Lehrmaterial Grundlagen der Regelungstechnik

Lehrmaterial 

Grundlagen der Regelungstechnik 

Standort Emden 

Fachbereich T 

Abteilung N 

(Emden, 02.06.2005) 

Prof. Dr.-Ing. Gerhard Kleemann 

Telefon: (04921)807-1519 / Telefax: (04921)807-88-1519 

e-mail: kleemann@nwt.fho-emden.de 

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t_skript_05-06-02.doc 

FH Emden Regelungstechnik Prof. Dr. G. Kleemann 

Fachbereich T Lehrmaterial Seite 2 von 77 

Inhaltsverzeichnis: 

1. Grundbegriffe 6 

1.1. Aufgaben der Regelungstechnik 6 

1.2. Regelstrecke 9 

1.3. Stellglied und Stellantrieb 9 

1.4. Der Regelkreis 11 

1.5. Verhalten der Regelgröße bei Störung und Führung 12 

2. Regelstrecke 13 

2.1. Kennlinienfelder 13 

2.2. Sprungfunktion zur Untersuchung von Regelstrecken 14 

2.3. Regelstrecken mit Ausgleich 15 

2.3.1. Proportionale Regelstrecke ohne Zeitverzögerung 15 

2.3.2. Proportionale Regelstrecke mit einer Zeitverzögerung 16 

2.3.3. Proportionale Regelstrecke mit zwei Zeitverzögerungen 17 

2.3.4. Proportionale Regelstrecke mit Totzeit 18 

2.3.5. Regelstrecke mit Ausgleich und schwingendem Verhalten 18 

2.3.6. Proportionale Regelstrecke mit n Zeitverzögerungen 19 

2.4. Regelstrecken ohne Ausgleich 20 

3. Stetige Regler 21 

3.1. Einteilung der Regler 21 

3.2. P-Regler 22 

3.3. I - Regler 23 

3.4. PI - Regler 24 

3.5. PD - Regler 27 

3.6. PID - Regler 32 

4. Mathematische Behandlung regelungstechnischer Systeme 34 

4.1. Allgemeine Eigenschaften von Regelungssysteme 34 

4.2. Beschreibung im Zeitbereich 36 

4.3. Beschreibung im Frequenzbereich 39 

4.3.1. Die Übertragungsfunktionen 39 

4.3.2. Frequenzgangdarstellung 43




5. Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder 46 

5.1. Strecken 46 

5.1.1. Proportionales Glied (P-Glied) 46 

5.1.2. Integrierendes Glied (I-Glied) 46 

5.1.3. Differenzierendes Glied (D-Glied) 48 

5.1.4. Das proportionale Glied mit einer Zeitverzögerung (P-T1 - Strecke) 49 

5.1.5. Das proportionale Glied mit zwei Zeitverzögerungen (P–T2–Strecke) 52 

5.1.6. PTn-Strecke 61 

5.2. Regler 63 

5.2.1. Ortskurve und Bodediagramm des PID-T1 - Reglers 63 

5.2.2. Sprungantwort des PID-T1 - Reglers 67 

6. Der Regelkreis 69 

6.1. Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Regelkreises 69 

6.2. Verhalten von Regelkreisen mit P - Reglern 70 

6.2.1. P – Regler / P - Strecke 70 

6.2.2. P – Regler / P-T1 - Strecke 72 

6.2.3. P – Regler / P-T2 - Strecke 73 

6.2.4. P – Regler / P-Tn – Strecke 74 

6.3. Verhalten von Regelkreisen mit PI – Reglern 75 

6.3.1. PI - Regler und I - Strecke 75 

6.3.2. PI – Regler und P-T1 – Strecke 76 

Anhang 

Literatur




Abbildungsverzeichnis: 

Abb. 1-1: Beispiel einer Regelstrecke 8 

Abb. 1-2: Blockbild der Regelstrecke 9 

Abb. 1-3: Beispiel einer pneumatischen Stellantriebes 10 

Abb. 1-4: Blockbild des offenen Regelkreises 11 

Abb. 1-5: Bestandteile des Reglers 11 

Abb. 1-6: Blockbild des geschlossenen Regelkreises 11 

Abb. 1-7: Verlauf der Regelgröße bei sprungförmiger Störung 12 

Abb. 1-8: Verlauf der Regelgröße bei sprungförmiger Führungsgrößenänderung 12 

Abb. 2-1: Kennlinienfeld 13 

Abb. 2-2: Sprungfunktion 14 

Abb. 2-3: Sprungantwort der P-Strecke 15 

Abb. 2-4: Sprungantwort der P-T1-Strecke 16 

Abb. 2-5: Sprungantwort der P-T2-Strecke 17 

Abb. 2-6: Sprungantwort der P-Strecke mit Totzeit 18 

Abb. 2-7: Sprungantwort einer Strecke mit schwingendem Verhalten 18 

Abb. 2-8: Ersatzsprungantwort für die P-Tn-Strecke 19 

Abb. 2-9: Sprungantwort von Regelstrecken ohne Ausgleich 20 

Abb. 3-1: Bestandteile des Reglers 21 

Abb. 3-2: Einteilung der Regler 21 

Abb. 3-3: Zusammenhang zwischen Stellgröße und Regeldifferenz beim P-Regler22 

Abb. 3-4: Sprungantwort des P-Reglers 22 

Abb. 3-5: Sprungantwort des I-Reglers 23 

Abb. 3-6: Schematischer Aufbau des PI-Reglers 24 

Abb. 3-7: Sprungantwort des PI-Reglers 25 

Abb. 3-8: Rückführschaltung für einen Regler 25 

Abb. 3-9: Prinzipschaltung des P-Reglers aus elektronischen Bauelementen 26 

Abb. 3-10:Prinzipschaltung des PI-Reglers aus elektronischen Bauelementen 27 

Abb. 3-11:Schematischer Aufbau des PD-Reglers 27 

Abb. 3-12:Anstiegsantwort des PD-Reglers 29 

Abb. 3-13:Sprungantwort des idealen und realen D-Gliedes 30 

Abb. 3-14:Prinzipschaltung des PD-Reglers aus elektronischen Bauelementen 30 

Abb. 3-15:Sprungantwort des PD-Reglers 31 

Abb. 3-16:Schematischer Aufbau des PID-Reglers 32 

Abb. 3-17:Sprungantwort des PID-Reglers (ideal und real) 32 

Abb. 3-18:Erzeugung des PID-Verhaltens durch eine Rückführung 33 

Abb. 4-1: Beispiele für Systeme mit konzentrierten und verteilten Parametern 35 

Abb. 4-2: Reihenschwingkreis 36 

Abb. 4-3: Bezeichnung der Ein- und Ausgangsgrößen für die Reihenschaltung 40 

Abb. 4-4: Bezeichnung der Ein- und Ausgangsgrößen für die Parallelschaltung 41 

Abb. 4-5: Bezeichnung der Ein- und Ausgangsgrößen für die Rückführschaltung 41 

Abb. 4-6: Beispiel für eine Ortskurve 44




Abb. 5-1: Ortskurve und Bodediagramm des I-Gliedes 47 

Abb. 5-2: Ortskurve und Bodediagramm des D-Gliedes 48 

Abb. 5-3: Ortskurve der P-T1 - Strecke 50 

Abb. 5-4: Bodediagramm der P-T1 – Strecke (Amplitudengang) 51 

Abb. 5-5: Bodediagramm der P-T1 – Strecke (Phasengang) 52 

Abb. 5-6: Bodediagramm der P-T2-Strecke (Amplitudengang) 55 

Abb. 5-7: Bodediagramm der P-T2-Strecke (Phasengang) 55 

Abb. 5-8: Sprungantwort der P-T2–Strecke (nichtschwingend) 58 

Abb. 5-9: Sprungantwort der P-T2 – Strecke (schwingend) 60 

Abb. 5-10:Ortskurven der Strecken P-T1 bis P-T4 

Abb. 5-11:Ortskurve der (P-T1) -Tt – Strecke 62 

Abb. 5-12:Blockschaltbild des realen PID-T1 – Regler 63 

Abb. 5-13:Ortskurve des PID-T1 - Reglers 64 

Abb. 5-14:Bodediagramm des PID-T1 – Reglers (Amplitudengang) 66 

Abb. 5-15:Bodediagramm des PID-T1 – Reglers (Phasengang) 66 

Abb. 5-16:Sprungantwort des PID-T1 – Reglers 68 

Abb. 6-1: Blockschaltbild des Regelkreises 69 

Abb. 6-2: Regelkreis mit P – Regler und P – Strecke 71 

Abb. 6-3: Sprungantwort der P-T1 – Strecke ohne und mit P - Regler 73 

Abb. 6-4: Verlauf der Regelgröße für einen PI – Regler mit einer I - Strecke 76 

Abb. 6-5: Verlauf der Regelgröße für einen PI – Regler mit einer P-T1 - Strecke 77 

61




1. Grundbegriffe 

1.1. Aufgaben der Regelungstechnik 

Begriffe und Benennungen 

DIN 19226 � Regelungstechnik und Steuerungstechnik, Begriffe und 

Benennungen 

DIN 19221 � Formelzeichen der Regelungs- und Steuerungstechnik 

DIN 19229 � Übertragungsverhalten dynamischer Systeme, Begriffe 

Aufgaben der Regelungstechnik nach DIN 19226 : 

„Die Regelung ist ein Vorgang, bei dem der Wert einer Größe fortlaufend durch Eingriff 

aufgrund von Messungen dieser Größe hergestellt und aufrechterhalten wird. 

Hierdurch entsteht ein Wirkungsablauf, der sich in einem geschlossenen Kreis, dem 

Regelkreis, vollzieht, denn der Vorgang läuft aufgrund von Messungen einer Größe 

ab, die durch sich selbst wieder beeinflusst wird.“ 

Die zu regelnde Größe wird fortlaufend gemessen und mit einer anderen, vorgegebenen 

Größe gleicher Art verglichen. Abhängig vom Ergebnis dieses Vergleichs wird 

durch den Regelvorgang eine Angleichung der zu regelnden Größe an den Wert der 

vorgegebenen Größe vorgenommen. 

Die zu regelnde Größe wird als Regelgröße x bezeichnet. 

Die Vergleichsgröße wird als Führungsgröße w bezeichnet. 

Beispiele für wichtige Regelgrößen : 

Mechanik : Kraft N 

Druck N/m², Pa, bar 

Drehmoment Nm 

Geschwindigkeit m/s 

Drehzahl 1/min, 1/s 

Elektrotechnik: Spannung V 

Strom A 

Leistung W 

Frequenz Hz




Verfahrenstechnik : Temperatur K , °C 

Druck bar, Pa 

Durchfluss m 3 /h 

Durchflussverhältnis % 

Niveau m ,% 

Zusammensetzung Ma. - % , Mol - % 

Heizwert kJ/kg , kJ/m 3 

Fahrzeugtechnik : Geschwindigkeit m/s 

Kurs Grad 

Neigung Grad 

Höhe m 

Abstand m 

Die Regelgröße wird von einer Vielzahl von Größen beeinflusst. 

Beispiel: Innentemperatur eines gasbeheizten Industrieofens 

Änderungen der Einflussgrößen sind Störungen, welche die Temperatur verändern, 

sie werden daher als 

Störgrößen z 

bezeichnet. 

Um dem Einfluss der Störgrößen entgegen zu wirken, verstellt man eine leicht zu 

ändernde Einflussgröße, diese wird als 

bezeichnet. 

Stellgröße y 

Einflussgrößen : Störgrößen : 

-Heizgasstrom (y) - Gasdruck 

-Heizwert / Gaszusammensetzung - Heizwert 

-Umgebungstemperatur - Umgebungstemperatur 

-Energiebedarf (z) - Menge des Glühguts




Vorgehen bei der Lösung von Regelaufgaben : 

-Auswahl der Regelgröße x 

-Bestimmung der Einflussgrößen auf x 

-Auswahl der Stellgröße y 

-Störgrößen z 

Beispiel Ofen : 

Regelgröße : Temperatur 

Stellgröße : Heizgasstrom 

Abb. 1-1: Beispiel einer Regelstrecke 

(Glühofen, GL: Glühgut)




1.2. Regelstrecke 

Der Teil der Anlage, in dem die Regelgröße konstant zu halten ist und an dem die 

Stellgröße und die Störgrößen angreifen, wird als Regelstrecke bezeichnet. 

Abb. 1-1: Blockbild der Regelstrecke 

zi : Heizwert und Druck des Gasstroms , Umgebungstemperatur, Energiebedarf 

Beispiele für Regelstrecken : 

- Drehzahl – Regelstrecke (Dampfturbine, Generator) 

x : Drehzahl [Hz] 

y : Dampfstrom [t/h] 

zi : Dampftemperatur [°C], Dampfdruck [bar], Drehmoment des Generators [Nm], 

Gegendruck der Turbine [bar] 

- Flüssigkeitsstand - Regelstrecke 

Fall 1: x : Flüssigkeitsstand Fall 2 : x : Flüssigkeitsstand 

y : Zufluss y : Abfluss 

z : Abfluss z : Zufluss 

1.3. Stellglied und Stellantrieb 

Stellglied: Organ zur Änderung der Stellgröße 

Einfluss auf Massen- und Energieströme 

Stellgröße: Stellglied: 

Flüssigkeit - Dosierpumpe 

Gas ⎫ 

Dampf ⎬ - Ventil / Klappe / Schieber 

Flüssigkeit ⎭ 

z i 

y Regelstrecke 

x




Stellgröße: Stellglied: 

Schüttgüter : - Abzugschieber 

- Förderschnecke 

- Förderband 

- Luftstrom (pneumatische Förderung) 

Elektroenergie - Schalter 

- Relais 

- Widerstand 

- Transformator 

- Thyristor 

Stellantriebe 

Die Betätigung des Stellgliedes erfolgt durch einen besonderen Stellantrieb, wenn 

der Regler das Stellglied nicht unmittelbar betätigen kann, weil 

- die Energiemenge nicht reicht 

- die Energieform nicht geeignet ist. 

Stellantriebe werden mit Druckluft, Drucköl oder Elektroenergie betätigt. 

Beispiel : 

federbelastete Membran, einseitig mit Druckluft beaufschlagt. 

Abb. 1-1: Beispiel einer pneumatischen Stellantriebes 

Stellantrieb und Stellglied bilden das Stellgerät.




1.4. Der Regelkreis 

Abb. 1-1: Blockbild des offenen Regelkreises 

Die Reaktion Δy auf eine Regeldifferenz e muss in Abhängigkeit von Vorzeichen und 

Größe von e erfolgen. 

Die Stellgröße yS muss so geändert werden, dass die Regeldifferenz abgebaut wird. 

Regler 

Abb. 1-2: Bestandteile des Reglers 

Abb. 1-3: Blockbild des geschlossenen Regelkreises 

S: Regelstrecke, R: Regler, yS = yR = y




1.5. Verhalten der Regelgröße bei Störung und Führung 

Störverhalten: 

Abb. 1-1: Verlauf der Regelgröße bei sprungförmiger Störung 

(xm : Überschwingweite, Taus : Ausregelzeit) 

Führungsverhalten: 

Abb. 1-2: Verlauf der Regelgröße bei sprungförmiger Führungsgrößenänderung 

(Tan : Anregelzeit)




2. Regelstrecke 

Reaktion der Regelstrecke auf Veränderungen der Einflussgrößen : 

• Auf welchen neuen Wert stellt sich die Regelgröße ein, wenn man den Beharrungszustand 

abwartet ? 

• Wie sieht der zeitliche Verlauf des Übergangs in einem neuen Beharrungszustand 

aus ? 

2.1. Kennlinienfelder 

Regelstrecken, bei denen sich nach Ablauf einer gewissen Zeit ein neuer konstanter 

Ausgangswert einstellt, heißen Regelstrecken mit Ausgleich. 

Der Zusammenhang der Ausgangsgrößen mit den Eingangsgrößen im Beharrungszustand 

ergibt ein Kennlinienfeld. 

Abb. 2-1: Kennlinienfeld 

Die Kennlinie wird in der Umgebung eines Arbeitspunktes durch eine Tangente ersetzt. 

Das Problem wird in der Umgebung des Arbeitspunktes als lineares Problem 

behandelt. Der Nullpunkt der Größen x(t), y(t) und z(t) wird auf den Arbeitspunkt A 

bezogen: 

x = X – Xo y = Y - Yo z = Z - Zo




Regelgröße / Stellgröße : 

x K SS y • = KSS: Proportionalbeiwert für eine 

K SS 

Δx 

= = tanα 

Δy 

Regelgröße / Störgröße: 

Stellgrößenänderung 

x K SZ z • = KSZ: Proportionalwert für eine 

Stellbereich: yh = ymax - ymin 

Regelbereich: xh = xmax - xmin 

Störgrößenänderung 

2.2. Sprungfunktion zur Untersuchung von Regelstrecken 

Um das Verhalten von Regelstrecken, Reglern und Regelkreisen zu untersuchen, 

wird eine einheitliche Funktion für das Eingangssignal benutzt, die Sprungfunktion. 

Abhängig davon, ob ein Regelkreisglied oder der ganze Regelkreis untersucht wird, 

kann die Regelgröße x(t), die Stellgröße y(t), die Führungsgröße w(t) oder die Störgröße 

z(t) mit der Sprungfunktion belegt sein. Oft wird deshalb das Eingangssignal, 

die Sprungfunktion, mit xe(t) und das Ausgangssignal mit xa(t) bezeichnet. 

Abb. 2-1: Sprungfunktion




2.3. Regelstrecken mit Ausgleich 

2.3.1. Proportionale Regelstrecke ohne Zeitverzögerung 

Die Regelstrecke wird kurz als P-Strecke bezeichnet. 

Abb. 2-1: Sprungantwort der P-Strecke 

Beispiel: Flüssigkeitsströmung 

Δxa = KPS • xeo 

sprunghafte Änderung der Eingangsgröße bei t0




2.3.2. Proportionale Regelstrecke mit einer Zeitverzögerung 

Die Regelstrecke wird kurz als P-T1-Strecke bezeichnet. 

Abb. 2-1: Sprungantwort der P-T1-Strecke 

Differentialgleichung für eine allgemeines Eingangssignal xe(t): 

TS • x& 

a( 

t) 

+ xa 

( t) 

= KPS 

• xe 

( t) 

Lösung der Differentialgleichung für eine Sprungfunktion am Eingang (Sprungantwort): 

xa(t) = KPS (1-e -t/Ts ) • xeo 

xa (t = ∞) = KPS • xeo 

TS : Zeitkonstante 

Beispiele: Temperaturstrecke 

Druckluftbehälter 

RC-Glied




2.3.3. Proportionale Regelstrecke mit zwei Zeitverzögerungen 

Die Regelstrecke wird kurz als P-T2-Strecke bezeichnet. 

Abb. 2-1: Sprungantwort der P-T2-Strecke 

Tu: Verzugszeit Tg: Ausgleichszeit 

Die Strecke wird durch rückwirkungsfreie Reihenschaltung von zwei P-T1-Strecken 

gebildet, die die Zeitkonstanten TS1 und TS2 haben. 

Differentialgleichung (beliebiges Eingangssignal): 

TS1 • TS2 

• &x 

&a 

( t) 

+ ( TS1 

+ TS2 

) • x& 

a( 

t) 

+ xa 

( t) 

= KPS 

• xe 

( t) 

Sprungantwort bei TS1 ≠ TS2 : 

⎛ TS1 

t / T 

xa 

( t) 

KPS 

⎜ 

− 

= 1− 

e 

⎝ TS1 

− TS2 

Sprungantwort bei TS1 = TS2 = T : 

⎛ ⎛ t ⎞ −t 

/ T ⎞ 

xa ( t) 

= KPS⎜1 

− ⎜1+ 

⎟e 

⎟ ⋅ xeo 

⎝ ⎝ T ⎠ ⎠ 

TS2 

−t 

/ T 

+ e 

TS1 

− TS2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

S1 S 2 ⋅ 

xeo




2.3.4. Proportionale Regelstrecke mit Totzeit 

Die Totzeit wird hervorgerufen durch Laufzeiten von Signalen oder Stoffströmen. 

Abb. 2-1: Sprungantwort der P-Strecke mit Totzeit 

2.3.5. Regelstrecke mit Ausgleich und schwingendem Verhalten 

Abb. 2-1: Sprungantwort einer Strecke mit schwingendem Verhalten




2.3.6. Proportionale Regelstrecke mit n Zeitverzögerungen 

Die Regelstrecke wird kurz als P-Tn-Strecke bezeichnet. 

Die Beschreibung des Zeitverhaltens erfolgt durch eine Differentialgleichung n - ter 

Ordnung. Der Verlauf der Sprungantwort ist ähnlich wie bei der P-T2-Strecke. Das 

Zeitverhalten wird durch Tu und Tg beschrieben. 

Ersatz: Die Regelstrecke mit vielen Verzögerungen kann näherungsweise ersetzt 

werden durch die Reihenschaltung einer P-T1-Strecke mit einer Totzeitstrecke. 

Es gilt: Tt ≈ Tu und TS ≈ Tg. 

Abb. 2-1: Ersatzsprungantwort für die P-Tn-Strecke 

Regelbarkeit von P-Tn-Strecken: 

Tu 

1 

< → gut regelbar 

Tg 

10 

Tu 

1 

≈ → noch regelbar 

Tg 

6 

Tu 

1 

> → schwer regelbar 

Tg 

3 

Mit steigendem Verhältnis Tu / Tg wird die Strecke immer schlechter regelbar.




2.4. Regelstrecken ohne Ausgleich 

Die Regelgröße wächst nach einer Störung stetig weiter an, ohne einem festen 

Endwert zuzustreben. 

Abb. 2-1: Sprungantwort von Regelstrecken ohne Ausgleich 

Beispiel: Füllstand (Behälter, Talsperre) mit konstantem Ablauf 

V • 

zu 

: Zulauf V ab 

• 

: Ablauf 

• • 

zu = V ab Füllstand h(t) = const. 

V 

V • 

V • 

zu 

zu 

> V ab 

• 

< V ab 

• 

xa(t) = KIS • xeo • t 

xa 

= v x = KIS 

• Δy 

t 

Füllstand h(t) steigt bis zum Überlauf 

Füllstand h(t) fällt bis zum Leerlauf 

vx = Änderungsgeschwindigkeit der Regelgröße 

Wenn die Sprungfunktion am Eingang übergeht in eine beliebige Funktion xe(t), wird 

xa(t)=KIS ∫ xe(t) dt ⇒ integrierende Regelstrecke 

KIS: Integralbeiwert der Regelstrecke




3. Stetige Regler 

3.1. Einteilung der Regler 

Der Regler ist der Teil des Regelkreise, der den Vergleich zwischen Regelgröße und 

Führungsgröße durchführt und in Abhängigkeit von der festgestellten Regeldifferenz 

(Vorzeichen, Betrag) die Stellgröße beeinflusst. 

Abb. 3-1: Bestandteile des Reglers 

Einteilung der Regler: 

Abb. 3-2: Einteilung der Regler




3.2. P-Regler 

Regler mit proportionaler Zuordnung zwischen der Änderung der Regeldifferenz und 

der Änderung der Stellgröße (Beispiel: Drehzahlregelung der Dampfmaschine nach 

J. Watt) 

Abb. 3-1: Zusammenhang zwischen Stellgröße und Regeldifferenz beim P-Regler 

(n1 : minimale Drehzahl, n2 : maximale Drehzahl) 

Regeldifferenz : e = w-x Reglergleichung: y = KPR • e 

KPR: Proportionalitätsbeiwert des Reglers 

Nachteil: bleibende Regeldifferenz 

Sprungantwort Δe = -Δx 

Abb. 3-2: Sprungantwort des P-Reglers




3.3. I - Regler 

Geschwindigkeit, mit der sich die Stellgröße ändert: Stellgeschwindigkeit vy 

Eigenschaft des I – Reglers: Stellgeschwindigkeit ist proportional zur Regeldifferenz 

vy (t) ∼ e(t) 

Reglergleichungen: vy(t) = KIR • e(t) 

dy( 

t) 

= v y( 

t) 

= KIR 

• e( 

t) 

dt 

dy = KIR 

• e( 

t) 

• dt 

y IR 

( t) 

= K • e( 

t) 

dt 

∫ 

wenn e(t) = Δe = const, wird y(t) = KIR • Δe • t 

Vorteil des I-Reglers: keine bleibende Regelabweichung 

Sprungantwort: 

Abb. 3-1: Sprungantwort des I-Reglers




3.4. PI - Regler 

(1) PI-Regler als Parallelschaltung von P - Regler und I - Regler 

Der PI-Regler kann aus einem P – Regler und einem I – Regler durch Parallelschaltung 

aufgebaut werden. 

Abb. 3-1: Schematischer Aufbau des PI-Reglers 

Die Änderung der Stellgröße setzt sich aus zwei Teilen zusammen: 

Teil 1 (P - Regler): Änderung der Stellgröße proportional zu e 

Tei 2 (I - Regler): Änderung der Stellgröße proportional zu e und t 

e(t) = Δe = const yP = KPR • Δe yI = KIR • Δe • t 

yP 

yI 

tanα 

= = 

TN 

t 

y K • Δe 

y = 

P 

t = 

PR 

I 

• t 

TN 

TN 

K • Δe 

⎛ Δe 

⎞ 

y = y + y = K • Δe 

+ 

PR 

IP P I PR 

• t = KP 

⎜ 

⎜Δe 

+ t 

⎟ 

TN 

⎝ TN 

⎠ 

Wenn Δe = const übergeht in e(t), geht die Gleichung des PI - Reglers über in: 

y 

PI 

( t) 

⎡ 

t 

1 ⎤ 

= KPR 

⎢e( 

t) 

+ ⋅ ∫ e( 

t) 

⋅ dt⎥ 

⎢ T 

⎣ N ⎥ 

0 ⎦




Abb. 3-2: Sprungantwort des PI-Reglers 

(2) Erzeugung des PI - Reglers durch eine Rückführschaltung 

Die Rückführschaltung besteht aus einem Verstärker mit einer Rückführung aus passiven 

Elementen. 

Abb. 3-3: Rückführschaltung für einen Regler 

Übertragungsfaktor des Verstärkers: KV 

Übertragungsfaktor der Rückführung: KR

K 

rt_skript_05-06-02.doc 



r = K 

y = K 

y = K 

V 

R 

V 

V 

• y 

( e − r) 

( e − K 

• e = y + K 

K V y = 

1+ 

K •K 

V 

R 

• y) 

V 

R 

• K 

R 

• e = 

• y 

1 

K 

V 

1 

+ K 

R 

• e 

Wenn der Übertragungsbeiwert des Verstärkers sehr groß ist gegenüber dem Übertragungsbeiwert 

der Rückführung, wird 

1 

300 

elektronische Systeme: KV > 1000 

Mit Hilfe solcher Rückführungen können Regler aufgebaut werden. 

Verstärker + starre Rückführung: P - Regler 

Abb. 3-4: Prinzipschaltung des P-Reglers aus elektronischen Bauelementen




Verstärker + nachgebende Rückführung: PI – Regler 

Abb. 3-5: Prinzipschaltung des PI-Reglers aus elektronischen Bauelementen 

Nachgebende Rückführung bedeutet, dass die Rückführung mit wachsender Zeit 

immer kleiner wird. Dadurch wird die Verstärkung der gesamten Rückführschaltung 

immer größer. 

3.5. PD - Regler 

Das Ausgangssignal des Reglers soll in Abhängigkeit von der Änderungsgeschwindigkeit 

des Signals am Eingang gebildet werden. Das führt zum D-Regler. 

de 

Ausgangssignal des D - Reglers: yD = KD 

dt 

Der PD-Regler wird durch Parallelschaltung eines P - Reglers und eines D-Reglers 

aufgebaut. 

Abb. 3-1: Schematischer Aufbau des PD-Reglers



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Die Anstiegsantwort des D-Reglers: 

Als Eingang wird eine sich mit konstanter Geschwindigkeit ändernde Regeldifferenz 

e(t) vorgegeben: 

de( 

t) 

e(t) = a • t tan α = = a 

dt 

yP = KP • e = KP • a • t 

de( 

t) 

yD = KD 

= KD 

• a 

dt 

yD ist konstant für alle t ! 

Die Anstiegsantwort des PD–Reglers ist die Summe von yP und yD: 

y = yP + yD 

Abb. 3-2: Anstiegsantwort des PD-Reglers 

Aus der Skizze kann die Vorhaltezeit TV abgelesen werden. TV ist der Zeitpunkt, 

nach dem der P – Anteil den Wert des D – Anteils zum Zeitpunkt t = 0 erreicht hat, 

wenn am Eingang das Eingangssignal e(t) = a • t anliegt. 

Die Differentiation der Sprungfunktion liefert eine unendlich hohe und unendlich 

schmale Nadelfunktion. Das ist kein durch Bauelemente realisierbarer Verlauf der 

Sprungantwort. Die Sprungantwort realer Bauelemente entspricht der von D-T1– 

Regelkreisgliedern.




Abb. 3-3: Sprungantwort des idealen und realen D-Gliedes 

Erzeugung des D-Verhaltens: 

a.) direkte Differenzierung von x 

b.) verzögerte Rückführung (Rückführung wird mit der Zeit langsam eingeschaltet.) 

Abb. 3-4: Prinzipschaltung des PD-Reglers aus elektronischen Bauelementen 

Die Rückführung ist zunächst ausgeschaltet und wird im Verlauf der Zeit immer größer. 

Dadurch wird die Verstärkung der gesamten Rückführschaltung immer kleiner.




Sprungantwort des PD – Reglers: 

Abb. 3-5: Sprungantwort des PD-Reglers




3.6. PID - Regler 

PID – Regler werden durch Parallelschaltung der drei Reglertypen aufgebaut. 

idealer PID – Regler: realer PID – Regler: 

Parallelschaltung: Parallelschaltung: 

P – Regler P – Regler 

I – Regler I – Regler 

idealer D – Regler realer D – Regler (D – T1) 

Abb. 3-1: Schematischer Aufbau des PID-Reglers 

Abb. 3-2: Sprungantwort des PID-Reglers (ideal und real) 

Die Gleichung des idealen PID – Reglers lautet: 

⎛ 

t 

⎜ 1 

y 

= KPR 

e( 

t) 

+ 

+ 

⎜ ∫ e( 

t) 

dt T 

T 

⎝ N 0 

V 

de( 

t) 

⎞ 

⎟ 

dt ⎟ 

⎠




Erzeugung des PID – Verhaltens: 

Das PID-Verhalten wird durch die Kombination einer nachgebenden und einer verzögerten 

Rückführung erreicht. 

Abb. 3-3: Erzeugung des PID-Verhaltens durch eine Rückführung




4. Mathematische Behandlung regelungstechnischer Systeme 

4.1. Allgemeine Eigenschaften von Regelungssysteme 

Beschreibung des Verhaltens von 

• Regelstrecken 

• Reglern 

• Regelkreisen 

durch mathematische Beziehung: 

• algebraische Gleichungen 

• Differentialgleichungen 

• logische Gleichungen. 

Mit diesen mathematischen Modellen kann das Verhalten der Regelsysteme simuliert 

werden. Die Simulation wird zur Analyse oder Synthese von Regelkreisen benutzt. 

Die Untersuchungen sind für den normalen Arbeitsbereich interessant. Es 

kann aber auch das Verhalten in Extremfällen, evtl. sogar im sicherheitsrelevanten 

Bereich, vorausberechnet werden. 

Die Form des mathematischen Modells hängt direkt von den Systemeigenschaften 

ab: 

(1) Statisches oder dynamisches Zeitverhalten 

Bei statischer Betrachtung wird der Zusammenhang der Ausgangsgrößen mit 

den Eingangsgrößen im Beharrungszustand betrachtet (s. auch Pkt. 2.1). Es 

ergeben sich 

Kennlinienfelder. 

Bei dynamischer Betrachtung wird der zeitliche Verlauf der Regelgröße zwischen 

zwei Beharrungszuständen untersucht. Es ergeben sich 

Übergangsfunktionen.




(2) Lineares oder nichtlineares Verhalten 

Ein System heißt linear, wenn das Superpositionsprinzip gilt. 

Lässt man nacheinander auf den Eingang eines Systems n beliebige Eingangsgrößen 

xei(t) einwirken und bestimmt die Systemantworten xai(t), so ergibt 

sich die Systemantwort auf die Summe der n Eingangsgrößen als Summe der n 

Systemantworten (ki: reelle Konstanten): 

[ x ( t) 

] 

xa ( t) 

= T e 

n 

∑ ki 

xai 

( t) 

= T ⎢∑ 

kix 

ei ( t) 

⎥ 

i 

⎣ i= 

1 ⎦ 

⎡ 

n 

⎤ 

(3) Systeme mit konzentrierten oder verteilten Parametern 

- Systeme mit konzentrierten Parametern werden durch gewöhnliche DGL 

beschrieben. 

- Systeme mit verteilten Parametern werden durch partielle DGL beschrieben. 

Beispiel: 

Abb. 4-1: Beispiele für Systeme mit konzentrierten und verteilten Parametern




(4) Zeitvariante oder zeitinvariante Systeme 

- Systemparameter sind abhängig von der Zeit → zeitvariante Systeme 

Beispiel: Massenänderung der Rakete in Abhängigkeit von der Flugzeit 

- Systemparameter sind nicht abhängig von der Zeit → zeitinvariante Systeme 

(5) Kontinuierliches oder diskontinuierliches Verhalten 

Regelgrößen sind normalerweise kontinuierliche Größen x(t). 

Durch Messgeräte oder Verarbeitung von Signalen in Digitalrechnern können 

daraus zeitdiskrete, quantisierte Signale werden. 

(6) Deterministisches oder stochastisches Verhalten 

deterministisches Verhalten → eindeutiges, reproduzierbares Verhalten 

stochastisches Verhalten → zufälliges, nicht vorhersehbares Verhalten 

4.2. Beschreibung im Zeitbereich 

Im Zeitbereich wird das Verhalten der Regelkreisglieder und des Regelkreises durch 

DGL beschrieben. 

Das Aufstellen der DGL soll an Hand eines Beispiels aus der Elektrotechnik – einem 

Reihenschwingkreis – demonstriert werden. 

Abb. 4-1: Reihenschwingkreis




Die Aufstellung der DGL kann auf zwei Wegen erfolgen. 

Weg 1: klassisches Verfahren der Elektrotechnik 

ue = uL + uR + ua 

i = iR = iL = iC 

u 

i 

C 

u 

L 

( t) 

( t) 

R 

( t) 

di( 

t) 

= L 

dt 

dua( 

t) 

= C 

dt 

= R • i( 

t) 

di( 

t) 

d dua 

( t) 

dua( 

t) 

ue ( t) 

= L + R • i( 

t) 

+ ua 

( t) 

= L ( C ) + R • C + ua( 

t) 

dt 

dt dt 

dt 

•• 

ue ( t) 

= L • C • u a( 

t) 

+ R • C •u 

a( 

t) 

+ ua 

( t) 

allgemein: 

2 

•• 

x e ( t) 

= T2 

• x a ( t) 

+ T1 

• xa 

( t) 

+ xa 

( t) 

• 

Weg 2: Verwendung der Laplace-Transformation 

• 

Durch Transformation der Zusammenhänge für die Bauelemente R, L und C aus der 

t-Ebene in die s-Ebene und der Definition eines Widerstandes 

U( 

s) 

Z ( s) 

= 

I( 

s) 

in der s-Ebene kann man mit den Anfangsbedingungen i(t=0) = 0 und u(t=0) = 0 herleiten: 

ohmscher Widerstand: 

U( 

s) 

u( t) 

= 

R • i( 

t) 

U( 

s) 

= R •I( 

s) 

ZR 

( s) 

= = R 

I( 

s)




Induktivität: 

di( 

t) 

U( 

s) 

u( t) 

= L 

U( 

s) 

= L 

L = 

dt 

I( 

s) 

Kapazität: 

[ s • I( 

s) 

− i( 

0) 

] Z ( s) 

= Ls 

du( 

t) 

U( 

s) 

i( t) 

= C I( 

s) 

= C[ 

s • U( 

s) 

− u( 

0) 

] ZC 

( s) 

= = 

dt 

I( 

s) 

Mit diesen Widerständen der Bauelemente in der s-Ebene kann die 

Gleichung für Ua(s) nach der Spannungsteilerregel aufgestellt werden: 

U 

U 

U 

u 

e 

a 

e 

e 

( s) 

( s) 

( s) 

( t) 

1 

= sC 

sL + R + 

= U 

a 

( s) 

( s 

•• 

= L • C • u 

Lösung der DGL: 

2 

a 

1 

sC 

LC + sRC + 1) 

( t) 

1 

= 

2 

s LC + sRC + 1 

• 

+ R • C •u 

a 

( t) 

+ u 

a 

( t) 

Die Lösung der DGL führt für sprungförmige Eingangssignale zu den bereits angegebenen 

Lösungen für Strecken und Regler. 

Die Lösung der DGL kann auf unterschiedlichem Wege erfolgen: 

• Trennung der Variablen 

• geeigneten Ansatz 

• Laplace-Transformation 

• numerisch 

1 

Cs




4.3. Beschreibung im Frequenzbereich 

4.3.1. Die Übertragungsfunktionen 

(a) Definition der Übertragungsfunktion 

Im folgenden werden lineare, kontinuierliche, zeitinvariante und deterministische 

Systeme mit konzentrierten Parametern ohne Totzeit betrachtet. 

Diese werden durch folgende DGL beschrieben: 

n 

i 

∑ i xa 

( t) 

= ∑ 

i 

i= 

0 dt 

j= 

0 

n 

j 

d 

d 

a b j x 

j e( 

t) 

ai, bj konstant 

dt 

Anwendung der Laplace-Transformation, alle Anfangsbedingungen sollen Null sein: 

n 

∑ 

i= 

0 

a 

X 

X 

a 

e 

i 

i 

a s X 

X ( s) 

( s) 

( s) 

n 

∑ 

i= 

0 

= 

a 

( s) 

i 

m 

∑ 

j= 

0 

n 

∑ 

i 

i= 

0 

Die Funktion 

G( 

s) 

wird als 

= 

b s 

j 

i 

∑ 

j= 

0 

j 

i 

a s 

m 

a s = X ( s) 

X ( s) 

= 

X ( s) 

a = 

e 

e 

j 

j 

b s X 

Z( 

s) 

N( 

s) 

m 

∑ 

j= 

0 

e 

( s) 

b s 

j 

j 

Übertragungsfunktion 

des Systems bezeichnet. G(s) ist für physikalisch realisierbare Systeme eine echt 

gebrochenrationale Funktion (m < n). 

Die Funktion G(s) beschreibt das Übertragungsverhalten des Systems vollständig.




Das Ausgangssignal des Systems in der t-Ebene wird aus dem Eingangssignal 

durch Rücktransformation der Funktion 

berechnet. 

Xa( s) 

= G( 

s) 

•Xe( 

s) 

Die Nullstellen des Zählers Z(s) der Übertragungsfunktion G(s) sind die Nullstellen 

der Übertragungsfunktion G(s). 

Die Nullstellen des Nenners N(s) der Übertragungsfunktion G(s) sind die Pole der 

Übertragungsfunktion G(s). 

Die Nullstellen und Pole können reell oder konjugiert komplex sein. 

(b) Rechnen mit G(s) 

Reihenschaltung: 

Abb. 4-1: Bezeichnung der Ein- und Ausgangsgrößen für die Reihenschaltung 

Xa1(s) = G1(s) 

• Xe1(s) 

Xa2 (s) = G2(s) 

• Xe2 

(s) 

Xa1(s) = Xe2 

( s) 

Xa2 (s) = G2(s) 

• Xe2 

(s) = G1(s) 

• G2(s) 

• Xe1(s) 

X 

X 

e1 

(s) Xa( 

s) 

= = G(s) = G1(s) 

(s) X ( s) 

a2 • 

e 

G 

2 

(s) 

Allgemein gilt für die Reihenschaltungen von n Gliedern: G(s) 

= ∏ 

i= 

n 

1 

G 

i ( s)




Parallelschaltung: 

Abb. 4-2: Bezeichnung der Ein- und Ausgangsgrößen für die Parallelschaltung 

Xa1(s) = G1(s) 

• Xe(s) 

Xa2 (s) = G2(s) 

• Xe(s) 

X = X + X 

a 

a1 

a2 

[ G ( s) 

+ G ( s) 

] • X ( s) 

Xa(s) = 1 2 e 

X (s) 

= G( 

s) 

= G1( 

s) 

X (s) 

a + 

e 

G 

2 

( s) 

Allgemein gilt für die Parallelschaltung von n Gliedern: G( 

s) 

= ∑ 

i= 

Rückführschaltungen: 

Abb. 4-3: Bezeichnung der Ein- und Ausgangsgrößen für die Rückführschaltung 

n 

1 

G 

i ( s)

X 

X 

X 

a1 

a 2 

( s) 

( s) 




( s) 

= G 

= G 

= X 

1 

( s) 

2 

( s) 

( s) 

e1 

e 

Xe 2( 

s) 

= Xa1 

X a ( s) 

= X a1( 

Daraus folgt: 

Spezialfall: 

• X 

( s) 

s) 

• X 

− X 

e1 

( s) 

e 2 

a2 

( s) 

( s) 

G( 

s) 

X 

= 

X 

a 

e 

( s) 

( s) 

G1( 

s) 

= 

1+ 

G ( s) 

• G 

G1(s) wirkt als reiner Verstärker mit einem sehr großen Verstärkungsfaktor K 

G1(s) = K mit K → ∞ 

G( 

s) 

K 

= 

1+ 

K • G 

2 

( s) 

= 

⎛ 

K ⎜ 

⎝ 

1 

K 

K 

⎞ 

+ G2( 

s) 

⎟ 

⎠ 

= 

1 

K 

1 

+ G 

2 

( s) 

≈ 

G 

In diesem Fall wird das Übertragungsverhalten der Rückführschaltung nur vom Rückführglied 

bestimmt. 

1 

( s) 

2 

1 

2 

( s)




4.3.2. Frequenzgangdarstellung 

Definition 

Es soll untersucht werden, wie ein Regelsystem auf ein periodisches Eingangssignal 

reagiert: 

∧ 

Eingangssignal: x ( t) 

x e sin( ωt) 

e 

= mit e 

∧ 

Ausgangssignal: x ( t) 

= x a( 

ω) 

• sin( ωt 

+ ϕ( 

ω)) 

a 

∧ 

x = const 

Das Ausgangssignal ist wieder eine Sinusschwingung mit der gleichen Frequenz, 

einer anderen Amplitude und einer anderen Phase. Amplitude und Phase des Ausgangssignals 

hängen von der Frequenz ab. 

Übergang zur komplexen Ebene: 

x 

x 

e 

a 

( t) 

( t) 

∧ 

= x 

∧ 

= x 

e 

e 

jωt 

j( 

ωt+ 

ϕ( 

ω)) 

jωt 

a( 

ω) • e = x a( 

ω) 

• e • 

Definition des Frequenzganges F(jω): 

F( 

jω) 

≡ 

x 

x 

a 

e 

( t) 

( t) 

∧ 

∧ 

jωt 

x a( 

ω) 

• e • e 

= 

∧ 

jωt 

x e• 

e 

jϕ( 

ω) 

Amplitudengang des Frequenzganges: 

A( 

ω) 

= 

F( 

jω) 

= 

Re 

2 

e 

jϕ 

( ω) 

∧ 

x a( 

ω) 

= 

∧ 

e 

x e 

2 

{ F( 

jω) 

} + Im { F( 

jω) 

} 

Phasengang des Frequenzganges: 

Im 

ϕ( 

ω) 

= arctan 

Re 

{ F( 

jω) 

} 

{ F( 

jω) 

} 

jϕ( 

ω)




Aus der DGL und der Definition für die Übertragungsfunktion kann man herleiten, 

dass die Übertragungsfunktion 

G(s) mit s = σ + jω 

für den Fall σ = 0 

übergeht in den Frequenzgang F( jω 

) ! 

Ortskurvendarstellung 

Die Ortskurve ist die Bahnkurve des Zeigers der Funktion G(jω) in der komplexen 

Ebene in Abhängigkeit vom reellen Parameter ω, der alle Werte zwischen Null und 

Unendlich durchläuft. 

Die Funktion 

G( 

jω) 

= A( 

ω) 

• e 

jϕ( 

ω) 

hat einen von ω abhängigen Betrag A(ω) und Phasenwinkel ϕ(ω). 

Abb. 4-1: Beispiel für eine Ortskurve 

G( 

s) 

Im {G(s)} 

-0.5 

-1 

0.5 1 

Re {G(s)} 

2 

K ⋅ ω0 

= , Parameter: D = 0,5; K = 1; ω0 = 1 s 2 

2 

s + 2 ⋅D 

⋅ ω0 

⋅ s + ω0 

-1




Frequenzkennlinien: 

a) lineare Frequenzkennlinien 

A(ω) auftragen über ω oder lg ω 

ϕ(ω) auftragen über ω oder lg ω 

b) Bodediagramm 

Die Funktion A(ω) wird umgerechnet in die logarithmische Form A(ω)dB=20 lg A(ω). 

A(ω)dB auftragen über lg ω 

ϕ(ω) auftragen über lg ω




5. Eigenschaften wichtiger Übertragungsglieder 

5.1. Strecken 

5.1.1. Proportionales Glied (P-Glied) 

x 

X 

a 

X 

X 

( t) 

a 

a 

e 

( s) 

( s) 

( s) 

G( 

s) 

→ G( 

jω) 

G( 

jω) 

= K 

ϕ( 

ω) 

= 0 

A( 

ω) 

= K • x 

= K• 

X 

dB 

= 

e 

G( 

s) 

( t) 

e 

( s) 

= K 

= 20 • lgK 

Die Ortskurve des Frequenzganges ist für alle Frequenzen ω ein Punkt auf der reellen 

Achse mit dem Abstand K vom Ursprung. 

Der Phasengang des Frequenzganges ϕ(ω) ist für alle Frequenzen Null. 

Der Amplitudengang des Frequenzganges A(ω)dB ergibt eine Gerade mit konstantem 

Abstand zur reellen Achse. 

5.1.2. Integrierendes Glied (I-Glied) 

x 

a 

( t) 

= 

1 

T 

t 

∫ 

I 0 

1 

( t) 

= x 

T 

x 

• 

xa e 

I 

e 

( τ) 

dτ 

( t) 

1 

s •Xa 

( s) 

− xa 

( t = 0) 

= Xe 

( s) 

T 

x ( t = 

0) 

= 0 

a 

G( 

s) 

X 

= 

X 

a 

e 

( s) 

( s) 

1 

= 

sT 

I 

I

G( 

s) 




→ 

1 

G( 

jω) 

= 

jωT 

1 

G( 

jω) 

= 

ωT 

A( 

ω) 

= 

A( 

ω) 

1 

ωT 

π 

ϕ( 

ω) 

= − 

2 

G( 

jω) 

I 

= − 

e 

j 

ωT 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

− j = cos⎜ 

− ⎟ + j• 

sin⎜ 

− ⎟ = e 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

dB 

I 

I 

π 

−j 

2 

I 

π 

−j 

2 

1 

= 20 • lgA( 

ω) 

= 20 • lg = −20 

• lg( ωTI 

) 

ωT 

I 

Die Ortskurve fällt mit der negativen imaginären Achse zusammen. Die Ortskurve 

beginnt für ω = 0 bei - ∞ und läuft für ω → ∞ in den Ursprung. 

Der Phasenwinkel ϕ(ω) ist für alle ω konstant – 90°. 

Für die Konstruktion des Bodediagramms A(ω)dB werden markante Punkte ausgewählt, 

die sich gut berechnen lassen. 

A(ω)dB = 0 lg(ωTI) = 0 ωTI = 1 ω = 1/TI 

A(ω)dB = 20 lg(ωTI) = -1 ωTI = 0,1 ω = 0,1/TI 

A(ω)dB = -20 lg(ωTI) = 1 ωTI = 10 ω = 10/TI 

A(ω)dB ergibt eine Gerade mit dem Anstieg –20 pro Dekade von ω. 

Abb. 5-1: Ortskurve und Bodediagramm des I-Gliedes




5.1.3. Differenzierendes Glied (D-Glied) 

x 

X 

a 

X 

X 

( t) 

a 

a 

e 

( s) 

( s) 

( s) 

G( 

s) 

G( 

jω) 

= jωT 

A( 

ω) 

= T 

dB 

D 

= T 

= 

π 

ϕ( 

ω) 

= 

2 

D 

d 

x e( 

t) 

dt 

• s • X 

G( 

s) 

→ G( 

jω) 

D 

= T • s 

D 

e 

= ωT 

( s) 

D 

• e 

π 

j 

2 

= 20 • lgA( 

ω) 

= 20 • lg( ωT 

D 

) 

Die Ortskurve fällt mit der positiven imaginären Achse zusammen. Die Ortskurve beginnt 

für ω = 0 im Ursprung und läuft für ω → ∞ nach ∞. 

Der Phasenwinkel ϕ(ω) ist für alle ω konstant + 90°. 

Für die Konstruktion des Bodediagramms A(ω)dB werden markante Punkte ausgewählt, 

die sich gut berechnen lassen. 

A(ω)dB = 0 lg(ωTD) = 0 ωTD = 1 ω = 1/TD 

A(ω)dB = 20 lg(ωTD) = 1 ωTI = 10 ω = 10/TD 

A(ω)dB = -20 lg(ωTI) = -1 ωTI = 0,1 ω = 0,1/TD 

A(ω)dB ergibt eine Gerade mit dem Anstieg +20 pro Dekade von ω. 

Abb. 5-1: Ortskurve und Bodediagramm des D-Gliedes




5.1.4. Das proportionale Glied mit einer Zeitverzögerung (P-T1 - Strecke) 

{ } { } 

{ } 

{ } 

( ) 

2 

S 

2 

2 

e 

2 

e 

dB 

e 

2 

e 

2 

2 

2 

e 

e 

2 

e 

2 

e 

e 

e 

S 

2 

S 

S 

S 

S 

e 

a 

a 

S 

a 

e 

a 

S 

a 

e 

T 

1 

lg 

K 

lg 

20 

1 

lg 

K 

lg 

20 

1 

K 

lg 

20 

) 

( 

A 

arctan 

) 

j 

( 

G 

Re 

) 

j 

( 

G 

Im 

arctan 

) 

( 

1 

K 

) 

j 

( 

G 

Im 

) 

j 

( 

G 

Re 

) 

( 

A 

1 

K 

)} 

j 

( 

G 

Im{ 

1 

K 

)} 

j 

( 

G 

Re{ 

1 

j 

1 

K 

) 

j 

( 

G 

T 

1 

) 

T 

( 

1 

T 

j 

1 

K 

T 

j 

1 

K 

) 

j 

( 

G 

) 

j 

( 

G 

) 

s 

( 

G 

s 

T 

1 

K 

) 

s 

( 

G 

) 

s 

( 

X 

) 

s 

( 

X 

) 

s 

( 

X 

s 

T 

) 

s 

( 

X 

) 

s 

( 

X 

K 

) 

t 

( 

x 

T 

) 

t 

( 

x 

) 

t 

( 

x 

K 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ϕ 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

+ 

− 

= 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

− 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

• 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

= 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

= 

+ 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

− 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

− 

= 

= 

+ 

− 

= 

+ 

= 

→ 

• 

+ 

= 

= 

• 

• 

+ 

= 

• 

• 

• 

+ 

= 

• 

Konstruktion der Ortskurve mit K = 1:




ω = 0 Re{G(jω)} = 1 Im{G(jω)} = 0 

ω → ∞ Re{G(jω)} = 0 Im{G(jω)} = 0 

ω = ωe Re{G(jω)} = 1/2 Im{G(jω)} = - 1/2 

Die Ortskurve ist ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt bei M = (1/2; 0) und dem Radius 

R = ½. Die Ortskurve beginnt für ω = 0 auf der reellen Achse beim Punkt (1; 0) und 

endet für ω → ∞ im Ursprung. 

Abb. 5-1: Ortskurve der P-T1 – Strecke 

Konstruktion des Bodediagramms: 

Es werden zwei Asymptoten für ω → 0 und ω → ∞ berechnet. 

ω → 0 ω/ωe > 1 

A( 

ω → ∞) 

dB 

= 20 • lgK 

− 20 • lg 

Es ergibt sich eine Gerade mit negativem Anstieg (20 pro Dekade von ω). 

Schnittpunkt der beiden Asymptoten: 

20 • 

lgK 

= 20 • lgK 

− 20 • lg 

⇒ ω = ω 

e 

ω 

ω 

e 

ω 

ω 

e




Abweichung zwischen der Originalkurve den Asymptoten an der Stelle ω = ωe: 

ΔA( 

ω) 

ω = ω 

e 

ΔA( 

ω) 

dB 

dB 

⎧ 

⎪ 

⎛ 

20 lgK 

⎨20 

lgK 

10 lg⎜ 

⎛ 

= • − • − • 1+ 

⎜ ⎜ 

⎪⎩ 

⎝ ⎝ 

= 20 • lg 

Phasenwinkel: 

2 ≈ 

3 dB 

ϕ(ω = 0) = 0 ϕ(ω = ωe) = - π/4 ϕ(ω = ∞) = - π/2 

Abb. 5-2: Bodediagramm der P-T1 – Strecke (Amplitudengang) 

K = 1, TS = 0,1 s 

ω 

ω 

e 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

⎞⎫ 

⎟⎪ 

⎟⎬ 

⎠⎪⎭




Abb. 5-3: Bodediagramm der P-T1 – Strecke (Phasengang) 

K = 1, TS = 2 s 

5.1.5. Das proportionale Glied mit zwei Zeitverzögerungen (P–T2–Strecke) 

Das Zeitverhalten der P–T2–Strecke wird durch eine DGL 2. Ordnung beschrieben. 

Die Übertragungsfunktion kann ganz allgemein folgendermaßen formuliert werden: 

G( 

s) 

K 

= 

2 

1+ 

sT + s T 

1 

2 

2 

In diese allgemeine Gleichung werden zwei Ausdrücke, die das Zeitverhalten der 

Strecke charakterisieren, eingeführt: 

Dämpfung D: 

Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung: 

D = 

ω 

o 

1 T1 

2 T 

= 

1 

T 

2 

2




Damit kann die Gleichung umgeformt werden in: 

2 

2 

2 

o 

2 

o 

o 

2 

2 

o 

2 

o 

2 

o 

s 

2 

s 

K 

s 

D 

2 

s 

K 

s 

s 

D 

2 

1 

K 

) 

s 

( 

G 

β 

+ 

α 

+ 

ω 

• 

= 

ω 

+ 

ω 

+ 

ω 

• 

= 

ω 

+ 

ω 

+ 

= 

D 

D 

2 

2 

2 

o 

2 

o 

= 

β 

α 

ω 

= 

β 

ω 

= 

α 

Die Funktion der Ortskurve ergibt sich zu: 

2 

o 

2 

2 

o 

o 

2 

o 

2 

o 

2 

o 

D 

2 

1 

D 

2 

j 

1 

K 

D 

2 

j 

1 

K 

) 

j 

( 

G 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

− 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

= 

− 

+ 

= 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

Der prinzipielle Kurvenverlauf ist in Abb. 4-6, S. 43, dargestellt. 

Amplitudengang des Frequenzganges: 

{ } { } 

) 

j 

( 

G 

Im 

) 

j 

( 

G 

Re 

) 

( 

A 

2 

2 

2 

ω 

+ 

ω 

= 

ω 

2 

o 

2 

2 

o 

2 

2 

2 

o 

2 

2 

o 

2 

o 

2 

2 

o 

2 

2 

D 

2 

1 

K 

D 

2 

1 

D 

2 

1 

K 

) 

( 

A 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

ω 

ω 

+ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

ω 

ω 

− 

= 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

ω 

ω 

+ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

ω 

ω 

− 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

ω 

ω 

+ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

ω 

ω 

− 

= 

ω 

2 

o 

2 

2 

o 

D 

2 

1 

K 

) 

( 

A 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

= 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω 

2 

o 

2 

2 

o 

dB 

D 

2 

1 

lg 

20 

K 

lg 

20 

) 

( 

A ⎟ ⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

+ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

• 

− 

• 

= 

ω 

ω 

ω 

ω 

ω




Phasengang des Frequenzganges: 

ω 

− 2D 

ω 

ϕ( 

ω) 

= arctan 

⎛ ω ⎞ 

1− 

⎜ 

⎟ 

⎝ ωo 

⎠ 

o 

2 

ω 

2D 

ωo 

= − arctan 

⎛ ω ⎞ 

1− 

⎜ 

⎟ 

⎝ ωo 

⎠ 



ω → 0 ω/ωo > 1 

A( ) dB 20 lgK 

20 lg ⎟ 

o 

⎟ 

⎛ ω ⎞ 

ω → ∞ ≈ • − • ⎜ 

⎝ ω ⎠ 

A( 

ω → ∞) 

dB 

⎛ ω 

≈ 20 •lgK 

− 40 •lg 

⎜ 

⎝ ωo 


Schnittpunkt der beiden Asymptoten: 

ω 

20 •lgK 

= 20 • lgK 

− 40 •lg 

ω 

⇒ ω = ω 

o 

o 

Der tatsächliche Wert von A(ω)dB kann bei ω = ωo beträchtlich vom Schnittpunkt der 

Anfangs- und Endasymptote abweichen. 

ω = ω 

0 

→ 

A( ω) 

dB = 20 • lgK 

− 20 • lg2D 

D < 0,5 d. h. lg 2D < 0 Wert liegt oberhalb der Anfangsasymptote 

D > 0,5 d. h. lg 2D > 0 Wert liegt unterhalb der Anfangsasymptote 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2




Phasenwinkel: 

ϕ(ω = 0) = 0 ϕ(ω = ωo) = - π/2 ϕ(ω = ∞) = -π 

An der Ortskurve (s. S. 43) kann man erkennen, dass der Phasenwinkel für ω → ∞ 

gegen - π geht, d. h. die nächste Nullstelle der Umkehrfunktion benutzt werden 

muss. 

Abb. 5-1: Bodediagramm der P-T2-Strecke (Amplitudengang) 

Abb. 5-2: Bodediagramm der P-T2-Strecke (Phasengang)




Sprungantworten der P-T2 – Strecke: 

Die allgemeine Übertragungsfunktion der P–T2 – Strecke lautet: 

G( 

s) 

G( 

s) 

K 

= 

2D 

s 

1+ 

s + 

ω ω 

= 

s 

2 

2 

o 

K • ω 

2 

2 

o 

= 

s 

2 

o 

+ 2Dω 

s + ω 

o 

o 

2 

o 

N( s) 

= s + 2Dω 

s + ω 

2 

o 

2 

K • ωo 

+ 2Dω 

s + ω 

Z( 

s) 

= 

N( 

s) 

o 

2 

2 

o 

= 

s 

2 

2 

K • ωo 

+ 2αs 

+ β 

2 

= 

( s 

K • ωo 

− s )( s − s 

Die Nullstellen des Nenners N(s) sind die Polstellen der Übertragungsfunktion: 

s 

1, 

2 

= −ω 

D ± ω 

0 

0 

D 

2 

−1 

Für einen Einheitssprung am Eingang der Strecke ergibt sich die Funktion H(s): 

H( 

s) 

= 

G( 

s) 

• 

1 

s 

= 

( s 

Kω 

− s )( s − s ) s 

1 

2 

0 

2 

Die Sprungantwort h(t) ergibt sich durch Rücktransformation von H(s) in Abhängigkeit 

von den Nullstellen s1 und s2 des Nenners. Die Fallunterscheidung wird von der 

Größe D bestimmt. 

Fall 1: D = 1 

s = −ω 

1, 

2 

0 

Es handelt sich um eine doppelte Polstelle von G(s) auf der negativen reellen Achse. 

G( 

s) 

H( 

s) 

= 

= 

( s 

G( 

s) 

• 

0 

1 

s 

2 

Kω0 

K 

= 

+ ω )( s + ω ) ( 1+ 

T • s)( 

1+ 

T • 

0 

S 

S 

s) 

mit 

1 

2 

T 

S 

2 

) 

1 

= 

ω 

0




G(s) entspricht der bereits angegebenen Übertragungsfunktion für eine Strecke, die 

aus der rückwirkungsfreien Hintereinanderschaltung von zwei P-T1–Strecken mit 

gleichen Zeitkonstanten TS entsteht. 

Durch Rücktransformation erhält man die Lösung für die Übergangsfunktion h(t): 

h( 

t) 

⎡ 

⎛ 

= K⎢1− 

⎢ ⎜ 

⎜1+ 

⎣ 

⎝ 

t 

T 

s 

⎞ 

⎟ 

⎟e 

⎠ 

− 

t 

TS 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

Die Lösung ist stabil, es handelt sich um den aperiodischen Grenzfall (Abb. 5-8). 

Fall 2: D > 1 

s 

1, 

2 

= −ω 

D ± ω 

0 

0 

D 

2 

− 1 

Es handelt sich um zwei Polstellen von G(s) auf der negativen reellen Achse. 

K 

1 

G( s) 

= 

mit TS1 

= − und T2 

= − 

( 1+ 

T • s)( 

1+ 

T • s) 

s 

S1 

S2 

1 

H( s) 

= G( 

s) 

• 

s 

G(s) entspricht der bereits angegebenen Übertragungsfunktion für eine Strecke, die 

aus der rückwirkungsfreien Hintereinanderschaltung von zwei P-T1–Strecken mit unterschiedlichen 

Zeitkonstanten TS1 und TS2 entsteht. 

Durch Rücktransformation erhält man die Lösung für die Übergangsfunktion h(t): 

h( 

t) 

⎛ 

= K 

⎜ 

⎜ 

1− 

T 

⎝ 

S1 

T 

S1 

− T 

S2 

e 

− 

t 

T 

S1 

+ 

T 

T 

S1 

S2 

− T 

S2 

e 

Die Lösung ist stabil, es handelt sich um den aperiodischen Fall (Abb. 5-8). 

− 

t 

T 

S2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

1 

1 

s 

2




Abb. 5-3: Sprungantwort der P-T2–Strecke (nichtschwingend) 

aperiodischer Fall (D = 2) und aperiodischer Grenzfall (D = 1) 

Fall 3: 0 < D < 1 

s = −ω 

D ± jω 

1− 

D 

1, 

2 

0 

0 

2 

Es handelt sich um zwei konjugiert komplexe Polstellen von G(s) mit negativem Realteil. 

Die Lösung erhält man durch Rücktransformation der Funktion H(s): 

H( 

s) 

= 

( s 

Kω 

− s )( s − s ) s 

1 

2 

0 

2 

Für die Rücktransformation wird die Funktion H(s) zunächst durch Partialbruchzerlegung 

umgeformt: 

( s − 

s )( s − s 

1 

1 

2 

) s 

= 

A 

s 

+ 

( s 

B + Cs 

− s )( s − s 

1 

2 

)




⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

− 

− 

− 

− 

ω 

− 

= 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

− 

ω 

− 

− 

− 

ω 

− 

• 

ω 

ω 

= 

ω 

− 

= 

ω 

− 

= 

ω 

= 

ω 

= 

− 

ω 

+ 

ω 

= 

• 

ω 

− 

= 

+ 

= 

• 

• 

= 

+ 

• 

− 

= 

+ 

+ 

− 

− 

+ 

+ 

= 

+ 

+ 

− 

− 

= 

) 

s 

s 

)( 

s 

s 

( 

s 

) 

s 

s 

)( 

s 

s 

( 

1 

D 

2 

s 

1 

K 

) 

s 

( 

H 

) 

s 

s 

)( 

s 

s 

( 

s 

1 

) 

s 

s 

)( 

s 

s 

( 

1 

D 

2 

s 

1 

K 

) 

s 

( 

H 

1 

C 

D 

2 

B 

1 

A 

) 

D 

1 

( 

D 

s 

s 

D 

2 

s 

s 

1 

s 

s 

A 

0 

) 

s 

s 

( 

A 

B 

0 

C 

A 

s 

As 

s 

) 

As 

As 

B 

( 

s 

) 

C 

A 

( 

1 

Cs 

Bs 

) 

s 

s 

)( 

s 

s 

( 

A 

1 

2 

1 

2 

1 

0 

2 

1 

2 

0 

2 

1 

0 

2 

0 

2 

0 

2 

0 

0 

2 

0 

2 

0 

2 

2 

0 

2 

2 

0 

2 

1 

0 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

2 

2 

1 

Rücktransformation (gilt allgemein für den Fall D < 1): 

2 

2 

0 

0 

2 

0 

2 

2 

0 

2 

0 

2 

0 

2 

2 

0 

t 

2 

1 

t 

2 

2 

D 

1 

D 

D 

1 

D 

D 

1 

) 

D 

( 

D 

t 

sin 

t 

cos 

e 

) 

s 

s 

)( 

s 

s 

( 

s 

t 

sin 

e 

1 

) 

s 

2 

s 

( 

1 

− 

= 

− 

= 

= 

− 

= 

− 

= 

− 

= 

= 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

− 

→ 

− 

− 

→ 

+ 

+ 

− 

− 

ω 

ω 

ω 

α 

ω 

β 

ω 

ω 

ω 

α 

β 

ω 

ω 

α 

ω 

ω 

α 

ω 

ω 

ω 

β 

α 

α 

α 

⎪⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

• 

− 

ω 

− 

+ 

• 

− 

ω 

• 

− 

⎪⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

• 

− 

ω 

• 

− 

ω 

ω 

− 

= 

ω 

− 

ω 

− 

ω 

− 

) 

t 

D 

1 

sin( 

D 

1 

D 

e 

) 

t 

D 

1 

cos( 

e 

) 

t 

D 

1 

sin( 

e 

D 

1 

1 

D 

2 

1 

K 

) 

t 

( 

h 

2 

0 

2 

Dt 

2 

0 

Dt 

2 

0 

Dt 

2 

0 

0 

0 

0 

0

h( 

t) 




⎪⎧ 

= K⎨1 

− e 

⎪⎩ 

−ω 

D•t 

0 

⎡ 

⎢cos( 

ω 

⎢⎣ 

0 

1− 

D 

2 

• t) 

+ 

D 

1− 

D 

2 

sin( ω 

0 

1− 

D 

2 

⎤⎪⎫ 

• t) 

⎥⎬ 

⎥⎦ 

⎪⎭ 

Die Lösung ist stabil, es handelt sich um eine gedämpfte Schwingung (Abb. 5-9). 

Fall 4: D=0 

s = ± j • ω 

1, 

2 

G( 

s) 

0 

Kω 

= 

2 

s + 

2 

0 

2 

ω0 

Die Lösung ergibt sich aus der Rücktransformation für den Fall 3 mit D = 0: 

h( t) 

K( 

1 cos 0t) 

ω − = 

Die Lösung ist stabil, es handelt sich um eine ungedämpfte Schwingung (Abb. 5-9). 

Abb. 5-4: Sprungantwort der P-T2 – Strecke (schwingend) 

gedämpfte Schwingung (D = 0,2) und ungedämpfte Schwingung (D = 0)




Zusammenfassung der Aussagen zur Stabilität: 

Die Stabilität hängt vom Vorzeichen der Realteile der Nullstellen des Nennerpolynoms 

der Übertragungsfunktion G(s) ab: 

1. Negativer Realteil ⇒ System stabil 

2. Realteil = 0 ⇒ Grenzfall, stabile Schwingung 

3. Positiver Realteil ⇒ System instabil 

Man kann zeigen, dass diese Aussage allgemeingültig ist. 

5.1.6. PTn-Strecke 

In komplizierteren Regelstrecken treten oft mehr als zwei Zeitverzögerungen auf, allgemein 

kann man solche Strecken als P-Tn–Strecken bezeichnen. 

Die Ortskurve der P-T1 – Strecke durchläuft einen Quadranten. 

Die Ortskurve der P-T2 – Strecke durchläuft zwei Quadranten. 

Pro hinzukommender Zeitverzögerung durchlaufen die Ortskurven einen zusätzlichen 

Quadranten. Die Ortskurven für n = 1 bis n = 4 zeigt Abb. 5-10. 

Alle Ortskurven beginnen auf der reellen Achse und laufen für ω -> ∞ asymptotisch 

in den Ursprung. 

Abb. 5-1: Ortskurven der Strecken P-T1 bis P-T4




Wie bereits im Kapitel 2.3.6 diskutiert wurde, kann eine P-Tn–Strecke näherungsweise 

ersetzt werden durch die Reihenschaltung einer P-T1 – Strecke mit einer Totzeitstrecke. 

Es entsteht die (P-T1) -Tt – Strecke. 

Die Übertragungsfunktion wird aus dem Produkt der Übertragungsfunktion der P-T1 

– Strecke und der Totzeitstrecke gebildet: 

K 

G( 

jω) 

= 

1+ 

jωT 

1 

e 

−jωT 

t 

Nach den bekannten Regeln kann daraus der Amplitudengang und der Phasengang 

berechnet werden: 

Amplitudengang: 

A( 

ω) 

= 

K 

1+ 

ω 

2 2 

T1 

Phasengang: ϕ(ω) = - arctan (ωT1) 

Daraus ergibt sich: 

G( 

jω) 

= 

K 

1+ 

ω 

2 

T 

2 

1 

e 

−j[ 

ωT 

+ arctan( ωT 

)] 

Der Amplitudengang der (P-T1) -Tt – Strecke stimmt mit dem der P-T1 – Strecke 

überein. Die Phase wird gegenüber der Phase der P-T1 – Strecke zusätzlich um den 

Winkel - ωTt gedreht. Die Ortskurve läuft spiralförmig in den Ursprung (Abb. 5-11). 

Abb. 5-2: Ortskurve der (P-T1) -Tt – Strecke 

t 

1




5.2. Regler 

5.2.1. Ortskurve und Bodediagramm des PID-T1 - Reglers 

PID - Regler können durch Parallelschaltung von P-, I- und D-Gliedern aufgebaut 

werden (s. auch Pkt. 3.6). Bereits dort wurde ausgeführt, dass das ideale D – Verhalten 

praktisch nicht erreicht werden kann. Natürlich treten auch beim P- und I- 

Glied Zeitverzögerungen auf, wenn auch wesentlich kleinere. Deshalb kann das 

Verhalten eines realen PID - Reglers auch durch die Reihenschaltung eines idealen 

PID – Reglers mit einem P-T1 – Glied mit dem Proportionalitätsbeiwert 1 beschrieben 

werden (Abb. 5-12). 

Abb. 5-1: Blockschaltbild des realen PID-T1 – Regler 

G 

PID 

A( 

ω) 

( s) 

PID 

⎡ 1 ⎤ 

= KPR 

⎢1+ 

+ s • TV 

⎥ 

⎣ s • TN 

⎦ 

= K 

PR 

1+ 

( ω • T 

V 

1 

− 

ω • T 

N 

) 

2 

1 

GT ( s) 

= 

1 1+ 

s • 

A( 

ω) 

T 

1 

= 

T 

1 

1 

1+ 

( ω • T ) 

1 

ϕ ( ω) 

PID = arctan( ω• 

TV 

− ) 

ϕ( 

ω) 

T = −arctan( 

ω • T1 

) 

1 

ω • T 

N 

1 

2




Ortskurve des PID-T1 – Reglers: 

G 

G 

G 

PID−T 

PID−T 

( s) 

= 

K 

PR 

1 • 

1 

PID−T 

1 

( jω) 

= 

( jω) 

= 

K 

K 

⎡ 1 

⎢1+ 

⎣ s • TN 

⎤ 

+ s • TV 

⎥ 

⎦ 

1+ 

s T 

PR 

PR 

1 

⎡ 1 

⎤ 

⎢1+ 

+ jω 

• TV 

⎥ 

⎣ jω 

• TN 

⎦ 

1+ 

jω 

• T 

1 

1 

⎡ T1 

2 

⎢1− 

+ ω • T 

⎣ TN 

2 

1+ 

( ωT 

) 

V 

= 

K 

PR 

⎤ 

• T1⎥ 

K 

⎦ 

+ j 

⎡ 1 

⎤ 

⎢1+ 

+ jω 

• TV 

⎥ • ( 1− 

jω 

• T1) 

⎣ jω 

• TN 

⎦ 

2 

1+ 

( ωT 

) 

PR 

⎡ 

1 

⎢ω 

• TV 

− ω• 

T1 

− 

⎣ 

ω• 

T 

2 

1+ 

( ωT 

) 

ω = 0 Re{G(jω)} = KPR(1-T1/TN) Im{G(jω)} = -∞ 

ω → ∞ Re{G(jω)} = KPR•TV/T1 Im{G(jω)} = 0 

1 

ω = 

Im{G(jω)} = 0 

T ( T − T ) 

N 

V 

1 

Abb. 5-2: Ortskurve des PID-T1 - Reglers 

1 

1 

N 

⎤ 

⎥ 

⎦




Bodediagramm des PID-T1 - Reglers (Amplitudengang): 

Der Amplitudengang der Reihenschaltung entsteht durch Multiplikation der Amplitudengänge 

der in Reihe geschalteten Glieder: 

A(ω) = A(ω)PID ê A(ω)T1 = K 

A(ω)dB = 20 lg A(ω) = 20 lg 

PR 

K 

1+ 

( ω • T 

PR 


V 

1 

− 

ω • T 

1+ 

( ω• 

T ) 

1+ 

( ω • T 

V 

1 

2 

1 

N 

1+ 

( ω• 

T ) 

) 

2 

2 

1 

− 

ω • T 


ω → 0 ( ω → ∞) 

≈ 20 • lgK 

− 20 •lg( 

ωT 

) 

N 

) 

2 

A dB 

PR 

N 


ω → ∞ 1/(ωTN) →0 

1+(ωTV) 2 → (ωTV) 2 

1+(ωT1) 2 → (ωT1) 2 

A( 

ω → ∞) 

dB 

≈ 20 • lg( K 

Es ergibt sich eine Gerade parallel zur reellen Achse mit dem Abstand 

20 • lg( K 

PR 

T 

T 

V 

1 

) 

1 

Der Amplitudengang hat ein Minimum bei ω = 

. 

T ( T − T ) 

N 

V 

1 

PR 

T 

T 

V 

1 

)




Abb. 5-3: Bodediagramm des PID-T1 – Reglers (Amplitudengang) 

Bodediagramm des PID-T1 - Reglers (Phasenganggang) 

Der Phasengang der Reihenschaltung entsteht durch Addition der Phasengänge der 

in Reihe geschalteten Glieder: 

1 

ϕ(ω) = ϕ(ω)PID + ϕ(ω)T1 = arctan( ω • TV 

− ) − arctan( ω • T1) 

ω• 

T 

ω → 0 ϕ(ω) → -90° 

ω → ∞ ϕ(ω) → 0 

Abb. 5-4: Bodediagramm des PID-T1 – Reglers (Phasengang) 

N




5.2.2. Sprungantwort des PID-T1 - Reglers 

Die Sprungantwort für einen Einheitssprung am Eingang des Reglers wird durch 

Laplace – Transformation aus 

X 

a 

( s) 

= GPID− 

berechnet. 

X 

X 

a 

a 

( s) 

( s) 

= 

K 

= K 

PR 

PR 

T 

1 

( s) 

• 

1 

s 

⎡ 1 ⎤ 

⎢1+ 

+ s • TV 

⎥ 

⎣ s • TN 

⎦ 1 

• = K 

1+ 

s • T s 

T 

• 

T 

V 

1 

s 

• 

2 

1 

1 1 

+ s + 

TV 

TVT 

2 1 

s ( s + ) 

T 

1 

N 

PR 

s • T 

Durch Partialbruchzerlegung entsteht daraus: 

X 

a 

( s) 

= K 

PR 

⎡ 

⎢ T 

⎢ 1 1 

( 1− 

) • 

⎢ TN 

s 

⎢ 

⎣ 

+ 

1 

T 

N 

1 

• 

2 

s 

+ 

N 

T 

( 

T 

+ 1+ 

s 

s • T 

1 

N 

2 

N 

T 

−1+ 

T 

• T 

V 

1 

V 

T 

N 

) • 

( s 

1 

• 

1+ 

s • T 

⎤ 

1 

⎥ 

⎥ 

1 

+ ) 

⎥ 

T ⎥ 

1 ⎦ 

Die Rücktransformation gibt dann den Verlauf der Ausgangsgröße des Reglers in 

Abhängigkeit von der Zeit xa(t): 

x 

a 

( t) 

= K 

PR 

⎡ T 

⎢1− 

⎣ T 

1 

N 

+ 

T 

− 

T 

Abb. 5-16 zeigt den Verlauf der Sprungantwort. 

t 

T 

N 

− 

T1 

( 1− 

T 

N 

V 

1 

) e 

−t / T1 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

1 

• 

1 

s




Abb. 5-1: Sprungantwort des PID-T1 – Reglers 

(KPR = 5, TN = 20, TV = 2, T1 = 1)




6. Der Regelkreis 

6.1. Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Regelkreises 

Zum Verhalten der Regelgröße bei Störung und Führung im geschlossenen Regelkreis 

wurden schon im Abschnitt 1.5 Ausführungen gemacht. Jetzt soll dargestellt 

werden, wie man mit Hilfe der Laplace – Transformation den Verlauf der Regelgröße 

bei sprungförmiger Störung am Eingang der Strecke bzw. bei sprungförmiger Änderung 

der Führungsgröße berechnen kann. 

Ausgangspunkt ist Abb. 6-1: 

Abb. 6-1: Blockschaltbild des Regelkreises 

Der Zusammenhang zwischen X(s), Z(s) und W(s) berechnet sich wie folgt: 

E( 

s) 

YR 

( s) 

= E( 

s) 

• GR( 

s) 

= 

YS 

( s) 

= YR 

( s) 

+ Z( 

s) 

X( 

s) 

= YS 

( s) 

• GS 

( s) 

X( 

s) 

X( 

s) 

X( 

s) 

• 

= 

W( 

s) 

= 

= 

X( 

s) 

[ Y ( s) 

+ Z( 

s) 

] 

R 

[ W( 

s) 

− X( 

s) 

] 

• GS 

( s) 

• GR( 

s) 

{ Z( 

s) 

+ [ W( 

s) 

− X( 

s) 

] • GR 

( s) 

} • GS( 

s) 

[ 1+ 

G ( s) 

G ( s) 

] = W( 

s) 

• G ( s) 

• G ( s) 

+ Z( 

s) 

• G ( s) 

R 

− 

S 

R 

S 

S

X( 

s) 




GS 

( s) 

= 

1+ 

G ( s) 

•G 

R 

S 

( s) 

GR 

( s) 

• GS 

( s) 

• Z( 

s) 

+ 

• 

1+ 

G ( s) 

•G 

( s) 

R 

s 

W( 

s) 

Für den Fall, dass sich nur die Störfunktion Z(s) oder nur die Führungsfunktion W(s) 

ändert, kann diese Gleichung in die Störungs – Übertragungsfunktion und die Führungs 

– Übertragungsfunktion zerlegt werden. 

Störungs-Übertragungsfunktion: 

Führungs-Übertragungsfunktion: 

G 

G 

Z 

W 

( s) 

GS 

( s) 

= 

1+ 

G ( s) 

•G 

R 

S 

( s) 

GR 

( s) 

• GS 

( s) 

( s) 

= 

1+ 

G ( s) 

•G 

( s) 

Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises: ( s) 

= G ( s) 

• G ( s) 

6.2. Verhalten von Regelkreisen mit P - Reglern 

6.2.1. P – Regler / P - Strecke 

P - Regler GR(s) = KPR 

P - Strecke GS(s) = KPS 

Störung am Eingang der Strecke als Sprung der Höhe xeo: 

X( 

s) 

= G 

Z 

( s) 

• 

Z( 

s) 

K 

= 

1+ 

K 

PS 

PR 

K 

PS 

x 

• 

s 

eo 

R 

Go R S 

Z( 

s) 

x 

= 

s 

Für die Untersuchung des Verhaltens des Regelkreises für t → ∞ wird einer der 

Grenzwertsätze der Laplace –Transformation benutzt: 

[ s F( 

s) 

] 

lim f( 

t) 

lim 

t s→0 

• = 

→∞ 

eo 

s




K 

K 

s 0 1 K PRK 

PS 1 K PRK 

PS 

lim 

lim x( 

t) 

lim 

• 

t s→0 

→ + 

+ 

• = 

→∞ 

PS PS 

[ s X( 

s) 

] = 

• x eo = 

xeo 

Der Regler hat einen stabilen Endwert. Entsprechend der früheren Aussage zum P – 

Regler entsteht eine bleibende Regelabweichung. Die Störung xeo wird in der Höhe 

um den Faktor 

K 

1+ 

K 

PS 

PR 

K 

PS 

reduziert (s. Abb. 6-2). 

Abb. 6-1: Regelkreis mit P – Regler und P – Strecke 

(Einheitssprung als Störung am Eingang der Strecke, KPS =1, KPR = 1) 

Praktisch sollte diese Kombination vermieden werden, da sich das System durch 

das Auftreten unvermeidlicher Totzeiten und Verzögerungen als instabil erweist.




6.2.2. P – Regler / P-T1 - Strecke 


P-T1 - Strecke 

KPS 

GS 

( s) 

= 

1+ 

s • T 

Stör-Übertragungsfunktion: 

G 

Z 

X( 

s) 

( s) 

= 

KPS 

= 

1+ 

s • T 

G 

Z 

( s) 

• 

S 

• 

1+ 

K 

Z( 

s) 

PR 

= 

1+ 

K 

1 

KPS 

• 

1+ 

s • T 

PR 

K 

K 

PS 

PS 

Die Rücktransformation ergibt dann: 

x( 

t) 

S 

KPS 

= 

1+ 

s • T 

+ s • T 

S 

S 

x 

• 

s 

S 

1+ 

s • TS 

• 

1+ 

K K + s • T 

eo 

= 

x 

PR 

eo 

T 

PS 

•K 

S 

PS 

• 

S 

s( 

s 

K PS 

−t 

/ T 

= xeo 

( 1− 

e ) mit T = TS / (1+ KPRKPS) 

1+ 

K K 

PR 

PS 

K 

K 

eo 

s 0 1 KPRK 

PS s TS 

1 K PRK 

PS 

lim 

lim x( 

t) 

lim 

• 

t s→0 

→ + + • 

+ 

• = 

→∞ 

Diskussion: 

PS PS 

[ s X( 

s) 

] = 

• x = 

x eo 

1 

1+ 

K 

+ 

T 

(1) Es gibt keinen schwingenden Verlauf. Die Funktion verhält sich ähnlich wie die 

Sprungantwort der P-T1 – Strecke. 

(2) Die Störung xeo wird um den Faktor 1 / (1+KPRKPS) verringert. 

(3) Die Zeitkonstante T ist um den Faktor 1 / (1+KPRKPS) kleiner als die Zeitkonstante 

TS, d. h. die Regelgröße erreicht den Endwert schneller. 

Der Verlauf der Regelgröße ist in Abb. 6-3 dargestellt. 

PR 

S 

K 

PS 

)




Abb. 6-1: Sprungantwort der P-T1 – Strecke ohne und mit P - Regler 

(TS = 3, KPR = 1, KPS = 1) 

6.2.3. P – Regler / P-T2 - Strecke 


PT2 - Strecke 

X( 

s) 

X( 

s) 

K 

= 

1+ 

s • T + s 

= 

1+ 

K 

PR 

1 

• 

K PRK 

1+ 

1+ 

s • T + s 

G 

S 

( s) 

PS • 

2 2 

1 • T2 

PS 

2 2 

1 • T2 

K 

PS 

K 

PS 

2 • 2 

1 

2 

+ s • T + s • T 

x 

s 

eo 

KPS 

= 

1+ 

s • T + s 

x 

eo 

s 

1 

2 

• T 

2 

2 

= 

s 

K 

K 

2 

s 0 1 K K s T s T 1 K PRK 

PS 

lim 

lim x( 

t) 

lim 

• 

t s → 0 → + + • + • 

+ 

• = 

→ ∞ 

2 

K 

PS 

• ω 

o 

2 

o 

2 

o 

+ 2Dω 

s + ω 

PS 

PS 

[ s X( 

s) 

] = 

• x eo = 

x eo 

PR 

PS 

Der Regler kann die Störung nicht vollständig ausregeln. Es tritt eine bleibende Regelabweichung 

wie bei der Kombination P – Regler / P-T1 – Strecke auf. 

1 

2 

2




Der Verlauf der Regelgröße hängt von der Dämpfung 

D = 

2T 

2 

T 

1 

1+ 

K 

PR 

K 

PS 

ab. Wie bereits im Abschnitt 5.1.5. gezeigt, können 5 unterschiedliche Lösungen der 

Differentialgleichung zustande kommen (s. Abbildungen 5-8 und 5-9) 

6.2.4. P – Regler / P-Tn – Strecke 

Die Sprungantworten von Regelstrecken mit mehreren Zeitverzögerungen werden 

durch die Verzugszeit Tu und die Ausgleichszeit Tg charakterisiert (s. Abschnitt 

2.3.6.). 

Praktische Erfahrungen zeigen, dass Regelkreise mit P – Reglern und P-Tn– 

Strecken zur Instabilität neigen, wenn eine kritische Kreisverstärkung Kokrit überschritten 

wird. Die kritische Kreisverstärkung kann aus Tu und Tg nach folgender 

Formel näherungsweise berechnet werden (s. Literaturverzeichnis, Samal, E.): 

K 

okrit 

= K 

PR 

•K 

PS 

π T 

≈ 

2 T 

g 

u 

+ 1 

Daraus ergibt sich der kritische Übertragungsbeiwert für den Regler: 

K 

PRkrit 

≈ 

1 

K 

PS 

π T 

( 

2 T 

g 

u 

+ 1) 

Um Stabilität zu garantieren, wird ein Abstand zum Stabilitätsrand eingehalten und 

eine „optimale“ Kreisverstärkung gewählt, die die Hälfte der kritischen Kreisverstärkung 

beträgt: 

K 

oopt 

K 

= 

2 

okrit 

1 π Tg 

= ( + 1) 

2 2 T 

u 

Unter der Annahme, dass im allgemeinen Tg / Tu >> 1 gilt, kann damit der „optimale“ 

Übertragungsbeiwert des Reglers berechnet werden: 

K 

PRopt 

≈ 

1 

K 

PS 

π T 

4 T 

g 

u 

Der Verlauf der Regelgröße ähnelt dem Verlauf beim Regelkreis P – Regler / P-T2 – 

Strecke.




6.3. Verhalten von Regelkreisen mit PI – Reglern 

6.3.1. PI - Regler und I - Strecke 

PI – Regler ⎟ KIR 

GR 

( s) 

= KPR 

+ 

s 

⎛ 1 ⎞ ⎛1+ 

s • TN 

⎞ 

= K PR ⎜ 

⎜1+ 

⎟ = KPR 

⎜ 

⎝ s • TN 

⎠ ⎝ s • TN 

⎠ 

I – Strecke 

KIS 

GS 

( s) 

= 

s 

G 

G 

Z 

Z 

( s) 

( s) 

K 

= 

s 

= K 

IS 

IS 

KISK PR 

α = 

2 

Beispiel: 

• 

K 

1+ 

s 

• 

s 

2 

IS 

•K 

+ s •K 

IS 

1 

PR 

K 

s 

⎛1+ 

s • T 

⎜ 

⎝ s • TN 

PR 

β = 

K 

+ 

K 

IS 

IS 

T 

T 

K 

K 

N 

N 

N 

K 

= 

⎞ s 

⎟ 

⎠ 

PR 

PR 

= K 

IS 

IS 

• 

s 

2 

• 

s 

2 

• T 

N 

+ K 

s 

IS 

s 

K 

2 

+ s • 2α 

+ β 

α 

D = 

β 

• T 

PR 

2 

N 

+ s •K 

KPR = 1 KIS = 1 TN = 1 α = ½ β = 1 D = ½ 

X( 

s) 

= K 

IS 

• 

s 

2 

s 

+ s • 2α 

+ β 

2 

x 

• 

s 

eo 

= K 

Rücktransformation für den Fall D < 1: 

x( 

t) 

= K 

IS 

• x 

eo 

1 

• • e 

ω 

−αt 

• sin( ωt) 

IS 

• x 

eo 

mit 

• 

s 

2 

1 

+ s • 2α 

+ β 

Die Rücktransformation ergibt also eine gedämpfte Schwingung (s. Abb. 6-4) mit der 

Periode 2π/ω. Durch den I – Anteil des Reglers tritt keine bleibende Regelabweichung 

auf. Diese Aussage ergibt sich auch aus der Grenzwertbildung: 

lim x( 

t) 

lim 

t s → • = 

→ 

∞ 

ω = 

[ s X( 

s) 

] = K • x 

= 0 

0 

s 0 

lim 

→ 

IS 

eo 

s 

2 

s 

+ s • 2α 

+ β 

2 

2 

β 

2 

− α 

2 

= 

IS 

K 

PR 

3 

4 

T 

N




Abb. 6-1: Verlauf der Regelgröße für einen PI – Regler mit einer I - Strecke 

6.3.2. PI – Regler und P-T1 – Strecke 

PI – Regler 

P-T1 – Strecke 

G 

G 

G 

Z 

Z 

Z 

α = 

( s) 

( s) 

( s) 

1+ K 

KPS 

= 

1+ 

s • T 

S 

G 

G 

R 

S 

( s) 

( s) 

= K 

PR 

K 

+ 

s 

KPS 

= 

1+ 

s • T 

• 

KPS 

1+ 

1+ 

s • T 

KPS 

• s • TN 

= 

( 1+ 

s • T ) s • T + K K 

KPS 

= 

T T 

N 

PS 

2T 

S 

K 

S 

PR 

S 

• 

s 

2 

n 

s • T 

N 

PS 

+ s • 2α 

+ β 

S 

2 

S 

1 

•K 

) 

PR 

β = 

IR 

PR 

= K 

PR 

⎛1+ 

s • T 

⎜ 

⎝ s • TN 

( 1+ 

s • T 

K 

PS 

T 

N 

K 

T 

⎛ 1 

⎜ 

⎜1+ 

⎝ s • T 

N 

PR 

S 

N 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

= 

) K 

PS 

N 

K 

⎞ 

⎟ = K 

⎠ 

PR 

PR 

⎛1+ 

s • T 

⎜ 

⎝ s • TN 

K 

+ s • T ( 1+ 

K 

n 

PS 

α 

D 

= 

β 

N 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

• s • T 

PS 

K 

N 

PR 

) + s 

2 

• T 

N 

• T 

S 

)

Beispiel: 




KPS = 2 KPR = 0,4 TN = 5 TS = 20 α = 0,045 β = 0,0894 D = 0,503 

X( 

s) 

KPS 

= 

T T 

N 

S 

• 

s 

2 

s • T 

N 

+ s • 2α 

+ β 

2 

x 

• 

) s 

eo 

K 

= 

T 

Rücktransformation für den Fall D < 1: 

x( 

t) 

PS 

S 

• x 

eo 

• 

s 

2 

1 

+ s • 2α 

+ β 

KPS 

1 −αt 2 2 

= • xeo 

• • e • sin( ωt) 

mit ω = β − α = 0, 

0773 

T ω 

S 

Die Rücktransformation ergibt also eine gedämpfte Schwingung (s. Abb. 6-5) mit der 

Periode 81,3 s. Durch den I – Anteil des Reglers tritt keine bleibende Regelabweichung 

auf. Diese Aussage ergibt sich auch aus der Grenzwertbildung: 

lim x( 

t) 

lim 

t s → • = 

→ ∞ 

K 

s 0 T 

lim 

→ 

PS 

[ s X( 

s) 

] = • x • 

= 0 

0 

S 

eo 

s 

2 

s 

+ s • 2α 

+ β 

Abb. 6-1: Verlauf der Regelgröße für einen PI – Regler mit einer P-T1 - Strecke 

2 

2 

)




Literatur 

(1) Reuter, M. 

Regelungstechnik für Ingenieure. 

Vieweg-Verlag, 1994. 

(2) Unbehauen, H. 

Regelungstechnik I, II und III. 


(3) Schulz, G. 

Regelungstechnik. 

Springer-Verlag, 1995. 

(4) Strohrmann, G. 

Automatisierungstechnik. 

Oldenbourg-Verlag. 

(5) Samal, E. 

Grundriß der praktischen Regelungstechnik. 

Oldenbourg-Verlag, 1993. 

(6) Lenz, W. 

Grundlagen der Steuerungs- und Regelungstechnik. 

Hüthig-Verlag. 

(7) Makarov, A. 

Regelungstechnik und Simulation. 


(8) Shinskey, F. G. 

Process-Control Systems. 

McGraw-Hill, 1979. 

(9) Bonfig, K. W. 

Fuzzy Logik in der industriellen Automatisierung. 

expert verlag, 1996. 

(10) DIN 19226: 

Regelungs- und Steuerungstechnik, Begriffe und Benennungen. Mai 1968. 

DIN 19229: 

Übertragungsverhalten dynamischer Systeme, Begriffe. Oktober 1975. 

DIN 19221: 

Formelzeichen der Regelungs- und Steuerungstechnik.

Lehrmaterial Grundlagen der Regelungstechnik

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