TGI-Skript S. 46 - 51 (PDF)

Wir können an dieser Stelle die folgende Feststellung machen:
Satz:
Zu jedem deterministischen endlichen Automaten M = (Z, E, *, z 0, E) gibt es eine reguläre
Grammatik G = (V, G, P, z 0) mit L(M) = L(G).
Beweis:
Jeder Zustand des Automaten M wird zu einem Nichtterminal der rechtslinearen Grammatik
G, also Z = V. Gibt es einen Übergang *(z, a) = z', gilt z 6 az' 0 P. Falls z' Endzustand ist, kann
man entweder statt z 6 az' nur die Produktion z 6 a hinzunehmen oder zusätzlich z' 6 g.
Dass alles, was M erkennt auch von G produziert werden kann und umgekehrt, dass alles, was
G produziert auch von M erkannt werden kann, ist wegen der Konstruktion von P aus * unmittelbar
klar.
Ê
Allerdings muss an dieser Stelle auch darauf hingewiesen werden, dass die Definition des
endlichen Automaten weder mit dem Z-Diagramm für die Grammatik
S 6 aS | aB
B 6 bC | bB
C 6 aC | a
noch mit dem für die Grammatik
S 6 aB
B 6 aB | bC
C 6 bC | aD
D 6 aD | g
in den Eingangsbeispielen kompatibel ist. Im ersten Fall starten zwei Pfeile mit der Beschriftung
b in B und gehen nach B bzw. C. Hier liegt ein nichtdeterministisches Verhalten vor. Um das zu
modellieren, bräuchten wir eine Verallgemeinerung von *, was die Angabe *(B, b) = B und *(B,
b) = C zum Ausdruck bringen würde. Dies könnte mit der Angabe *(B, b) = {B, C} geschehen.
Im zweiten Fall gibt es einen g-Übergang, der, wie wir noch sehen werden, im allgemeinen
Fall - also nicht gerade vor dem Übergang in den Endzustand - auch einen Nichtdeterminismus
darstellt.
Es wird sich zeigen, dass die genannten Probleme gelöst werden können, wobei wir noch
weitere Definitionen benötigen.
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Definition:
Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA) ist ein 5-Tupel (Z, E, *, s, E). Z , E, s
und E sind - wie beim DEA - die Menge der Zustände, das Eingabealphabet, der Startzustand 9
bzw. die Menge der Endzustände. Die Übergangsfunktion * wird erweitert zu * : Z × E 6 (Z),
wobei (Z) die Potenzmenge von Z ist.
Die erweiterte Übergangsfunktion ** des NEA wird definiert als:
**(z, g) = {z}, für alle z 0 Z
**(z, aw) = ^ z'0*(z, a) **(z', w), für a 0 E, w 0 E*
Der Konfigurationsbegriff überträgt sich direkt.
Das Paar k' = (z', w) heißt Folgekonfiguration von k, i. W. k | k', wenn v = aw mit w 0 E* ist
und z' 0 *(z, a).
Ein Automat M = (Z, E, *, z 0, E) erkennt / akzeptiert ein Wort a 1a 2...a n 0 E*, wenn es eine
Folge von Konfigurationen (z 0, a 1a 2...a n) | (z 1, a 2...a n) | ... | (z n, g) gibt mit z n 0 E und für 0 # i
< n gilt z i+1 0 *(z i, a i+1).
Sei M = (Z, E, *, z 0, E) ein NEA. Dann ist die von M akzeptierte Sprache die Menge L(M) =
{w | w 0 E*, (z 0, w) |* (z, g), z 0 E}.
Ê
Man sieht sofort, dass ein DEA auch als NEA aufgefasst werden kann. Dabei ist nur notwendig
zu erkennen, dass beim DEA die Mächtigkeit der Menge der Nachfolger 1 ist. Also kann
man sagen, dass es zu jedem DEA auch einen äquivalenten NEA gibt. Die Frage ist, ob auch die
Umkehrung gilt.
9 In manchen Büchern wird der NEA über eine Menge von Anfangszuständen definiert.
Dementsprechend muss auch * modifiziert werden.
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Satz (Rabin, Scott 1959):
Zu jedem NEA gibt es einen äquivalenten DEA, also L(NEA) = L(DEA).
Beweisidee:
Sei M = (Z, E, *, s, E) ein NEA. Aus ihm konstruieren wir quasi durch „Parallelverfolgung”
der Nachfolgezustände an den jeweiligen Zuständen den DEA N = ((Z), E, * N, s, E N). Die
Menge der Nachfolgerzustände jeweils zu einem a 0 E ergibt einen einzigen „Sammelzustand”
für N. Die Menge der Endzustände von N sind die Zustandsmengen, die eine Element aus E
beinhalten. Genauer gesagt gilt schließlich
* N(X, a) = ^ z0X *(z, a) für alle X f Z
E N = {Y f Z | Y 1 E … i}
Durch Induktion lässt sich nun zeigen dass für alle w 0 E* gilt: **(s, w) = * N*({s}, w).
Weil die Menge aller möglichen Zustände von N die Menge aller Teilmengen von Z ist, nennt
man diese Konstruktion auch die „Potenzmengenkonstruktion”. Es sei gleich an dieser Stelle
gesagt, dass nicht unbedingt alle Elemente von (Z) im so konstruierten Automaten letztlich
notwendig sind. Dazu siehe auch folgendes Beispiel:
Beispiel:
Betrachte folgenden NEA:
Nichtdeterministischer endlicher Automat
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Ê

Der Automat hat die folgende Tabellendarstellung mit B als Endzustand, was durch Unterstreichung
kenntlich gemacht wurde:
M a b c
A {A, B} {A} {A}
B {B} {A} {A, B}
So ergeben sich z.B. beim Übergang a im Startzustand A die Folgezustände A und B, die im
Sammelfolgezustand [AB] notiert werden. Jeder Zustand dieses Sammelzustands wird untersucht
und seine möglichen Folgezustände hinsichtlich eines Eingabezeichens werden wieder in
einem Sammelzustand zusammengefasst. Schließlich ergibt sich der folgende Automat mit den
Endzuständen [AB] und [B].
N a b c
[A] [AB] [A] [A]
[AB] [AB] [A] [AB]
[B] [B] [A] [AB]
Äquivalenter deterministischer endlicher Automat
Im Zustandsübergangsdiagramm ist gut ersichtlich, dass der schraffierte neue Zustand [B]
vom Startzustand aus nicht erreichbar und somit überflüssig ist. Damit kann man den Automa
ten um diesen Zustand reduzieren.
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Auf den formalen Beweis, dass mit den Konstruktionen tatsächlich ein äquivalenter Automat
entsteht, wird an dieser Stelle verzichtet.
Ê
Den Nichtdeterminismus sollte man nicht als Erschwernis sehen. Er kann sehr hilfreich bei der
Konstruktion von endlichen Automaten sein.
Beispiel:
Betrachten wir die Sprache, die aus allen Wörtern aus {0, 1}* bestehen, die auf 100 enden.
Ein zugehöriger NEA ist schnell konstruiert:
Ihn gleich in der deterministischen Variante hinzuschreiben, ist zweifelsohne aufwendiger. Es
empfiehlt sich, erst den zugehörigen NEA zu konzipieren und ihn dann zum äquivalenten DEA
zu transformieren („separation of concerns”):
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Was noch bleibt, ist die Behandlung von Z-Diagrammen mit g-Übergängen, die z.B. für eine
Grammatik dann zu zeichnen sind, wenn Produktionen der Art A 6 B vorliegen würden. Als Z-
Diagramm bei einem Automaten wäre das so zu interpretieren, dass der Automat quasi „spontan”
in einen anderen Zustand übergeht, ohne dass ein Zeichen aus dem Eingabeband gelesen
wird. Wir benötigen das Konzept des endlichen Automaten mit g-Übergängen später außerdem
noch zum modularen Zusammenschalten von endlichen Automaten. Die g-Übergänge sind in
der Praxis beim Beschreiben von Prozessvorgängen mittels endlicher Automaten ebenfalls recht
brauchbar, analog zur Empfehlung, es erst mit dem NEA bei der Problemmodellierung zu
versuchen und das Ergebnis schließlich deterministisch machen.
Definition:
Ein (nichtdeterministischer) endlicher Automat mit g-Übergängen (NEAg) ist ein 5-Tupel A
= (Z, E, *, s, E). Z, E, s und E sind - wie beim NEA - die Menge der Zustände, das Eingabealphabet,
der Startzustand bzw. die Menge der Endzustände. Die Übergangsfunktion * wird
erweitert zu * : Z × (E c {g}) 6 (Z), wobei (Z) die Potenzmenge von Z ist.
Die erweiterte Übergangsfunktion ** des EAg wird definiert als:
**(z, g) = *(z, g), für z 0 Z
**(z, aw) = ^ z'0*(z, a) **(z', w), für a 0 E c {g}, w 0 E*
Der Konfigurationsbegriff überträgt sich direkt.
Das Paar k' = (z', w) heißt Folgekonfiguration von k, i. W. k | k', wenn v = aw mit w 0 E* ist
und z' 0 *(z, a).
Ein Automat M = (Z, E, *, z 0, E) erkennt / akzeptiert ein Wort a 1a 2...a n 0 E*, wenn es eine
Folge von Konfigurationen (z 0, a 1a 2...a n) | (z 1, a 2...a n) | ... | (z n, g) gibt mit z n 0 E und für 0 # i
< n gilt z i+1 0 *(z i, a i+1).
Sei M = (Z, E, *, z 0, E) ein NEAg. Dann ist die von M akzeptierte Sprache die Menge L(M)
= {w | w 0 E*, (z 0, w) |* (z, g), z 0 E}.
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