Reguläre Sprachen, reguläre Ausdrücke - Links

Was bisher geliefert wurde, entspricht sehr wenig diesem Bild. Das in der voranstehenden Einführung
enthaltene Beispiel [S.2] eines regulären Ausdrucks wirkt einerseits kryptisch und damit hässlich,
andererseits in gewisser Weise zufällig: warum hat man sich gerade für diesen Satz von Notationen
entschieden, mit dem man manche Sprachen darstellen kann, andere aber nicht? In diesem Kapitel
wird sich herausstellen, dass es darauf nur in geringem Maße ankommt. Auch andere Sätze von
Notationen hätten vielleicht zum selben Ergebnis geführt. Es gibt nämlich eine ganze Reihe von
Eigenschaften, die die regulären, also die durch reguläre Ausdrücke definierbaren Sprachen haben und
andere Sprachen eben nicht. Viele Notationen, die man hinzufügen könnte, würden am beschreibbaren
Sprachumfang nichts ändern, und man könnte umgekehrt manches auch weglassen und damit zwar
Einbußen bei der Bequemlichkeit der Notation hinnehmen, nicht aber bei dem, was überhaupt
darstellbar ist.
Der Begriff der regulären Sprache lässt sich durchaus auch ganz anders definieren als dadurch, dass es
eben die Sprachen sind, die sich mit einem Satz mehr oder weniger willkürlich ausgewählter
Operatoren beschreiben lassen. In diesem Kapitel werden ganz verschiedene Begriffsbildungen
vorgestellt, von denen sich dann herausstellen wird, dass sie in ganz verschiedener Weise dasselbe
aussagen. In der Mathematik ist so eine Situation, nämlich dass sich mehrere sehr verschieden
aussehende Begriffswelten als äquivalent erweisen, oft ein Indiz dafür, dass der zugrunde liegende
Begriff ein wichtiger Grundbegriff der Theorie ist. So ist auch hier: die Menge der regulären Sprachen
weist eine so hohe Anzahl von Gesetzmäßigkeiten auf wie kaum eine andere Klasse formaler
Sprachen.
Die Lektüre dieses Kapitels dient hauptsächlich der Bildung und nicht so sehr der Ausbildung des
Lesers. Für die meisten praktischen Anwendungen kommt man ohne diese Kenntnisse aus. Höchstens
bei der Konstruktion sehr verzwickter regulärer Ausdrücke können sie von Nutzen sein, wie die
anschließenden Beispiele [S.35] belegen, besonders das erste.
Endliche Automaten
Wir stellen uns zunächst eine Frage, die mit regulären Ausdrücken nicht zu tun hat - oder wenigstens
nicht zu tun zu haben scheint. Bei manchen Sprachen, zum Beispiel der deutschen, kann man sich
beliebig tief in Nebensätze verschachteln, und man braucht ein unbegrenzt großes Gedächtnis, um sich
für jeden angefangenen Satz merken zu können, wie er potenziell weitergeht. In der Praxis gibt es
natürlich nur endlich viele Fortsetzungen: jeder Redner wird schon aufgrund seiner beschränkten
Redegeschwindigkeit und ebenfalls beschränkten Lebenszeit Sätze nur beschränkt tief verschachteln
können - sogar nur endlich viele verschiedene Sätze sagen können -, aber von der Sprache her könnte
man unbeschränkt viele Satzanfänge konstruieren, die alle nach unterschiedlichen
Vervollständigungen verlangen. Ein viel einfacheres Beispiel sind mathematische Formeln: es müssen
rechts von einer beliebigen Stelle in der Formel so viele Klammern geschlossen werden, wie links
davon geöffnet wurden, was eine unendliche Anzahl von Möglichkeiten bedeutet. Wohlgemerkt: es
geht nicht nur darum, dass auf ein gegebenes Anfangsstück unendlich viele Enden möglich sind (das
ist immer erreichbar, wenn die Sprache selbst unendlich viele Wörter enthält), sondern dass man
unendlich viele Anfangsstücke präsentieren kann, die alle verschiedene Mengen von Ergänzungen zu
korrekten Wörtern der Sprache haben. Mit dem nächsten Beispiel wird das hoffentlich viel klarer. Nun
ergibt sich die Frage, ob es nicht besonders einfache Sprachen gibt, bei denen das nicht vorkommt.
Endliche Sprachen, also Sprachen mit endlich vielen Wörtern, haben offensichtlich diese Eigenschaft.
Aber auch die Sprache aus dem Beispiel [S.2] in der Einführung gehört dazu, obwohl sie unendlich ist.
An jeder Stelle des Lesens ist man nämlich entweder:
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