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§9 Reelle Funktionen
(9.1) a) Eine reelle Funktion f besteht aus einer Menge Df und einer
Vorschrift, die jedem x Df genau eine Zahl fx zuordnet.
(Bezeichnung: f : Df : x fx )
Df heißt der Definitionsbereich von f .
( fx steht für die Zuordnungsvorschrift, nicht für die Funktion !!! )
b) f Df : fx / x Df heißt die Wertemenge von f .
c) Gf : x, fx / x Df 2 heißt der Graph von f .
Beispiele:
(1) f : 2, 6 : x fx :
f 2, 6
4, 3
y
3
2
1
x 2 3 2 x 1
x 5 1 x 6
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
Df 2, 6
x
1

(2)
(3)
x fx
2 5
2
3
2
2 3
2
3 3
9
2
2
5 3
2
2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
Df 2, 2 , 2 , 3, 9
3 2 , 5, 2 , f Df 3 , 3 , 2, 3, 5
2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
6
5
4
3
2
1
-1
-2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
f : : n fn : 1n
n
Df , f Df 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , . . . .
2 3 4 5 6
2

(9.2) Seien f, g reelle Funktionen , .
a) Ist Df Dg : D , so gewinnen wir neue Funktionen f, f g, fg,
durch
Df : D und fx : fx faches,
Dfg : D und f gx : fx gx ( Summe ) ,
Dfg : D und fgx : fxgx (Produkt) ,
D f g
: D \ x Df / gx 0 und f
g x : fx
=
gx
b) Ist gDg Df , so gewinnen wir eine neue Funktion f g
(lies: „ f nach g ”) durch
Dfg : Dg und f gx : f gx
(Komposition, Verkettung, Hintereinanderausführung.)
Beispiele: (1) fx sin x , gx x 2 x , Df Dg .
f
g x , D f g
(2) fx sin 2 x , Df . gx x , Dg x / x 0.
gDg Df ?, d.h.
f
g
(Quotient) .
f g existiert (?) mit f gx , Df g .
f Df Dg ? , d.h.
g f existiert ? .
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(9.3) Die reelle Funktion f heißt umkehrbar , falls eine Funktion f 1 existiert
mit D f 1 f Df , f 1 D f 1 Df , f 1 fx x für alle x Df ,
f f 1 x x für alle x D f 1.
f 1 ist dann eindeutig bestimmt und heißt die Umkehrfunktion von f .
(G f 1 ergibt sich durch Spiegelung von G f an der „Hauptdiagonalen”.
Formal ergibt sich f 1 durch Auflösen der Gleichung fy x nach y.
( fy x y f 1 fy f 1 x ))
(9.4) f umkehrbar ( Für alle x1, x2 Df gilt: x1 x2 fx1 fx2 )
( f heißt dann auch injektiv )
(9.5) f heißt streng monoton steigend auf I , falls für alle x1, x2 I gilt :
x1 x2 fx1 fx2
f heißt streng monoton fallend auf I , falls für alle x1, x2 I gilt :
x1 x2 fx1 fx2
(nur „monoton”: , statt , )
Dabei sei I Df ein (offenes, halboffenes, geschlossenes) Intervall
(9.6) f streng monoton (steigend oder fallend) auf Df f umkehrbar
(nur hinreichend !) Gegenbeispiel:
8
6
4
2
-2 2 4 6 8
-2
4

Ab jetzt für die restliche Vorlesung: Entweder ist
Df „ , , b , , b , a, b , a, b , a, b , a, b , a, , a, ” a, b
oder Df ist eine Vereinigung von solchen Intervallen !!!
(9.7) a) b heißt der Grenzwert von f für x gegen a , falls gilt:
Für alle Folgen xn mit xn Df , xn a , lim xn a ist
n
Bezeichnung:
lim fx b
xa
lim fxn b
n
(Die Definition gilt sinngemäß auch, falls a „“ oder/und b „“ )
Beispiel:
b) b heißt der
lim
xa
x a wegen (8.5) c) .
linksseitige
rechtsseitige
falls gilt: Für alle Folgen xn mit
Bezeichnung:
xn Df ,
Grenzwert von f für x gegen a ,
xn a
xn a , lim xn a ist
n
lim fx b
xa0
lim fx b
xa0
lim fxn b
n
(9.8) Die reelle Funktion f heißt ( linksseitig , rechtsseitig ) stetig an der Stelle
a Df , falls
lim fx fa ,
xa0
lim fx fa
xa0
lim fx fa
xa
( Gf lässt sich dann „in der Nähe” von a, fa „ohne Absetzen” zeichnen.
f ist z. B. stetig , falls fx durch einen „geschlossenen” Ausdruck
(z. B. x 3 2x , sin x , e xc .....) gegeben ist. )
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Beispiele: (1) f mit fx x ist stetig (siehe Beispiel zu (9.7))
(2) f : 2, 6 : x fx :
x 2 3 2 x 1
x 5 1 x 6
f ist stetig auf 2, 6 \ 1 (rechtsseitig in 2 , linksseitig in 6 ,
und unstetig in 1 :
( Gf siehe (9.1) )
lim fx 2
x10
lim fx 4
x10
(9.9) Vielfache, Summen, Produkte, Quotienten, Kompositionen stetiger
Funktionen sind stetig.
(Bei Quotienten „verkleinert” sich evtl. der Definitionsbereich! s.o.)
(9.10) a) fx0 heißt absolutes
für alle x Df .
b) fx0 heißt ein lokales
mit x0 , x0 Df
Maximum
Minimum
Maximum
Minimum
fx fx0
fx fx0
von f , falls
fx fx0
fx fx0
von f in x0, falls für ein 0
für alle x x0, x0 .
(9.11) (Zwischenwertsatz) Sei f eine reelle stetige Funktion mit Df a, b .
Dann hat f sowohl ein absolutes Maximum fxmax als auch ein
absolutes Minimum fxmin , und fx nimmt auf a, b sämtliche Werte
zwischen fxmin und fxmax an .
(Die Abgeschlossenheit des betrachteten Intervalls ist von zentraler
Bedeutung: z.B ist fx tan x stetig auf dem offenen Intervall , ,
2 2
hat aber dort weder Minimum noch Maximum.)
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a b
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(9.12) Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus.
a) expx : ex lim1
n x n n
xk k!
k0
e x 0 für alle x e xx
e x e x
lim
x e x lim
x e x 0
, x
e x ist streng monoton steigend ( exp ist umkehrbar)
b) ln x : log e x , x : x / x 0 .
Es ist exp 1 x ln x , d.h. exp exp 1 x e lnx x , x ,
bzw. exp 1 expx ln e x x , x .
lnx1 x2 ln x1 ln x2 ln x1
x2 ln x1 ln x2 ln x ln x
lim
x ln x lim
x0 ln x
ln x ist streng monoton steigend
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
x
8

c) Allgemeine Exponentialfunktion: a 0 : Ax a x : e xlna , x
1
2 x e x e x 2 x
7
6
5
4
3
2
1
A 1 x log a x 1
ln a ln x , x .
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
log 2 x
ln x
log 1 x
2
9