4.4.3 Givens-Rotationen

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
4.4.3 Givens-Rotationen
Das Gram-Schmidt Verfahren basiert auf Projektionen, die Householder-Transformationen
sind Spiegelungen. Schließlich stellen wir kurz eine Methode vor, die auf Rotationen beruht.
Wir definieren:
Definition 4.61 (Givens-Rotation). Unter einer Givens-Rotation im R n versteht man
die Drehung in der durch zwei Einheitsvektoren e i und e j aufgespannten Ebene. Die Transformationsmatrix
ist gegeben durch:
⎛
1
G(i, j, θ) =
⎜
⎝
. ..
1
c
s
. ..
−s
c
1
⎞
, c := cos(θ), s := sin(θ).
. ⎟ .. ⎠
1
Es gilt:
Satz 4.62 (Givens-Rotation). Die Givens-Rotation G(i, j, θ) ist eine orthogonale Matrix
mit det(G) = 1. Es ist G(i, j, θ) −1 = G(i, j, −θ).
Wie die Householder-Transformationen sind die Givens-Rotationen orthogonale Matrizen.
Die Multiplikation von links an eine Matrix, also GA oder einen Vektor, also Gx ändert
nur die i-te und j-te Zeile von A, bzw. von x:
⎛
⎞
a 11 · · · a 1n
. . .. .
a i−1,1 · · · a i−1,n
ca i1 − sa j1 · · · ca in − sa jn
a i+1,1 · · · a i+1,n
G(i, j)A =
. . .. .
.
a j−1,1 · · · a j−1,n
sa i1 + ca j1 · · · sa in + ca jn
a j+1,1 · · · a j+1,n
⎜
⎝
.
. ..
⎟ . ⎠
a n1 · · · a nn
Die QR-Zerlegung auf der Basis von Givens-Rotationen transformiert die Matrix A wieder
schrittweise in eine obere rechte Dreiecksmatrix R. Durch Anwenden einer Givens-Rotation
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4 Numerische Lineare Algebra
kann jedoch nur ein einzelnes Unterdiagonalelement eliminiert werden und nicht eine ganze
Spalte:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
⎜ ⎟
⎝∗ ∗ ∗ ∗⎠ → 0 ∗ ∗ ∗
⎜ ⎟
⎝∗ ∗ ∗ ∗⎠ → 0 ∗ ∗ ∗
⎜ ⎟
⎝0 ∗ ∗ ∗⎠ → 0 ∗ ∗ ∗
⎜ ⎟
⎝0 ∗ ∗ ∗⎠
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
0 ∗ ∗ ∗
→ ⎜ ⎟
⎝0 0 ∗ ∗⎠ → · · · → 0 ∗ ∗ ∗
⎜ ⎟
⎝0 0 ∗ ∗⎠ .
0 ∗ ∗ ∗
0 0 0 ∗
Wir betrachten einen Schritt des Verfahrens. Dazu sei die Matrix A gegeben in der Form:
⎛
⎞
a 11 · · · · · · · · · · · · a 1n
. 0 .. . .. .
. . .. aii .
. 0 a i+1,i+1 .
A =
. . . .
. 0 . .
. . a ji . .. .
⎜
⎟
⎝ . . . . ⎠
0 · · · a ni a n,i+1 · · · a nn .
Wir suchen die Givens-Rotation G(i, j, θ) zur Elimination von a ji . Für GA gilt:
(G(i, j, θ)A) ji = sa ii + ca ji , c := cos(θ), s := sin(θ).
Anstelle den Winkel θ zu finden bestimmen wir gleich die Werte c und s mit dem Ansatz
sa ii + ca ji = 0, c 2 + s 2 = 1 ⇒ c :=
a ii
√
a 2 ii + a2 ji
, s := −
a ji
√
a 2 ii + .
a2 ji
Anwendung von G(i, j, θ) auf A ergibt:
(G(i, j, θ)A) ji = −a jia ii + a ii a ji
√
a 2 ii + a2 ji
= 0, (G(i, j, θ)A) ii = a2 ii + a2 ji
√
a 2 ii + a2 ji
=
√
a 2 ii + a2 ji .
Das Element a ji wird eliminiert. Zur Elimination der i-ten Spalte (unterhalb der Diagonale)
sind (n − i − 1) Givens-Rotationen notwendig. Hieraus lässt sich leicht abschätzen,
dass der Aufwand zum Erstellen der QR-Zerlegung nach Givens großer ist als der Aufwand
bei Verwenden der Householder-Transformationen. Genaue Analyse und effiziente Durchführung
führt zu 4n3
3
+ O(n 2 ) arithmetische Operationen, also dem doppelten Aufwand
verglichen mit der Householder-Methode.
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4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
Die QR-Zerlegung nach Givens gewinnt aber an Bedeutung, wenn die Matrix A bereits
dünn besetzt ist. Nur Unterdiagonalelemente a ji ≠ 0 müssen gezielt eliminiert werden. Bei
sogenannten Hessenberg-Matrizen (das sind rechte obere Dreiecksmatrizen, die zusätzlich
noch eine linke Nebendiagonale besitzen) kann die QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen in
nur O(n 2 ) Operationen durchgeführt werden. Die QR-Zerlegung von Hessenberg-Matrizen
spielt die entscheidende Rolle bei dem wichtigsten Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten
einer Matrix, siehe Abschnitt 4.6.
Beispiel 4.63 (QR-Zerlegung nach Givens). Wie in Beispielen 4.54 und 4.60 sei wieder
die folgende Matrix gegeben:
⎛
⎞
1 1 1
⎜
⎟
A := ⎝0.01 0 0.01⎠
0 0.01 0.01
Wir führen alle Rechnungen mit dreistelliger Genauigkeit durch. Zur Elimination von
a 21 = 0.01 ist:
d.h.
c (1) =
1
√
1 + 0.01 2 ≈ 1,
⎛
⎞
1 0.01 0
G (1) ⎜
⎟
= ⎝−0.01 1 0⎠ ,
0 0 1
0.01
s(1) = −√ ≈ −0.01,
1 + 0.01 2
⎛
A (1) = G (1) ⎜
1 1 1
⎞
⎟
A ≈ ⎝0 −0.01 0 ⎠
0 0.01 0.01
Im zweiten Schritt wählen wir zur Elimination von a (1)
32 = 0.01
c (2) =
−0.01
√
0.01 2 + 0.01 2 ≈ −0.707,
0.01
s(2) = −√ 0.01 2 + 0.01 ≈ −0.707,
2
also
⎛
G (2) ⎜
1 0 0
⎞
⎟
= ⎝0 −0.707 0.707 ⎠ ,
0 −0.707 −0.707
⎛
A (2) = G (2) A (1) ⎜
1 1 1
⎞
⎟
≈ ⎝0 0.0141 0.00707 ⎠ = ˜R.
0 0 −0.00707
Zur Probe berechnen wir zunächst ˜Q := (G (1) ) T (G (2) ) T :
⎛
⎞
1 0.00707 0.00707
⎜
⎟
˜Q = ⎝0.01 −0.707 −0.707⎠ .
0 0.707 −0.707
Die Matrizen ˜Q sowie ˜R sind nahezu identisch zu denen der Householder-Transformation
in Beispiel 4.60. Daher ist auch die Genauigkeit der Approximation entsprechend gut:
⎛
⎞ ⎛
⎞
1.0001 0 0
1 1 1
˜Q T ⎜ ˜Q = ⎝ 0 0.99975 −5 · 10 −5 ⎟ ⎜
⎠ , ˜Q ˜R ≈ ⎝0.01 3 · 10 −5 ⎟
0.01 ⎠ ,
0 −5 · 10 −5 0.99975
0 0.00997 0.009997
mit relativen Fehlern ‖ ˜Q ˜R − A‖ 2 /‖A‖ 2 ≈ 0.00005 sowie ‖ ˜Q T ˜Q − I‖2 ≈ 0.0003.
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