Reguläre Sprachen, reguläre Ausdrücke - Links

Die vorkommenden Zeichen (genauer: die Sprachen, die nur ein Wort der Länge 1 enthalten)
werden nach Regel 2 durch reguläre Ausdrücke beschrieben, die einfach aus dem jeweiligen
Zeichen bestehen.
Die Sprachen, die aus lauter einzelnen Zeichen (genauer: aus lauter Wörtern der Länge 1)
bestehen, werden mit Regel 5 daraus gebildet. Das sind hier:
die Vorzeichen: +|-
die Ziffern: 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
Ketten beliebiger Länge können daraus nach Regel 4 mit Hilfe des Kleene’schen Abschlusses
gebildet werden:
Ziffernketten, evtl. auch leer: (0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)*
Daraus mit Regel 3 die Ziffernketten der Mindestlänge 1:
(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)*
der leere String, der für optionale Teile gebraucht wird, ebenfalls nach Regel 4: Ø*
Das erschließt sich zugegebenermaßen erst beim Nachdenken; in der Praxis erweitert man oft
deswegen die Definition der regulären Ausdrücke um ein Zeichen für den leeren String, meist das
kleine griechische Epsilon, oder man erlaubt in bestimmten Zusammenhängen, den leeren String
einfach durch sich selbst zu bezeichnen.
ein optionales Vorzeichen, nach dem Voranstehenden: Ø*|+|-
oder mit der eben vorgeschlagenen Erweiterung: |+|-
und das ganze Ding, vor allem mittels Regel 3 gebildet:
(Ø*|+|-)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)*(Ø*|,(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)*)
Wie man sieht, stört es kein bisschen, dass die Definition den zu definierenden Begriff selbst enthält,
schließlich wird ja ein regulärer Ausdruck höchstens unter Berufung auf einen bereits gebildeten
anderen, nie aber auf sich selbst konstruiert. Manchmal wird übrigens bei einer rekursiven Definition
explizit dazugeschrieben, dass nur das damit definiert ist, was sich durch endlich viele Anwendungen
der Regeln bilden lässt; aber auch wenn es wie hier nicht dabeisteht, ist es immer so gemeint.
Der reguläre Ausdruck ist viel länger geworden als in der Einleitung [S.2] . In der praktischen
Anwendung bevorzugt man nämlich abkürzende, übersichtliche Notierungen, während in der Theorie
möglichst wenige verschiedene Operatoren eingesetzt werden, um die Herleitung von Sätzen einfacher
zu gestalten.
Diesem Ziel dient auch die folgende Festlegung: Wir nennen den regulären Ausdruck einfach, wenn er
die Operatoren Durchschnitt und Mengendifferenz nicht enthält; ein verallgemeinerter regulärer
Ausdruck ist einer, der diese beiden Operatoren auch enthalten darf. Es wird sich herausstellen, dass
man mit verallgemeinerten regulären Ausdrücken keine Sprachen beschreiben kann, die man nicht
auch mit einfachen regulären Ausdrücken beschreiben kann. Die mit regulären Ausdrücken
beschreibbaren Sprachen heißen reguläre Sprachen. Das sind gerade diejenigen Sprachen, die von
deterministischen endlichen Automaten akzeptiert werden, womit der Zusammenhang des
vorangegangenen Abschnittes zum Thema des gesamten Artikels endlich hergestellt wäre.
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