6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken

6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken
In diesem Kapitel fassen wir alle vorherigen Kapitel mit Hilfe eines physikalisch motivierten
Anwendungsbeispiels zusammen. Das Beispiel kann als typischer prototypischer Vertreter
für zahlreiche Anwendungsfälle numerischer Verfahren angesehen werden. Grundsätzlich
sind für den Numeriker dabei die folgenden Schritte durchzuführen, wobei der Schwerpunkt
von Numerik 0 immer auf Diskretisierung und numerischer Lösung liegt.
1. Problem/Aufgabenstellung: Biegung eines dünnen Balkens (z.B. Brücke oder
Membran),
2. Modellierung: Herleitung eines physikalischen Modells (Abschnitt 6.1),
3. Diskretisierung (Abschnitt 6.2) mit Hilfe der Methoden aus Kapitel 3 (Interpolation,
stückweise Interpolation, Differenzenverfahren zur Approximation von Ableitungen),
4. Numerische Lösung (Abschnitt 6.3) des diskretisierten Problems. Bei linearen
Problemen können sofort die Methoden aus Kapitel 4 genutzt werden. Bei nichtlinearen
Problemen wird mittels eines Fixpunktverfahrens als Nullstellenaufgabe geschrieben
(siehe Kapitel 5 bzw. 2) und hierin Lösung der linearen Gleichungen mit
den Methoden aus Kapitel 4,
5. Analyse der Ergebnisse mit Vergleich zu anderen Methoden für dasselbe Problem
oder Abgleich mit Experimenten.
y(x) = 0 y(x)
Abbildung 6.1: Balken im Ruhezustand und rechts durch Kraft f ausgedehnter Balken.
Der Balken ist an den Endpunkten x = 0 sowie x = 1 fixiert und wird
über die Position y(x) der Mittellinie parametrisiert.
f
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6.1 Modellierung eines elastischen Balkens
In Abbildung 6.1 zeigen wir zunächst die Konfiguration. Ein Balken mit Länge L = 1 (im
Ruhezustand) ist auf beiden Seiten eingespannt. Unter Einwirkung eines Biegemoments f
wird der Balken ausgelenkt. Dabei bezeichnen wir mit y(x) die Deformation der Mittellinie
in jedem Punkt x ∈ [0, 1] des undeformierten Balkens. Dabei gilt stets y(0) = y(1) = 0
aufgrund der Einspannung. Die Biegung eines Balkens kann in jedem Punkt durch den
Krümmungsradius ρ := ρ(x) gekennzeichnet werden. Der Krümmungsradius ist der Radius
desjenigen Kreises, der in (x, y(x)) die Mittellinie des Balkens bei gleicher Krümmung
berührt, siehe Abbildung 6.2.
Die Krümmung erzeugt eine Dehnung ǫ := δe/e, welche die relative Längenänderung einer
Balkenlinie angibt, die radial von der Mittellinie verschoben ist, siehe Abbildung 6.2 Mitte.
Für eine Linie, die um y verschoben ist, gilt mit dem Strahlensatz:
ρ + y
ρ
= e + δe
e
⇔ y
ρ
δe
= . (6.1)
e
Das Hooke’sche Gesetz besagt, dass die Dehnung ǫ eines Balkens proportional zur Deformation
y und der einwirkenden Kraft f ist:
ǫ = µfy,
wobei µ ∈ R ein Parameter ist, der die Materialeigenschaften des Balkens beschreibt (die
Biegesteifigkeit). Aus dem Zusammenhang zwischen Dehnung und Krümmungsradius (6.1)
folgt:
µf = 1
. (6.2)
ρ
Schließlich werden wir den Krümmungsradius ρ(x) lokal durch die Deformation y(x) ausdrücken.
Siehe hierzu die rechte Skizze in Abbildung 6.2. Zunächst gilt aus geometrischen
Überlegungen einerseits den Anstiegswinkel
sowie für die Bogenlänge:
δs = δα =
δx 2 + δy 2 = δx
tan(α) = δy
δx ,
1 + δy2 δα
⇒
δx2 δx =
1 +
2 δy
.
δx
Wir betrachten alle Änderungen δx sowie δy und δα als infinitesimal. D.h., es gilt
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δy
δx
= ∂
∂x tan(α) = (1 + tan2 (α)) ∂α
∂x
= (1 + tan 2 (α)) δα
δx
2
δy δα
= 1 +
δx δx
δy2 ∂2
=
δx2 ∂2 ∂
y(x) =
x ∂x

ρ
y
y
ρ
e
e
e
e + δe
α + δα
δy
6.2 Diskretisierung
ρ(x + δx)
Abbildung 6.2: Links: Krümmungsradius ρ als Radius desjenigen Kreises mit der gleichen
Krümmung. Mitte: Herleitung der Dehnung ǫ := δe/e als relative Längenänderung
einer um radial verschobenen Linie. Rechts: Herleitung der
Beziehung zwischen Deformation y(x) und Krümmungsradius ρ(x).
Hiermit können wir δα/δx mit Hilfe der 2. Ableitung ersetzen und mit y ′ := ∂xy sowie
mit y ′′ := ∂xxy gilt für die Krümmung
∆α δα δα/δx
κ := lim = =
∆s→0 ∆s δs δs/δx =
y ′′ (x)
1 + y ′ (x) 2
3 .
und mit dem Zusammenhang zum Krümmungsradius κ := 1
ρ und dem Materialgesetz 6.2
erhalten wir die (nicht-lineare) Differentialgleichung für die Deformation eines die Balkens:
y ′′ (x)
(1 + y ′ (x) 2 ) 3
2
ds
δx
δα
α
ρ(x)
= µf. (6.3)
Für sehr kleine Auslenkungen (dann gilt y ′ (x) ≪ 1) erhalten wir hieraus die linearisierte
Variante:
y ′′ (x) = µf (6.4)
die in vielen Büchern als Laplace-Gleichung (Modellgleichung) bekannt ist.
6.2 Diskretisierung
Wir suchen also eine Funktion y ∈ C 2 ([0, 1]), welche die Differentialgleichung (6.3) in jedem
Punkt x ∈ [0, 1] erfüllt. Diese Differentialgleichung ist für gegebene Kraftverteilung f im
Allgemeinen nicht analytisch lösbar und muss mit numerischen Verfahren approximiert
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werden. Die Lösung y ∈ C 2 ([0, 1]) ist ein unendlich dimensionales Objekt und kann mit
diskreten Methoden nie komplett beschrieben werden. Daher müssen wir in einem ersten
Schritt das Problem diskretisieren, also in ein endlich dimensionales Problem überführen.
Der übliche Zugang hierzu ist, die Funktion y ∈ C 2 ([0, 1]) durch eine Interpolierende yh(x)
zu ersetzen. Hierzu zerlegen wir das Intervall I = [0, 1] zunächst in n + 1 diskrete Punkte
0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1, h = xi − xi−1 = 1
n , xi = ih.
Wir wählen die Zerlegung äquidistant, d.h., je zwei benachbarte Punkte haben den Abstand
h. Zur Interpolation der Funktion y(x) in den Stützstellen yi := y(xi) wählen wir
zwei verschiedene Zugänge aus Kapitel 3. Zunächst wählen wir die globale Lagrange-
Interpolation:
y n ∈ Pn(I) = span{1, x, . . . , x n }.
Zu gegebenen Stützstellenpaaren (xi, y(xi)) ist diese Interpolation stets eindeutig bestimmt,
siehe Satz 3.6. Wir wählen die Lagrange-Darstellung:
y n n
n x − xj
(x) =
. (6.5)
i=0
yiL (n)
i (x), L (n)
i (x) =
xi − xj
j=1,j=i
Alternativ setzen wir yh (x) als stückweise lineare Interpolierende zusammen:
y h
x − xi x − xi−1
(x) = yi−1 + yi. (6.6)
[xi−1,xi] xi−1 − xi xi − xi−1
Im Falle einer hinreichend regulären Lösung y(x) gelten bei exakter Interpolation (d.h.
falls yi = y(xi) exakt bekannt sind) die Abschätzungen
y n − y∞ ≤ y(n+1) ∞
, y
(n + 1)!
h − y∞ ≤ h2
2 y′′ ∞, (6.7)
siehe Satz 3.4 sowie (3.6). Bei der ersten Abschätzung haben wir wegen |x − xj| ≤ 1 ganz
grob abgeschätzt mit:
n
|x − xi| ≤ 1.
i=0
Diese Abschätzung ist sehr pessimistisch, da die meisten Faktoren |x − xj| ≪ 1 sehr viel
kleiner als eins sind.
Die Diskretisierung der Aufgabe besteht nun darin, die Klasse der möglichen Lösungen
zu verringern. Anstelle eines y ∈ C 2 ([0, 1]) lassen wir nur noch Polynome gemäß (6.5)
bzw. (6.6) zu. Das unendlich-dimensionale Problem wird durch ein endlich-dimensionales
Problem ersetzt. Die beiden diskreten Funktionen haben jeweils n+1 Freiheiten, von denen
die Randpunkte y0 = yn = 1 bereits bestimmt sind. Diese n + 1 Freiheitsgrade werden
durch n + 1 Gleichungen in den Stützstellen beschrieben:
y n (0) = 0,
y n′′ (xi)
(1 + y n′ (xi) 2 ) 3
2
= µf(xi), i = 1, . . . , n − 1, y n (1) = 0.
Das Ergebnis ist ein nichtlineares Gleichungssystem mit n + 1 Gleichungen und den n + 1
unbekannten Koeffizienten y0, . . . , yn.
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6.2.1 Diskretes Modell mit globaler Interpolation
6.2 Diskretisierung
Zum Aufstellen des diskreten Gleichungssystems müssen die Ableitungen von y n′ (x) und
y n′′ (x) in den Gitterpunkten xi berechnet werden:
y n′ n
(xi) = yk ∂xL
k=0
(n)
k (xi)
=:a (1) , y
(i,k,n)
n′′ n
(xi) = yk ∂xxL
k=0
(n)
k (xi)
=:a (2) .
(i,k,n)
Die Koeffizienten a (k) (i, k, n), also die k-te Ableitung der k-ten Lagrange-Basisfunktion
im Punkt xi, müssen für jede Kombination von i, k und n berechnet werden. Für kleine
Indizes kann diese Berechnung einfach analytisch geschehen. Für große Indizes muss diese
Berechnung numerisch, z.B. mit der Newton’schen Darstellung aus Abschnitt 3.1.2 erfolgen.
Diese Koeffizienten hängen nicht von der diskreten Funktion y n ab, sondern lediglich
vom Ansatzgrad n und der Position der Stützstellen xi. Mit dieser Schreibweise gilt für
das nichtlineare Gleichungssystem:
y0 = 0,
n
a
k=0
(2) ⎛
n
(i, k, n)yk − µf(xi) ⎝1 + a
k=0
(1) ⎞ 3
2 2
(i, k, n)yk ⎠ = 0, i = 1, . . . , n − 1,
yn = 0.
(6.8)
Mit dem Koeffizientenvektor y ∈ R n+1 und entsprechender vektorwertiger Funktion F n :
R n+1 → R n+1 schreiben wir kurz
F n (y) = 0.
6.2.2 Diskretes Modell mit stückweiser Interpolation
Wir betrachten nun den stückweisen linearen Ansatz y h (x). Im Gegensatz zur globalen
Interpolation y n (x) dürfen wir diese Ansatzfunktion nicht in die Differentialgleichung (6.3)
einsetzen, da y h (x) in den Stützstellen gar nicht differenzierbar ist!
Stattdessen werden wir zunächst die Ableitungen y ′ (x) und y ′′ (x) in den Stützstellen durch
geeignete Differenzenquotienten approximieren. In Abschnitt 3.3 haben wir für die erste
Ableitung zunächst die einseitigen Differenzenquotienten kennengelernt:
y ′ (x) =
y(x + h) − y(x)
h
+ h
2 y′′ (ξ) + O(h 2 ).
Dieser Differenzenquotient ist von erster Ordnung. D.h., bei Halbierung der Gitterweite
ist eine Halbierung des Fehlers zu erwarten. Für den gewählten Diskretisierungsansatz
mit stückweise linearen Funktionen ist diese erste Ordnung nicht optimal. Denn Abschätzung
(6.7) besagt, dass sich der Interpolationsfehler zwischen y h und y quadratisch in h
verhält. Zur besseren Balancierung wählen wir den zentralen Differenzenquotienten:
y ′ (x) =
y(x + h) − y(x − h)
2h
+ h2
6 y′′′ (ξ) + O(h 4 ).
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Zur Approximation der Ableitung in einem Punkt xi ersetzen wir die Funktionswerte y(x)
durch die Koeffizienten der Lagrange-Darstellung:
(y h ) ′ (xi) ≈ yi+1 − yi−1
.
2h
Bei der zweiten Ableitung gehen wir entsprechend vor und approximieren mit dem zentralen
Differenzenquotienten zweiter Ordnung:
(y h ) ′′ (xi) ≈ −2yi + yi+1 + yi−1
h2 .
Wir setzen beide Approximationen in die Differentialgleichung (6.3) ein und erhalten das
nichtlineare Gleichungssystem:
−2yi + yi−1 + yi+1
h 2
− µf(xi)
1 +
yi+1 − yi−1
2h
2 3
2
y0 = 0,
= 0, i = 1, . . . , n − 1,
yn = 0.
(6.9)
Dieses Gleichungssystem können wir wieder kurz mit einer nichtlinearen Funktion F h :
R n+1 → R n+1 schreiben.
6.2.3 Vergleich und Diskussion der beiden Modelle
Beide Diskretisierungsansätze führen jeweils auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit
n + 1 Unbekannten und n + 1 Gleichungen. Der Lösungsvektor y ∈ R n+1 steht jeweils für
Approximationen an die Lösung in den Stützstellen yi ≈ y(xi). Das zweite Modell F h (·)
ist von zweiter Ordnung in der Gitterweite h. Dabei geht die Ordnung gleich zweimal ein:
zunächst kann eine stückweise lineare Funktion höchstens quadratisch in h → 0 gegen y(x)
konvergieren. Auf der anderen Seite beruht die Diskretisierung auf Differenzenquotienten
zweiter Ordnung in h. Das Modell F n ist zunächst eine Approximation von Grad n. Falls
die Lösung y(x) hinreichend regulär ist, so ist durch (6.7) eine weit bessere, nämlich
exponentielle Konvergenz in n zu erwarten.
Das erste Modell hat jedoch zwei wesentliche Nachteile: die Koeffizienten des nichtlinearen
Gleichungssystems (6.8) können nicht direkt angegeben werden, da die Faktoren
a (k) (i, j, n) jeweils (numerisch) berechnet werden müssen. Zweitens kommen in jeder Gleichung
sämtliche Koeffizienten y0, . . . , yn vor. D.h., das Gleichungssystem F n (y) = 0 ist
global gekoppelt: jeder Koeffizient yi steht in direkter Kopplung mit jedem anderen Koeffizienten
yj. Bei Modell F h (y) = 0 koppeln dagegen nur direkt benachbarte Koeffizienten.
Wir kommen auf diesen wesentlichen Punkt bei der Diskussion der Lösungsverfahren zurück.
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