Arbeitsblatt

PD Dr. N.Grinberg *** Formelsammlung: beschleunigte Bewegung *** 1
1 Eine kleine Formelsammlung: gleichförmig beschleunigte
Bewegung (1D)
Sei a die (konstante) Beschleunigung, v0 = v (0) die Anfangsgeschwindigkeit, x0 = x (0)
die Startposition auf der Bewegungsgeraden. Dann gilt für jedes Zeitintervall [t0; t1]
oder in ∆-Schreibweise:
Für den Fall t0 = 0, t1 = t folgt:
v (t1) − v (t0) = a (t1 − t0) ,
∆v = a ∆t. (1.1)
v (t) = v0 + ta ( t − v − oder Zeit-Geschwindigkeitsgesetz), (1.2)
Die mittlere Geschwindigkeit vmit auf einem Zeitintervall [t0; t1] wird durch den Mittelwert
gegeben und stimmt mit der Geschwindigkeit in der Mitte des Zeitintervalls überein:
vmit [t0; t1] = v (t0)
+ v (t1) t0 + t1
= v . (1.3)
2
2
Für die zurückgelegte Strecke ∆x = x (t1) − x (t0) gilt
∆x = vmit ∆t ,
was unter Verwendung von (1.3) und (1.1) auf das x − v− Gesetz führt:
kurz
x (t1) − x (t0) = v2 (t1) − v2 (t0)
,
2a
∆ (v 2 ) = 2a∆x ( x − v − Gesetz) (1.4)
Das Einsetzen von t0 = 0, t1 = t, x (0) = x0, v (0) = v0 ergibt das t − x−Gesetz:
1.1 Der Anhalteweg
x (t) = x0 + v0t + 1
2 at2 (t − x − oder Zeit-Ortsgesetz). (1.5)
Der Anhalteweg sA setzt sich aus zwei Teilstrecken zusammen. Die erste heißt der
Reaktionsweg sR, da hat der Fahrer noch nicht reagiert und das Auto fährt mit der
ursprunglichen Geschwindigkeit v weiter:
sR = vtR.
Die Reaktionszeit tR ist individuell, man legt oft den Wert tR = 1 s der Rechnung
zugrunde.
Die zweite Teilstrecke ist der eigentliche Bremsweg, wo das Auto mit konstanter negativer
Beschleunigung aB von v auf 0 m
s bremst. Ist die Bremsverzögerung aB bekannt, so kann

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man die Werte v (t0) = v, v (t1) = 0 (Vollbremsung) ins s − v− Gesetz (1.4) einsetzen
und erhalten
Insgesamt ergibt sich
sB = −v2
2aB
= v2
2 |aB| .
sA = vtR + v2
2 |aB| .
Bei einer Teilbremsung von v (t0) = v auf v (t1) = vend > 0 gilt für die Bremsstrecke
sB = ∆s laut (1.4)
1.2 Der freie Fall
sB = v2 end − v2
Beim freien Fall ist die Höhe h die x−Koordinate. Die Anfangshöhe h0 (oder einfach h)
heißt die Fallhöhe. Die Anfangsgeschwindigkeit ist bei einem freien Fall 0, also v0 = 0 (das
heißt, der Körper wird einfach losgelassen, und nicht angeschubst oder nach oben geworfen).
Die Beschleunigung (die sogenannte Fall- oder Erdbeschleunigung), ist negativ; ihr
Betrag wird mit g bezeichnet:
g = 9.81 m
.
s2 Die Bewegungsgesetze (1.2), (1.5) gelten auch für den freien Fall (vom Luftwiderstand
wird beim freien Fall abgesehen), angepasst auf die negative Beschleunigung a = −g und
die Anfangsbedingungen v0 = 0 und h0 = h :
2aB
v (t) = −gt = −9.81t,
h (t) = h − 1
2 gt2 = h − 4.95t 2 .
Aus der zweiten Gleichung kann man die Fallzeit tF bestimmen:
2h
tF = ; (1.6)
g
die Aufprallgeschwindigkeit vF wird entsprechend durch
gegeben.
.
vF = −gtF = − 2gh (1.7)

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2 Der waagerechte Wurf
Ein waagerechter Wurf setzt sich aus zwei Bewegungen zusammen: aus einer gleichförmigen
waagerechten Bewegung mit Geschwindigkeit vx und aus dem freien Fall. Man
geht davon aus, dass sich diese beiden Bewegungen gegenseitig nicht beeinflussen. Wir
bezeichnen mit (x (t) |y (t)) die Koordinaten des Punktes, wo sich der Körper zur Zeit t
befindet. Dann gilt:
x (t) = vxt,
y (t) = h − 1
2 gt2 .
Es ist leicht anzusehen, dass der Körper eine Parabel durchläuft:
y = h − 1
2 g
2 x
= h −
vx
g
2v2 x
x
2 .
Sie ist nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist der Startpunkt (0|h) .
Der Wurf dauert genauso lange wie der freie Fall aus Fallhöhe h :
2h
tF =
g .
Wie man sieht, treffen alle aus derselben Höhe waagerecht geworfene Körper gleichzeitig
auf die Erde (allgemein gilt: sie befinden sich zu jedem Zeitpunkt stets auf derselben
Höhe). In dieser Zeit schafft der Körper in waagerechter Richtung
sx = x (tF ) = vxtF = vx
Der Körper kommt schief auf der Erde an mit einer Geschwindigkeit −→ v , die zwei Komponenten
hat: die waagerechte vx und die senkrechte
vy = 2hg.
Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich daraus die resultierende Geschwindigkeit
v = v2 x + v2 y = v2 x + 2hg.
2h
g .