4 Differential-Algebraische Gleichungen - Lehrstuhl Numerische ...

4 Differential-Algebraische Gleichungen
Wir wollen eine Differentialgleichung für die x-Position des Massepunktes aufstellen. Die
Kraft in x-Richtung ist F e
⃗t x = −x(t)y(t). Ohne Reibung und sonstige Einflüsse ergibt für
die x-Beschleunigung:
x ′′ (t) = −x(t)y(t),
unter der Nebenbedingung:
x(t) 2 + y(t) 2 = 1,
da der Massepunkt stets am gespannten Fadens mit Länge 1 hängt. Zum Zeitpunkt t 0 = 0
befindet sich das Pendel an einer Position x(0) = x 0 und y(0) = y 0 auf der Pendelbahn
x 2 0 + y2 0 = 1 in Ruhe, d.h. für die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung gilt x′ (0) =
y ′ (0) = 0.
Zusammen ergibt sich ein differential algebraisches System:
x(0) = x 0 , y(0) = y 0 , x ′ (0) = y ′ (0) = 0, x ′′ (t) = −x(t)y(t), x(t) 2 + y(t) 2 = 1, t ≥ 0.
Für die Größe y(t) liegt kein Differentialzusammenhang vor. Einen solchen können wir jedoch
durch Differentiation der algebraischen Nebenbedingung erreichen:
2x ′ (t)x(t) + 2y ′ (t)y(t) = 0 ⇔ y ′ (t) = − x(t)
y(t) x′ (t),
gültig solange y(t) ≠ 0. Auf diese Weise transformieren wir die DAE in ein System von
Differentialgleichungen 2-ter Ordnung:
x ′′ (t) = x(t)y(t), x(0) = x 0 , x ′ (0) = 0,
y ′ (t) = − x(t)
y(t) x′ (t), y(0) = y 0 .
welches wir durch Einführen einer Hilfsgröße v(t) = x ′ (t) in ein System erster Ordnung
transformieren:
v ′ (t) = x(t)y(t), v(0) = 0,
x ′ (t) = v(t), x(0) = x 0 ,
y ′ (t) = − x(t)
y(t) x′ (t) y(0) = y 0 .
4.1 Theorie von Differential-Algebraischen Gleichungen
Wir betrachten die allgemeine implizite AWA
F(t, u, u ′ ) = 0, t ≥ t 0 , u(t 0 ) = u 0 ,
mit einer Lipschitz-stetigen Funktion F(t, x, η) : R 1+d+d → R d . Wir nehmen an, dass
F η(t, ′ u, u ′ ) entlang einer Lösung u(t) bezüglich u ′ (t) nicht invertierbar ist. Wir können das
System also nicht in eine normale AWA transformieren und es liegt eine Differentialgleichung
mit algebraischer Nebenbedingung vor.
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