Reelle Funktionen.pdf

Beispiele: (1) f mit fx x ist stetig (siehe Beispiel zu (9.7))
(2) f : 2, 6 : x fx :
x 2 3 2 x 1
x 5 1 x 6
f ist stetig auf 2, 6 \ 1 (rechtsseitig in 2 , linksseitig in 6 ,
und unstetig in 1 :
( Gf siehe (9.1) )
lim fx 2
x10
lim fx 4
x10
(9.9) Vielfache, Summen, Produkte, Quotienten, Kompositionen stetiger
Funktionen sind stetig.
(Bei Quotienten „verkleinert” sich evtl. der Definitionsbereich! s.o.)
(9.10) a) fx0 heißt absolutes
für alle x Df .
b) fx0 heißt ein lokales
mit x0 , x0 Df
Maximum
Minimum
Maximum
Minimum
fx fx0
fx fx0
von f , falls
fx fx0
fx fx0
von f in x0, falls für ein 0
für alle x x0, x0 .
(9.11) (Zwischenwertsatz) Sei f eine reelle stetige Funktion mit Df a, b .
Dann hat f sowohl ein absolutes Maximum fxmax als auch ein
absolutes Minimum fxmin , und fx nimmt auf a, b sämtliche Werte
zwischen fxmin und fxmax an .
(Die Abgeschlossenheit des betrachteten Intervalls ist von zentraler
Bedeutung: z.B ist fx tan x stetig auf dem offenen Intervall , ,
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hat aber dort weder Minimum noch Maximum.)
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