Blatt 3 Update (PDF)

Theoretische Grundlagen der Informatik II – WiSe 2009/10
Übungsblatt 3 Update 10.11.2009
AUFGABE 1: Vollständige Induktion
a) Es seien v, w ∈ Σ ∗ , so dass vw = wv.
8 Punkte
Beweisen Sie, dass es u ∈ Σ ∗ und i, j ∈Æ0 mit der Eigenschaft v = u i und
w = u j gibt.
b) Beweisen Sie n
i=1
i3 = n2 (n+1) 2
4 .
c) Beweisen Sie n−1
(2i + 1) = n2 .
i=0
d) Aus der vorherigen Aufgabe lässt sich eine Beziehung zwischen n 2 und (n+1) 2
herstellen. Nutzen Sie diese um eine Grammatik für folgende Sprache zu konstruieren:
L = {# (n2 ) | n ∈Æ}
AUFGABE 2: Sprache → NEA
8 Punkte
Entwickeln Sie jeweils einen nichtdeterministischen endlichen Automaten zur Erkennung
der folgenden Sprachen:
a) La = {w ∈ {x, y, z} ∗ : w enthält die Teilzeichenkette zxy} mit mindestens
einem nichtdeterministischen Übergang.
b) Lb = {w ∈ {0, 1} ∗ : w ist Binärdarstellung einer durch 4 teilbaren Zahl }.
Der NEA darf nicht mehr als 4 Zustände haben.
c) Gegeben seien n Zahlen p1, . . .,pn ∈ {1, . . ., N} für ein N ∈Æ. Betrachten
Sie die Sprache
Lc = {w = pi1 . . . pik ∈ {p1, . . . , pn} ∗ | k
j=1
pij = N für ein k ∈Æ}.
Ein Wort aus der Sprache Lc ist also eine Teilmenge von Elementen von
p1, . . .,pn mit der Eigenschaft, dass die Summe der ausgewählten pij genau
N ergeben. Konstruieren Sie einen NEA mit maximal N + 1 Zuständen für
den Fall N = 2 und N = 3 und erläutern Sie die Korrektheit ihres Automaten.
Hinweis: Der Automat ist nur von der Größe N ∈Æabhängig und
insbesondere unabhängig von der Wahl der p1, . . . , pn.
Abgabe: Mittwoch 18.11.2009, 14:00 Uhr, Raum 05-230
–1–

Theoretische Grundlagen der Informatik II – WiSe 2009/10
Übungsblatt 3 Update 10.11.2009
AUFGABE 3: NEA → DEA
4 Punkte
Erstellen Sie zu den folgenden NEAs einen äquivalenten DEA mit der Potenzmengenkonstruktion.
Vernachlässigen Sie dabei nicht erreichbare Zustände.
a) N1 = ({S, A, B, C}, {a, b}, δ1, S, {A}) mit der Überführungsfunktion:
a,b
b
S
A
b
a
B
b
C
b) N2 = ({S, A, B, C, D, E}, {0, 1}, δ2, S, {B, E}) mit der Überführungsfunktion:
1
1
0
S
1
A
B
0
0 1
C
D
E
1
Abgabe: Mittwoch 18.11.2009, 14:00 Uhr, Raum 05-230
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a
0,1
1
0