Automaten und Formale Sprachen“ alias ” Theoretische Informatik ...

” Automaten und Formale Sprachen“ 

alias 

” Theoretische Informatik“ 

Sommersemester 2012 

Dr. Sander Bruggink 

Übungsleitung: Jan Stückrath 

Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 1

Reguläre Sprachen 

Reguläre Sprachen 

Wir beschäftigen uns ab jetzt einige Wochen mit regulären Sprachen. 

deterministische und nicht-deterministische endliche Automaten 

reguläre Ausdrücke 

beweisen, dass eine Sprache nicht regulär ist: Pumping Lemma 

Minimalautomaten und Äquivalenzrelationen 

Abschlusseigenschaften und Entscheidungsverfahren 


Reguläre Sprachen Endliche Automaten 

Deterministische endliche Automaten 

Graphische Notation: 

Zustand: z Anfangszustand: z0 Endzustand: zE 

Beispiel: (Σ = {a, b}) 

Übergang: a 

z1 z2 

z1 

b 

z2 

b 

a a 



Deterministische endliche Automaten 

DFAs → Reguläre Sprachen (Satz) 

Jede von einem endlichen Automaten akzeptierte Sprache ist regulär. 

Idee: 

Zustände Variablen 

Übergänge Produktionen 

Formal: Wir konstruieren die Grammatik G = (V , Σ, P, S), wobei V = Z, 

S = z0 und P folgende Produktionen enthält: 

Falls ε ∈ T (M), enthält P eine Produktion S → ε. 

Für alle z1 ∈ Z und a ∈ Σ: 

Falls δ(z1, a) = z2, dann gilt (z1 → az2) ∈ P. 

Falls zusätzlich gilt, dass z2 ∈ E, dann gilt auch (z1 → a) ∈ P. 



Nichtdeterministische endliche Automaten 

Im Gegensatz zu Grammatiken gibt es bei DFAs keine 

nichtdeterministischen Effekte. Das heißt, sobald das nächste Zeichen 

eingelesen wurde, ist klar, welcher Zustand der Folgezustand ist. 

Aber: In vielen Fällen ist es natürlicher, wenn man auch 

nichtdeterministische Übergänge zuläßt. Das führt auch oft zu kleineren 

oder besser verständlichen Automaten. 

z1 

a 

a 

z2 

z3 



Nichtdeterministische endliche Automaten (Idee) 

In einem nichtdeterministischen endlichen Automaten gibt es für ein Paar 

(z, a) bestehend aus einem Zustand z und einem Symbol a entweder 

keinen, einen oder mehrere Nachfolgerzustände. 

a b c 

z0 z1 z2 zE 

a, b, c a, b, c 

Ein nichtdeterministischer Automat rät aus den möglichen 

Nachfolgerzuständen immer (nichtdeterministisch) einen aus. Ein Wort 

wird akzeptiert, wenn es von einem Startzustand in einen Endzustand 

führt (wenn der Automat immer ” richtig“ rät). 



Ablauf eines nichtdeterministischen Automaten 

Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Definition: Nichtdeterministischer endlicher Automat 

Ein nichtdeterministischer endlicher Automat M ist ein 5-Tupel 

M = (Z, Σ, δ, S, E), wobei 

Z die Menge der Zustände, 

Σ das Eingabealphabet (mit Z ∩ Σ = ∅), 

S ⊆ Z die Menge der Startzustände, 

E ⊆ Z die Menge der Endzustände und 

δ : Z × Σ → P(Z) die Überführungsfunktion (oder 

Übergangsfunktion) ist. 

Z, Σ müssen endliche Mengen sein. 

Abkürzung: NFA (nondeterministic finite automaton) 




Die Übergangsfunktion δ kann wieder zu einer 

Mehr-Schritt-Übergangsfunktion erweitert werden: 

Mehr-Schritt-Übergänge 

Zu einem gegebenen NFA M = (Z, Σ, δ, S, E) definieren wir eine Funktion 

ˆδ : P(Z) × Σ ∗ → P(Z) induktiv wie folgt: 

ˆδ(Z ′ , ε) = Z ′ 

ˆδ(Z ′ , ax) = 

mit Z ′ ⊆ Z, x ∈ Σ ∗ und a ∈ Σ. 

z∈Z ′ 

ˆδ(δ(z, a), x) 




Akzeptierte Sprache 

Die von einem NFA M akzeptierte Sprache ist 

T (M) = {x ∈ Σ ∗ | ˆδ(S, x) ∩ E = ∅}. 

In anderen Worten: ein Wort w wird genau dann akzeptiert, wenn es einen 

Pfad von einem Anfangszustand zu einem Endzustand gibt, dessen 

Übergänge mit den Zeichen von w markiert sind. (Es könnte auch mehrere 

solche Pfade geben.) 




Sei Σ = {a, b}. 

Welche Sprache akzeptiert folgender NFA? 

a, b 

a a, b a, b 

1 2 3 4 

Wir suchen einen NFA, der die folgende Sprache L akzeptiert: 

L = {x | x fängt mit a an und endet auf b} 


Von NFAs zu DFAs 

NFAs → DFAs (Satz) 


Jede von einem NFA akzeptierbare Sprache ist auch von einem DFA 

akzeptierbar. 

Idee: Wir lassen die verschiedenen ” Paralleluniversen“ von einem 

Automaten simulieren. Dieser merkt sich, in welchen Zuständen er sich 

gerade befinden kann. 

Das heißt, die Zustände dieses DFA sind Mengen von Zuständen des 

ursprünglichen NFA. Man nennt diese Konstruktion daher auch 

Potenzmengenkonstruktion. 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Eingabe: 

z0 

b 

a b a b b a b 

a 

b 

z1 

a 

z2 

b 

a 

z3 

Akzeptiert 




Beweis mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion: 

Gegeben sei ein nicht-deterministischer endlicher Automat 

M = (Z, Σ, δ, S, E). Daraus konstruieren wir einen deterministischen 

endlichen Automaten M ′ = (Z, Σ, δ ′ , z ′ 0 , E ′ ) mit: 

Z = P(Z) 

δ ′ (Z ′ , a) = ˆδ(Z ′ , a), Z ′ ⊆ Z 

z ′ 0 = S 

E ′ = {Z ′ ⊆ Z | Z ′ ∩ E = ∅} 




Es gilt nun für alle x = a1 . . . an ∈ Σ ∗ : 

x ∈ T (M) 

gdw. 

ˆδ(S, x) ∩ E = ∅ 

gdw. 

es gibt Zustandsmengen Z1, . . . , Zn ⊆ Z mit 

δ ′ (S, a1) = Z1, δ ′ (Z1, a2) = Z2, . . . , δ ′ (Zn−1, an) = Zn 

und Zn ∩ E = ∅ 

gdw. 

ˆδ ′ (S, x) ∈ E ′ 

gdw. 

x ∈ T (M ′ ) 




Bemerkungen zur Potenzmengenkonstruktion: 

Wegen |P(Z)| = 2 |Z| hat der DFA im schlechtesten Fall exponentiell mehr 

Zustände als der dazugehörige NFA. Evtl. kann er aber noch verkleinert 

werden. 

In vielen Fällen ist der kleinste DFA, der eine Sprache akzeptiert, 

tatsächlich exponentiell größer als der kleinste NFA. 



NFAs, DFAs und reguläre Grammatiken 

Wir können nun 

NFAs in DFAs umwandeln 

DFAs in reguläre Grammatiken umwandeln 

Es fehlt noch die Richtung reguläre Grammatik → NFA, dann haben wir 

die Äquivalenz aller dieser Formalismen gezeigt: 

Reguläre Grammatik 

DFA NFA 




Reguläre Grammatiken → NFAs (Satz) 

Zu jeder regulären Grammatik G gibt es einen NFA M mit L(G) = T (M). 

Beweis. Gegeben sei eine reguläre Grammatik G = (V , Σ, P, S). Wir 

erstellen einen NFA M = (Z, Σ, δ, S ′ , E) mit 

Z = V ∪ {X }, X ∈ V 

S ′ = {S} 

 

{S, X } falls (S → ε) ∈ P 

E = 

{X } falls (S → ε) ∈ P 

B ∈ δ(A, a) falls (A → aB) ∈ P 

X ∈ δ(A, a) falls (A → a) ∈ P 




Beweis (Fortsetzung). Jetzt gilt für alle Wörter w = a1 . . . an ∈ Σ ∗ : 

w ∈ L(G) 

gdw. 

es gibt Variablen A1, . . . , An−1 so dass 

S ⇒ a1A1 ⇒ a1a2A2 ⇒ · · · ⇒ a1a2 . . . an−1An−1 ⇒ a1a2 . . . an 

gdw. 

es gibt Zustände A1, . . . , An mit 

δ(S, a1) ∋ A1, δ(A1, a2) ∋ A2, . . . , δ(An−1, an) ∋ X 

gdw. 

w ∈ T (M) 


Kleine Zusammenfassung 


Wir können jetzt deterministische endliche Automaten (DFA) in reguläre 

Grammatiken umwandeln, reguläre Grammatiken in nichtdeterministische 

endliche Automaten, und NFAs in DFAs. 

Reguläre Grammatik 

DFA NFA 

Ergebnis: Reguläre Grammatiken, deterministische endliche Automaten 

und nichtdeterministische endliche Automaten beschreiben dieselbe 

Sprachklasse, nämlich die Klasse der regulären Sprachen.

Automaten und Formale Sprachen“ alias ” Theoretische Informatik ...

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