4 Differential-Algebraische Gleichungen - Lehrstuhl Numerische ...

4 Differential-Algebraische Gleichungen
Beweis: Wir führen die DAE von Index 1 auf eine gewöhnliche Differentialgleichung zurück.
Differentiation ergibt:
g ′ t(t, u, v) + g ′ x(t, u, v)u ′ + g ′ y(t, u, v)v ′ = 0.
Da wir die Regularität von g y ′ angenommen haben ist also unter Ausnutzung der Differentialgleichung:
v ′ = −[g y(t, ′ u, v)] −1( )
g t(t, ′ u, v) + g x(t, ′ u, v)f(t, u, v) .
Den Anfangswert v(t 0 ) = v 0 ermitteln wir durch Lösung der algebraischen Gleichung aus
dem Anfangswert u 0 :
g(t 0 , u 0 , v 0 ) = 0.
Auf diese Anfangswertaufgabe für u(t) und v(t) können wir nun die bekannten Resultate für
AWAn anwenden. Existenz und Eindeutigkeit folgt aus der Differenzierbarkeit (und somit
Lipschitz-Stetigkeit) der beteiligten Funktionen.
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Bei DAEs von höherem Index können wir entsprechend vorgehen. Wir müssen jeweils die
hinreichende Regularität der transformierten AWA voraussetzen.
4.2 Numerische Methoden für Differential-Algebraische
Gleichungen
Wir diskutieren den Fall einer DAE von Index 1:
u ′ (t) = f(t, u, v), t ∈ [t 0 , t 0 + T], u(t 0 ) = u 0
g(t, u, v) = 0,
und nehmen an, dass die Ableitungsmatrix g ′ y(t, u, v) entlang der Lösung regulär sein soll.
Diese Lösung soll auf ganz I = [t 0 , t 0 +T] existieren. Da die Ableitung g ′ y regulär ist, können
wir die DAE auflösen in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen in u(t) und
v(t). Dieses kann dann mit den bekannten Einschritt- und Mehrschritt-Methoden gelöst
werden.
Bei der Wahl eines Verfahrens muss wieder die eventuelle Steifheit der DAE untersucht werden.
Steifheit kann hier auf der einen Seite im differentiellen Teil entstehen, wenn also für
die Jacobi-Matrix des differentiellen Anteils gilt ‖f ′ x‖ ≫ 1. Daneben kann Steifheit durch die
algebraische Nebenbedingung entstehen. Ist die Inverse ‖[g ′ y] −1 ‖ ≫ 1 groß, so ist das resultierende
System auch steif. In beiden Fällen müssen implizite Lösungsverfahren verwendet
werden.
In der bisherigen Situation war es stets eine Voraussetzung, dass wir eine der durch Differentiation
gebildeten Gleichungen nach der algebraischen Variable auflösen können. Oft ist
jedoch die Dimension des algebraischen Lösungsraums weit kleiner als die des differentiellen.
Gerade bei den Navier-Stokes Gleichungen gilt üblicherweise v ∈ R n und p ∈ R m mit
einem m < n. D.h., die Jacobi-Matrix f ′ p(t, v, p) ∈ R n×m ist nicht quadratisch und natürlich
auch nicht invertierbar. Daher werden DAEs in der Praxis oft nicht in Systeme von
Differentialgleichungen transformiert sondern inklusive der Nebenbedingung approximiert.
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