Potentialtheorie Keplerorbit

F
F
21
= −G
m m
1
2
r
Bewegungsgleichung
2-Teilchen-Problem n -Teilchen-Problem
21
= −G
m m
1
2
r − r
r
2
2
− r
1
3
1
2-Teilchen-Problem
F 21
F 21
F 12
F 12
m &r&
= −G
m
Bewegungsgleichung
r − r
2
2
m
− r
1
3
1
M
i
i
r − r
n
i
i ∑ m j
j=
1 r −
j≠i
i
1 -Teilchen-Problem
(Kepler-Problem)
r
&r
& = −G
( M + m)
j
3
m m , m = M,
m = m
1 >> 2 1
2
r2
− r
M&r &1
= G M m
r2
− r
r2
− r
m&r &2
= −G
M m
r2
− r1
r = r − r
2
1
&r
& ≈ −G
M
j
1
3
1
1
3
r
3
r
r
3
r
1

Bewegungsgleichung: Planetensystem
n-Körper-Problem als Sequenz von Keplerproblemen
&r
& = −G
M
Lösung der Bewegungsgleichung
r
3
r
... 3 Differentialgleichung 2. Ordnung
≡ 6 Differentialgleichung 1. Ordnung
→ 6 Integrationskonstanten
• Zustandsvektor (‚state vector‘): [ r0
, r&
0 ] = [ x0
, y0,
z0,
x&
0,
y&
0,
z&
0 ]
• Kepler-Elemente: [ a,
e,
i,
ω , Ω,
ν]
a ... große Halbachse
e ... num. Exzentrizität
i ... Inklination
ω ... Argument des
Perigäums
Ω ... Rektaszension d.
aufsteig. Knotens
ν ... wahre Anomalie
2