Nichtdeterministische Endliche Automaten (NFAs)

Nichtdeterministische
Endliche Automaten
Einführung
Beispiel: Wir bezeichnen mit Lk⊣ die Menge aller Wörter
(über {0,1}), deren k-letzter Buchstabe eine 1 ist.
Es gilt: Jeder DFA für Lk⊣ hat mindestens 2 k Zustände.
Dazu reicht es zu zeigen, dass keine zwei der 2 k Wörter
in {0,1} k aus dem Startzustand zum gleichen Zustand
führen können. Sonst seien x und y zwei solche
Wörter, o.B.d.A. xi = 1 und yi = 0. Dann führen
xz und yz mit z = 0 i−1 auch zu einem gleichen Zustand,
werden also beide akzeptiert oder beide nicht,
was aber nicht erlaubt ist, da xz ∈ Lk⊣ und yz ∈ Lk⊣.
Nun stellen wir einen endlichen Automaten mit k + 1
Zuständen dar, der nur die Wörter aus Lk⊣ akzeptiert:
0,1
q 0
1 0,1
0,1 0,1
q1 q 2
q k
− Für Wörter aus Lk⊣ existieren akzeptierende Rechenwege
(aber auch nicht-akzeptierende).
− Für andere Wörter existiert kein akzeptierender
Rechenweg.
Beobachtung: Die Übergänge im Beispiel sind nicht
eindeutig (deterministisch). Sie stellen keine Funktion
dar, sondern eine Relation.
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Nichtdeterministische
Endliche Automaten
Definition
Definition: Ein nichtdeterministischer endlicher
Automat (NFA: nondeterministic finite automaton)
wird definiert durch:
• ein endliches Eingabealphabet Σ
• eine endliche Zustandsmenge Q
• einen Startzustand q0 ∈ Q
• eine Menge akzeptierender Zustände F ⊆ Q
• eine Zustandsüberführungsrelation ˆδ ⊆(Q×Σ)×Q.
Interpretation: (q, a, q ′ ) ∈ ˆδ genau dann, wenn es erlaubt
ist, vom Zustand q beim Lesen des Buchstaben
a in den Zustand q ′ überzugehen.
Man kann ˆδ auch als eine Abbildung δ : Q ×Σ → P(Q)
mit δ(q, a) = {q ′ | (q, a, q ′ ) ∈ ˆδ} auffassen.
δ lässt sich auf Q × Σ ∗ fortsetzen: δ(q, ǫ) = {q} und
δ(q, w ′ a) =
q ′ ∈δ(q,w ′ ) δ(q′ , a).
Der NFA akzeptiert ein Wort w genau dann, wenn
δ(q0, w) ∩ F = ∅.
Bemerkung: NFAs eignen sich i.A. nicht zur unmittelbaren
Realisierung; sie sollten eher als kompakte
Darstellungen von DFAs aufgefasst werden.
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NFAs
Äquivalenz zu DFAs
Satz: Zu jedem NFA mit n Zuständen gibt es einen
äquivalenten DFA mit 2 n Zuständen.
Beweis: Gegeben sei ein NFA A = (Σ, Q, q0, F, δ). Wir
konstruieren einen DFA A ′ = (Σ ′ , Q ′ , q ′ 0 , F ′ , δ ′ ) mit
• Σ ′ = Σ
• Q ′ = P(Q)
• q ′ 0
= {q0}
• F ′ = {q ′ ∈ Q ′ | q ′ ∩ F = ∅}
• δ ′ (q ′ , a) =
q∈q ′ δ(q, a).
Nun zeigen wir per Induktion, dass für alle w ∈ Σ ∗ gilt:
δ ′ (q ′ 0 , w) = δ(q0, w).
I.A. (w = ǫ) : δ ′ (q ′ 0, ǫ) = q ′ 0 = {q0} = δ(q0, ǫ)
I.S. (w = w ′ a) : δ ′ (q ′ 0, w ′ a) = δ ′ (δ ′ (q ′ 0, w ′ ), a) I.V.
= δ ′ (δ(q0, w ′ ), a)
=
q∈δ(q0,w ′ )
δ(q, a) = δ(q0, w ′ a)
Damit akzeptieren A ′ und A die gleiche Sprache.
Beobachtung: Bei dieser Potenzmengenkonstruktion
werden oft (exponentiell) mehr Zustände erzeugt als
notwendig. Insbesondere können überflüssige“ Zustände
”
erzeugt werden, die vom Startzustand q ′ 0 gar nicht erreichbar
sind.
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NFAs
Umwandlung in DFAs
Der folgende Algorithmus realisiert die Potenzmengenkonstruktion
unter Vermeidung überflüssiger Zustände.
Als Datenstrukturen benutzt er eine Queue Q und ein
Dictionary D.
Algorithmus:
Initialisiere Q und D mit q ′ 0 := {q0}
Solange Q nicht leer ist:
Entnimm q ′ aus Q
Für alle a ∈ Σ:
q ′′ := δ ′ (q ′ , a) (Übergang in A ′ übernehmen)
Falls q ′′ ∈ D: Füge q ′′ in D und Q ein
Korrektheit: Es ist leicht zu sehen, dass dieser Algorithmus
einer Breitensuche aus q ′ 0 in A′ entspricht.
Damit erzeugt er A ′ ohne überflüssige Zustände.
Rechenzeit: Bei jeder Berechnung δ ′ (q ′ , a) müssen
höchstens |Q| Mengen mit jeweils höchstens |Q| Elementen
vereinigt werden (O(|Q| 2 ) Operationen) und
es erfolgt eine Abfrage an D (bei geeigneter Implementierung
O(log |Q ′ |) = O(|Q|) Schlüsselvergleiche).
Damit ist die Rechenzeit höchstens um einen Faktor
O(|Q| 2 ) größer als die Beschreibung des berechneten
DFA (der aber Θ(2 |Q| ) Zustände haben kann).
Bemerkung: Die DFAs, die durch diesen Algorithmus
erzeugt werden, sind nicht notwendigerweise minimal.
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NFAs
Blow-up bei Umwandlung in DFAs
Beispiel: Im Folgenden betrachten wir die Ausführung
des Umwandlungsalgorithmus auf einem NFA für L2⊣:
0,1
1 0,1
q q q
0 1 2
Knoten (in A ′ ) Entnehmen aus Q Einfügen in Q
0 − {q0}
1 {q0} {q0, q1}
2 {q0, q1} {q0, q2};{q0, q1, q2}
3 {q0, q2} −
4 {q0, q1, q2} −
5 − −
Dabei wird der folgende DFA erzeugt:
0
{ q
0}
0
{ q q
0, 2}
1
0
0
1
{q
0
, q
1 }
1
{ q q q
0,
1, 2}
Beobachtung: Der im Beispiel erzeugte DFA ist minimal,
da jeder DFA für Lk⊣, wie bereits beschrieben,
mindestens 2 k Zustände haben muss. Also kann bei
der Umwandlung eines NFA in einen äquivalenten DFA
ein exponentieller Blow-up in der Anzahl der Zustände
(im Fall von Lk⊣ von k +1 auf 2 k ) unvermeidbar sein.
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NFAs
ǫ-Übergänge
Motivation: Für den Entwurf von NFAs ist es manchmal
hilfreich, wenn auch Übergänge erlaubt sind, ohne
dass ein Buchstabe gelesen wird. Solche Übergänge
können wir durch das Lesen des leeren Wortes ǫ erfassen.
Definition: Bei einem NFA A = (Σ, Q, q0, F, δ) mit ǫ-
Übergängen ist δ : Q×(Σ∪{ǫ}) → P(Q) die Überführungsfunktion,
wobei q ′ ∈ δ(q, ǫ) bedeutet, dass A, ohne
einen Buchstaben zu lesen, vom Zustand q in den Zustand
q ′ wechseln darf.
Satz: Zu jedem NFA A mit ǫ-Übergängen gibt es einen
äquivalenten NFA A ′ ohne ǫ-Übergänge, der nicht mehr
Zustände als A hat.
Beweis: Wir definieren A ′ = (Σ, Q, q0, F ′ , δ ′ ) wie folgt:
F ′ besteht aus allen Zuständen, von denen aus A mit
ǫ-Übergängen in einen Zustand aus F gelangen kann.
δ ′ (q, a) für a ∈ Σ beinhaltet genau die Zustände, in die
A aus q mit beliebig vielen ǫ-Übergängen und dem anschließenden
Lesen von a gelangen kann. Es ist leicht
zu sehen, dass A ′ die gleiche Sprache wie A akzeptiert.
Für die Konstruktion von A ′ können wir in einem Graphen
mit Q als Knotenmenge und den ǫ-Übergängen
als Kanten eine Tiefensuche (DFS) ausführen. Dann
testen wir für alle (q, a, q ′ ) mit q ′ ∈ δ(q, a), a ∈ Σ und
alle q ′′ ∈ Q, ob q von q ′′ aus mit ǫ-Übergängen erreichbar
ist. Im positiven Fall wird q ′ in δ ′ (q ′′ , a) eingefügt.
Die Laufzeit kann man mit O(|Q| |δ(q, α)|) angeben.
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NFAs
Anwendungsbeispiele
Satz: Gegeben seien DFAs Ai = (Σ, Qi, q i 0 , Fi, δi) für
Li (vereinfachend: i ∈ {1,2}). Dann kann ein DFA für
L1 ∪ L2 in Zeit O(|Q1||Q2||Σ|) konstruiert werden.
Beweis: Wir konstruieren den sogenannten Produktautomaten
A = (Σ, Q, q0, F, δ) mit
• Q = Q1 × Q2
• q0 = (q 1 0 , q2 0 )
• F = {(q1, q2)|q1 ∈ F1 ∨ q2 ∈ F2}
• δ((q1, q2), a) = (δ1(q1, a), δ2(q2, a)).
Offensichtlich akzeptiert A ein Wort w genau dann,
wenn w von A1 oder A2 akzeptiert wird.
Bemerkung: Es kann sein, dass minimale DFAs für
L1, L2 und L1∪L2 jeweils |Q1|, |Q2| und |Q1||Q2| Zustände
haben (für beliebig große |Qi|, Übungsaufgabe).
Bemerkung: Der gleiche Ansatz funktioniert auch für
NFAs. Allerdings kann ein NFA für L1 ∪ L2 effizienter
konstruiert werden:
Satz: Gegeben seien NFAs (DFAs) Ai = (Σ, Qi, qi 0 , Fi, δi)
für Li (i ∈ {1,2}). Dann kann ein NFA für L1 ∪ L2 in
Zeit O((|Q1| + |Q2|)|Σ|) konstruiert werden.
Beweis: Wir konstruieren einen Automaten A, der
aus einer Kopie von A1 und einer Kopie von A2 und
einem neuen Startzustand q0 besteht, der durch ǫ-
Übergänge mit q 1 0 und q2 0
verbunden wird. Offensicht-
lich akzeptiert A ein Wort w genau dann, wenn w von
A1 oder A2 akzeptiert wird.
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