( )

1.4. Ableitungsregeln (Theorie)
Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
1.4.1. Ableitungen der Grundfunktionen
Grundfunktion f(x) Ableitung f’(x)
konstante Funktion c 0
Potenzfunktion n ∈ N
x n nx n-1
Reziprokenfunktion
1
x
1
− 2
x
Quadratwurzelfunktion x
1
2 x
Potenzfunktion p ∈ R
x p px p-1
Sinusfunktion sin(x) cos(x)
Cosinusfunktion cos(x) -sin(x)
1 2
Tangensfunktion tan(x) = 1+
tan ( x)
2
cos ( x)
1 2
Cotangensfunktion cot(x) − = −(
1+
cot ( x))
2
sin ( x)
Exponentialfunktion zur
Basis e
e x e x
Exponentialfunktion zu
allgemeiner Basis a
x
a
x⋅ln(a
)
e
a x ⋅
Logarithmusfunktion zu
Basis e
ln(x)
1
x
Logarithmusfunktion zu
allgemeiner Basis a
ln( x)
loga
( x)
=
ln( a)
1
x ⋅ln(
Herleitungen:
1.) f(x)=x 2
1
2.) f(x)=
x
d
dx
d
dx
= ln(a)
2 2
2
2 ⎛ ( x + ∆x)
− x ⎞ ⎛ 2x∆x
+ ( ∆x)
⎞
( x ) = lim⎜
⎟ = lim⎜
⎟ = lim(
2x
+ ∆x)
= 2x
∆x→0
⎜
⎝
∆x
⎟
⎠
∆x→0
⎜
⎝
∆x
⎟
⎠
∆x→0
⎛ 1 1 ⎞
1
⎜ − ⎟
⎛ ⎞
1 1
lim x x x ⎛ − ∆x
⎞ ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ + ∆ ⎟ = lim⎜
⎟ = lim⎜
⎟ = −
0
0
0
2
x ∆x→
⎜ ∆x
⎟ ∆x→
x x ( x x)
x
⎝ ∆ ⋅ ⋅ + ∆ ∆ →
⎝ ⎠
⎠ ⎝ x ⋅(
x + ∆x)
⎠ x
⎜ ⎟
⎝ ⎠
a)

Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
3.) f(x)= x
( ) ( ) ( )
( )
( ) x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
d
x
x
x
x
2
1
1
1
lim
lim
lim
lim
0
0
0
0
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∆
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∆
+
⋅
∆
∆
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∆
+
⋅
∆
+
∆
+
⋅
−
∆
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
−
∆
+
=
→
∆
→
∆
→
∆
→
∆
4.) f(x)=sin(x)
( )
)
cos(
1
)
cos(
2
)
2
sin(
)
2
cos(
lim
)
2
sin(
)
2
cos(
2
lim
)
sin(
)
sin(
lim
)
sin(
1
)
sin(
lim
0
0
2
sin
2
cos
2
)
sin(
)
sin(
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
d
x
x
x
=
⋅
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
∆
⋅
∆
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∆
∆
∆
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
−
∆
+
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
↑
→
∆
→
∆
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
−
↑
→
∆
→ α
α
β
α
β
α
β
α
α
5.) f(x)=ln(x)
( )
x
e
x
s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
d
e
s
s
s
x
x
s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
s
s
1
)
ln(
1
1
1
lim
ln
1
1
1
ln
1
lim
1
1
ln
lim
1
ln
lim
ln
1
lim
)
ln(
)
ln(
lim
)
ln(
1
1
lim
:
0
1
0
1
0
0
0
=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⋅
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
+
⋅
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
+
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆
+
⋅
∆
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∆
−
∆
+
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
↑
∞
→
∆
=
↑
∆
→
∆
⋅
∆
→
∆
∆
→
∆
→
∆
→
∆
∞
→

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Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
1.4.2. Ableitungsregeln
Name Verknüpfung Ableitungsregel
Konstantenregel f(x)=c konstant f’(x)=0
Faktorregel Konstanter Faktor [c·f(x)]’=c·f’(x) mit c konstant
Summenregel Addition [f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)
Produktregel Multiplikation [f(x)·g(x)]’=f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x)
Reziprokenregel Kehrwert
Quotientenregel Division
Kettenregel
Spezialfälle der Kettenregel
Verkettung
f: äussere Funktion
g: innere Funktion
y=f(u) mit u=g(x)
′
⎡ 1 ⎤
⎢ = −
f ( x)
⎥
⎣ ⎦
Äussere Funktion Ableitungsregel
Potenzfunktion ( g(
x)
)
f '(
x)
( ) 2
f ( x)
( ) 2
′
⎡ f ( x)
⎤ f '(
x)
⋅ g(
x)
− f ( x)
⋅ g'(
x)
⎢ =
g(
x)
⎥
⎣ ⎦
g(
x)
[ f o g]
′
= ( f 'og ) ⋅ g'
[ f ( g(
x)
) ] ′
= f '(
g(
x)
) ⋅ g'(
x)
dy
dx
=
dy
du
⋅
du
dx
p [ ] ′ p−1
= p ⋅(
g(
x)
) ⋅ g'(
x)
g ( x)
g ( x)
Exponentialfunktion [ e ] = e ⋅ g'(
x)
Logarithmusfunktion [ ln(
g(
x)
) ]
Inverse Funktion f der inneren
−1
Funktion g(
x)
= f ( x)
′
−1
[ x)
]
′ g′
( x)
=
g(
x)
1
f
′
= −
f '
( 1
( f ( x)
)

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Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
Fortsetzung der Herleitungen
6.) f(x)=cos(x)
7.) f(x)=e x
8.) f(x)=a x
d 2 d
2
(cos ( x))
= ( 1−
sin ( x))
dx
dx
⇔ 2⋅
cos( x)
⋅(cos(
x))'=
0 − 2⋅
sin( x)
⋅(sin(
x))'
⇔ 2⋅
cos( x)
⋅(cos(
x))'=
−2
⋅sin(
x)
⋅cos(
x)
⇔ (cos( x))'=
−sin(
x)
g(x)=ln(x) ist die Umkehrfunktion, also ist
d
dx
x x
d.h. ( e ) = e
dx
d
x
x
ln( a ) d x⋅
ln( a)
x⋅ln(
a)
d
( a ) = ( e ) = ( e ) = e ⋅ ( x ⋅ln(
a)
) = a ⋅ln(
a)
d x
dx
dx
↑
Kettenregel
dx
1
f ′ ( x)
= =
g′
( f ( x)
)
1
1
f ( x)
= f ( x)