darstellen. Die Spannungen σ und Verschiebungen u hängen dabei auf folgende
Weise
σ11 + σ22 = 2
Ω ′ (z) + Ω ′ (z)
σ11 − σ22 + 2iσ12 = −2
zΩ ′′ (z) + ω ′ (z)
u = u1 + iu2 = 1
2µ
κΩ(z) − zΩ ′ (z) − ω(z)
(A.2)
mit den komplexen Potentialen zusammen, wobei für den ebenen Dehnungszustand die
Abkürzung κ = 3 − 4ν eingeführt wurde. In diesen Gleichungenbezeichnet µ den Schubmodul,
ν die Poissonzahl, und mit i ist √ −1 gemeint. Mit einem Überstrich versehene
Symbole bedeuten den konjugiert komplexen Wert des Symbols, gestrichene die jeweilige
Ableitung der Funktion nach z.
A.3 Das Prinzip der analytischen Fortsetzung von Funktionen
im Komplexen
Im Zusammenhang mit der Lösung von komplexen Randwertproblemen ist das Prinzip
der analytischen Fortsetzbarkeit bestimmter komplexer Funktionen (so auch die oben eingeführten
komplexen Potentiale Ω und ω) ein äußerst hilfreiches Werkzeug. Wie wir besonders
in diesem Anhang noch sehen werden, ermöglicht es uns, ausgehend von der Kontinuumslösung,
relativ einfach und elegant, die Lösung für den Halbraum zu finden. Aus diesem
Grund führen wir hier die Aussage dieses Prinzips , die sich in jeder guten mathematischen
Formelsammlung wiederfindet, an:
65

A.4 Eine Herleitung der komplexen Spannungs- und Verschiebungsfelder für
den Halbraum
Abbildung A.2: Schematische Erläuterung zur analytischen Fortsetzung von Funktionen
im Komplexen.
Es seien f1(z) und f2(z) jeweils analytische Funktionen in den komplexen Gebieten G1 und
G2 (siehe Abb. A.2). In G1 ∩ G2 = 0 sei f1(z) = f2(z). Man sagt dann, f1(z) setzt sich
in das Gebiet G2 durch f2(z) analytisch fort, und umgekehrt f2(z) setzt sich in G1 durch
f1(z) analytisch fort.
Nach dem Eindeutigkeissatz über analytische Funktionen (siehe z.B. Formelsammlung)
bestimmen sich damit f1(z) und f2(z) gegenseitig eindeutig. Es liegt also nahe, beide
Funktionen als Elemente ein und derselben Funktion f(z) aufzufassen, die in G1 ∩ G2
analytisch ist.
In unserem Fall haben wir es mit dem Problem des unendlichen Halbraumes zu tun,
und die beiden Gebiete G1 und G2 stellen die jeweils obere und untere Halbebene dar, die
einander entlang einer Grenzlinie L der x1-Achse schneiden. In diesem Fall ist f(z) nicht
nur analytisch in G1 und G2, sondern auch auf L.
A.4 Eine Herleitung der komplexen Spannungs- und
Verschiebungsfelder für den Halbraum
Bei der Herleitung der komplexen Darstellung der Spannungs- und Verschiebungsfelder für
den Halbraum aus Gl.(A.2) bedienen wir uns des im Abschnitt A.3 beschriebenen Prinzips
der analytischen Fortsetzung. Im Folgenden werden die beiden komplexen Gebiete
mit G + für die obere und G − für die untere Halbebene bezeichnet (siehe Abb.A.3). Dabei
ist die Wahl der Potentiale in G − beliebig und beeinflusst nicht die Spannungs- und
Verschiebungsfelder in G + . Dies erlaubt es uns, eine analytische Fortsetzung von Ω in G −
zu suchen, d.h. eine Funktion, die sowohl in G + , als auch in G − analytisch ist und dann
die Definition von Ω in G − durch ω in G + zu ersetzen. Somit müssen wir anstatt zwei
analytische Funktionen in G + nur ein komplexes Potential Ω, das sowohl in G + , als auch
in G − analytisch ist und den vorgegebenen Randbedingungen genügt, finden.
Ausgehend von den Formeln für das Kontinuum Gl.(A.2) nehmen wir an, dass Ω und
ω analytische Funktionen im komplexen Gebiet G + sind. Weiters wird angenommen, dass
66

A.4 Eine Herleitung der komplexen Spannungs- und Verschiebungsfelder für
den Halbraum
G
G
i x 2
Abbildung A.3: Schematische Erläuterung zur Herleitung der komplexen Darstellung der
Spannungs- und Verschiebungsfelder im Halbraum
ein Abschnitt L der reellen Achse spannungsfrei ist, also
L
σ22 − iσ12 = 0 auf L. (A.3)
Mit den komplexen Potentialen angeschrieben lautet diese Randbedingung (Subtrahieren
der zweiten Gleichung von der ersten in Gl.(A.2) und Durchführung der Grenzwertbetrachtung,
wenn man sich von der oberen Halbebene her der x1-Achse nähert):
lim
x2→0 +
Ω ′ (z) + Ω ′ (z) + zΩ ′′ (z) + ω ′ (z)
= 0. (A.4)
Wir führen nun als Abkürzung folgende Schreibweise ein:
Somit wird aus Gl.(A.4):
Ω+(x1) ≡ lim
x2→0 + Ω(z) ω+(x1) ≡ lim ω(z). (A.5)
x2→0 +
Ω ′ +(x1) + Ω ′ +(x1) + x1Ω ′′ +(x1) + ω ′ +(x1) = 0. (A.6)
Die Randbedingung Gl.(A.4) kann mit den in G− analytischen Funktionen Ω(¯z) und ω(¯z)
umgeschrieben werden (Spiegelung an der reellen Achse):
lim
x2→0−
Ω ′ (¯z) + Ω ′ (¯z) + ¯zΩ ′′ (¯z) + ω ′ (¯z)
= 0. (A.7)
Wenn wir uns im Limes einmal von oben und einmal von unten der x1-Achse nähern, gilt:
lim Ω(¯z) = lim
x2→0− x2→0 + Ω(z) = Ω+(z). (A.8)
Es folgt nach Einsetzen in Gl.(A.7) und nach anschließendem komplexen Konjugieren:
Ω ′ +(z) = − lim
x2→0−
Ω ′ (¯z) + zΩ ′′ (¯z) + ω ′ (¯z)
auf x2 = 0. (A.9)
67
x 1

A.5 Die komplexen Potentiale einer Versetzung im Halbraum
Die Gl.(A.9) sagt nun nichts anderes aus, als dass die Funktion Ω ′ , die analytisch in G + ist,
auf dem Abschnitt L den selben Wert annimmt, wie die Funktion Ω ′ (¯z) + zΩ ′′ (¯z) + ω ′ (¯z),
die andererseits analytisch in G − ist. Aus dem Theorem der analytischen Fortsetzbarkeit
zweier analytischer Funktionen (siehe Abschnitt A.3) folgt nun, dass die eine Funktion
jeweils die analytische Fortsetzung (von G − nach G + bzw. umgekehrt) entlang L darstellt.
Somit stellt die Funktion
Ω ′ (z) =
Ω ′ (z) : z ∈ G +
−Ω ′ (¯z) − zΩ ′′ (¯z) − ω ′ (¯z) : z ∈ G − (A.10)
ein komplexes Potential dar, das überall analytisch ist. Integriert man Gl.(A.10) erhalten
wir:
Ω(z) =
Ω(z) : z ∈ G +
−zΩ ′ − . (A.11)
(¯z) − ω(¯z) : z ∈ G
Dieses Ergebnis benutzen wir nun, um den Ausdruck für ω in G + zu finden:
ω(z) = −Ω(¯z) − zΩ ′ (z) z ∈ G + . (A.12)
Wir können nun Gl.(A.12) in die Lösung für das Kontinuum Gl.(A.2) einsetzen und erhalten
die komplexe Darstellung der Spannungs- und Verschiebungsfelder im oberen Halbraum
G + :
σ11 + σ22 = 2
Ω ′ (z) + Ω ′ (z)
σ22 − iσ12 = Ω ′ (z) − Ω ′ (¯z) + (z − ¯z)Ω ′′ (z) (A.13)
u = u1 + iu2 = 1
2µ
κΩ(z) + Ω(¯z) − (z − ¯z)Ω ′ (z)
.
A.5 Die komplexen Potentiale einer Versetzung im
Halbraum
Die komplexen Potentiale einer Stufenversetzung im unendlich ausgedehnten, homogenen
Medium finden sich in der Literatur (siehe z.B. [40]):
Ω(z) = A ln z ω(z) = A ln z (A.14)
mit der Konstanten A = iµb/(4π(1 − ν)), in der die Materialkonstanten zusammengefasst
sind und dem Burgersvektor b = b1 + ib2 in seiner komplexen Schreibweise. Die Funktionen
in Gl.(A.14) stellen die komplexen Potentiale einer Versetzung im Koordinatenursprung
dar. Um die Potentiale einer Versetzung in allgemeiner Lage (hier an der Position z0(x1, x2))
zu finden, müssen wir eine Koordinatentransformation, wie sie z.B. in [39] beschrieben
wird, durchführen. Dabei ist zu beachten, dass nur die Funktion Ω(z) gegenüber einer
Verschiebung des Ursprungs invariant ist und ω(z) dagegen nicht. Dies kommt durch das
68

A.5 Die komplexen Potentiale einer Versetzung im Halbraum
a.)
c.)
Z
D Z
Z D
D Z
Z D
D Z
Z D
D
D D
Z
Z
D
Z Z
D D
Z
12
12
b.)
D
Z
Z Z
D
D
Z Z
D Z
Z D
D Z
D Z
D
D D
Abbildung A.4: Isolinien zur Darstellung der σ12- und σ22- Spannungsfelder einer Stufenversetzung
mit Burgersvektor parallel (a.) bzw. b.)), und normal (c.) bzw. d.)), zur x1-Achse,
mit den jeweiligen Zug- (Z) und Druckbereichen (D) bzw. negativer (Z) und positiver (D)
Scherspannung.
Auftreten eines zusätzlichen Terms bei ω0(z) in Gl.(A.15) zum Ausdruck. Somit ergeben
sich die komplexen Potentiale einer Versetzung im Punkt z0:
d.)
Ω0(z) = A ln (z − z0) ω0(z) = A ln (z − z0) − A z0
. (A.15)
z − z0
Um nun aus diesem Ergebnis zu den komplexen Potentialen einer Versetzung im Halbraum
zu gelangen, bedienen wir uns der, schon im Abschnitt A.4 beschriebenen, bewährten
Methode der analytischen Fortsetzung:
Durch die Gleichungen (A.15) wird zum Ausdruck gebracht, dass durch die Anwesenheit
der Versetzung im Halbraum auf der x1-Achse Spannungen induziert werden. Aus diesem
Grund muss zur Lösung für die Vollebene Ω0(z) in Gl.(A.15) noch eine zusätzliche Lösung
Ω1(z), die entgegengesetzt gleiche Spannungen an der Oberfläche aufbringt, addiert werden:
Ω(z) = Ω0(z) + Ω1(z). (A.16)
69
Z
22
22

A.5 Die komplexen Potentiale einer Versetzung im Halbraum
(a)
u 2(x 2=0)
x 1
(b)
u 2(x 2=0)
Abbildung A.5: Oberflächenverschiebungen, hervorgerufen durch einen Versetzungsdipol
a.) parallel, und b.) normal zur x1-Achse. Die Höhe der Oberflächenstufe entspricht dem
Absolutbetrag des Burgersvektors.
In Abschnitt A.4 hatten wir die Lösung für Ω1(z) bereits gefunden mit (siehe Gl.(A.11)):
Zusammen mit Gl.(A.16) erhalten wir schließlich:
Ω1(z) = −zΩ ′ 0(¯z) − ω0(¯z) z ∈ G − . (A.17)
Ω(z) = Ω0(z) − zΩ ′ 0(¯z) − ω0(¯z). (A.18)
Nach Einsetzen von Gl.(A.15) in Gl.(A.18) erhalten wir das komplexe Potential Ω(z), einer
sich im oberen Halbraum befindenden Stufenversetzung, mit:
Ω(z) = A ln (z − z0) − A ln (z − z0) + A z0 − z
. (A.19)
z − z0
Um die Spannungs- und Verschiebungsfelder zu erhalten, muss man Gl.(A.19) jetzt nur
noch in die Gleichungen (A.13) einsetzen 1 . In Abb.A.4 sind die dadurch erhaltenen Spannungsfelder
einer Stufenversetzung, deren Burgersvektor parallel bzw. normal zur freien
Oberfläche liegt, eingezeichnet. Sehr schön sieht man in beiden Fällen die Spannungsfelder
der sogenannten Bild- oder auch Scheinversetzung im oberen Halbraum, die an der
1 Natürlich hätten wir zusätzlich das komplexe Potential ω(z) = ω0(z) + ω1(z), wie in Abschnitt A.4
beschrieben, ausrechnen und das Ergebnis zusammen mit Gl.(A.18) in die Lösung für das Kontinuum
Gl.(A.2) einsetzen können, um zu den Spannungs- und Verschiebungsfeldern zu gelangen.
70
x 1

A.6 Cauchy’sche Integrale und die Formel von Sokhotski und Plemelj
Oberfläche die entgegengesetzt gleichen Spannungen induziert 2 . Abbildung A.5 zeigt die
Verschiebungsfelder, die an der Oberfläche durch Versetzungsdipole hervorgerufen werden.
Man erkennt dabei deutlich (siehe z.B. Abb. a.)) das Ausbauchen bzw. die Absenkung
der Oberfläche durch die Druck- bzw. Zugspannungen einer Versetzung (siehe dazu auch
Abb.A.4).
In der Literatur [44] findet man eine Lösung dieses Problems, wo mit Hilfe der klassischen
Potentialtheorie zwei geeignete harmonische Funktionen gesucht werden, die den
geforderten Randbedingungen genügen. Die dort angewandte Methode besitzt allerdings,
wie schon in Abschnitt A.2 angedeutet, den Nachteil, dass auf relativ einfache Weise nur
die Spannungsfelder erhalten werden 3 .
A.6 Cauchy’sche Integrale und die Formel von Sokhotski
und Plemelj
Da Cauchy- Integrale und insbesondere die Formel von J.W. Sokhotski und J. Plemelj ein
wichtiges Ergebnis der Funktionentheorie darstellen und in weiterer Folge (siehe nächster
Abschnitt) noch von großer Bedeutung sein werden, seien sie hier kurz dargelegt 4 .
Es sei K ein beliebiges Kurvensystem und φ(t) = φ1(t) + iφ2(t) eine auf K vorgegebene,
im allgemeinen komplexe, Funktion, die im Riemannschen Sinne absolut integrierbar ist.
Als Cauchy Integral, erstreckt über den Weg K, bezeichnen wir
1
2πi K
φ(t)
dt (A.20)
t − z
wobei z ein gewisser Punkt der komplexen Ebenen ist. Liegt z nicht auf K, dann hat das
Integral (A.20) einen wohlbestimmten Sinn und stellt eine komplexe Funktion
Φ(z) = 1
2πi K
φ(t)
dt, (A.21)
t − z
dar, die in der gesamten Ebene, mit möglicherweise Ausnahme in den Punkten der Kurve
K, holomorph ist. Fällt hingegen z mit einem Punkt t auf K zusammen, so schreiben wir
zunächst rein formal:
1
2πi K
φ(t)
dt. (A.22)
t − t0
2 Ich möchte an dieser Stelle bemerken, dass die hier beschriebene Methode der Lösung von Randwertproblemen
der Elektrodynamik nicht unähnlich ist. Dort wird zum Beispiel im Falle einer Punktladung im
zweifach geschichteten Medium das Randwertproblem mit Hilfe von Schein- oder Spiegelladung gelöst.
3 Dies äußert sich im Artikel von [44] insbesondere dadurch, dass dort die Angabe der Verschiebungen
fehlt. Die in dieser Arbeit erhaltene Lösung für die Spannungsfelder einer Stufenversetzung im Halbraum
kann in die von [44] verwendete Schreibweise übergeführt werden. Dabei kann man zeigen, dass die beiden,
mit unterschiedlichen Methoden erhaltenen, Ergebnisse völlig ident sind.
4 Eine detailiertere Behandlung, z.T. sogar mit Beweisführungen, findet sich z.B. in der Literatur [39].
71

A.7 Das Kontaktelement
Ist φ(t0) = 0, so strebt die Funktion unter dem Integral für t = t0 wie |t − t0| −1 gegen Unendlich,
und das Integral hat im Rahmen der gewöhnlichen Definition keinen Sinn. Genügt
allerdings die Funktion φ(t) in der Umgebung des Punktes t0 einer Hölder Bedingung
|φ(t2) − φ(t1)| ≤ C|t2 − t1| α
für zwei beliebige Punkte (t1, t2) ∈ K, einer positiven Konstante C sowie 0 < α < 1, so
existiert der Hauptwert (hier mit HW bezeichnet) des Integrals (A.22), und Φ(z) ist sowohl
von links als auch von rechts her stetig fortsetzbar auf K. Anders ausgedrückt bedeutet
dies, dass die Grenzwerte Φ+(t0) und Φ−(t0) existieren und durch die Gleichungen:
Φ+(t0) − Φ−(t0) = φ(t0)
Φ+(t0) + Φ−(t0) = 1
πi HW
K
φ(t)
dz (A.23)
t − t0
definiert sind. Diese beiden Beziehungen sind die bekannten Formeln von Sokhotski und
Plemelj, die z.B. in [41] bewiesen werden.
A.7 Das Kontaktelement
In diesem Abschnitt wollen wir die komplexen Potentiale eines, im Intervall a1 < x1 < a2
unter konstantem Druck stehenden Bereichs der reellen Achse (Kontaktelement), im unteren
Halbraum berechnen. Der übrige Teil des Randes soll dabei unbelastet bleiben. Dazu
formulieren wir unser Randwertproblem mit der sich schon im Abschnitt A.4 bewährten
Methode der analytischen Fortsetzung, wobei wir die dort gewählte Nomenklatur auch hier
beibehaltenhaben. Die Randbedignung unseres Problems lautet also5 :
σ22 − iσ12 = lim
x2→0+
Ω ′ (z) − Ω ′ (¯z) + (z − ¯z)Ω ′′ (z)
= Ω ′ +(x1) − Ω ′ −(x1). (A.24)
Wir müssen, wie schon beim Versetzungsproblem in Abschnitt A.5, nur Ω(z) ausrechnen,
da wir ja die Gleichungen für die Spannungs- und Verschiebungsfelder im Halbraum
schon hergeleitet haben. Um also ein komplexes Potential zu finden, das diesen Randbedingungen
genügt, bedienen wir uns der zuvor dargelegten Formel von Sokhotski und
Plemelj (siehe Abschnitt A.6). Aus der ersten Gleichung von (A.23) kann man zusammen
mit Gl.(A.24) und der bekannten Cauchy’schen Formel (siehe z.B. Formelsammlung) die
allgemeine Lösung des Halbraum- Randwertproblems finden:
Ω ′ (z) = − 1
∞
2πi −∞
σ22(t) − iσ12(t)
dt +
t − z
∞
anz
n=0
n . (A.25)
Da jede beliebige, in G stetige, analytische Funktion keinerlei Spannungen an der Ober-
5 In Gl.(A.24) haben wir angenommen, dass limx2→0+ (z−¯z)Ω′′ (z) = 0, was natürlich erst gezeigt werden
kann, nachdem wir eine Lösung des Problems gefunden haben.
72

A.7 Das Kontaktelement
a.) Kontaktelement
b.)
+
Kontaktelement
Druck
12 22
Abbildung A.6: Isolinien zur Darstellung der a.) σ12- und b.) σ22- Spannungsfelder eines
Kontaktelementes.
fläche induziert, kann hier zur Lösung ein beliebiges Polynom addiert werden. Sollen die
Spannungen im Unendlichen verschwinden, so sind die Koeffizienten an = 0.
In dem hier behandelten Randwertproblem betrachten wir den Fall, dass auf dem Abschnitt
a1 ≤ t ≤ a2 der x1-Achse ein gleichmäßiger Druck p wirkt, während der übrige Teil
des Randes unbelastet bleibt. Somit gilt: σ12(t) = 0 für alle t, σ22 = −p für a1 ≤ t ≤ a2
und σ22 = 0 für Werte von t außerhalb des Intervalls. Die Gleichung (A.25) lässt sich dann
folgendermaßen anschreiben:
Ω ′ (z) = − 1
a2
2πi a1
σ22(t)
dt. (A.26)
t − z
Die Integration von Gl.(A.26) liefert die gesuchte Lösung Ω ′ (z) für das Kontaktelement:
Ω ′ (z) = p
2πi [ln (z − a2) − ln (z − a1)] . (A.27)
Eine weitere Integration nach z ergibt das komplexe Potential
Ω(z) = p
2πi [(a1 − z) ln (z − a1) − (a2 − z) ln (z − a2)] + c (A.28)
wobei die auftretende Integrationskonstante c weggelassen werden kann, da sie ohnehin nur
einer starren Translation des Kontaktelementes entspricht.
Um die Spannungs- und Verschiebungsfelder des Kontaktelementes im Halbraum zu
ermitteln, muss man die Gl.(A.27) und (A.28) nur noch in die Gleichungen (A.13) einsetzen.
In Abb. A.6 sind die, auf diese Weise erhaltenen, Spannungsfelder des Kontaktelementes
dargestellt.
73

A.8 Zusammenfassung der benötigten Gleichungen
A.8 Zusammenfassung der benötigten Gleichungen
An dieser Stelle möchte ich noch einmal die grundlegenden Gleichungen, die ich in der
vorliegenden Arbeit verwendet habe, zusammenfassen:
Die komplexe Darstellung der Spannungs- und Verschiebungsfelder für den oberen
und den unteren Halbraum:
σ11 + σ22 = 2
Ω ′ (z) + Ω ′ (z)
σ22 − iσ12 = Ω ′ (z) − Ω ′ (¯z) + (z − ¯z)Ω ′′ (z)
u = u1 + iu2 = 1
2µ
κΩ(z) + Ω(¯z) − (z − ¯z)Ω ′ (z)
.
Das komplexe Potential Ω(z), einer sich im unteren Halbraum befindenden Stufenversetzung:
Ω(z) = A ln (z − z0) − A ln (z − z0) + A z0 − z
.
z − z0
Das komplexe Potential Ω(z) eines, im Intervall a1 < x1 < a2 unter konstantem
Druck stehenden Bereichs der reellen Achse (Kontaktelement) im unteren Halbraum:
Ω(z) = p
2πi [(a1 − z) ln (z − a1) − (a2 − z) ln (z − a2)] + c.
Diese Gleichungen wurden selbstverständlich vor deren Verwendung im Computerprogramm
zur Simulation von Nanoindentierung in eine entsprechende, für den verwendeten
C++ Compiler verwertbare, Form gebracht.
74

Anhang B
Die Berechnung der Spannungsfelder
für das Indenterproblem
B.1 Die Kollokationsmethode zur Berechnung der Kontaktspannungen
Mit Hilfe der hier beschriebenen Kollokationsmethode (siehe [43] bezüglich einer detailierteren
mathematische Behandlung des Problems im Falle des Rissuferkontaktes bei der
Simulation des Wachstums von Ermüdungsrissen) können die beim Indentieren auftretenden
Kontaktspannungen aus der sich einstellenden Oberflächenkontur iterativ berechnet
werden. Prinzipiell wäre es auch möglich das Kontaktproblem mit den Methoden der FE-
Simulation direkt zu berechnen. Nachdem wir es aber im hier vorliegenden Problem mit
bewegten Versetzungen zu tun haben, die das FE- Netz in jedem Rechenschritt ständig
verändern würden (ein ständiges “Re- meshing” wäre erforderlich!), wurde in dieser Arbeit
die Kollokationsmethode verwendet. Diese eignet sich bestens zur Lösung des gegebenen
Randwertproblems, da sie die fortwährend veränderlichen Kontaktbedingungen, die durch
Versetzungsemission und Versetzungsbewegung im Halbraum auftreten, berücksichtigt.
Um also das Kontaktproblem eines Indenters mit dem Halbraum zu lösen, kann man
zunächst folgende Überlegungen anstellen: Würde man die, beim Kontakt des Indenters
mit der Oberfläche (die selbstverständlich schon vom Verschiebungsfeld eventuell emittierter
Versetzungen vorverformt sein kann und daher keineswegs eben sein muss) auftretenden
Kontaktspannungen nicht berücksichtigen, so ergäbe sich ein Intervall I0, wie es beispielsweise
in Abb. B.1 dargestellt ist. Zunächst zerlegen wir I0 in infinitesimale Abschnitte,
in denen jeweils unterschiedliche Einzelkräfte Pk wirksam sind. Jede dieser Kräfte an der
Stelle x ′ verschiebt das Kontaktintervall an der Stelle x um den Betrag g(x, x ′ ). Die sogenannte
Einflussfunktion g(x, x ′ ) wird dabei auch als Wirkung der Kraft Pk(x ′ ) an der Stelle
x bezeichnet. Will man das hier gestellte Problem mathematisch exakt lösen, so müsste
man die folgende Integralgleichung, in der mit u(x) die Verschiebung in einem Intervall In 1
1 Nachdem die Größe des Intervalls In vorerst noch unbekannt ist und hier mit Hilfe einer iterativen
75

B.1 Die Kollokationsmethode zur Berechnung der Kontaktspannungen
Einzelkraft P (x )
Kontaktelement an
Position x
INDENTER
Intervall I 0
OBRFLAECHE
Vorgegebene
Verschiebung u(x)
im Intervall I 0
Abbildung B.1: Diskretisierung des Intervalls I0 in einzelne Kontaktelemente.
bezeichnet wurde, lösen:
Pk(x
In
′ )g(x, x ′ )dx ′ = −u(x) x ∈ In. (B.1)
Die unbekannte Funktion in dieser Gleichung ist die Amplitude Pk(x ′ ). Die Wirkung
g(x, x ′ ) wird in Zusammenhang mit Gl.(B.1) auch als Kern des Integrals bezeichnet und findet
sich in der Literatur [42]. Es ist oft nicht möglich, eine analytische Lösung von Gl.(B.1)
zu finden. Wenn es aber doch möglich ist, würde das Aufsuchen einer Lösung allerdings
einen beträchtlichen mathematischen Aufwand mit sich bringen. Da unser hauptsächliches
Interesse sicherlich der Simulation der Versetzungsbewegung gilt, beschränken wir uns in
dieser Arbeit auf eine Näherungslösung des Problems, die auch als Kollokationsmethode
bekannt ist. Dabei diskretisieren wir das Intervall I0 in sogenannten Kontaktelemente, in
denen die Kraft jeweils einen konstanten Wert Pk annimmt (siehe Abb. B.1). Nun werden
Kollokationspunkte, das sind Punkte die üblicherweise mit den Mittelpunkten der Kontaktelemente
zusammenfallen, gewählt, in denen unsere Lösung der vorgegebenen Verschiebung
entsprechen muss. Die Verschiebung in jedem einzelnen Kollokationspunkt ist also nichts
anderes, als die Summe der Verschiebungen, die sämtliche Pk an diesem Punkt bewirken.
Die Verschiebungsfunktion für ein Kontaktelement, hier in weiterer Folge mit ˆg(x, xj) bezeichnet,
haben wir schon im Abschnitt A.7 hergeleitet. In diskretisierter Form, also als
Summe angeschrieben, lautet die Integralgleichung Gl.(B.1) somit
j
ˆPk(xj)ˆg(x, xj) = û(x) (B.2)
wobei wir das Intervall I0 in j Kontaktelemente unterteilt haben. Die Gl.(B.2) stellt somit,
mit den vorerst j unbekannten Kontaktkräften ˆ Pk(xj) ein Gleichungssystem dar, dessen
Methode berechnet wird, wurde dieses mit einem Index n versehen. Nach der 0-ten Iteration entspricht
dieses Intervall gerade jenem Intervall I0, das auch in Abb. B.1 dargestellt ist.
76

B.1 Die Kollokationsmethode zur Berechnung der Kontaktspannungen
Kontaktspannung
Zug
Druck
Kontaktspannungsverteilung nach 0-ter Iteration
Kontaktspannungsverteilung nach 16-ter Iteration
Intervall I 0
Oberflache
Indenter
Abbildung B.2: Kontaktspannungsverteilung nach der 0-ten und nach der letzten Iteration
n = 16 (= korrekte Spannungsverteilung).
Näherungslösung an den j Kollokationspunkten mit der vorgegebenen Funktion (Verschiebung)
û(x) übereinstimmen muss. Löst man das System mit einem geeigneten numerischen
Verfahren am Computer und untersucht dabei die Spannungen entlang der Berührungsfläche,
so sieht man, wie z.B. in Abb. B.2 dargestellt, dass diese in bestimmten Bereichen
des Intervalls als Zugspannungen (positiv) und in anderen als Druckspannungen (negativ)
auftreten. Zugspannungen können sich beim freien Kontakt zweier Körper nicht ausbilden.
Diese ergeben sich durch die Vorgabe einer falschen Randbedingung, denn in Wirklichkeit
ist der Indenter nicht über die volle Länge des anfänglichen Intervalls I0 in Berührung mit
der Oberfläche, sondern nur in einem kleineren Bereich, den wir noch nicht kennen. Dieses
zusätzlich auftretende Phänomen macht es notwendig, das gekoppelte Problem (nicht nur
die Kontaktspannungsverteilung, sondern auch das jeweilige Kontaktintervall sind unbekannt)
iterativ zu lösen. In einem ersten Rechenschritt nehmen wir I0 als Ausgangsintervall
für die nullte Iteration an und berechnen mit Gl.(B.2) die zugehörige Spannungsverteilung.
Dann fragen wir ab, welche Kontaktelemente Zugspannungen aufweisen und verkleinern im
ersten Iterationsschritt das Kontaktintervall um diese Elemente, indem wir im Gleichungssystem
Gl.(B.2) die entsprechenden Zeilen und Spalten die positive Spannungen aufweisen,
löschen. Für dieses reduzierte Intervall nach der ersten Iteration, das wir mit I1 bezeichnen,
lösen wir das zugehörige reduzierte Gleichungssystem erneut. Wieder überprüfen wir die
erhaltene Spannungsverteilung auf Zugspannungselemente und löschen im Gleichungssystem
gegebenenfalls diese Elemente, um erneut ein verkleinertes Intervall I2 zu erhalten
77

B.2 Die Berechnung der lokalen Scherspannungen
und so das System lösen zu können. Dieser iterative Prozeß wird solange durchgeführt,
bis nurmehr Kontaktelemente mit Druckspannungen belegt sind (siehe Abb. B.2). Das
auf diese Weise erhaltene Intervall In ist das Kontaktintervall und liefert uns die physikalisch
richtige Lösung der gesuchten Kontaktspannungsverteilung und die sich einstellende
Oberflächenkontur (siehe Abb. B.3).
Oberflaechenkontur
INDENTER
Kontaktintervall I
Druckspannungen
Oberflaechenkontur
Abbildung B.3: Oberflächenkontur aufgrund der korrekten Spannungsverteilung aus Abb.
B.2.
B.2 Die Berechnung der lokalen Scherspannungen
Um entscheiden zu können, ob entweder eine Versetzungsquelle aktiv wird (d.h. ob die
kritische Scherspannung für die Emission eines Versetzungsdipoles erreicht wird) oder eine
Versetzung verschoben werden kann (d.h. ob die Scherspannung an der jeweiligen Position
der Versetzung einen kritischen Wert (Reibspannung) überschreitet und diese sich daher
bewegen kann), ist es jeweils notwendig, die lokale Scherspannung zu berechnen. Da dem
gesamten Problem eine lineare Theorie zu Grunde liegt, kann man die lokalen Spannungen
σ lok
12 einfach durch Superposition der jeweiligen Einzelspannungsfelder ermitteln:
σ lok
12 =
σ V 12 +
NV
NKE
σ KE
12 . (B.3)
Hier bedeuten NV die Anzahl der Versetzungen und NKE die Anzahl der Kontaktelemente.
Die Scherspannung σ V 12, hervorgerufen durch eine Stufenversetzung, berechnet man, wie
bereits in Abschnitt A.5 angedeutet, durch Einsetzen von Gl.(A.19) in den Imaginärteil
der zweiten Gleichung von (A.13). Für den Fall ohne Versetzungen ist beispielsweise in Abb.
B.4 der Verlauf des Scherspannungsfeldes σ12(x1, x2 = −10) zufolge eines klingenförmigen
Indenters (Öffnungswinkel=140) dargestellt.
78

B.2 Die Berechnung der lokalen Scherspannungen
12(x 2=-10) [MPa]
15000
10000
5000
0
-5000
-10000
Eindringtiefe = 10b
Eindringtiefe = 20b
Eindringtiefe = 40b
Eindringtiefe = 80b
Eindringtiefe = 160b . Maximum/Minimum
.
.
.
-15000
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
x 1 [b]
. .
.
.
Abbildung B.4: Verlauf der Scherspannung σ12(x1, x2 = −10) zufolge eines diskretisierten
(siehe Abb. B.1), klingenförmigen Indenters (Superposition der Spannungsfelder zufolge
der einzelnen Kontaktelemente) mit zunehmender Eindringtiefe.
Da selbstverständlich eine Versetzung keine Kraft auf sich selbst ausübt 2 , ist die erste
Summe bei der Berechnung von σ lok
12 an der Position der Versetzung über alle anderen Ver-
setzungen, mit Ausnahme derselben, zu bilden. Völlig analog kann das Scherspannungsfeld
eines Kontaktelementes σ KE
12 einfach durch Einsetzen von Gl.(A.28) in Gl.(A.13) ausgerechnet
werden. Erwähnenswert erscheint hier auch noch, dass in der zweiten Summe von
Gl.(B.3) indirekt noch ein Beitrag von den Versetzungen steckt: Sie bewirken, induziert
durch deren Verschiebungsfelder an der Oberfläche, unterschiedliche Kontaktspannungen
(siehe dazu auch Abschnitt B.1) in den einzelnen Kontaktelementen und demzufolge auch
ein verändertes Scherspannungsfeld zufolge des jeweiligen Kontaktelementes. Im Computerprogramm
wird dies durch Subtraktion der von den Versetzungen verursachten Kontur
von der vorgegebenen Indenterkontur berücksichtigt.
2 Einmal abgesehen vom Halbraumproblem, wo auf Grund der Anwesenheit der Versetzung in der Nähe
einer Oberfläche sozusagen diese ihre eigene Bildkraft “spürt”.
79

Literaturverzeichnis
[1] T. Schöberl: Persönliche Mitteilung.
[2] T. Schöberl, H.S. Gupta, P. Fratzl: Measurements of mechanical properties
in Ni-base superalloys using nanoindentation and atomic force microscopy.
Mater. Sci. & Engineering, Vol.363, p.211, (2003).
[3] V.B. Shenoy, R. Phillips, E.B. Tadmor: Nucleation of dislocations beneath
a plane strain indenter. J. Mech. Phys. Solids., Vol.48, p.649, (2000).
[4] E.T. Lilleodden, J.A. Zimmerman, S.M. Foiles and W.D. Nix: Atomistic
simulations of elastic deformation and dislocation nucleation during nanoindentation.
J. Mech. Phys. Solids., Vol.51, p.901, (2003).
[5] M.C. Fivel, C.F. Robertson, G.R. Canova and L. Boulanger: Threedimensional
modeling of indent-induced plastic zone at a mesoscale. Acta
Mat., Vol.46, p.6183, (1998).
[6] Y. Murakami, M. Itokazu: Elastic-plastic analysis of triangular pyramidal
indentation. Int. J. Solids Structures., Vol.34, p.4005, (1997).
[7] J. Chen, H. Yuan and F.H. Wittmann: Computational simulations of microindentation
tests using gradient plasticity. CMES, Vol.3, p.743, (2002).
[8] D. Raabe: Computational Materials Science: The Simulation of Materials Microstructures
and Properties, Wiley-VCH, Weinheim (1998).
[9] J. Weertman: Dislocation based fracture mechanics, World Scientific, Singapore
(1996).
[10] L.P. Kubin: Dislocation pattering during multiple slip of fcc crystals. Phys.
Stat. Sol., Vol.135, p.433, (1993).
[11] E. van der Giessen, A. Needleman: Discrete dislocation plasticity: a simple
planar model. Model. Simul. Mater. Sci. Eng., Vol.3, p.689, (1995).
[12] B. Devincre and L.P. Kubin: Simulations of forest interactions and strain
hardening in fcc crystals. Model. Simul. Mater. Sci. Eng., Vol.2, p.559, (1994).
80

LITERATURVERZEICHNIS
[13] F.O. Riemelmoser, R. Pippan, O. Kolednik: Cyclic crack growth in elastic
plastic solids: a description in terms of dislocation theory. Comp. Mech., Vol.20,
p.139, (1997).
[14] F.O. Riemelmoser, R. Pippan, H.P. Stüwe: A comparison of a discrete and
a continuous model for describing cyclic crack tip plasticity. Int. J. Fracture.,
Vol.85, p.157, (1997).
[15] R. Pippan and F.O. Riemelmoser: Visualisation of the plasticity-induced
crack closure under plain strain conditions. Engng. Fracture Mech., Vol.60, p.315,
(1998).
[16] D. Raabe: Introduction of a hybrid model for the discrete 3D simulation
of dislocation dynamics. Comp. Mater. Sci., Vol.11, p.1, (1998).
[17] R.E. Miller, L.E. Shilkrot, W.A. Curtin: A coupled atomistics and discrete
dislocation plasticity simulation of nanoindentation into single crystal
thin films. Acta Mater., Vol.52, p.271, (2004).
[18] M.H. Zbib and T.D. de la Rubia: A multiscale model of plasticity. Int. J.
Plasticity, Vol.18, p.1133, (2002).
[19] H.G.M. Kreuzer and R. Pippan: Discrete dislocation simulation of nanoindentation.
Comput. Mech., online first, in press.
[20] H.H.M. Cleveringa, E. Van der Giessen and A. Needleman: A discrete
dislocation analysis of bending. Int. J. Plasticity, Vol.15, p.837, (1999).
[21] H.G.M. Kreuzer and R. Pippan: Discrete dislocation simulation of nanoindentation:
the effect of microstructure. Proc. Computational Plasticity VII , D.R.J.
Owen, E. Onate and B. Suarez, Eds. (2003).
[22] H.G.M. Kreuzer and R. Pippan: Discrete dislocation simulation of nanoindentation:
the effect of moving conditions and indenter shape. Mater. Sci. &
Engineering A, in press.
[23] W.D. Nix and H. Gao: Indentation size effects in crystalline materials: A
law for strain gradient plasticity. J. Mech. Phys. Solids, Vol.46, p.411, (1998).
[24] J.F. Nye: Some geometric relations in dislocated crystals. Acta Metall., Vol.1,
p.153, (1953).
[25] M.F. Ashby: The deformation of plastically non-homogeneous alloys. Phil.
Mag., Vol.21, p.399, (1970).
[26] N.A. Fleck and J.W. Hutchinson: A phenomenological theory for strain
gradient effects in plasticity. J. Mech. Phys. Solids, Vol.41, p.1825, (1993).
81

LITERATURVERZEICHNIS
[27] N.A. Fleck, G.M. Muller, M.F. Ashby and J.W. Hutchinson: Strain gradient
plasticity: theory and experiment. Acta Met. Mat., Vol.42, p.475, (1994).
[28] A.A. Elmustafa and D.S. Stone: Nanoindentation and the indentation size
effect: Kinetics of deformation and strain gradient plasticity. J. Mech. Phys.
Solids, Vol.51, p.357, (2003).
[29] M. Zhao, W.S. Slaughter, M. Li and S.X. Mao: Material-length-scalecontrolled
nanoindentation size effects due to strain-gradient plasticity. Acta
Mater., Vol.51, p.4461, (2003).
[30] S.J. Bull: On the origins and mechanisms of the indentation size effect. Z.
Metallkd., Vol.94, p.787, (2003).
[31] J.G. Swadener, E.P. George and G.M. Pharr: The correlation of the
indentation size effect measured with indenters of various shapes. J. Mech.
Phys. Solids, Vol.50, p.681, (2002).
[32] A.A. Benzerga, Y. Brechet, A. Needleman and E. Van der Giessen: Incorporating
three-dimensional mechanisms into two-dimensional dislocation
dynamics. Model. Simul. Mater. Sci. Eng., Vol.12, p.159, (2004).
[33] Y. Murakami: Stress intensity factors handbook., Pergamon Press, Oxford (1987).
[34] J.W. Harding and I.N. Sneddon: The elastic stresses produced by the
indentation of the plane surface of a semi-infinite elastic solid by a rigid
punch. Proc. Cambridge Philosophical Society, Vol.41, p.16, (1945).
[35] I.N. Sneddon: Boussinesq’s problem for a flat-ended cylinder. Proc. Cambridge
Philosophical Society, Vol.42, p.29, (1946).
[36] I.N. Sneddon: Boussinesq’s problem for a rigid cone. Proc. Cambridge Philosophical
Society, Vol.44, p.492, (1948).
[37] B. Devincre and M. Condat: Model validation of a 3D simulation of dislocation
dynamics: discretization and line tension effects. Acta Met. Mat., Vol.40,
p.2629, (1992).
[38] M.C. Fivel, T.J. Gosling and G.R. Canova: Implementing image stresses
in a 3D dislocation simulation. Model. Simul. Mater. Sci. Eng., Vol.4, p.581, (1996).
[39] N.I. Muskhelishvili: Some basic problems of the theory of elasticity, Noordhof,
Groningen, The Nederlands (1953).
[40] L.H. Lin, R. Thomson: Cleavage, dislocation emission, and shielding for
cracks under general loading. Acta Metall., Vol.34, p.187, (1986).
82

LITERATURVERZEICHNIS
[41] N.I. Muskhelishvili: Singular integral equations, Noordhof, Groningen, The Nederlands
(1953).
[42] H. Tada, P.C. Paris and G.R. Irwin: The stress analysis of cracks handbook.,
Del Research Corporation, St. Louis, Missouri, (1985).
[43] F.O. Riemelmoser: Simulation der Versetzungsbewegung bei zyklisch belasteten Rissen.,
Dissertation, Leoben (1997).
[44] A.K. Head: Edge dislocations in inhomogeneous media. Proc. Phys. Soc.,
Vol.66, p.793, (1953).
83