6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken
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6 <strong>Anwendungsbeispiel</strong>: <strong>dünner</strong> <strong>Balken</strong><br />
6.1 Modellierung eines elastischen <strong>Balken</strong>s<br />
In Abbildung 6.1 zeigen wir zunächst die Konfiguration. Ein <strong>Balken</strong> mit Länge L = 1 (im<br />
Ruhezustand) ist auf beiden Seiten eingespannt. Unter Einwirkung eines Biegemoments f<br />
wird der <strong>Balken</strong> ausgelenkt. Dabei bezeichnen wir mit y(x) die Deformation der Mittellinie<br />
in jedem Punkt x ∈ [0, 1] des undeformierten <strong>Balken</strong>s. Dabei gilt stets y(0) = y(1) = 0<br />
aufgrund der Einspannung. Die Biegung eines <strong>Balken</strong>s kann in jedem Punkt durch den<br />
Krümmungsradius ρ := ρ(x) gekennzeichnet werden. Der Krümmungsradius ist der Radius<br />
desjenigen Kreises, der in (x, y(x)) die Mittellinie des <strong>Balken</strong>s bei gleicher Krümmung<br />
berührt, siehe Abbildung 6.2.<br />
Die Krümmung erzeugt eine Dehnung ǫ := δe/e, welche die relative Längenänderung einer<br />
<strong>Balken</strong>linie angibt, die radial von der Mittellinie verschoben ist, siehe Abbildung 6.2 Mitte.<br />
Für eine Linie, die um y verschoben ist, gilt mit dem Strahlensatz:<br />
ρ + y<br />
ρ<br />
= e + δe<br />
e<br />
⇔ y<br />
ρ<br />
δe<br />
= . (6.1)<br />
e<br />
Das Hooke’sche Gesetz besagt, dass die Dehnung ǫ eines <strong>Balken</strong>s proportional zur Deformation<br />
y und der einwirkenden Kraft f ist:<br />
ǫ = µfy,<br />
wobei µ ∈ R ein Parameter ist, der die Materialeigenschaften des <strong>Balken</strong>s beschreibt (die<br />
Biegesteifigkeit). Aus dem Zusammenhang zwischen Dehnung und Krümmungsradius (6.1)<br />
folgt:<br />
µf = 1<br />
. (6.2)<br />
ρ<br />
Schließlich werden wir den Krümmungsradius ρ(x) lokal durch die Deformation y(x) ausdrücken.<br />
Siehe hierzu die rechte Skizze in Abbildung 6.2. Zunächst gilt aus geometrischen<br />
Überlegungen einerseits den Anstiegswinkel<br />
sowie für die Bogenlänge:<br />
δs = δα =<br />
<br />
δx 2 + δy 2 = δx<br />
tan(α) = δy<br />
δx ,<br />
<br />
1 + δy2 δα<br />
⇒<br />
δx2 δx =<br />
<br />
1 +<br />
2 δy<br />
.<br />
δx<br />
Wir betrachten alle Änderungen δx sowie δy und δα als infinitesimal. D.h., es gilt<br />
230<br />
δy<br />
δx<br />
= ∂<br />
∂x tan(α) = (1 + tan2 (α)) ∂α<br />
∂x<br />
= (1 + tan 2 (α)) δα<br />
<br />
δx<br />
<br />
2<br />
δy δα<br />
= 1 +<br />
δx δx<br />
δy2 ∂2<br />
=<br />
δx2 ∂2 ∂<br />
y(x) =<br />
x ∂x