4 Differential-Algebraische Gleichungen - Lehrstuhl Numerische ...

4 Differential-Algebraische Gleichungen
Wir haben bisher explizite AWAn vom Typ:
u ′ (t) = f(t, u(t)), u(t 0 ) = u 0 ,
betrachtet. Wir wenden uns nun allgemeinen, insbesondere impliziten AWAn zu:
F(t, u(t), u ′ (t)) = 0, t ≥ t 0 , u(t 0 ) = u 0 .
Die Vektorfunktion F(t, x, η) : D ⊂ R 1+d+d → R d seien Lipschitz-stetig. Spezialfall ist die
linear implizite Gleichung:
M(t, u)u ′ = f(t, u),
mit einer Matrixfunktion M(t, u). Wir gehen davon aus, dass eine Lösung u(t) existiert.
Angenommen entlang dieser Funktion ist die Matrix M(t, u(t)) regulär, dann können wir
das linear implizite System auflösen und erhalten eine explizite AWA:
u ′ (t) = M(t, u(t)) −1 f(t, u).
Dieses Vorgehen lässt sich auch für allgemeine nichtlineare implizite AWAn übertragen, wenn
die Funktion F(t, u(t), u ′ (t)) entlang der Lösung u(t) bezüglich u ′ (t) invertierbar ist.
Uns interessiert hier jedoch der Fall, dass die Matrix (bzw. die Funktion F(t, x, η)) nicht
regulär ist. Oft zerfällt das System in zwei Teile für u 1 : R → R d 1
und u 2 : R → R d 2
gemäß:
[ ] [ ] ′
M1 0 u1
=
0 0 u 2
[ ]
f1 (t, u 1 , u 2 )
,
f 2 (t, u 1 , u 2 )
also in einen differenziellen Teil für u 1 mit regulärem M 1 und einen algebraischen Teil für
u 2 . Man beachte, dass über die rechte Seite f beide Teile koppeln! Wir können ein solches
differential-algebraisches System (DAE) also als eine gewöhnliche Differentialgleichung mit
algebraischer Nebenbedingung auffassen.
Beispiel 4.1 (Vereinfachtes mathematisches Pendel). Wir betrachten eine einfache DAE.
Ein Körper mit normierter Masse m = 1 hängt an einem gespannten Faden der Länge l = 1,
siehe Abbildung 4.1.
Auf den Massepunkt wirkt die (normierte) Schwerkraft ⃗g = (0, −1) T . Zu jedem Zeitpunkt
t ≥ 0 wirkt die effektive Kraft nur in Tangentialrichtung entlang der Pendelbahn, da der
nicht elastische Faden als Scheinkraft eingeht. Der Normalvektor ist zum Zeitpunkt t gegeben
als ⃗n(t) = (x(t), y(t)) T und somit ein Tangentialvektor als ⃗t(t) = (y(t), −x(t)) T . Die effektive
Kraft ist dann F e := ⃗g · ⃗t(t) = x(t).
67

4 Differential-Algebraische Gleichungen
Wir wollen eine Differentialgleichung für die x-Position des Massepunktes aufstellen. Die
Kraft in x-Richtung ist F e
⃗t x = −x(t)y(t). Ohne Reibung und sonstige Einflüsse ergibt für
die x-Beschleunigung:
x ′′ (t) = −x(t)y(t),
unter der Nebenbedingung:
x(t) 2 + y(t) 2 = 1,
da der Massepunkt stets am gespannten Fadens mit Länge 1 hängt. Zum Zeitpunkt t 0 = 0
befindet sich das Pendel an einer Position x(0) = x 0 und y(0) = y 0 auf der Pendelbahn
x 2 0 + y2 0 = 1 in Ruhe, d.h. für die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung gilt x′ (0) =
y ′ (0) = 0.
Zusammen ergibt sich ein differential algebraisches System:
x(0) = x 0 , y(0) = y 0 , x ′ (0) = y ′ (0) = 0, x ′′ (t) = −x(t)y(t), x(t) 2 + y(t) 2 = 1, t ≥ 0.
Für die Größe y(t) liegt kein Differentialzusammenhang vor. Einen solchen können wir jedoch
durch Differentiation der algebraischen Nebenbedingung erreichen:
2x ′ (t)x(t) + 2y ′ (t)y(t) = 0 ⇔ y ′ (t) = − x(t)
y(t) x′ (t),
gültig solange y(t) ≠ 0. Auf diese Weise transformieren wir die DAE in ein System von
Differentialgleichungen 2-ter Ordnung:
x ′′ (t) = x(t)y(t), x(0) = x 0 , x ′ (0) = 0,
y ′ (t) = − x(t)
y(t) x′ (t), y(0) = y 0 .
welches wir durch Einführen einer Hilfsgröße v(t) = x ′ (t) in ein System erster Ordnung
transformieren:
v ′ (t) = x(t)y(t), v(0) = 0,
x ′ (t) = v(t), x(0) = x 0 ,
y ′ (t) = − x(t)
y(t) x′ (t) y(0) = y 0 .
4.1 Theorie von Differential-Algebraischen Gleichungen
Wir betrachten die allgemeine implizite AWA
F(t, u, u ′ ) = 0, t ≥ t 0 , u(t 0 ) = u 0 ,
mit einer Lipschitz-stetigen Funktion F(t, x, η) : R 1+d+d → R d . Wir nehmen an, dass
F η(t, ′ u, u ′ ) entlang einer Lösung u(t) bezüglich u ′ (t) nicht invertierbar ist. Wir können das
System also nicht in eine normale AWA transformieren und es liegt eine Differentialgleichung
mit algebraischer Nebenbedingung vor.
68

4.1 Theorie von Differential-Algebraischen Gleichungen
x 2 + y 2 = 1
(x(t), y(t))
⃗g
F e = (⃗t,⃗g)
Abbildung 4.1: Herleitung einer DAE für das mathematische Pendel.
Beim einführenden Beispiel haben wir gesehen, dass wir durch Differentiation der algebraischen
Nebenbedingung einen differentiellen Zusammenhang aller Lösungskomponenten erhalten
konnten. Wir definieren allgemein:
Definition 4.1 (Index einer DAE). Der differentielle Index der DAE ist die kleinste Zahl
k ∈ N für die der Ableitungsvektor u ′ (t) durch die k + 1 Gleichungen:
d i
dt i F(t, u, u′ ) = 0, i = 0, . . . , k,
eindeutig als System erster Ordnung in Ausdrücken von u(t) bestimmt ist.
Im Beispiel des mathematischen Pendels liegt also eine DAE vom Index 1 vor.
Beispiel 4.2. Wir betrachten die DAE
Mu ′ = u − b,
mit einer Matrix M ∈ R d×d ⎡
⎤⎫
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
M =
. . .. . .. . ⎪⎬
.. .
d
⎢
⎥
⎣0 . . . 0 0 1⎦
⎪⎭
0 . . . 0 0 0
Komponentenweise ergibt sich das System:
u ′ 2(t) = u 1 (t) − b 1 (t),
u ′ 3(t) = u 2 (t) − b 2 (t),
.
u ′ d(t) = u d−1 (t) − b d−2 (t)
0 = u d (t) − b d (t),
(4.1)
69

4 Differential-Algebraische Gleichungen
ohne eine Ableitung der ersten Komponente u 1 (t). Eine Ableitung u ′ 1 (t) erhalten wir durch
Differentiation der ersten Gleichung:
u ′′
2 = u ′ 1 − b ′ 1 ⇔ u ′ 1 = u ′′
2 + b ′ 1, (4.2)
Auf diese Weise werden wir die algebraische Nebenbedingung los, haben jedoch eine AWA
zweiter Ordnung. Die zweite Ableitung von u 2 müssen wir durch erste Ableitungen Ausdrücken.
Hierzu differenzieren wir die zweite Gleichung zweimal und erhalten:
und zusammen mit (4.2)
u ′′′
3 = u ′′
2 − b ′′
2 ⇔ u ′′
2 = u ′′′
3 + b ′′
2,
u ′ 1 = u ′′′
3 + b ′ 1 + b ′′
2.
Dies setzen wir fort, differenzieren also die d-te Gleichung in (4.1) d-mal und erhalten
schließlich für u 1 den differenziellen Zusammenhang:
u ′ 1 = b ′ 1 + b ′′
2 + . . . b (d)
d .
Zusammen mit den ersten d − 1 Gleichungen von (4.1) erhalten wir ein System erster Ordnung.
Die DAE hat den Index d.
Die meisten Anwendungsprobleme sind vom DAE-Charakter und enthalten algebraische Nebenbedingungen.
Beispiel 4.3 (Die Navier-Stokes Gleichungen). Das prominenteste Beispiel sind die Navier-
Stokes Gleichungen für ein inkompressibles Fluid. Sie setzen sich aus Erhaltungsgleichungen
für Impuls und Energie-Erhaltung zusammen. Diese sind Differentialgleichungen vom Typ:
v ′ (t) = Av(t) + N(v(t))v(t) + Bp(t), (4.3)
mit einer Geschwindigkeit v(t) und einem Druck p(t). Aus dem physikalischen Grundprinzip
der Masseerhaltung ergibt sich bei inkompressiblen Fluiden (d.h., die Dichte des Fluids ist
konstant) die algebraische Nebenbedingung von der Form:
B T v(t) = 0. (4.4)
Wir vernachlässigen zunächst die konkrete Form der Matrizen A, N, B und schrieben die
Struktur der DAE vereinfacht mit Funktionen f und g:
v ′ (t) = f(t, v(t), p(t)), g(v(t)) = 0. (4.5)
Für die Größe p(t) existiert kein differentieller Zusammenhang. Durch Differentiation erhalten
wir:
v ′′ = f ′ t(t, v, p) + f ′ v(t, v, p)v ′ + f ′ p(t, v, p)p ′ . (4.6)
Ist f ′ p regulär so können wir diese Gleichung nach p ′ auflösen und erhalten
p ′ = [f ′ p] −1{ v ′′ − f ′ t(t, v, p) − f ′ v(t, v, p)v ′} . (4.7)
70

4.1 Theorie von Differential-Algebraischen Gleichungen
Zweimalige Differentiation der Nebenbedingung liefert:
zusammen mit (4.7) und (4.5)
g ′′ (v)v ′ + g ′ (v)v ′′ = 0 ⇔ v ′′ = −[g ′ (v)] −1 g ′′ (v)v ′ ,
v ′ (t) = f(t, v, p)
p ′ = [f p] ′ −1{ }
− [g ′ (v)] −1 g ′′ (v)f(t, v, p) − f t(t, ′ v, p) − f v(t, ′ v, p)f(t, v, p) .
DAE’s vom Typ (4.5), bei denen die algebraische Variable nicht in der algebraischen Gleichung
vorkommt sind also vom Index 2.
Die Frage nach der Transformierbarkeit in ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen
hängt von der Auflösbarkeit nach den Ableitungen ab. Durch Differentiation der Bedingungen
ist es stets möglich auch Ableitungen der rein algebraischen Variablen zu erzeugen.
Um das resultierende System als eines erster Ordnung zu schreiben müssen oft weitere Ableitungen
hinzugezogen werden. Das wesentliche Problem ist jedoch die Invertierbarkeit der
auftretenden Jacobi-Matrizen. Betrachten wir (4.6), benötigen wir die Regularität der Matrix
f ′ p. Ursprünglich stammt die Funktion f im Beispiel 4.3 vom Ausdruck Av + N(v)v + Bp,
d.h. die Jacobi-Matrix ist gegeben durch f ′ p := B. Die Invertierbarkeit hängt zu allererst
davon ab, ob die Matrix B quadratisch ist. Dies ist jedoch gerade bei den Navier-Stokes
Gleichungen üblicherweise nicht der Fall.
Die Bestimmung des Index einer DAE kann nur im Einzelfall am konkreten Beispiel erfolgen.
Beispiel 4.4. Weiter kommen oft DAE’s vom Typ:
u ′ (t) = f(t, u, v), g(t, u, v) = 0,
vor. Hier taucht die algebraische Variable in der algebraischen Gleichung auf. Differentiation
dieser ergibt:
g ′ (t, u, v) + g ′ x(t, u, v)u ′ + g ′ v(t, u, v)v ′ = 0,
und bei Regularität von g ′ v und Ausnutzung der Differentialgleichung:
Es liegt somit eine DAE vom Index 1 vor.
v ′ (t) = −[g ′ v] −1 (g ′ (t, u, v) − g ′ x(t, u, v)f(t, u, v)).
Satz 4.1 (Existenzsatz für DAE’s). Die Funktionen f(t, x, y) und g(t, x, y) seien ausreichend
differenzierbar. Ferner sei die Gleichung g(t 0 , x 0 , y 0 ) = 0 nach y 0 auflösbar. Ist dann
g ′ y(t, x, y) in einer Umgebung von {t 0 , x 0 , y 0 } regulär, so besitzt die DAE vom Index 1
u ′ (t) = f(t, u, v), g(t, u, v) = 0, t ≥ t 0 , u(t 0 ) = u 0 ,
eine eindeutig bestimmte lokale Lösung {u(t), v(t)}.
71

4 Differential-Algebraische Gleichungen
Beweis: Wir führen die DAE von Index 1 auf eine gewöhnliche Differentialgleichung zurück.
Differentiation ergibt:
g ′ t(t, u, v) + g ′ x(t, u, v)u ′ + g ′ y(t, u, v)v ′ = 0.
Da wir die Regularität von g y ′ angenommen haben ist also unter Ausnutzung der Differentialgleichung:
v ′ = −[g y(t, ′ u, v)] −1( )
g t(t, ′ u, v) + g x(t, ′ u, v)f(t, u, v) .
Den Anfangswert v(t 0 ) = v 0 ermitteln wir durch Lösung der algebraischen Gleichung aus
dem Anfangswert u 0 :
g(t 0 , u 0 , v 0 ) = 0.
Auf diese Anfangswertaufgabe für u(t) und v(t) können wir nun die bekannten Resultate für
AWAn anwenden. Existenz und Eindeutigkeit folgt aus der Differenzierbarkeit (und somit
Lipschitz-Stetigkeit) der beteiligten Funktionen.
□
Bei DAEs von höherem Index können wir entsprechend vorgehen. Wir müssen jeweils die
hinreichende Regularität der transformierten AWA voraussetzen.
4.2 Numerische Methoden für Differential-Algebraische
Gleichungen
Wir diskutieren den Fall einer DAE von Index 1:
u ′ (t) = f(t, u, v), t ∈ [t 0 , t 0 + T], u(t 0 ) = u 0
g(t, u, v) = 0,
und nehmen an, dass die Ableitungsmatrix g ′ y(t, u, v) entlang der Lösung regulär sein soll.
Diese Lösung soll auf ganz I = [t 0 , t 0 +T] existieren. Da die Ableitung g ′ y regulär ist, können
wir die DAE auflösen in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in u(t) und
v(t). Dieses kann dann mit den bekannten Einschritt- und Mehrschritt-Methoden gelöst
werden.
Bei der Wahl eines Verfahrens muss wieder die eventuelle Steifheit der DAE untersucht werden.
Steifheit kann hier auf der einen Seite im differentiellen Teil entstehen, wenn also für
die Jacobi-Matrix des differentiellen Anteils gilt ‖f ′ x‖ ≫ 1. Daneben kann Steifheit durch die
algebraische Nebenbedingung entstehen. Ist die Inverse ‖[g ′ y] −1 ‖ ≫ 1 groß, so ist das resultierende
System auch steif. In beiden Fällen müssen implizite Lösungsverfahren verwendet
werden.
In der bisherigen Situation war es stets eine Voraussetzung, dass wir eine der durch Differentiation
gebildeten Gleichungen nach der algebraischen Variable auflösen können. Oft ist
jedoch die Dimension des algebraischen Lösungsraums weit kleiner als die des differentiellen.
Gerade bei den Navier-Stokes Gleichungen gilt üblicherweise v ∈ R n und p ∈ R m mit
einem m < n. D.h., die Jacobi-Matrix f ′ p(t, v, p) ∈ R n×m ist nicht quadratisch und natürlich
auch nicht invertierbar. Daher werden DAEs in der Praxis oft nicht in Systeme von
Differentialgleichungen transformiert sondern inklusive der Nebenbedingung approximiert.
72

4.2 Numerische Methoden für Differential-Algebraische Gleichungen
Wir betrachten hierzu das lineare DAE-System:
[ ] ( ) [ ] ( ) (
I 0 u ′ (t) A B u(t) f
0 0 v ′ =
+ , (4.8)
(t) C D v(t) g)
mit Matrixfunktionen A ∈ R n×n , B ∈ R n×m , C ∈ R m×n sowie D ∈ R m×m und mit Vektorfunktionen
f ∈ R n und g ∈ R m . Wir können dieses System in die obigen Beispiele einordnen.
Falls D ≡ 0, so liegt eine DAE von Index 2 vor, denn die algebraische Variable v(t) kommt in
der algebraischen Gleichung nicht vor. Falls D ≠ 0 regulär ist, so liegt eine DAE von Index
1 vor.
Zur Lösung wenden wir nun formell das implizite Euler-Verfahren direkt auf das System (4.8)
an:
Dies ist äquivalent zum linearen System:
[
I − hn A n −h n B n
u n − u n−1 = h n A n u n + h n B n v n + h n f n
0 = h n C n u n + h n D n v n + h n g n .
−h n C n
−h n D n
] (
un
v n
)
=
( )
un−1 + h n f n
,
h n g n
welches lösbar ist, wenn die Matrix auf der linken Seite regulär ist.
Wir betrachten im Folgenden den Spezialfall der inkompressiblen Stokes-Gleichungen mit
D ≡ 0 und C = B T . In jedem Schritt muss ein System der Form:
[ ] ( ) ( )
I − hn A −h n B un un−1 + h
h n B T =
n f n
,
0 v n h n g n
gelöst werden. Ein System mit dieser Struktur wird Sattelpunktsystem genannt. Für h n klein
genug muss I − h n A invertierbar sein. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit h n B T [I −
h n A] −1 und ziehen dies von der zweiten ab:
h n B T [I − h n A] −1 Bv n = h n g n − h n B T [I − h n A] −1 (u n−1 + h n f n ).
Das System ist also lösbar, wenn das sogenannte Schur-Komplement
regulär ist.
B T [I − h n A] −1 B,
73

4 Differential-Algebraische Gleichungen
74