Einführung in die Didaktik der Mathematik - Pbworks
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Einführung in die Didaktik der Mathematik - Pbworks

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<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong><br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Markus Hohenwarter, JKU L<strong>in</strong>z<br />

1

Inhalte<br />

1. Was ist / soll<br />

<strong>Mathematik</strong>didaktik?<br />

2. Warum <strong>Mathematik</strong>unterricht?<br />

3. Lernziele im<br />

<strong>Mathematik</strong>unterricht<br />

4. Lehrpläne <strong>in</strong> Österreich<br />

5. Beispiel: Satzgruppe des<br />

Pythagoras<br />

6. Wie funktioniert Lernen?<br />

7. Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien<br />

8. Begriffe erarbeiten<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong><br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

9. Sachverhalte erarbeiten<br />

10. Algorithmen erarbeiten<br />

11. Anwenden und Modellieren<br />

12. Problemlösen<br />

13. Rahmenbed<strong>in</strong>gungen des MU<br />

14. Unterrichtsplanung<br />

15. Computere<strong>in</strong>satz<br />

am Beispiel DGS<br />

16. Werkzeuge & Materialien<br />

2

Prüfung<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Schriftliche Prüfung über <strong>die</strong> Inhalte <strong>der</strong> Vorlesung<br />

Besten Dank an<br />

Organisatorisches<br />

Prof. Jürgen Roth (Universität Koblenz-Landau) für se<strong>in</strong>e<br />

Vorlesungsunterlagen „Fachdidaktische Grundlagen“, <strong>die</strong> als<br />

Grundlage für <strong>die</strong>se Folien <strong>die</strong>nten<br />

Prof. Karl Fuchs (Universität Salzburg) und Prof. Wolfgang<br />

Schlöglmann (JKU L<strong>in</strong>z) für ihre Vorlesungsunterlagen<br />

„<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>“<br />

Sigbjorn Hals (Norwegen) für se<strong>in</strong>e Beispiele zum Thema<br />

„Problem Solv<strong>in</strong>g“<br />

3

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Was ist / soll <strong>Mathematik</strong>didaktik?<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

4

<strong>Didaktik</strong><br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

gr. didaktikós „lehrhaft“, gr. didáske<strong>in</strong> „lehren“<br />

„Lehre vom Lehren und Lernen“<br />

Im engeren S<strong>in</strong>n: Theorie des Unterrichts<br />

Was ist <strong>Didaktik</strong>?<br />

Im weiteren S<strong>in</strong>n: Theorie und Praxis des Lehrens und Lernens<br />

<strong>Mathematik</strong>-<strong>Didaktik</strong><br />

Fachdidaktik für <strong>Mathematik</strong><br />

Lehre vom Lehren und Lernen mathematischer Inhalte<br />

Für uns: bezogen auf das Unterrichtsfach <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>in</strong> <strong>der</strong> Unter- und Oberstufe (5. – 12. Schulstufe)<br />

5

Unterricht strukturieren<br />

S<strong>in</strong>nvolle Vermittlung von<br />

Inhalten<br />

Zeitmanagement<br />

Welche Inhalte wie lange<br />

Me<strong>die</strong>ne<strong>in</strong>satz<br />

Literaturverarbeitung<br />

Wahl <strong>der</strong> Sozialform<br />

(Gruppenarbeit, …)<br />

Unterrichtsmethoden<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Erwartungen an <strong>die</strong><br />

<strong>Mathematik</strong>didaktik<br />

Inhaltsspezifische<br />

Schülerschwierigkeiten<br />

Altersgerechte Methoden<br />

Praktische Beispiele<br />

Umgang mit <strong>in</strong>dividueller<br />

Begabung<br />

Interessante<br />

Unterrichtsgestaltung (Mathe<br />

soll nicht langweilig se<strong>in</strong>!)<br />

6

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Mathematik</strong><br />

Psychologie<br />

Was ist <strong>Mathematik</strong>didaktik?<br />

Wittmann: Grundfragen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 2<br />

<strong>Mathematik</strong>didaktik<br />

ist <strong>die</strong><br />

Bezugswissenschaft<br />

für <strong>Mathematik</strong>lehrkräfte<br />

Pädagogik<br />

Unterrichtspraxis<br />

Schulwirklichkeit<br />

7

Pädagogik<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bezugswissenschaften<br />

gr. paideia ”Erziehung”, gr. pais “K<strong>in</strong>d”, gr. age<strong>in</strong> “führen”<br />

Bildungswissenschaft und Erziehungswissenschaft<br />

Theorie und Praxis von Bildung und Erziehung<br />

Psychologie<br />

gr. psyche „Seele“, „Gemüt“<br />

empirische Wissenschaft, beschreibt und erklärt:<br />

Erleben, Empf<strong>in</strong>den und Verhalten des Menschen,<br />

se<strong>in</strong>e Entwicklung im Laufe des Lebens und<br />

dafür maßgebliche <strong>in</strong>nere und äußere Ursachen und Bed<strong>in</strong>gungen.<br />

(Wikipedia: Psychologie)<br />

8

<strong>Mathematik</strong>didaktik ist <strong>die</strong> Wissenschaft<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

von <strong>der</strong> Entwicklung praktikabler Kurse<br />

für das Lernen im Bereich <strong>Mathematik</strong> sowie<br />

<strong>der</strong> praktischen Durchführung und<br />

Der empirischen Überprüfung <strong>der</strong> Kurse.<br />

<strong>Mathematik</strong>didaktik ist deskriptiv und normativ<br />

Deskriptiv: sie untersucht und beschreibt den<br />

<strong>Mathematik</strong>unterricht<br />

Deskriptiv & Normativ<br />

Normativ: sie trifft aber auch Aussagen darüber, wie <strong>der</strong><br />

<strong>Mathematik</strong>unterricht gestaltet werden soll<br />

9

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Fragen <strong>der</strong> <strong>Didaktik</strong><br />

Führer: Pädagogik des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1997, S. 14<br />

<strong>Didaktik</strong> ist <strong>der</strong> Versuch, folgende Frage im H<strong>in</strong>blick<br />

auf Lehren, Lernen und Unterricht zu beantworten:<br />

Wer<br />

soll was<br />

mit wem<br />

wie lange,<br />

wie <strong>in</strong>tensiv<br />

und mit welcher Hilfe<br />

zu welchem Zweck<br />

und warum<br />

tun?<br />

10

Was ist <strong>der</strong> Stoff, wie lässt er sich behandeln?<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Elementarmathematik<br />

Stoffdidaktik – Was?<br />

Beispiel: Welche Beweise gibt es für den Satz des Pythagoras?<br />

Analyse von Lernvoraussetzungen<br />

Beispiel: Welche stofflichen Voraussetzungen gibt es für <strong>die</strong><br />

Behandlung des Gleichsetzungsverfahrens für l<strong>in</strong>eare<br />

Gleichungssysteme?<br />

Unterrichtsplanung: In welcher Reihenfolge baut man <strong>die</strong> D<strong>in</strong>ge<br />

auf, was ist unerlässlich, was optional?<br />

Beispiel: Braucht man <strong>die</strong> b<strong>in</strong>omischen Formeln?<br />

Entwicklung von Materialien<br />

Arbeitsblätter, Tests, Schulbücher, Lernsoftware<br />

11

Wie kann man e<strong>in</strong> mathematisches Thema unterrichten?<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wahl von E<strong>in</strong>stiegen, Sozialformen, Lernformen<br />

Stellung von Arbeitsaufträgen, Erklärungen<br />

Ergebnissicherung, Übungsformen<br />

Computere<strong>in</strong>satz<br />

Formen <strong>der</strong> Diagnose und Leistungsbeurteilung<br />

Methodik – Wie?<br />

12

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lehr- und Lernforschung<br />

Was weiß man aus (empirischen) Untersuchungen zum Lernen<br />

von <strong>Mathematik</strong>?<br />

Bed<strong>in</strong>gungsfaktoren für hohe Lernfortschritte<br />

Leistungsstu<strong>die</strong>n (PISA, TIMMS,…)<br />

Schülervorstellungen, Lernschwierigkeiten<br />

Motivationslage, Geschlechterdifferenz<br />

13

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Sag Freund,<br />

was ist denn<br />

Theorie?<br />

Und was<br />

ist Praxis?<br />

Theorie und Praxis<br />

Wittmann: Grundfragen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1981, S. 7<br />

Wenn‘s stimmen soll<br />

und stimmt doch nie!<br />

Frag nicht dumm!<br />

Wenn‘s stimmt und<br />

ke<strong>in</strong>er weiß warum.<br />

14

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Mathematik</strong>didaktische<br />

Forschung<br />

Schoenfeld: Purposes and Methods of Research <strong>in</strong> Mathematics Education, 2000<br />

Research <strong>in</strong> Mathematics education has two ma<strong>in</strong> purposes,<br />

one pure and one applied.<br />

Pure (Basic Science)<br />

To un<strong>der</strong>stand the nature of mathematical th<strong>in</strong>k<strong>in</strong>g, teach<strong>in</strong>g,<br />

and learn<strong>in</strong>g;<br />

Applied (Eng<strong>in</strong>eer<strong>in</strong>g):<br />

To use such un<strong>der</strong>stand<strong>in</strong>gs to improve mathematics<br />

<strong>in</strong>struction.<br />

15

<strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Mathematik</strong> und <strong>Didaktik</strong><br />

Bertrand Russell has def<strong>in</strong>ed mathematics as the science <strong>in</strong> which<br />

we never know what we are talk<strong>in</strong>g about or whether what we are<br />

say<strong>in</strong>g is true. Mathematics has been shown to apply widely <strong>in</strong><br />

many other scientific fields. Hence, most other scientists do not<br />

know what they are talk<strong>in</strong>g about or whether what they are say<strong>in</strong>g<br />

is true.<br />

Joel Cohen, “On the nature of mathematical proofs”<br />

<strong>Mathematik</strong>-<strong>Didaktik</strong><br />

There are no proofs <strong>in</strong> mathematics education.<br />

Henry Pollak<br />

16

Vorsicht bei "What Works?" Fragen und Antworten<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

What Works?<br />

Schoenfeld: Purposes and Methods of Research <strong>in</strong> Mathematics Education, 2000<br />

Suppose one wants to address the question “Do students learn as<br />

much mathematics <strong>in</strong> large classes as <strong>in</strong> small classes?”<br />

One must immediately ask, “What counts as mathematics? How<br />

much weight will be placed (say) on problem solv<strong>in</strong>g, on<br />

model<strong>in</strong>g, or on the ability to communicate mathematically?”<br />

Judgments concern<strong>in</strong>g the effectiveness of one form of <strong>in</strong>struction<br />

over another will depend on the answers to these questions.<br />

To put th<strong>in</strong>gs bluntly, a researcher has to know what to look for<br />

and what to take as evidence of it before be<strong>in</strong>g able to determ<strong>in</strong>e<br />

whether it is there.<br />

17

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Warum <strong>Mathematik</strong>unterricht?<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

18

Aufgaben allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> Schulen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lebensvorbereitung<br />

Stiftung kultureller Kohärenz<br />

Aufbau e<strong>in</strong>es Weltbildes<br />

Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch<br />

För<strong>der</strong>ung von Phantasie und Kreativität<br />

Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft<br />

Stärkung des Schüler-Ichs<br />

Beitrag zur Allgeme<strong>in</strong>bildung<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

19

Arithmetik<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

sicheres Beherrschen<br />

<strong>der</strong> Grundrechenarten<br />

Umgang mit Größen<br />

(und Größenordnungen)<br />

Beherrschen <strong>der</strong> Dezimalbrüche<br />

Prozentrechnung /<br />

Z<strong>in</strong>srechnung<br />

e<strong>in</strong> wenig Schlussrechnung /<br />

„Gefühl“ für Zahlen<br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> den Gebrauch<br />

des Taschenrechners<br />

Lebensvorbereitung<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

Geometrie<br />

elem. Formen- und Körperlehre<br />

visuellen Darstellung von<br />

Größen und -verhältnissen<br />

(Schaubil<strong>der</strong>, Diagramme)<br />

Elementare Stochastik<br />

Daten erfassen, darstellen und<br />

<strong>in</strong>terpretieren<br />

Aussagen über Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten<br />

treffen und verstehen<br />

Umgang<br />

des Lehrers mit Schülern<br />

<strong>der</strong> Schüler untere<strong>in</strong>an<strong>der</strong><br />

mit <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

20

Volksschule und Unterstufe (Sekundarstufe I)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stiftung kultureller Kohärenz<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

Durchschnittliche Eltern müssen verstehen o<strong>der</strong> sich<br />

mit ihren K<strong>in</strong><strong>der</strong>n darüber verständigen können, was<br />

<strong>die</strong>se im Fach <strong>Mathematik</strong> lernen.<br />

Negativbeispiel<br />

Überstürzte <strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>der</strong> “Neuen <strong>Mathematik</strong>“<br />

(Stichwort: Mengenlehre)<br />

21

Umwelterschließung<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Mathematik</strong> als Strukturierungsmittel zum<br />

besseren und tieferen Verstehen <strong>der</strong> Umwelt.<br />

Anwendungsorientierung<br />

<strong>Mathematik</strong> als Mittel zum Problemlösen.<br />

Ausgang vom Problem<br />

Prozess <strong>der</strong> Mathematisierung und Modellierung<br />

Aufbau e<strong>in</strong>es Weltbildes<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

„Der zentrale Beitrag des <strong>Mathematik</strong>unterrichts zum Aufbau e<strong>in</strong>es<br />

Weltbildes liegt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ermöglichung von Erfahrungen, wie<br />

<strong>Mathematik</strong> als Strukturierungsmittel zur Deutung, zum besseren<br />

Verständnis und zur Beherrschung primär nicht-mathematischer<br />

Phänomene herangezogen werden kann.“<br />

22

„Verstehen lehren“ (Wagensche<strong>in</strong>)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

„sokratische Gespräche“<br />

Reflexion<br />

„Sprechen über <strong>Mathematik</strong>“<br />

Was wäre wenn … ?<br />

Propädeutik des mathematischen Modellierens<br />

Anleitung zum kritischen<br />

Vernunftgebrauch<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

Verstehen des<br />

Verstehbaren ist e<strong>in</strong><br />

Menschenrecht.<br />

<strong>Mathematik</strong> ist e<strong>in</strong>e von Menschen gedanklich konstruierte<br />

„Wirklichkeit“, <strong>die</strong> trotzdem ke<strong>in</strong>en willkürlichen Charakter hat,<br />

son<strong>der</strong>n von Notwendigkeiten geprägt ist und „Entdeckungen“<br />

zulässt.<br />

Es gibt e<strong>in</strong>e Übere<strong>in</strong>stimmung zwischen unserem mathematischen<br />

Denken und unseren Alltagserfahrungen.<br />

Nicht alles, was wichtig ist <strong>in</strong> <strong>der</strong> Welt, lässt sich mathematisch<br />

modellieren.<br />

23

Spielerischer Umgang mit <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Konkretes Arbeiten mit Material<br />

„Be-greifen“<br />

Problemlösen<br />

Phantasie und<br />

Kreativität för<strong>der</strong>n<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

Beschäftigung mit Problemaufgaben<br />

(alle<strong>in</strong>, mit Partner, <strong>in</strong> <strong>der</strong> Gruppe)<br />

„Im günstigsten Falle werden Phantasie und Kreativität,<br />

vergleichbar ihrer Rolle <strong>in</strong> künstlerisch-schöpferischen Prozessen,<br />

als schweifend-kontrolliertes Erkunden von Möglichkeiten im<br />

Rahmen selbstgesetzter (strenger) Voraussetzungen ausgeübt.“<br />

24

Verantwortung für an<strong>der</strong>e<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

gegenseitige Hilfe<br />

Beratung und Lösungskontrolle<br />

bei Partner- und Gruppenarbeit<br />

Übernahme von Funktionen e<strong>in</strong>es Tutors<br />

beim b<strong>in</strong>nendifferenzierten Unterricht<br />

Verantwortung für den eigenen Lernprozess<br />

Muss sich im Laufe e<strong>in</strong>es<br />

Schullebens sukzessive steigern.<br />

Entfaltung von Verantwortung<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

25

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stärkung des Schüler-Ichs<br />

Vertrauen <strong>in</strong> <strong>die</strong> Kraft des eigenen Denkens entwickeln<br />

Dies schließt <strong>die</strong> Fähigkeit zur Selbstkritik e<strong>in</strong>!<br />

Wichtig<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />

Erst durch e<strong>in</strong>e Ausbalancierung <strong>der</strong> genannten schulischen<br />

Aufgaben wird Allgeme<strong>in</strong>bildung möglich.<br />

Neben den genannten Aufgaben hat <strong>die</strong> Schule weitere<br />

Funktionen:<br />

Lebensraum, Testfeld für <strong>die</strong> Heranwachsenden<br />

„Aufbewahrende“ Funktion<br />

Funktion <strong>der</strong> „Auslese“<br />

26

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Grun<strong>der</strong>fahrungen (W<strong>in</strong>ter)<br />

W<strong>in</strong>ter : <strong>Mathematik</strong>unterricht und Allgeme<strong>in</strong>bildung. Mitteilungen <strong>der</strong> DMV, Nr. 2 (1996), S. 35-41<br />

Im Internet: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgeme<strong>in</strong>bildung.pdf<br />

<strong>Mathematik</strong>unterricht sollte drei Grun<strong>der</strong>fahrungen ermöglichen:<br />

Ersche<strong>in</strong>ungen <strong>der</strong> Welt um uns, <strong>die</strong> uns alle angehen o<strong>der</strong><br />

angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />

spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,<br />

mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert <strong>in</strong><br />

Sprache, Symbolen, Bil<strong>der</strong>n und Formeln, als geistige<br />

Schöpfungen, als e<strong>in</strong>e deduktiv geordnete Welt eigener Art<br />

kennen zu lernen und zu begreifen,<br />

<strong>in</strong> <strong>der</strong> Ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong>setzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten,<br />

<strong>die</strong> über <strong>die</strong> <strong>Mathematik</strong> h<strong>in</strong>aus gehen, (heuristische Fähigkeiten)<br />

zu erwerben.<br />

27

allgeme<strong>in</strong>bildendes Fach<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Entfaltung <strong>der</strong> Persönlichkeit<br />

Umwelterschließung<br />

Teilhabe an <strong>der</strong> Gesellschaft<br />

Vermittlung von Normen und<br />

Werten<br />

<strong>Mathematik</strong> als …<br />

Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sek. Spektrum, 2001, S. 10ff<br />

qualifizierendes Fach<br />

Berufsreife<br />

Hochschulreife<br />

authentisches Fach<br />

Was ist <strong>Mathematik</strong>?<br />

Wie entsteht <strong>Mathematik</strong>?<br />

Was kann man mit <strong>Mathematik</strong><br />

anfangen?<br />

28

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lernziele im <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

29

Allgeme<strong>in</strong>e Ziele des <strong>Mathematik</strong>unterrichts<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Allgeme<strong>in</strong>e Ziele<br />

För<strong>der</strong>ung des wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens<br />

För<strong>der</strong>ung des logischen Denkens<br />

Bigalke In: Wittmann: Grundfragen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1981, S. 2<br />

För<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Bereitschaft und Fähigkeit zum Argumentieren,<br />

Kritisieren und Urteilen<br />

För<strong>der</strong>ung geistiger Initiative, Phantasie und Kreativität<br />

För<strong>der</strong>ung des Anschauungsvermögens<br />

För<strong>der</strong>ung des sprachlichen Ausdrucksvermögens<br />

För<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Fähigkeit, <strong>Mathematik</strong> anwenden zu können.<br />

30

Lernziele<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Unterrichtsfach<br />

<strong>Mathematik</strong><br />

Inhalte des<br />

<strong>Mathematik</strong>unterrichts<br />

Lernzielhierarchie<br />

Lehrpläne<br />

Standards<br />

Allg. Ziele<br />

Grobziele<br />

Fe<strong>in</strong>ziele<br />

Lehrer<strong>in</strong><br />

Lehrer<br />

31

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

kognitive Lernziele<br />

affektive Lernziele<br />

psychomotorische Lernziele<br />

Taxonomie <strong>der</strong> Lernziele<br />

nach Bloom<br />

Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff<br />

kognitiv (lat.)<br />

<strong>die</strong> Erkenntnis betreffend<br />

affektiv (lat.)<br />

das Gefühl betreffend<br />

psychomotorisch (lat.)<br />

vom Gehirn gesteuerte<br />

Bewegungen betreffend<br />

Taxonomie [griechisch táxis „(An)ordnung“ und nómos „Gesetz“]<br />

32

K<br />

O<br />

M<br />

P<br />

L<br />

E<br />

X<br />

I<br />

T<br />

Ä<br />

T<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Kognitive Lernziele Bloom<br />

Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff<br />

Wissen<br />

Kenntnis von Fakten o<strong>der</strong> Verfahren<br />

Verstehen<br />

Informationen aufnehmen, übertragen,<br />

<strong>in</strong>terpretieren und verallgeme<strong>in</strong>ern<br />

Anwenden<br />

allgeme<strong>in</strong>e Regeln und Verfahren<br />

<strong>in</strong> speziellen Situationen anwenden<br />

Analyse<br />

Informationen so <strong>in</strong> Teile zerlegen, dass<br />

Beziehungen und Strukturen deutlich werden<br />

Synthese<br />

Teile zu e<strong>in</strong>em neuen Ganzen zusammensetzen<br />

Bewertung<br />

Materialien und Methoden beurteilen<br />

33

Kriterien<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Operationalisierung<br />

von Lernzielen (Mager)<br />

E<strong>in</strong>deutige Beschreibung des angestrebten Verhaltens<br />

Angabe <strong>der</strong> Voraussetzungen und Bed<strong>in</strong>gungen<br />

unter denen das Verhalten gezeigt werden muss<br />

Angabe e<strong>in</strong>es Beurteilungsmaßstabes<br />

für <strong>die</strong> Güte des Endverhaltens<br />

(Insbeson<strong>der</strong>e Angabe, e<strong>in</strong>es noch akzeptablen Verhaltens.)<br />

Anliegen<br />

Lernerfolg objektiv überprüfbar machen<br />

Lernenden offen legen, was sie nach<br />

dem Unterricht können sollen<br />

34

Vorteile<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wirkt dem Missverständnis<br />

von Lernenden entgegen,<br />

dass Inhalte mehr o<strong>der</strong> weniger<br />

auswendig gelernt werden<br />

sollen.<br />

Schüler lernen effektiver,<br />

wenn sie wissen, was sie<br />

lernen sollen.<br />

Der Lehrer kann besser<br />

zwischen leistungsstärkeren<br />

und leistungsschwächeren<br />

Schülern differenzieren.<br />

Gerade wichtige Lernziele<br />

sollten genau spezifiziert<br />

werden.<br />

Operationalisierung<br />

von Lernzielen (Mager)<br />

Nachteile<br />

Präzisierte (vorgegebene)<br />

Lernziele schränken <strong>die</strong><br />

Lehrfreiheit des Unterrichtenden<br />

erheblich e<strong>in</strong>.<br />

Energisch zielbestimmter<br />

Unterricht nimmt den Lernenden<br />

<strong>die</strong> Mitbestimmungsmöglichkeit.<br />

Das leicht prüfbare ist oft auch<br />

das weniger wichtige Wissen<br />

und Können.<br />

Beobachtbares wird zu stark<br />

betont � Gefahr an<strong>der</strong>e nicht<br />

beobachtbare Ziele aus den<br />

Augen zu verlieren.<br />

35

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lehrpläne <strong>in</strong> Österreich<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

36

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lehrplanstruktur<br />

Allgeme<strong>in</strong>bildende (AHS) und berufsbildende (BHS) höhere Schulen<br />

AHS: Gymnasium, Realgymnasium, Oberstufenrealgym. (ORG)<br />

BHS: Berufsbildende Oberstufenschulen wie HAK, HTL, etc.<br />

Struktur <strong>der</strong> Lehrpläne<br />

1. Allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel (vgl. „Warum <strong>Mathematik</strong>unterricht“)<br />

2. Allgeme<strong>in</strong>e didaktische Grundsätze<br />

3. Schul- und Unterrichtsplanung<br />

4. Stundentafel<br />

5. Lehrpläne <strong>der</strong> e<strong>in</strong>zelnen Unterrichtsgegenstände<br />

Quellen<br />

Unterrichtsm<strong>in</strong>isterium: www.bmukk.gv.at<br />

Bildung und Schulen, Unterricht und Schule, Lehrpläne<br />

AHS und HS: www.geme<strong>in</strong>samlernen.at<br />

37

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Teil 1: Allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel<br />

HTL Elektrotechnik<br />

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />

38

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Teil 2: Didaktische Grundsätze<br />

http://www.geme<strong>in</strong>samlernen.at/<br />

Der Lehrplan gibt Ziele vor. Im S<strong>in</strong>ne ihrer eigenständigen und<br />

verantwortlichen Unterrichts- und Erziehungsarbeit haben <strong>die</strong><br />

Lehrer<strong>in</strong>nen und Lehrer ...<br />

<strong>die</strong> Auswahl <strong>der</strong> Unterrichts<strong>in</strong>halte und Unterrichtsverfahren zur<br />

Erreichung <strong>die</strong>ser Ziele vorzunehmen,<br />

im Unterricht Lernsituationen zu gestalten und Lernprozesse<br />

e<strong>in</strong>zuleiten und zu unterstützen,<br />

vielfältige Zugänge zum Wissen zu eröffnen und auch selbst<br />

Informationen anzubieten,<br />

Gelegenheiten zu schaffen, Können zu entwickeln und<br />

anzuwenden sowie Erfahrungen und E<strong>in</strong>drücke zu gew<strong>in</strong>nen.<br />

39

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Didaktische Grundsätze<br />

Bei <strong>der</strong> Planung und Durchführung des Unterrichts s<strong>in</strong>d<br />

<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e folgende Grundsätze zu beachten ...<br />

Anknüpfen an <strong>die</strong> Vorkenntnisse und Vorerfahrungen <strong>der</strong><br />

Schüler<strong>in</strong>nen und Schüler<br />

Interkulturelles Lernen<br />

Integration<br />

För<strong>der</strong>ung durch Differenzierung und Individualisierung<br />

För<strong>der</strong>unterricht<br />

Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung<br />

Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt<br />

Bewusste Koedukation und Geschlechtssensible Pädagogik<br />

Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen;<br />

Leistungsbeurteilung<br />

http://www.geme<strong>in</strong>samlernen.at/<br />

40

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Individualisierung<br />

För<strong>der</strong>unterricht<br />

För<strong>der</strong>ung durch Differenzierung und Individualisierung<br />

Differenzierte Lernangebote und Zugänge<br />

Individuelle Arbeitszeit<br />

Unterschiedlicher Betreuungsbedarf<br />

Stärken und Schwächen bewusst machen<br />

Sozialformen: E<strong>in</strong>zel-, Partner-, Gruppenarbeit<br />

Offenes Lernen, Wahlmöglichkeiten<br />

För<strong>der</strong>unterricht<br />

Zusätzliches Lernangebot für schwache Schüler<br />

Wie<strong>der</strong>holung und E<strong>in</strong>übung des Stoffes<br />

Ke<strong>in</strong>e Erweiterung, Ergänzung o<strong>der</strong> Vertiefung!<br />

41

Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Projektartige und offene Lernformen<br />

Selbstständige Formen des Lernens<br />

Kritisches und eigenverantwortliches Denken<br />

Schüler sollen sich selbst e<strong>in</strong>schätzen lernen<br />

Vermittlung von Lerntechniken<br />

Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt<br />

Zeit- und lebensnahe Themen<br />

Begegnungen mit Fachleuten, außerschulische Lernorte<br />

Selbsttätigkeit<br />

Lebenswelt<br />

42

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Sicherung des<br />

Unterrichtsertrages<br />

Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen<br />

Außerschulische „Nachhilfe“ sollte nicht notwendig se<strong>in</strong><br />

Zusammenhang zwischen Neuem und bereits Gelerntem<br />

Hausübungen<br />

Detaillierte Rückmeldung über erreichte Leistung<br />

Leistungsbeurteilung<br />

Gesamtkonzept <strong>der</strong> Rückmeldung und Leistungsfeststellung muss<br />

Schülern und Erziehungsberechtigten bekannt gegeben werden<br />

Mehr zur Leistungsfeststellung im Rahmen <strong>der</strong> Übungsphase des<br />

2. Stu<strong>die</strong>nabschnitts <strong>in</strong> den Lehrveranstaltungen „PS Unterrichten<br />

und Beurteilen“ und „SE Schulpraktisches Sem<strong>in</strong>ar II“<br />

43

Schul- und Unterrichtsplanung<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Unterrichtsplanung <strong>der</strong> Lehrer<strong>in</strong>nen und Lehrer<br />

Kern- und Erweiterungsbereich<br />

Schulautonome Lehrplanbestimmungen<br />

Leistungsfeststellung<br />

Teil 3: Schul- und<br />

Unterrichtsplanung<br />

Fächerverb<strong>in</strong>den<strong>der</strong> und fächerübergreifen<strong>der</strong> Unterricht<br />

Gestaltung <strong>der</strong> Nahtstellen<br />

Öffnung <strong>der</strong> Schule<br />

Betreuungsplan für ganztägige Schulformen<br />

44

Fächerübergreifen<strong>der</strong> Unterricht<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Erwünscht aber <strong>in</strong> Praxis oft schwierig<br />

Zeit: zwei Lehrpersonen notwendig<br />

Richtiger Kollege für Zusammenarbeit<br />

Außnahme: Personalunion<br />

Fächerübergreifen<strong>der</strong> Unterricht<br />

Nahtstellen<br />

Team Teach<strong>in</strong>g, z.B. bei Kooperation mit neuer Mittelschule<br />

Gestaltung <strong>der</strong> Nahtstellen<br />

Übergang von Volksschule <strong>in</strong>s Gymnasium (Klassenvorstand)<br />

Leistungsfeststellung erst nach E<strong>in</strong>gewöhnungsphase<br />

Übertritt von 4. Klasse Gymnasium <strong>in</strong> BORG, HTL, HAK, usw.<br />

45

Unterrichtsplanung <strong>der</strong> Lehrer<strong>in</strong>nen und Lehrer<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Aufgrund des Lehrplans und schulautonomer<br />

Lehrplanbestimmungen<br />

Kernbereich und allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel verb<strong>in</strong>dlich<br />

Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend<br />

Unterrichtsplanung umfasst<br />

Lang-, mittel- und kurzfristige Planung<br />

Gewichtung <strong>der</strong> Ziele und Inhalte<br />

Methoden<br />

Lehrmittel und Me<strong>die</strong>n<br />

Mehr dazu im Kapitel „Unterrichtsplanung“<br />

Unterrichtsplanung<br />

46

Kern- und Erweiterungsbereich<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>in</strong> <strong>der</strong> AHS Unterstufe, also 5.-8. Schulstufe<br />

Kernbereich<br />

2/3 <strong>der</strong> Unterrichtszeit für Kernbereich<br />

Kern- und Erweiterungsbereich<br />

Inhalte festgelegt im Abschnitt „Lehrstoff“ des AHS Lehrplans<br />

Kernbereich und allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel verb<strong>in</strong>dlich<br />

Erweiterungsbereich<br />

1/3 <strong>der</strong> Unterrichtszeit für Erweiterungsbereich<br />

Schwerpunkte <strong>der</strong> Schule und/o<strong>der</strong> <strong>der</strong> Lehrkraft<br />

Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend<br />

47

Gymnasium Unterstufe<br />

Schulautonome<br />

Lehrplanbestimmungen<br />

13-18 Wochenstunden<br />

M<strong>in</strong>. 13 Stunden<br />

4, 3, 3, 3<br />

Ke<strong>in</strong>e Schulautonomie:<br />

14 Stunden<br />

4, 4, 3, 3<br />

Max. 18 Stunden<br />

5, 5, 4, 4<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Teil 4: Stundentafel<br />

Gymnasium Unterstufe<br />

48

Realgymnasium<br />

Schulautonome<br />

Lehrplanbestimmungen<br />

Gesamtstundenrahmen<br />

14-20 Wochenstunden<br />

M<strong>in</strong>. 14 Stunden<br />

4, 4, 3, 3<br />

Max. 20 Stunden<br />

5, 5, 5, 5<br />

Wirtschaftskundliches<br />

Realgymnasium<br />

13-18 Wochenstunden<br />

wie AHS Unterstufe<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stundentafel<br />

Realgymnasium Unterstufe<br />

49

AHS Oberstufe<br />

M<strong>in</strong>d. 2 Wochenstunden<br />

pro Klasse<br />

Gymnasium Oberstufe<br />

M<strong>in</strong>d. 11 Stunden<br />

Klassisch 12: 3, 3, 3, 3<br />

Realgymnasium Oberstufe<br />

M<strong>in</strong>d. 13 Stunden<br />

Klassisch 14: 4, 4, 3, 3<br />

ORG Oberstufe<br />

M<strong>in</strong>d. 12-13 Stunden<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gymansium Oberstufe<br />

Stundentafel<br />

AHS Oberstufe<br />

50

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stundentafel<br />

HTL Elektrotechnik<br />

http://www.htl.at/de/home/lehrplaene.html<br />

51

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stundentafel HAK<br />

Handelsakademie<br />

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />

52

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stundentafel BAKIP<br />

K<strong>in</strong><strong>der</strong>gartenpädagogik<br />

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />

53

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stundentafeln<br />

Unterstufe: 5.-8. Schulstufe Gesamtstunden <strong>Mathematik</strong><br />

Gymnasium Unterstufe 13 – 18<br />

Realgymnasium Unterstufe 14 – 20<br />

Oberstufe: 9.-13. Schulstufe Gesamtstunden <strong>Mathematik</strong><br />

Gymnasium Oberstufe M<strong>in</strong>d. 11<br />

Realgymnasium Oberstufe M<strong>in</strong>d. 13<br />

HTL Elektrotechnik 16<br />

HAK 10<br />

BAKIP 8<br />

54

Struktur<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bildungs- und Lehraufgabe<br />

Didaktische Grundsätze<br />

Lehrstoff<br />

AHS Unterstufe<br />

Fachlehrplan <strong>Mathematik</strong><br />

Lehrstoffe<strong>in</strong>teilung für alle Klassen <strong>der</strong> AHS Unterstufe<br />

Arbeiten mit Zahlen und Maßen<br />

Arbeiten mit Variablen<br />

Arbeiten mit Figuren und Körpern<br />

Arbeiten mit Modellen, Statistik<br />

AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/<br />

55

Mathematische Grundtätigkeiten<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

AHS Unterstufe<br />

Bildungs- und Lehraufgabe<br />

Produktives Arbeiten: Analysieren, Verallgeme<strong>in</strong>ern, Anwenden<br />

Argumentieren: Def<strong>in</strong>ieren, Beweisen<br />

Kritisches Denken: Überprüfen von Vermutungen<br />

Darstellen und Interpretieren<br />

Beitrag zu den Aufgabenbereichen <strong>der</strong> Schule<br />

AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/<br />

Ersche<strong>in</strong>ungen <strong>der</strong> Welt um uns <strong>in</strong> fachbezogener Art<br />

wahrzunehmen und zu verstehen<br />

Problemlösefähigkeiten zu erwerben, <strong>die</strong> über <strong>die</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

h<strong>in</strong>ausgehen<br />

56

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

AHS Unterstufe<br />

Didaktische Grundsätze<br />

Didaktische Grundsätze für <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> AHS Unterstufe<br />

Situationsbezogenes und verständnisvolles Lernen<br />

Unterrichtsformen<br />

Motivation<br />

Unterrichten <strong>in</strong> Phasen, Vernetzung, Querverb<strong>in</strong>dungen<br />

Individualisierung und Differenzierung<br />

Lesen mathematischer Texte, Fachsprache<br />

Aufgabenstellungen<br />

Arbeiten mit dem Taschenrechner und dem Computer<br />

Historische Betrachtungen<br />

AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/<br />

57

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Pr<strong>in</strong>zip<br />

Spiralpr<strong>in</strong>zip<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bildung und <strong>Mathematik</strong>, Beltz, 1996, S. 173-182<br />

des vorwegnehmenden Lernens<br />

<strong>der</strong> Fortsetzbarkeit<br />

Zentrale Ideen des MU<br />

Zahl<br />

Messen<br />

funktionaler<br />

Zusammenhang<br />

räumliches<br />

Strukturieren<br />

Daten und Zufall<br />

Algorithmus<br />

mathematisches<br />

Modellieren<br />

58

1<br />

2<br />

3<br />

4<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

AHS Unterstufe Lehrstoff<br />

Kernbereich<br />

Zahlen & Maße Variablen Figuren & Körper Modelle & Statistik<br />

• Natürliche Zahlen<br />

• Brüche & Dezimalzahlen<br />

• Umwandeln von Maßen<br />

• Teilbarkeitsregeln<br />

• Bruchrechnen<br />

• Prozentrechnen<br />

• Negative Zahlen,<br />

Zahlengerade<br />

• Koord<strong>in</strong>atensystem<br />

• Potenzschreibweise<br />

• Irrationale Zahlen<br />

• Genauigkeit<br />

• E<strong>in</strong>fache l<strong>in</strong>eare Gleichungen<br />

und Formeln<br />

• L<strong>in</strong>eare Gleichung mit e<strong>in</strong>er<br />

Variablen lösen<br />

• L<strong>in</strong>eare Gleichungen mit e<strong>in</strong>er<br />

Variablen<br />

• Graphische Darstellungen<br />

• L<strong>in</strong>eare Gleichungssysteme<br />

mit zwei Variablen<br />

• Funktionale Abhängigkeiten<br />

und Intuitiver Funktionsbegriff<br />

AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/<br />

• Rechteck (Fläche, Umfang)<br />

• Qua<strong>der</strong> (Netz, Volumen,<br />

Oberfläche)<br />

• Kreis, W<strong>in</strong>kel zeichnen<br />

• Dreiecke, Vierecke und<br />

regelmäßige Vielecke<br />

konstruieren<br />

• Kongruente Figuren<br />

• Strecken- und<br />

W<strong>in</strong>kelsymmetrale<br />

• Ähnliche Figuren<br />

• Fläche von Dreiecken,<br />

Vierecken<br />

• Prisma, Pyramide<br />

(Volumen, Oberfläche)<br />

• Pythagoras <strong>in</strong> Ebene<br />

• Pythagoras im Raum<br />

• Kreis: Umfang und Fläche<br />

• Kreisbogen<br />

• Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>, Kegel, Kugel<br />

• Direkte Proportionalität<br />

(Zeit-Weg)<br />

• Tabellen für Daten<br />

• Indirekte Proportionalität<br />

• Relative Häufigkeiten<br />

• Graphische Darstellungen<br />

• L<strong>in</strong>eares Wachstum<br />

• Diagramme<br />

• Mittelwert, Median, Quartil<br />

• Streudiagramm<br />

59

Mathematische Kompetenzen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

AHS Oberstufe<br />

Bildungs- und Lehraufgabe<br />

äußern sich im Ausführen von mathematischen Aktivitäten:<br />

Darstellend – <strong>in</strong>terpretierendes Arbeiten<br />

Übersetzung zwischen Alltagssprache und Sprache <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Innermathematischer Wechsel von Darstellungsformen<br />

Formal – operatives Arbeiten<br />

Algorithmen, Rechenmethoden<br />

Experimentell – heuristisches Arbeiten<br />

Suchen nach Gesetzmäßigkeiten, Variation von Parametern<br />

Aufstellen von <strong>in</strong>duktiv gewonnenen Vermutungen<br />

Kritisch – argumentatives Arbeiten<br />

Argumentieren, Begründen<br />

Beweisen<br />

AHS Oberstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2004, http://www.bmukk.gv.at/<br />

60

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

AHS Oberstufe<br />

Didaktische Grundsätze<br />

Didaktische Grundsätze für <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> AHS Oberstufe<br />

Lernen <strong>in</strong> anwendungsorientierten Kontexten<br />

Lernen <strong>in</strong> Phasen<br />

Heuristische Phase: anschaulich, <strong>in</strong>tuitiv<br />

Exaktifizierende Phase: vertiefend, verallgeme<strong>in</strong>ernd<br />

Lernen im sozialen Umfeld<br />

Lernen unter vielfältigen Aspekten<br />

Lernen mit <strong>in</strong>struktionaler Unterstützung<br />

Lernen mit medialer Unterstützung<br />

Bücher, Zeitschriften, elektronische Me<strong>die</strong>n, Internet<br />

Lernen mit technologischer Unterstützung<br />

Computeralgebra-Systeme<br />

Dynamische Geometrie-Software<br />

Tabellenkalkulation<br />

AHS Oberstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2004, http://www.bmukk.gv.at/<br />

61

Lehrstoff verb<strong>in</strong>dlich<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

AHS Oberstufe<br />

Lehrstoff<br />

Kursive Inhalte nur bei 4+ Stunden <strong>Mathematik</strong> verpflichtend<br />

Stundentafeln <strong>Mathematik</strong><br />

AHS Oberstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2004, http://www.bmukk.gv.at/<br />

Gymnasium: m<strong>in</strong>d. 11 Stunden, klassisch: 3, 3, 3, 3<br />

Realgymnasium: m<strong>in</strong>d. 13 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3<br />

5. Klasse 6. Klasse 7. Klasse 8. Klasse<br />

• Zahlen und<br />

Rechengesetze<br />

• Gleichungen und<br />

Gleichungssysteme (2)<br />

• Funktionen<br />

• Trigonometrie<br />

• Vektoren und<br />

analytische Geometrie<br />

<strong>der</strong> Ebene<br />

• Potenzen, Wurzeln,<br />

Logarithmen<br />

• Folgen<br />

• Gleichungen,<br />

Ungleichungen,<br />

Gleichungssysteme (3)<br />

• Reelle Funktionen<br />

• Analytische Geometrie des<br />

Raumes<br />

• Stochastik (W-keiten)<br />

• Algebraische<br />

Gleichungen und<br />

komplexe Zahlen<br />

• Differentialrechnung<br />

• Nichtl<strong>in</strong>eare analytische<br />

Geometrie<br />

(Kegelschnitte)<br />

• Stochastik (Verteilungen)<br />

• Integralrechnung<br />

• Dynamische Prozesse<br />

• Stochastik (Hypothesen)<br />

62

Struktur<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bildungs- und Lehraufgabe<br />

I. und II. Jahrgang für alle HTL gleich<br />

HTL<br />

Angewandte <strong>Mathematik</strong><br />

III. – V. Jahrgang speziell für jeweilige Fachrichtung<br />

I. Jahrgang II. Jahrgang<br />

Algebra: Terme, Vektoren, l<strong>in</strong>eare<br />

Gleichungen, Ungleichungen<br />

Numerisches Rechnen:<br />

Zahlendarstellung, Abschätzen von<br />

Ergebnissen<br />

Funktionen: Interpolation,<br />

direkte/<strong>in</strong>direkte Proportionalität<br />

Geometrie: Planimetrie, Stereometrie,<br />

Trigonometrie<br />

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />

Algebra und Geometrie: Vektoren, quadratische<br />

Gleichungen, Exponentialgleichungen, Komplexe<br />

Zahlen, Trigonometrie<br />

Funktionen: quadratische Funktionen, Potenz- und<br />

Wurzelfunktionen, Exponential- und logarithmische<br />

Funktionen, trigon. Summensätze<br />

Wirtschaftsmathematik: Z<strong>in</strong>sesz<strong>in</strong>srechnung,<br />

l<strong>in</strong>eare Optimierung<br />

Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsrechnung und Statistik:<br />

Häufigkeitsverteilung, Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit<br />

63

Stundentafel Angewandte <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

HTL Elektrotechnik: 16 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3, 2<br />

HTL Elektrotechnik<br />

Lehrstoff<br />

III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang<br />

Analysis: Folgen,<br />

Grenzwert, Stetigkeit,<br />

Differentialrechnung,<br />

Integralrechnung,<br />

Funktionen <strong>in</strong> zwei<br />

Variablen<br />

Numerische <strong>Mathematik</strong>:<br />

Fehlerabschätzung,<br />

numerische Methoden zum<br />

Gleichungslösen,<br />

Interpolation<br />

Analysis: Potenzreihen,<br />

Fourierreihen,<br />

Differentialgleichungen<br />

L<strong>in</strong>eare Algebra und<br />

analytische Geometrie:<br />

Matrizen, Determ<strong>in</strong>anten,<br />

Geraden und Ebenen,<br />

Kegelschnitte, Algebraische<br />

Strukturen<br />

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />

Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsrechnung<br />

und Statistik: Verteilungen,<br />

Statistik, Korrelation,<br />

Regression,<br />

Qualitätsmanagement<br />

Aktuelle Themen <strong>der</strong><br />

angewandten <strong>Mathematik</strong> mit<br />

beson<strong>der</strong>er Berücksichtigung<br />

<strong>der</strong> Fachrichtung<br />

64

Basis<br />

(Pflicht)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

HAK<br />

<strong>Mathematik</strong><br />

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />

II. Jahrgang III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang<br />

Zahlensysteme, Terme,<br />

Potenzen<br />

Funktionen<br />

Gleichungen,<br />

Ungleichungen<br />

Matrizen<br />

Statistik, Trendl<strong>in</strong>ie<br />

Erweiterung Ungleichungssysteme<br />

Vektoren<br />

Firmenkonnex<br />

Trigonometrie<br />

Wachstumsprozesse<br />

Rekursive Folgen<br />

Differenzengleichungen<br />

Z<strong>in</strong>sesz<strong>in</strong>srechnung,<br />

Rentenrechnung<br />

Dynamische Systeme<br />

Kryptografie<br />

Co<strong>die</strong>rungstheorie<br />

Differenzialrechnung<br />

Kosten- und<br />

Preistheorie<br />

Integralbegriff<br />

Rentabilitätsrechnung<br />

Investitionsrechnung<br />

Integralrechnung<br />

Aktienanalyse<br />

F<strong>in</strong>anzmathematik Investitionsrechnung<br />

Expliziter IT Bezug; Stundentafel: 10 Stunden: 0, 3, 2, 3, 2<br />

Statistik<br />

Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsr<br />

echnung<br />

Komb<strong>in</strong>atorik<br />

Wirtschaftliche<br />

Modelle<br />

L<strong>in</strong>eare Optimierung<br />

65

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

BAKIP<br />

<strong>Mathematik</strong><br />

http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />

1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse<br />

Mengenlehre:<br />

Zahlenmengen,<br />

Exponenten,<br />

Termumformungen<br />

Gleichungen und<br />

Ungleichungen: l<strong>in</strong>eare<br />

Gleichungen,<br />

Bruchgleichungen,<br />

quadratische<br />

Gleichungen,<br />

Koord<strong>in</strong>atensystem<br />

Figuren <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene:<br />

Flächenberechnungen,<br />

Pythagoras, Ähnlichkeit<br />

Körper im Raum:<br />

Oberfläche und Volumen<br />

Vektoren<br />

Potenzen: mit Exponenten<br />

aus Q, Rechnen mit<br />

Wurzeln<br />

Funktionen: l<strong>in</strong>eare<br />

Funktionen,<br />

Potenzfunktionen,<br />

Wurzelfunktionen<br />

Systeme von l<strong>in</strong>earen<br />

Gleichungen:<br />

zwei Gleichungen mit zwei<br />

Variablen, drei<br />

Gleichungen mit drei<br />

Variablen<br />

Folgen: monotone und<br />

beschränkte, Konvergenz<br />

und Divergenz<br />

Reihen<br />

W<strong>in</strong>kelfunktionen:<br />

Graphen, Auflösung von<br />

rechtw<strong>in</strong>keligen und<br />

schiefw<strong>in</strong>keligen<br />

Dreiecken<br />

Exponential-und<br />

Logarithmusfunktion:<br />

e<strong>in</strong>fache Exponentialund<br />

logarithmische<br />

Gleichungen<br />

Differentialrechnung:<br />

Differentialquotient,<br />

Differentiationsregeln<br />

Stundentafel: 8 Stunden: 2, 2, 2, 2, 0<br />

Kurvendiskussionen,<br />

Extremwertaufgaben<br />

Integralrechnung<br />

Statistik<br />

Datenpräsentation,<br />

Mittelwerte,<br />

Streuungsmaße,<br />

Normalverteilung,<br />

Korrelation<br />

Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsrechnung:<br />

Baumdiagramm,<br />

B<strong>in</strong>om<strong>in</strong>alverteilung<br />

66

Fragestellung<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie verhält sich <strong>der</strong> Abstand<br />

zwischen den beiden L<strong>in</strong>ien zur<br />

Höhe Ihres Kopfs?<br />

Wie verän<strong>der</strong>t sich <strong>die</strong>ser Abstand<br />

mit unterschiedlicher Entfernung<br />

zum Spiegel?<br />

Wie groß muss <strong>der</strong> Spiegel se<strong>in</strong>,<br />

damit Sie sich ganz im Spiegel<br />

sehen können?<br />

Lehrplanbezug<br />

F<strong>in</strong>den Sie Lehrplanbezüge für<br />

<strong>die</strong>ses Beispiel<br />

Beispiel: Spiegelbild<br />

Spiegelbild<br />

Punkt im Spiegel<br />

Spiegelbild<br />

67

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Punkt im Spiegel<br />

68

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Spiegelbild<br />

69

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel – Satzgruppe<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

des Pythagoras<br />

70

Heuristik<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Satz des Pythagoras entdecken<br />

altgr. heurísko „ich f<strong>in</strong>de“; heuriske<strong>in</strong>, „(auf-)f<strong>in</strong>den“, „entdecken“<br />

Die Kunst, mit begrenztem Wissen und wenig Zeit zu guten<br />

Lösungen zu kommen (Wikipedia)<br />

Satz des Pythagoras<br />

Bewege den Punkt C!<br />

Berechne <strong>die</strong> Summe <strong>der</strong><br />

Flächen<strong>in</strong>halte <strong>der</strong> beiden<br />

grünen Quadrate und<br />

notiere de<strong>in</strong><br />

Rechenergebnis!<br />

Wie<strong>der</strong>hole <strong>die</strong>se Vorgänge 5-mal!<br />

71

Satzgruppe des Pythagoras<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bezieht sich auf rechtw<strong>in</strong>klige Dreiecke.<br />

Zu ihr gehören:<br />

Satz des Pythagoras<br />

Höhensatz<br />

Kathetensatz<br />

Satz des Pythagoras<br />

Bei jedem rechtw<strong>in</strong>kligen Dreieck ist <strong>die</strong><br />

Summe <strong>der</strong> Flächen<strong>in</strong>halte <strong>der</strong> Quadrate<br />

über den Katheten gleich dem Flächen<strong>in</strong>halt<br />

des Quadrates über <strong>der</strong> Hypotenuse.<br />

a 2 + b 2 = c 2<br />

E<strong>in</strong>ige Beweise später<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

A<br />

b<br />

q<br />

b²<br />

C<br />

D<br />

h<br />

C<br />

c<br />

a²<br />

b a<br />

c<br />

A B<br />

c²<br />

p<br />

a<br />

B<br />

72

Höhensatz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bei jedem rechtw<strong>in</strong>kligen Dreieck hat das<br />

Höhenquadrat denselben Flächen<strong>in</strong>halt wie<br />

das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.<br />

h 2 = p ⋅ q<br />

Kathetensatz<br />

Bei jedem rechtw<strong>in</strong>kligen Dreieck hat e<strong>in</strong><br />

Kathetenquadrat denselben Flächen<strong>in</strong>halt<br />

wie das Rechteck aus <strong>der</strong> Hypotenuse und<br />

dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.<br />

a 2 = c ⋅ p und b 2 = c ⋅ q<br />

Höhensatz und Kathetensatz<br />

h²<br />

D p<br />

A q<br />

B<br />

b²<br />

c⋅q<br />

C<br />

h<br />

p⋅q<br />

c⋅p<br />

a²<br />

73

Visuelle Unterstützung<br />

Höhensatz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

⇒<br />

q : h = h : p ⇒ h 2 = p q<br />

Höhen- und Kathetensatz<br />

Beweise<br />

Kathetensatz<br />

q : b = b : c ⇒ b 2 = c q<br />

p : a = a : c ⇒ a 2 = c p<br />

74

Logische Abhängigkeit <strong>der</strong> Sätze<br />

b²<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

C<br />

Satz des Pythagoras ⇔ Kathetensatz<br />

Satz des Pythagoras ⇒ Höhensatz<br />

Kathetensatz ⇒ Höhensatz<br />

Logische Struktur <strong>der</strong><br />

Satzgruppe<br />

Höhensatz ∧ Satz des Thales ⇒ Satz des Pythagoras<br />

Höhensatz ∧ Satz des Thales ⇒ Kathetensatz<br />

a²<br />

b a<br />

c<br />

A B<br />

c²<br />

a²<br />

b²<br />

⇔ ⇒<br />

c⋅q<br />

c⋅p<br />

?<br />

⇐<br />

http://www.dmuw.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/<br />

C<br />

⇐<br />

h² h<br />

D p ∧<br />

A q<br />

B<br />

p⋅q<br />

A<br />

C<br />

M<br />

B<br />

75

Kathetensatz ⇒ Pythagoras<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gegeben: a 2 = c ⋅ p und b 2 = c ⋅ q<br />

Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2<br />

Kathetensatz ⇒ Pythagoras<br />

A<br />

b<br />

q<br />

C<br />

D<br />

h<br />

c<br />

p<br />

a<br />

B<br />

76

Pythagoras ⇒ Kathetensatz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gegeben: a 2 + b 2 = c 2<br />

Zu zeigen: a 2 = c ⋅ p und b 2 = c ⋅ q<br />

Pythagoras ⇒ Kathetensatz<br />

A<br />

b<br />

q<br />

C<br />

D<br />

h<br />

c<br />

p<br />

a<br />

B<br />

77

Pythagoras ⇒ Höhensatz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gegeben: a 2 + b 2 = c 2<br />

Zu zeigen: h 2 = p ⋅ q<br />

Pythagoras ⇒ Höhensatz<br />

A<br />

b<br />

q<br />

C<br />

D<br />

h<br />

c<br />

p<br />

a<br />

B<br />

78

Höhensatz ∧ Thales ⇒ Pythagoras<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gegeben: h 2 = p ⋅ q, Satz von Thales<br />

Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2<br />

Höhensatz ∧ Thales<br />

⇒ Pythagoras<br />

79

Kathetensatz ⇒ Höhensatz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gegeben: a 2 = c ⋅ p und b 2 = c ⋅ q<br />

Zu zeigen: h2 = p ⋅ q<br />

Mehrfache Anwendung des<br />

Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke<br />

Kathetensatz ⇒ Höhensatz<br />

80

Höhensatz ∧ Thales ⇒ Kathetensatz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gegeben: h 2 = p ⋅ q, Thales<br />

Zu zeigen: b 2 = c ⋅ q<br />

(a 2 = c ⋅ p analog)<br />

Höhensatz ∧ Thales<br />

⇒ Kathetensatz<br />

81

Umkehrung des Satzes von Pythagoras<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Ägyptische Seilspanner (Harpedonapten)<br />

a 2 + b 2 = c 2 ⇒ a, b und c bilden e<strong>in</strong> rechtw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />

Pythagoräische Tripel<br />

Umkehrsatz nicht immer wahr!<br />

Wenn Sonntag ist, dann ist schulfrei.<br />

a, b ungerade ⇒ a + b gerade<br />

Umkehrsatz des Pythagoras<br />

82

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Lehrplan 4. Klasse AHS: Arbeiten mit Figuren und Körpern<br />

den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen <strong>in</strong> ebenen<br />

Figuren und <strong>in</strong> Körpern nutzen können<br />

e<strong>in</strong>e Begründung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen<br />

E<strong>in</strong>ige Beweismethoden für <strong>die</strong> Satzgruppe des Pythagoras<br />

1. Kongruenzbeweis<br />

2. Abbildungsbeweis<br />

3. Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />

4. Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Ergänzungsgleichheit<br />

5. Arithmetischer Beweis<br />

6. Ähnlichkeitsbeweis<br />

7. Methoden <strong>der</strong> analytischen Geometrie<br />

83

(1) Kongruenzbeweis<br />

Euklid:<br />

Die Elemente<br />

J<br />

H<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

C<br />

A L1<br />

B<br />

D<br />

G<br />

L2 E<br />

F<br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

( I)<br />

AC BF ACBF<br />

AABF<br />

= ⇒<br />

( II)<br />

CL1 BE ⇒A<br />

= L A<br />

1EB<br />

CEB<br />

(III) Zu zeigen : ABF ≅ CEB<br />

( I),<br />

( II),<br />

( III)<br />

(1) |AB| =<br />

(2) |∠FBA| = |∠CBE| (90°<br />

+ β)<br />

(3) |BF| = |BC| (Kathete a)<br />

SWS<br />

⇒<br />

⇒<br />

|EB|<br />

ABF ≅ CEB<br />

AABF ACEB<br />

=<br />

(Hypotenuse c)<br />

⇒ A = CBF AL1BE<br />

2 ⇒ a = c ⋅|L1B|<br />

( Kathetensatz 1. Teil)<br />

Analog ergibt sich :<br />

2<br />

b = c ⋅|AL<br />

1|<br />

( Kathetensatz 2. Teil)<br />

⇒ a2 + b2 = c ⋅ |L1B| + c ⋅ |AL1| = c ⋅ (|L1B| + |AL1|) = c ⋅ c = c2 84

(2) Abbildungsbeweis<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Scherung<br />

85

(3) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Stuhl <strong>der</strong> Braut<br />

Zerlegung des Hypotenusenquadrats<br />

86

(3) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Zerlegung des Hypotenusenquadrats<br />

87

(3) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Zerlegung e<strong>in</strong>es Kathetenquadrats<br />

88

(4) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Ergänzungsgleichheit<br />

IV<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

c²<br />

Alt<strong>in</strong>discher Ergänzungsbeweis<br />

III<br />

I II<br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

IV<br />

II<br />

a²<br />

I<br />

b²<br />

III<br />

89

(5) Arithmetischer Beweis<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

E<strong>in</strong> Beweis wird hier „arithmetisch“ genannt, wenn<br />

(evtl. anhand e<strong>in</strong>er vorliegenden Figur) re<strong>in</strong> algebraische<br />

Umformungen durchgeführt werden.<br />

Kathetensatz ⇒ Satz des Pythagoras<br />

a<br />

⇒<br />

2 2<br />

= ∧ = ⋅<br />

a<br />

c ⋅p<br />

2 +<br />

b<br />

2<br />

=<br />

=<br />

=<br />

b<br />

c ⋅p<br />

+ c ⋅ q<br />

c ⋅c<br />

( )<br />

c ⋅ p+<br />

q<br />

=<br />

c<br />

c 2<br />

q<br />

b²<br />

c⋅q<br />

c⋅p<br />

a²<br />

90

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

(5) Arithmetischer Beweis Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident <strong>der</strong> U.S.A.)<br />

a<br />

⇒<br />

c<br />

Fläche A Tr des Trapezes:<br />

I II<br />

b<br />

( 1),<br />

( 2)<br />

⇒ ab<br />

2 ab<br />

+<br />

+<br />

1<br />

2<br />

c<br />

c<br />

2<br />

III<br />

2<br />

=<br />

=<br />

a<br />

2<br />

2<br />

c<br />

a<br />

1 ( ) 2<br />

a<br />

+<br />

+<br />

b<br />

2 ab<br />

+<br />

b<br />

2<br />

b<br />

(1)<br />

(2)<br />

⇒<br />

⇒<br />

A<br />

A<br />

Trapez<br />

Trapez<br />

2 ab<br />

c<br />

2<br />

=<br />

=<br />

=<br />

=<br />

=<br />

=<br />

+<br />

a<br />

2<br />

A<br />

∆<br />

1<br />

2<br />

ab +<br />

a<br />

1<br />

2<br />

c<br />

2<br />

I<br />

ab<br />

+<br />

2<br />

+<br />

b<br />

+<br />

2<br />

2 1 c<br />

⋅<br />

A<br />

∆<br />

1<br />

2<br />

( ) 2<br />

a + b<br />

+<br />

=<br />

b<br />

2<br />

II<br />

ab<br />

+<br />

+<br />

( a + b)<br />

( ) 2<br />

a + b<br />

A<br />

∆<br />

1<br />

2<br />

III<br />

c<br />

2<br />

91

(6) Ähnlichkeitsbeweis<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

⇒<br />

Beweismöglichkeiten<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

∆ ABC ~ ∆ACD<br />

~ ∆BCD<br />

(ww)<br />

h<br />

p<br />

b<br />

q<br />

a<br />

p<br />

q<br />

=<br />

h<br />

c<br />

=<br />

b<br />

c<br />

=<br />

a<br />

(7) Methoden <strong>der</strong> analytischen Geometrie<br />

⇒ h = q ⋅ p<br />

2<br />

⇒ b = c ⋅ q<br />

2<br />

⇒ a = c ⋅ p<br />

2<br />

Höhensatz<br />

Kathetensatz<br />

92

Eigentätigkeit<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Großteil <strong>der</strong> Schüler soll <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />

Lage se<strong>in</strong>, durch Eigentätigkeit,<br />

den Beweis o<strong>der</strong> <strong>die</strong><br />

entscheidende Beweisidee<br />

selbst zu entdecken bzw. e<strong>in</strong>en<br />

wesentlichen Beitrag dazu zu<br />

leisten<br />

Vielfalt<br />

Schüler sollen unterschiedliche<br />

Beweismethoden kennen lernen<br />

Auswahlkriterien für<br />

Beweismethoden<br />

Anschauen und Begreifen<br />

Beweis lässt sich gut<br />

visualisieren o<strong>der</strong> enaktiv<br />

erarbeiten.<br />

Verständnis för<strong>der</strong>n<br />

Beweis ist leicht durchschaubar<br />

Beweis erleichtert e<strong>in</strong>e wichtige<br />

Erkenntnis<br />

Beispiel:<br />

Satzgruppe des<br />

Pythagoras: Aussagen<br />

über Flächen<strong>in</strong>halte<br />

Sollte beim Beweis<br />

direkt erkennbar se<strong>in</strong><br />

93

Ebene Geometrie<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Berechnungen<br />

Diagonale des Rechtecks<br />

Höhe & Flächen<strong>in</strong>halt e<strong>in</strong>es<br />

gleichseitigen Dreiecks<br />

Abstand zweier Punkte<br />

(im Koord<strong>in</strong>atensystem)<br />

Kreistangenten und Sehnen<br />

Reguläre n-Ecke<br />

Kos<strong>in</strong>ussatz<br />

Konstruktionen<br />

Flächenverwandlung<br />

Strecken <strong>der</strong> Länge n<br />

Anwendungen<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Raumgeometrie<br />

Berechnungen<br />

Raumdiagonalen<br />

Längen im Raum<br />

94

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Anwendungen<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Verwandlung e<strong>in</strong>es Rechtecks <strong>in</strong> e<strong>in</strong> <strong>in</strong>haltsgleiches Quadrat<br />

Kathetensatz<br />

Man geht von <strong>der</strong> Figur<br />

zum Kathetensatz aus.<br />

Kann man das Quadrat <strong>der</strong><br />

Figur konstruieren, wenn man<br />

das Rechteck hat?<br />

� Konstruktion <strong>der</strong> entsprechenden Kathete.<br />

Welche Schritte s<strong>in</strong>d notwendig?<br />

95

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Anwendungen<br />

Satzgruppe des Pythagoras<br />

Verwandlung e<strong>in</strong>es Rechtecks <strong>in</strong> e<strong>in</strong> <strong>in</strong>haltsgleiches Quadrat<br />

c<br />

Kathetensatz Höhensatz<br />

�<br />

q<br />

�<br />

�<br />

� �<br />

�<br />

b<br />

�<br />

l<br />

�<br />

�<br />

�<br />

�<br />

�<br />

96

Me<strong>die</strong>nvielfalt im <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Pythagoras-Lernpfade auf<br />

http://www.austromath.at/me<strong>die</strong>nvielfalt/<br />

3. Klasse: ebene Figuren, 4. Klasse: Raumgeometrie<br />

Siehe <strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e Didaktische Kommentare, z.B.<br />

Stationenbetrieb zu Pythagoras im Raum<br />

Expertengruppen zu Höhen- und Kathetensatz<br />

Lernpfade zum<br />

Satz des Pythagoras<br />

97

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie funktioniert Lernen?<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

98

Lernen …<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Was ist Lernen?<br />

ist e<strong>in</strong> Prozess, <strong>der</strong> zu relativ stabilen Verän<strong>der</strong>ungen<br />

im Verhalten o<strong>der</strong> Verhaltenspotential führt.<br />

baut auf Erfahrung auf.<br />

ist nicht direkt zu beobachten.<br />

muss aus den Verän<strong>der</strong>ungen des beobachtbaren Verhaltens<br />

erschlossen werden.<br />

Wissen<br />

Nach Zimbardo: Psychologie. Spr<strong>in</strong>ger-Verlag, 1995<br />

deklaratives Wissen<br />

(Wissen über Sachverhalte)<br />

prozedurales Wissen<br />

(Wissen über Fertigkeiten)<br />

99

Kategorie Behaviourismus Kognitivismus Konstruktivismus<br />

Hirn ist e<strong>in</strong> passiver Behälter<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Informationsverarbeitendes<br />

"Gerät"<br />

<strong>in</strong>formationell<br />

geschlossenes<br />

System<br />

Wissen wird abgelagert verarbeitet konstruiert<br />

Wissen ist<br />

e<strong>in</strong>e korrekte Input-<br />

Output-Relation<br />

Lernziele richtige Antworten<br />

e<strong>in</strong> adäquater<br />

<strong>in</strong>terner Verarbeitungsprozess<br />

richtige Methoden<br />

zur<br />

Antwortf<strong>in</strong>dung<br />

mit e<strong>in</strong>er Situation<br />

operieren zu können<br />

komplexe Situationen<br />

bewältigen<br />

Paradigma Stimulus-Response Problemlösung Konstruktion<br />

Strategie lehren<br />

beobachten<br />

und helfen<br />

Lernparadigmen<br />

kooperieren<br />

Lehrer ist Autorität Tutor Coach, Tra<strong>in</strong>er<br />

100

Behaviouristische Lerntheorien<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Überblick über Lerntheorien<br />

Klassisches / operantes Konditionieren (Pawlow, Watson, Sk<strong>in</strong>ner)<br />

Lernen durch Versuch und Irrtum (Thorndike)<br />

Kognitivistische Lerntheorien<br />

Modelllernen (Bandura)<br />

Äquilibrationsmodell (Piaget)<br />

Stufenmodell <strong>der</strong> kognitiven Entwicklung<br />

S<strong>in</strong>nvolle-rezeptives Lernen (Ausubel)<br />

Entdeckendes Lernen (Bruner)<br />

Konstruktivistische Lerntheorien<br />

Radikaler Konstruktivismus (von Glasersfeld)<br />

Gemäßigter Konstruktivismus (Piaget, Bruner, Mandl)<br />

101

Pawlowscher Hund<br />

1. Futter � Speichel fließt<br />

2. Glocke � ke<strong>in</strong> Speichel<br />

3. Futter + Glocke � Speichel<br />

(mehrmals wie<strong>der</strong>holt)<br />

4. Glocke � Speichel<br />

Ergebnis<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Klassisches Kontitionieren<br />

(Pawlow)<br />

Immer wenn <strong>die</strong> Glocke kl<strong>in</strong>gelt, läuft dem Hund das „Wasser im<br />

Mund“ zusammen. Er wurde auf <strong>die</strong> Glocke konditioniert.<br />

Dieses Pr<strong>in</strong>zip f<strong>in</strong>det z.B. <strong>in</strong> <strong>der</strong> Werbung Anwendung<br />

Attraktive Frau + Auto � Aufmerksamkeit<br />

102

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Operantes Konditionieren<br />

(Sk<strong>in</strong>ner)<br />

Erwartete Konsequenzen bestimmen das Verhalten<br />

Tiere und Menschen können sehr gut zwischen Belohnung und<br />

Bestrafung unterscheiden<br />

Arten von Verstärkern<br />

Materielle Verstärker (Geld)<br />

Soziale Verstärker (Lob, Anerkennung)<br />

Aktivitätsverstärker (Tun, was Spaß macht)<br />

Arten <strong>der</strong> Verhaltenskontrolle / -manipulation<br />

Etwas Gutes erhalten (positive Verstärkung)<br />

Etwas Negatives bleibt erspart (negative Verstärkung)<br />

Etwas Negatives erhalten (Bestrafung durch aversive Reize)<br />

Etwas Gutes wird entzogen (Bestrafung durch Verstärkerentzug)<br />

103

Sk<strong>in</strong>nerbox<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Operantes Konditionieren<br />

(Sk<strong>in</strong>ner)<br />

Ziel: Ratte soll lernen, e<strong>in</strong>en Hebel zu betätigen<br />

Ratte erhält Stromschläge, bis sie den Hebel betätigt<br />

� Stromfluss endet (negative Verstärkung)<br />

Ratte betätigt den Hebel<br />

� Erhält Futter (positive Verstärkung)<br />

104

„Rocky-Experiment“ (Bandura, Walters 1965)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Modelllernen<br />

(Bandura)<br />

Vierjährige K<strong>in</strong><strong>der</strong> sehen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Film, wie e<strong>in</strong> Erwachsener<br />

(„Rocky“) mit e<strong>in</strong>em Baseballschläger auf e<strong>in</strong>e Plastikpuppe<br />

e<strong>in</strong>schlägt.<br />

Kurz darauf werden <strong>die</strong> K<strong>in</strong><strong>der</strong> <strong>in</strong> e<strong>in</strong> an<strong>der</strong>es Zimmer geführt, <strong>in</strong><br />

dem auch <strong>die</strong>se Puppe und e<strong>in</strong> Baseballschläger liegen.<br />

Unterschied Aneignung – Ausführung: Vorbild-Verhalten wird<br />

gleichermaßen erlernt, aber je nach Folgen unterschiedlich<br />

reproduziert (siehe Wikipedia für Details)<br />

105

Def<strong>in</strong>ition<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Modell- o<strong>der</strong> Beobachtungslernen<br />

ist Bee<strong>in</strong>flussung von<br />

Verhaltensweisen durch<br />

Beobachtung e<strong>in</strong>es Modells<br />

(Vorbilds), das real (z. B. als<br />

Person) o<strong>der</strong> symbolisch (z. B.<br />

als Text) gegeben se<strong>in</strong> kann.<br />

Anwendung<br />

bei komplexen<br />

Verhaltensweisen im Bereich<br />

des sprachlichen und sozialen<br />

Verhaltens<br />

Mögliche Effekte<br />

Aneignung neuer kognitiver<br />

Fähigkeiten & Verhaltensmuster<br />

Modelllernen<br />

(Bandura)<br />

Hemmung bzw. Enthemmung von<br />

gelernten Verhaltensweisen<br />

Abhängig von den am Modell<br />

beobachteten Konsequenzen<br />

Reaktionserleichterung<br />

Verhalten des Modells <strong>die</strong>nt als<br />

Auslöser für <strong>die</strong> Ausführung des<br />

gleichen Verhaltens.<br />

Verän<strong>der</strong>ung des emotionalen<br />

Erregungsniveaus<br />

durch Beobachtung emotionaler<br />

Inhalte beim Modell<br />

Stimulus<strong>in</strong>tensivierung<br />

Modell lenkt <strong>die</strong> Aufmerksamkeit des<br />

Beobachters auf spezifische Stimuli<br />

<strong>die</strong> vom Beobachter <strong>in</strong> Zukunft<br />

häufiger verwendet bzw. beachtet<br />

werden.<br />

106

Regelfall<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Modellverhalten wird weitgehend<br />

<strong>in</strong> <strong>der</strong> dargebotenen<br />

Art übernommen.<br />

Son<strong>der</strong>fälle<br />

Modelllernen<br />

(Bandura)<br />

abstrakte Modellierung<br />

Übernahme von Regeln o<strong>der</strong><br />

Pr<strong>in</strong>zipien, <strong>die</strong> dem Modellverhalten<br />

zugrunde liegen<br />

Erkennen von Merkmalen<br />

e<strong>in</strong>er Situation<br />

Abstraktion <strong>der</strong><br />

Geme<strong>in</strong>samkeiten<br />

<strong>in</strong> Form von Regeln<br />

Anwendung <strong>der</strong> Regeln <strong>in</strong><br />

neuen situativen Fel<strong>der</strong>n<br />

Kreative Modellierung<br />

E<strong>in</strong>flüsse mehrerer Modelle<br />

werden zu neuen Komb<strong>in</strong>ationen<br />

zusammengeführt.<br />

107

Prozesse beim Modelllernen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Aneignung (Akquisition)<br />

Aufmerksamkeitsprozesse<br />

Gedächtnis- /<br />

Behaltensprozesse<br />

Ausführung (Performanz)<br />

motorische<br />

Reproduktionsprozesse<br />

Verstärkungs- /<br />

Motivationsprozesse<br />

Modelle im Unterricht<br />

Lehrer<br />

Mitschüler<br />

Eltern<br />

Modelllernen<br />

Modelllernen<br />

(Bandura)<br />

schnelle und effiziente<br />

Art <strong>der</strong> Übernahme von<br />

Verhaltensweisen<br />

<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e bei<br />

komplexen Verhaltensnormen<br />

Rolle im / für den MU<br />

Rationales Argumentieren<br />

Problemlösen<br />

Mathematisieren / Modellieren<br />

E<strong>in</strong>stellung zur <strong>Mathematik</strong><br />

108

Bei <strong>der</strong> Assimilation wird <strong>die</strong><br />

Information, <strong>die</strong> das Individuum<br />

aufnimmt, so verän<strong>der</strong>t, dass sie<br />

sich <strong>in</strong> vorhandene kognitive<br />

Schemata e<strong>in</strong>fügt.<br />

Äquilibrationspr<strong>in</strong>zip<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Kognitive Entwicklung<br />

durch Anpassung (Adaption)<br />

Äquilibrationsmodell<br />

(Piaget)<br />

Assimilation Akkomodation<br />

Bei <strong>der</strong> Akkomodation werden <strong>die</strong><br />

Schemata verän<strong>der</strong>t, um <strong>der</strong> Information<br />

angemessen zu se<strong>in</strong> o<strong>der</strong> um<br />

nicht im Wi<strong>der</strong>spruch zu an<strong>der</strong>en<br />

Schemata bzw. <strong>der</strong> Gesamtstruktur<br />

zu stehen.<br />

Bedürfnis, Gleichgewicht zwischen <strong>der</strong> wahrgenommenen Umwelt und<br />

den eigenen kognitiven Strukturen herzustellen bzw. zu erhalten.<br />

Erfahrung e<strong>in</strong>es „Ungleichgewichtes“ (fehlschlagende Assimilationsversuche,<br />

Wi<strong>der</strong>sprüche zwischen versch. Assimilationsversuchen, kognitive<br />

Konflikte) führt zum Aufbau immer komplexerer Strukturen.<br />

109

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />

Entwicklung (Piaget)<br />

Reiz und (motorische) Reaktion bilden e<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>heit<br />

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)<br />

Zentrierung: Nur e<strong>in</strong> Merkmal kann gleichzeitig<br />

berücksichtigt werden.<br />

Egozentrismus: Schwierigkeit sich etwas aus <strong>der</strong><br />

Sicht e<strong>in</strong>es an<strong>der</strong>en vorzustellen.<br />

110

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Überw<strong>in</strong>dung des Egozentrismus<br />

Dezentrierung: Verschiedene Aspekte e<strong>in</strong>es Sachverhaltes<br />

können gleichzeitig berücksichtigt werden.<br />

Verständnis für Erhaltung bei Transformationen<br />

Masse<br />

Volumen<br />

Flächen<strong>in</strong>halt<br />

Anzahl<br />

Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />

Entwicklung (Piaget)<br />

111

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Reversibilität: Beobachtete Abläufe bzw. ausgeführte<br />

Handlungen können gedanklich umgekehrt werden.<br />

Schlussfolgerndes Denken bei konkreten Problemen<br />

Fähigkeit zur Abstraktion fehlt (zum Großteil)<br />

Denken ist noch stark an konkrete Vorstellungen gebunden<br />

(unmittelbare Anschauung o<strong>der</strong> Erfahrungen)<br />

Denkhandlungen s<strong>in</strong>d bereits „Operationen“, also<br />

kompositionsfähig (zusammensetzbar) und<br />

reversibel (umkehrbar)<br />

Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />

Entwicklung (Piaget)<br />

112

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wer ist <strong>der</strong> kle<strong>in</strong>ste?<br />

�<br />

Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />

Entwicklung (Piaget)<br />

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />

Hans ist größer als He<strong>in</strong>z, Hans ist kle<strong>in</strong>er als Horst. Wer ist <strong>der</strong> kle<strong>in</strong>ste?<br />

113

Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />

Entwicklung (Piaget)<br />

Denken wird abstrakter<br />

(nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden)<br />

Fähigkeit zum hypothetisch-deduktiven<br />

Schließen („Wenn … und … gilt, dann gilt …“)<br />

Variablenkontrolle: Bei <strong>der</strong> Kausalanalyse von Ereignissen können<br />

verschiedene Faktoren systematisch variiert werden.<br />

Logische Verknüpfungen zwischen verschiedenen<br />

Aussagen werden hergestellt (Aussagenlogik, formales<br />

Schließen). Im Beispiel: Wenn a < b und b < c, dann a < c.<br />

Reversibles Denken ist möglich.<br />

Inversion (Umkehrung e<strong>in</strong>er Operation)<br />

Reziprozität (Kompensation e<strong>in</strong>er Operation)<br />

15 Cent 1 Cent<br />

114

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />

Entwicklung<br />

Bei e<strong>in</strong>em Kartenspiel wurde je<strong>der</strong> Karte auf e<strong>in</strong>er Seite e<strong>in</strong>e Zahl<br />

und auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite e<strong>in</strong> Buchstabe aufgedruckt.<br />

Es gilt folgende Regel:<br />

Wenn <strong>der</strong> Buchstabe auf e<strong>in</strong>er Karte e<strong>in</strong> Vokal ist, dann ist <strong>die</strong> Zahl<br />

auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite <strong>der</strong> Karte e<strong>in</strong>e gerade Zahl.<br />

Welche <strong>der</strong> folgenden Karten müssen umgedreht werden um zu<br />

überprüfen ob <strong>die</strong> Regel e<strong>in</strong>gehalten wurde?<br />

E K 4<br />

7<br />

115

Die k<strong>in</strong>dliche Entwicklung verläuft<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

etappenweise, d. h. <strong>in</strong> Stufen.<br />

Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)<br />

Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)<br />

Piagets empirische<br />

Hauptresultate<br />

Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />

Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)<br />

sequentiell, d. h. alle K<strong>in</strong><strong>der</strong> durchlaufen <strong>die</strong> Sta<strong>die</strong>n<br />

(Stufen) <strong>in</strong> gleicher Reihenfolge.<br />

Übergang von e<strong>in</strong>em Stadium zum nächsten bedeutet<br />

we<strong>der</strong> das Aufgeben bereits erworbener Schemata,<br />

noch bloßes H<strong>in</strong>zufügen weiterer Schemata,<br />

Reorganisation <strong>der</strong> verfügbaren Schemata bzgl.<br />

neuer effektiverer Organisationsformen.<br />

Wichtig: Es s<strong>in</strong>d erhebliche zeitliche Verschiebungen möglich!<br />

116

Die vier<br />

Grundformen<br />

des Lernens<br />

nach Ausubel<br />

rezeptiv<br />

(fertig dargeboten)<br />

entdeckend<br />

(selbst erarbeitet)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

mechanisch<br />

(nicht <strong>in</strong>haltlich)<br />

Dargebotene<br />

Informationen werden<br />

wortwörtlich gelernt<br />

und nicht mit<br />

Vorwissen assimiliert.<br />

Vom Lernenden<br />

entdeckter Sachverhalt<br />

wird wortwörtlich<br />

gelernt und nicht mit<br />

Vorwissen assimiliert.<br />

S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />

(Ausubel)<br />

s<strong>in</strong>nvoll<br />

(<strong>in</strong>haltlich, zufallsfrei)<br />

Dargebotene<br />

Informationen werden<br />

<strong>in</strong>haltlich gelernt und<br />

mit Vorwissen<br />

assimiliert.<br />

Vom Lernenden<br />

entdeckter Sachverhalt<br />

wird <strong>in</strong>haltlich gelernt<br />

und mit Vorwissen<br />

assimiliert.<br />

117

S<strong>in</strong>nvolles Lernen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>in</strong>haltlich (nicht wortwörtlich)<br />

zufallsfreie Anglie<strong>der</strong>ung an das<br />

Vorwissen (Assimilation)<br />

untergeordnet (progressive<br />

Wissensdifferenzierung)<br />

übergeordnet<br />

Mechanisches Lernen<br />

Lernen verbaler Ketten<br />

Auswendiglernen<br />

Rezeptives Lernen<br />

Lernmaterial wird fertig<br />

dargeboten<br />

S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />

(Ausubel)<br />

Entdeckendes Lernen (EL)<br />

Lernmaterial muss vom<br />

Lernenden erarbeitet werden,<br />

wird nicht fertig vorgegeben<br />

S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />

<strong>in</strong>haltliche Assimilation<br />

(Orientierung an Vorwissen, zunächst<br />

alltagssprachliche Formulierungen)<br />

aktiver Prozess<br />

Advance Organizer (!)<br />

Post Organizer<br />

besser als EL für den Erwerb<br />

von Sachwissen und größeren<br />

Stoffgebiete geeignet<br />

(ökonomischer)<br />

118

1. An vertraute Vorstellungen anschließen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Alltagsbegriffe<br />

vertraute Grundbegriffe<br />

2. „Verständniskerne“ bilden & formulieren<br />

<strong>in</strong> Umgangssprache<br />

3. Unterrichts<strong>in</strong>halte vorstrukturieren<br />

S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />

(Ausubel)<br />

kurze Vorschau auf Thema und Zielsetzung (advance organizer)<br />

Vorbereitung e<strong>in</strong>es „Verständniskerns“<br />

4. Progressiv ausdifferenzieren<br />

„roten Faden“ bewusst halten<br />

5. Integrativ verb<strong>in</strong>den und abgrenzen<br />

6. Beachten <strong>der</strong> Vergessenstendenz<br />

anschauliche Zusammenfassungen (post organizer)<br />

wie<strong>der</strong>holte Verständnisaufgaben<br />

S<strong>in</strong>nvolles<br />

Lernen<br />

⇔ Anknüpfen<br />

an <strong>die</strong> kognitive<br />

Struktur des<br />

Lernenden<br />

119

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Entdeckendes Lernen<br />

(Bruner)<br />

„Das Ziel, das wir uns als Lehrer stellen, ist, dem Schüler nach besten Kräften e<strong>in</strong><br />

fun<strong>die</strong>rtes Verständnis des Gegenstandes zu vermitteln und ihn so gut wir können<br />

zu e<strong>in</strong>em selbständigen und spontanen Denker zu machen, dass er am Ende <strong>der</strong><br />

Schulzeit alle<strong>in</strong> weiterkommen wird.“ Bruner<br />

Lernen ist aktive<br />

Informationsaufnahme<br />

Informationsverarbeitung<br />

Informationsspeicherung<br />

Intellektuelle<br />

Entwicklung<br />

Wissensrepräsentation<br />

• enaktiv (handelnd)<br />

• ikonisch (bildhaft)<br />

• symbolisch<br />

Prozesse des Lernvorgangs<br />

Wissenserwerb<br />

Wissenstransformation<br />

Bewertung von Wissen<br />

Lernprozess<br />

120

Entdeckendes Lernen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

eigenständige, <strong>in</strong>duktive<br />

Organisation<br />

sprachliche Assimilation<br />

Ziele des Lernens<br />

Verständnis<br />

Problemlösefähigkeit erwerben<br />

<strong>in</strong>tuitives, selbständiges,<br />

spontanes Denken<br />

Transferför<strong>der</strong>ung<br />

spezieller Transfer<br />

allgeme<strong>in</strong>er Transfer<br />

general ideas<br />

<strong>in</strong>duktive & deduktive<br />

Denkvorgänge<br />

Entdeckendes Lernen<br />

(Bruner)<br />

Problemlösefähigkeit<br />

Problemlösestrategien<br />

Problemlösetechniken<br />

lernen wie man lernt<br />

Intuitives Denken<br />

spontan / sprunghaft<br />

nonverbal<br />

Intr<strong>in</strong>sische Motivation<br />

„Kompetenzmotivation“<br />

Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> m<strong>in</strong>imalen Hilfe<br />

kaum ergebnisorientierte Hilfe<br />

hauptsächlich motivations- und<br />

prozessorientierte Hilfe<br />

121

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Entdeckendes Lernen<br />

(Bruner)<br />

122

Steht <strong>in</strong> enger Verb<strong>in</strong>dung zum kognitiven Ansatz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Jedes Individuum konstruiert e<strong>in</strong> <strong>in</strong>dividuelles<br />

und subjektives Bild se<strong>in</strong>er Umwelt<br />

Aufgrund verschiedenster Erfahrungen entsteht<br />

e<strong>in</strong>e <strong>in</strong>dividuelle kognitive Landkarte <strong>der</strong> Welt<br />

Diese Wirklichkeitskonstruktionen bee<strong>in</strong>flussen<br />

unwillkürlich<br />

was das Individuum sieht,<br />

wie es das Gesehene bewertet,<br />

welche Verhaltenspläne es entwickelt und<br />

wie es sich dann tatsächlich verhält.<br />

Es gibt demnach nicht e<strong>in</strong>e für alle gültige Wirklichkeit,<br />

son<strong>der</strong>n viele subjektive und <strong>in</strong>dividuelle Wirklichkeiten<br />

Konstruktivismus<br />

123

Wissen …<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

wird nicht e<strong>in</strong>fach rezeptiv übernommen<br />

wird aktiv erworben,<br />

Aktive Wissenskonstruktion<br />

abhängig von Vorwissen, Motivation und E<strong>in</strong>stellung des E<strong>in</strong>zelnen<br />

ist Ergebnis sozialer Konstruktionsprozesse<br />

bedeutungsvolles Handeln und Selbstständigkeit s<strong>in</strong>d zentrale<br />

Grundlagen allen Lernens<br />

stellt ke<strong>in</strong>e bloße Reflexion e<strong>in</strong>er außerhalb des<br />

Menschen existierenden, objektiven "Realität" dar<br />

ist e<strong>in</strong> subjektives "Konstrukt", das <strong>in</strong>nerhalb des Individuums<br />

durch Erkenntnisprozesse geschaffen wird<br />

124

Lernen ist ke<strong>in</strong> …<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lernen aus<br />

konstruktivistischer Sicht<br />

rezeptiver Vorgang, bei dem e<strong>in</strong>e objektiv bestimmbare und<br />

begrenzte Menge an Fakten und Regeln aus dem Kopf des<br />

Lehrenden <strong>in</strong> den des Lernenden "transportiert" wird<br />

Lernen ist e<strong>in</strong> …<br />

aktiver,<br />

selbstgesteuerter,<br />

konstruktiver,<br />

emotionaler,<br />

sozialer und<br />

situativer Prozess<br />

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30<br />

125

aktiver Prozess<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Nur durch aktive Beteiligung<br />

des Lernenden wird Lernen<br />

möglich.<br />

selbstgesteuerter Prozess<br />

Der Lernende selbst übernimmt<br />

im Rahmen des Lernprozesses<br />

Steuerungs- und<br />

Kontrollprozesse.<br />

konstruktiver Prozess<br />

Neues Wissen kann nur<br />

erworben und genutzt werden,<br />

wenn es <strong>in</strong> <strong>die</strong> vorhandenen<br />

Wissensstrukturen e<strong>in</strong>gebaut<br />

und auf <strong>der</strong> Basis <strong>in</strong>dividueller<br />

Erfahrungen <strong>in</strong>terpretiert wird.<br />

Lernen ist e<strong>in</strong> …<br />

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30<br />

emotionaler Prozess<br />

sowohl leistungsbezogene als<br />

auch soziale Emotionen<br />

bee<strong>in</strong>flussen das Lernen<br />

für <strong>die</strong> Lernmotivation ist <strong>die</strong><br />

emotionale Komponente<br />

beson<strong>der</strong>s wesentlich<br />

sozialer Prozess<br />

Lernen ist fast immer e<strong>in</strong><br />

<strong>in</strong>teraktives Geschehen<br />

und wird durch soziale<br />

Komponenten bee<strong>in</strong>flusst<br />

situativer Prozess<br />

Wissenserwerb erfolgt stets <strong>in</strong><br />

e<strong>in</strong>em spezifischen Kontext und<br />

ist mit <strong>die</strong>sem verbunden<br />

126

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

E<strong>in</strong>e<br />

pragmatische<br />

Position zum<br />

Lehren und<br />

Lernen:<br />

Lernen aus<br />

konstruktivistischer Sicht<br />

Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30<br />

127

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

128

Pr<strong>in</strong>zipien<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Genetisches Pr<strong>in</strong>zip<br />

Sokratisches Pr<strong>in</strong>zip<br />

Exemplarisches Pr<strong>in</strong>zip<br />

Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />

Integrationspr<strong>in</strong>zip<br />

Pr<strong>in</strong>zip des<br />

aktiven Lernens<br />

(gelenkten) Entdeckenden<br />

Lernens<br />

Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien<br />

(unvollständige Liste)<br />

Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong><br />

Realitätsnähe o<strong>der</strong> Lebensnähe<br />

Beziehungshaltigkeit<br />

<strong>in</strong>tegrierten Wie<strong>der</strong>holung<br />

Isolation <strong>der</strong> Schwierigkeiten<br />

Selbsttätigkeit<br />

Variation<br />

adäquaten Visualisierung<br />

Variation <strong>der</strong><br />

Veranschaulichungsmittel<br />

129

Wissensentwicklung<br />

Entwicklungsstufen<br />

Repräsentationsformen<br />

(Epistemologie =<br />

Erkenntnistheorie)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

fundamentale<br />

Ideen<br />

grundlegendeRepräsentationenauswählen<br />

Zone <strong>der</strong><br />

proximalen<br />

Entwicklung<br />

(<strong>in</strong>ter-)<br />

aktives<br />

ganzheitliches<br />

Lernen organisieren<br />

Operatives<br />

Pr<strong>in</strong>zip<br />

<strong>in</strong>teraktiver<br />

Zugang zu<br />

Repräsentationen<br />

Pr<strong>in</strong>zipien des<br />

Lernens und Lehrens<br />

Wittmann: Standard Number Representations <strong>in</strong> the Teach<strong>in</strong>g of Arithmetic. In: JMD, 19 (1998) 2/3, S.149-178<br />

Spiralpr<strong>in</strong>zip<br />

schrittweise<br />

Schematisierung<br />

natürliche<br />

Differenzierung<br />

Vorwissen<br />

& natürliche<br />

Neugier<br />

nutzen<br />

130

Piaget<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />

Operationen s<strong>in</strong>d ver<strong>in</strong>nerlichte / gedachte Handlungen.<br />

Denken vollzieht sich <strong>in</strong> Operationen.<br />

Operationen s<strong>in</strong>d flexibel und beweglich, also:<br />

umkehrbar o<strong>der</strong> reversibel (Reversibilität),<br />

zusammensetzbar o<strong>der</strong> kompositionsfähig (Kompositionsfähigkeit)<br />

assoziativ (Assoziativität),<br />

d. h. man kann auf verschiedenen Wegen zum Ziel kommen.<br />

131

Bruner<br />

Wissensrepräsentation<br />

• enaktiv (handelnd)<br />

• ikonisch (bildhaft)<br />

• symbolisch<br />

Pr<strong>in</strong>zipien<br />

• Stufengemäßheit<br />

(vgl. Piaget)<br />

• Aufbaupr<strong>in</strong>zip<br />

• Ver<strong>in</strong>nerlichung<br />

• Reflexion<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Piaget<br />

Stufen <strong>der</strong><br />

kognitiven<br />

Entwicklung<br />

Operatives<br />

Pr<strong>in</strong>zip<br />

Pr<strong>in</strong>zip des<br />

operativen<br />

Durcharbeitens<br />

Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />

Aebli<br />

Ver<strong>in</strong>nerlichungsstufen<br />

• konkrete Stufe<br />

• figurale Stufe<br />

• symbolische Stufe<br />

Variation<br />

• Darstellungsebene<br />

• „Unwesentliches“<br />

(Veranschaulichungsmittel,<br />

mathematische<br />

Variablen, Kontext, …)<br />

• Ausgangssituation<br />

(Was passiert mit … ,<br />

wenn … ? )<br />

• Lösungsweg<br />

• gesuchte Größen<br />

132

Objekte erfassen bedeutet,<br />

zu erforschen,<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

wie sie konstruiert s<strong>in</strong>d<br />

wie sie sich verhalten, wenn<br />

auf sie Operationen ausgeübt<br />

werden.<br />

Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />

Wittmann: Objekte - Operationen - Wirkungen: Das operative Pr<strong>in</strong>zip <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>didaktik. <strong>Mathematik</strong> lehren 11, 1985<br />

Im Erkenntnisprozess wird<br />

systematisch untersucht,<br />

welche Operationen ausführbar<br />

und wie sie verknüpft s<strong>in</strong>d,<br />

welche Eigenschaften und<br />

Beziehungen den Objekten<br />

durch Konstruktion aufgeprägt<br />

s<strong>in</strong>d,<br />

welche Wirkungen Operationen<br />

auf Eigenschaften und<br />

Beziehungen <strong>der</strong> Objekte<br />

haben.<br />

133

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Spiralpr<strong>in</strong>zip<br />

(an Leitideen orientiert)<br />

Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bildung und <strong>Mathematik</strong>, Beltz, 1996, S. 173-182<br />

Pr<strong>in</strong>zip<br />

des vorwegnehmenden Lernens<br />

<strong>der</strong> Fortsetzbarkeit<br />

Zentrale Ideen des MU<br />

Zahl<br />

Messen<br />

räumliches<br />

Strukturieren<br />

funktionaler<br />

Zusammenhang<br />

Daten und Zufall<br />

Algorithmus<br />

mathematisches<br />

Modellieren<br />

134

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

? ? ?<br />

?<br />

? ?<br />

? ?<br />

?<br />

Sokratisches Pr<strong>in</strong>zip<br />

Lehrpr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Mäeutik<br />

Hebammenkunst<br />

Ausgangspunkt<br />

Menon-Sokrates-Dialog<br />

Pädagogische Grundhaltung<br />

Nicht belehren, son<strong>der</strong>n beim eigenen<br />

Entdecken und Urteilen helfen.<br />

Sokratisches Pr<strong>in</strong>zip<br />

Lehrer <strong>in</strong>itiiert und steuert durch Fragen<br />

den Problemlöseprozess <strong>der</strong> Schüler<br />

Lehrer hilft den Schülern, sich Wissen<br />

selbst anzueignen und e<strong>in</strong> Verständnis<br />

zu entwickeln<br />

Fragend-entwickeln<strong>der</strong> Unterricht<br />

135

Sokrates A � A‘ = 2A<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

a = 2 Fuß � a‘ = ?<br />

Sklave a‘ = 2a = 4 Fuß<br />

Sokrates a‘ = 2a � A‘ = ?<br />

Sklave A‘ = 2A<br />

Sokrates 4 Ausgangsquadrate<br />

Sklave A‘ = 4A<br />

Sokrates a‘ = a = 2 Fuß � A‘ = A < 2A<br />

Sklave a‘ = 3 Fuß<br />

a‘ = 2a = 4 Fuß � A‘ = 4A > 2A<br />

Sokrates a‘ = 3 Fuß � A‘ = ?<br />

Sklave A‘ = 9 Fuß² > 8 Fuß² = 2A<br />

Sokrates Wie dann?<br />

Sklave ?<br />

Sokrates …<br />

Menon-Sokrates-Dialog<br />

Platon: Auszug aus dem „Menon – Sokrates – Dialog“<br />

a<br />

A<br />

a<br />

136

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Trichtermuster �<br />

Bauersfeld, H. Kommunikationsmuster im <strong>Mathematik</strong>unterricht.<br />

In: Bauersfeld, Breidenbach (Hrsg.): Festschrift, Hannover, 1978, S. 158 – 170<br />

Lehrer<strong>in</strong>: … da ist ke<strong>in</strong> bestimmter Monat angegeben, dann nimmt man 30 Tage<br />

und rechnet mit den 30 Tagen, und <strong>in</strong> a) ist ja <strong>die</strong> Wassermenge von<br />

e<strong>in</strong>em Tag schon angegeben. Und wie viel ist denn das für e<strong>in</strong>en Monat?<br />

Schüler<strong>in</strong>: (schweigt)<br />

Lehrer<strong>in</strong>: Na, du weißt, e<strong>in</strong> Monat hat 30 Tage.<br />

Schüler<strong>in</strong>: (bejahend) … Hm …<br />

Lehrer<strong>in</strong>: Und nun?<br />

Schüler<strong>in</strong>: (schweigt)<br />

Lehrer<strong>in</strong>: E<strong>in</strong>e Stunde, du brauchst ja jetzt noch gar nicht zu sagen, wie viel e<strong>in</strong><br />

Tag hat, das musst du ja erst ausrechnen, also e<strong>in</strong> Tag hat x Hektoliter.<br />

Und dann kannst du x Hektoliter mal wie viel nehmen?<br />

Schüler<strong>in</strong>: (schweigt)<br />

Lehrer<strong>in</strong>: Na, wie viel haben wir gesagt für e<strong>in</strong>en Monat?<br />

Schüler<strong>in</strong>: 30 Tage.<br />

Lehrer<strong>in</strong>: Also x Hektoliter mal 30. Das wären <strong>die</strong> Hektoliter für e<strong>in</strong>en Monat.<br />

E<strong>in</strong>e Heilquelle hat e<strong>in</strong>e Ausschüttung<br />

von 200 hl pro Stunde. Welche<br />

Wassermenge liefert sie<br />

a) täglich,<br />

b) monatlich,<br />

c) jährlich?<br />

137

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Genetisches Pr<strong>in</strong>zip<br />

Wagensche<strong>in</strong>: Verstehen lehren. Beltz Verlag, We<strong>in</strong>heim und Basel, 1975 5<br />

Zentrales Anliegen<br />

Folge<br />

<strong>Mathematik</strong> nicht als<br />

Fertigprodukt lehren!<br />

Schüler sollen e<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>blick <strong>in</strong><br />

den Prozess <strong>der</strong> Entstehung<br />

von <strong>Mathematik</strong> erhalten.<br />

(Genese = Entstehung, Entwicklung)<br />

Unterricht nach genetischem<br />

Pr<strong>in</strong>zip ist problemlösen<strong>der</strong><br />

Unterricht<br />

Begriffe werden als Antworten<br />

auf Fragen mit bzw. von den<br />

Schülern entwickelt<br />

138

Jedes Jahr am 21. Juni wirft <strong>der</strong> Obelisk auf dem<br />

Marktplatz <strong>in</strong> Assuan (damals Syene) <strong>in</strong> Oberägypten<br />

zur Mittagszeit ke<strong>in</strong>en Schatten. Die Sonne steht also<br />

zu <strong>die</strong>ser Zeit genau senkrecht über <strong>die</strong>sem Obelisk.<br />

Zur gleichen Zeit wirft <strong>der</strong> Obelisk auf dem Marktplatz<br />

im 5000 Sta<strong>die</strong>n (ca. 1000 km) nördlich von Assuan<br />

liegenden Alexandria e<strong>in</strong>en deutlich erkennbaren<br />

Schatten.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Erdumfangsbestimmung<br />

(Eratosthenes)<br />

http://www.grenzste<strong>in</strong>.de/era/eratosthenes.html<br />

Umfang<br />

<strong>der</strong> Erde?<br />

Alexandria<br />

Ägypten<br />

Eratosthenes hat den W<strong>in</strong>kel gemessen, den <strong>die</strong> Sonnenstrahlen mit dem<br />

Obelisken <strong>in</strong> Alexandria e<strong>in</strong>schlossen. Der W<strong>in</strong>kel betrug 1/50 des<br />

Vollw<strong>in</strong>kels.<br />

Wie konnte Eratosthenes damit den Erdumfang bestimmen?<br />

Welches Ergebnis erhielt er?<br />

Libyen<br />

Assuan<br />

(Syene)<br />

139

Bogenlänge und W<strong>in</strong>kel<br />

Verdoppelt man den W<strong>in</strong>kel α,<br />

so verdoppelt sich auch <strong>die</strong><br />

Bogenlänge b<br />

α : 360 = 1 : 50 = b : x<br />

Syrene - Alexandria:<br />

b = 1000 km<br />

Erdumfang<br />

1 : 50 = 1000 : x<br />

Erdumfang:<br />

x = 50.000 km<br />

Tatsächlicher Erdumfang:<br />

ca. 40.000 km<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Erdumfangsbestimmung<br />

(Eratosthenes)<br />

http://www.grenzste<strong>in</strong>.de/era/eratosthenes.html<br />

Horologium<br />

140

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Grundlage<br />

Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong><br />

Beziehungshaltigkeit<br />

Wissen wird im Gedächtnis als<br />

Netzwerk von Beziehungen<br />

gespeichert.<br />

Neues Wissen heißt e<strong>in</strong>glie<strong>der</strong>n<br />

<strong>in</strong> und erweitern von bereits<br />

vorhandene(n) Begriffsnetze(n).<br />

Stichworte<br />

Ausgehen von den<br />

Vorerfahrungen <strong>der</strong> Schüler<br />

kumulatives Lernen<br />

Kompetenzentwicklung<br />

erfahrbar machen<br />

Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Lebensnähe<br />

fachübergreifendes Lernen<br />

141

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Pr<strong>in</strong>zip des produktiven Übens<br />

Produktives (s<strong>in</strong>nvolles) Üben<br />

ist ke<strong>in</strong>e isolierte Tätigkeit,<br />

ist mit E<strong>in</strong>sicht verbunden,<br />

f<strong>in</strong>det regelmäßig statt,<br />

wird <strong>in</strong> <strong>die</strong> Erarbeitung<br />

neuer Inhalte <strong>in</strong>tegriert,<br />

geschieht <strong>in</strong> herausfor<strong>der</strong>nden<br />

und anregenden Kontexten,<br />

orientiert sich an dem was<br />

wirklich gebraucht wird.<br />

Gegensatz: Stereotypes Üben<br />

geht nicht auf Fehlerursachen e<strong>in</strong>,<br />

bietet ke<strong>in</strong>e konstruktive Hilfe,<br />

trägt zur Verfestigung von Denkfehlern<br />

bei.<br />

142

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

E<strong>in</strong> Glasqua<strong>der</strong> wird teilweise mit Wasser gefüllt,<br />

auf e<strong>in</strong>en Tisch gestellt und um e<strong>in</strong>e se<strong>in</strong>er<br />

Bodenkanten gekippt.<br />

Die Grenzflächen des Wassers nehmen beim<br />

Kippen verschiedene geometrische Formen an,<br />

<strong>die</strong> sich auch <strong>in</strong> ihren Ausmaßen verän<strong>der</strong>n.<br />

Versuche, so viele unverän<strong>der</strong>liche<br />

Beziehungen wie möglich bezüglich <strong>die</strong>ser<br />

Formen und <strong>der</strong>en Ausmaße zu f<strong>in</strong>den.<br />

Notiere de<strong>in</strong>e<br />

Entdeckungen<br />

und versuche sie<br />

zu begründen.<br />

b·c = const.<br />

Offene Aufgabe:<br />

Qua<strong>der</strong> kippen<br />

a + b = const.<br />

143

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Aufgabenvariation (Strategien)<br />

Schupp: Variatio delectat! Der <strong>Mathematik</strong>unterricht, Jahrgang 49, Heft 4, 2003, S. 4-12 und 53<br />

144

Überlappende Quadrate<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bestimme <strong>die</strong> Größe <strong>der</strong> Schnittfläche EMFD!<br />

Was ist <strong>der</strong> größte (kle<strong>in</strong>ste) Wert, den <strong>die</strong>se<br />

Überlappungsfläche annehmen kann?<br />

E<strong>in</strong>ige Variationsmöglichkeiten<br />

Schlussfolgern: Was gilt für <strong>die</strong> Gesamtfläche<br />

aus den beiden Quadraten?<br />

Begriff abän<strong>der</strong>n: Umfang statt Fläche<br />

Verallgeme<strong>in</strong>ern:<br />

Zweites Quadrat hat Kantenlänge b.<br />

Der Drehpunkt ist nicht M.<br />

Analogisieren: Kreise statt Quadrate<br />

usw.<br />

Aufgabenvariation:<br />

Überlappende Quadrate<br />

Vgl. Pythagoras<br />

Beweis<br />

145

Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 217-234<br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Begriffe erarbeiten<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

146

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bauste<strong>in</strong>e des Wissens<br />

charakterisieren Objektklassen<br />

verdichten Informationen<br />

Grundlage sprachlicher Kommunikation<br />

bee<strong>in</strong>flussen <strong>die</strong> Gedächtnisleistung<br />

bee<strong>in</strong>flussen das Problemlösen<br />

Begriffe<br />

147

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Begriffe und Problemlösen<br />

Quelle von Problemstellungen<br />

Mittel zum Präzisieren von<br />

Problemstellungen<br />

Lösungshilfen für Probleme<br />

Lösungen von Problemen<br />

Mittel zur Sicherung von<br />

Problemlösungen<br />

148

Leitbegriff e<strong>in</strong>es Themenstrangs<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Rolle von Begriffen<br />

z. B. Symmetrie, Funktion, Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, Figur, …<br />

Schlüsselbegriff e<strong>in</strong>er Unterrichtssequenz<br />

z. B. Bruch, Proportionalität, Symmetrische Vierecke, …<br />

Zentraler Begriff e<strong>in</strong>er Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />

Begriff, <strong>der</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> Unterrichtse<strong>in</strong>heit erarbeitet wird.<br />

Arbeitsbegriff<br />

Benennung, um über Sachverhalte überhaupt<br />

ohne Umschreibung sprechen zu können.<br />

Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den Gebrauch vertraut.<br />

149

Intuitives Begriffsverständnis<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Begriff als Phänomen<br />

Beispiele kennen<br />

Inhaltliches Begriffsverständnis<br />

Begriff als Träger von Eigenschaften<br />

Eigenschaften kennen<br />

Integriertes Begriffsverständnis<br />

Begriff als Teil e<strong>in</strong>es Begriffsnetzes<br />

Beziehungen von Eigenschaften untere<strong>in</strong>an<strong>der</strong><br />

und Beziehungen zu an<strong>der</strong>en Begriffen kennen<br />

Strukturelles Begriffsverständnis<br />

Begriff als strukturierbares Objekt<br />

Begriffe als Objekte, <strong>die</strong> verknüpft werden können.<br />

Stufen des (Leit-)<br />

Begriffsverständnisses<br />

Vollrath: Methodik des Begriffslehrens im MU. Ernst Klett Verlag, 1984, S. 215-217<br />

Diff‘barkeit<br />

y<br />

8<br />

7<br />

6<br />

5<br />

4<br />

3<br />

2<br />

1<br />

x<br />

-3 -2 -1 1 2 3<br />

f · g<br />

150

Lernen als Ersteigen von Stufen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens<br />

führt zu Wissen höherer Qualität. � Höhere Stufe<br />

Lernen durch Erweiterung<br />

Modelle langfristigen<br />

Begriffslernens<br />

Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf <strong>die</strong> man beim<br />

Operieren mit den bisherigen Objekten stößt.<br />

� Vertrautes wird nun <strong>in</strong> neuem Licht gesehen.<br />

Z.B. Erweiterung von Zahlenmengen: rational, reell, komplex<br />

151

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Verstehen e<strong>in</strong>es Begriffs<br />

Lernende haben e<strong>in</strong>en Begriff verstanden, wenn sie<br />

Bezeichnung des Begriffs kennen,<br />

Beispiele angeben und jeweils begründen können,<br />

warum es sich um e<strong>in</strong> Beispiel handelt,<br />

begründen können, weshalb etwas<br />

nicht unter e<strong>in</strong>en Begriff fällt,<br />

charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,<br />

Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen,<br />

mit dem Begriff arbeiten können<br />

(z. B. im Rahmen von Problemlösungen)<br />

152

Erfahrungen zum Begriff sammeln<br />

Handlungen (enaktive Repräsentation)<br />

Objekte darbieten<br />

Beispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation)<br />

Merkmale entdecken<br />

Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Variation<br />

Pr<strong>in</strong>zip des Kontrasts<br />

Sprache (benennen, beschreiben)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Erarbeiten e<strong>in</strong>es Begriffs<br />

Def<strong>in</strong>ition erarbeiten<br />

Genetische Def<strong>in</strong>ition<br />

Charakterisierende Def<strong>in</strong>ition<br />

Oberbegriff angeben<br />

Def<strong>in</strong>ierende Eigenschaft � notwendig & h<strong>in</strong>reichend Bed<strong>in</strong>gung<br />

Kritisch Reflektieren<br />

Def<strong>in</strong>ition durch möglichst „schwache“ For<strong>der</strong>ung<br />

Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache<br />

153

E<strong>in</strong>stieg<br />

An e<strong>in</strong>em geeigneten Problemkontext werden<br />

erste Vorstellungen vom Begriff entwickelt.<br />

Erarbeitung<br />

Umfang & Inhalt des Begriffs herausarbeiten<br />

Sicherung<br />

Ergebnisse festhalten<br />

mit Hilfe geeigneter Aufgaben überprüfen,<br />

ob <strong>der</strong> Begriff erfasst ist und etwa gegen<br />

an<strong>der</strong>e Begriffe abgegrenzt werden kann<br />

(z. B. Frage nach Beispielen und Gegenbeispielen)<br />

Vertiefung (Transfer)<br />

Querverb<strong>in</strong>dungen zu an<strong>der</strong>en Begriffen herstellen<br />

Spezialfälle (<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e Grenzfälle) betrachten<br />

(z. B. auch Variation <strong>der</strong> def<strong>in</strong>ierenden Eigenschaften)<br />

Anwendungen, …<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Unterrichtsphasen<br />

(bei zentralen Begriffen)<br />

Verankerung<br />

<strong>in</strong> kognitiver<br />

Struktur<br />

154

E<strong>in</strong>stieg<br />

Wie viele Punkte können<br />

e<strong>in</strong> Kreis und e<strong>in</strong>e Gerade<br />

geme<strong>in</strong>sam haben?<br />

Erarbeitung<br />

Tangente, 1 Berührpunkt,<br />

Sekante, 2 Schnittpunkte,<br />

Passante, ke<strong>in</strong>e gem. Punkte.<br />

Sicherung: Tangente zeichnen!<br />

Vertiefung:<br />

Besitzt <strong>die</strong> Figur aus Kreis und<br />

Tangente e<strong>in</strong>e Symmetrieachse?<br />

Ja! � Tangente steht senkrecht<br />

auf dem Berührpunktradius.<br />

Wie kann man <strong>die</strong> Tangente konstruieren?<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Tangente<br />

an e<strong>in</strong>en Kreis<br />

k<br />

M<br />

B<br />

t<br />

155

Vertiefung:<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

M P<br />

Beispiel: Tangente<br />

an e<strong>in</strong>en Kreis<br />

Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P?<br />

Skizziere Sie!<br />

Wie kann man <strong>die</strong> Tangenten konstruieren?<br />

156

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel:<br />

Dreiecksgrundformen<br />

Roth: Dreiecksgrundformen. In: Praxis <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> Schule, Heft 12, Dezember 2006, 48. Jg., S. 21-25<br />

Grundverständnis <strong>der</strong> Begriffe<br />

gleichschenkliges Dreieck<br />

rechtw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />

spitzw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />

stumpfw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />

Ziel: Erarbeitung e<strong>in</strong>er Verständnisgrundlage<br />

Begriffe als „bewegliche“ Strukturen aufbauen<br />

Begriffe flexibler verfügbar machen<br />

als mit statischen Prototypen<br />

A<br />

C<br />

B<br />

157

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gleichschenklige Dreiecke<br />

1) Bewege den Punkt C so, dass Dreiecke entstehen, <strong>die</strong><br />

a) gleichschenklig mit |AC| = |BC| s<strong>in</strong>d,<br />

b) gleichschenklig mit |AC| = |AB| s<strong>in</strong>d,<br />

c) gleichschenklig mit |BC| = |AB| s<strong>in</strong>d.<br />

2) Angabe von Kurven<br />

(Begründung)<br />

3) Wi<strong>der</strong>legen bzw. vertrauensbildende<br />

Maßnahme durch<br />

B<strong>in</strong>den von C an <strong>die</strong> Kurven.<br />

4) Beobachtung <strong>der</strong> Innenw<strong>in</strong>kel<br />

� Basisw<strong>in</strong>kelsatz<br />

5) Gleichseitige Dreiecke<br />

75°<br />

3,6 cm<br />

C<br />

γ<br />

α β<br />

A B<br />

60°<br />

5 cm<br />

4,5 cm<br />

45°<br />

158

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Dreiecksgrundformen<br />

„Merkbild“<br />

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/<br />

159

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Eckpunkt wan<strong>der</strong>t auf e<strong>in</strong>er<br />

Kurve<br />

http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/<br />

160

Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 234-246<br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Sachverhalte erarbeiten<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

161

Eigenschaften<br />

mathematischer<br />

Objekte<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Regeln für<br />

den Umgang mit<br />

mathematischen<br />

Objekten<br />

Regeln<br />

Sachverhalte<br />

Gesetze<br />

Eigenschaften<br />

von Begriffen<br />

Begründbare Aussagen<br />

Sätze<br />

Sachverhalte?!<br />

Beziehungen<br />

zwischen<br />

Begriffen<br />

162

Entdecken von Sachverhalten<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Induktiv o<strong>der</strong> deduktiv Hypothesen wi<strong>der</strong>legen<br />

Beispiel: „Quadrieren vergrößert.“<br />

Formulieren <strong>der</strong> Sachverhalte<br />

als mathematische Aussagen<br />

Begründen <strong>der</strong> Aussagen<br />

Logische Struktur (Voraussetzung,<br />

Behauptung) herausarbeiten<br />

Ziele des Begründens<br />

Wahrheit e<strong>in</strong>er Aussage sichern<br />

E<strong>in</strong>sicht <strong>in</strong> den Sachverhalt vermitteln<br />

Verstehen <strong>der</strong> Sachverhalte<br />

Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, <strong>die</strong> zu<br />

(neuen) mathematischen Erkenntnissen führen<br />

Didaktische Aufgaben<br />

2² = 4 > 2<br />

3² = 9 > 3<br />

4² = 16 > 4<br />

a² > a<br />

⇔ a ∈ R\[0;1]<br />

Fallunterscheidung<br />

163

Erfahren von<br />

Handlungsspielräumen<br />

und Sachzwängen<br />

Probieren<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Verschiedene<br />

Begründungsweisen<br />

Messen α β γ α + β + γ<br />

31° 44,5° 115° 180,5°<br />

51° 92° 35° 179°<br />

164

Son<strong>der</strong>fall<br />

Beweis<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

⇒ 180° =<br />

α + β + γ<br />

Verschiedene<br />

Begründungsweisen<br />

Parallelw<strong>in</strong>kel (2. AHS)<br />

Zwei Parallelw<strong>in</strong>kel s<strong>in</strong>d<br />

entwe<strong>der</strong> gleich groß o<strong>der</strong> sie<br />

ergänzen e<strong>in</strong>an<strong>der</strong> auf 180°.<br />

165

E<strong>in</strong>stieg: Die Seitenlänge a e<strong>in</strong>es Quadrates wird um b vergrößert.<br />

Wie än<strong>der</strong>t sich <strong>der</strong> Flächen<strong>in</strong>halt des Quadrates?<br />

Erarbeitung:<br />

Ergebnis:<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

( b)<br />

a + =<br />

2<br />

( a + b)<br />

2<br />

( a + b)<br />

=<br />

2<br />

2<br />

a + 2ab<br />

B<strong>in</strong>omische Formel<br />

Sicherung: (x + y) 2 , (x + 3) 2 , (5 + z) 2 , (a + 2b) 2 ,<br />

(x 2 + y 3 ) 2 , c 2 + 2cd + d 2 , …<br />

Skizze e<strong>in</strong>er Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />

B<strong>in</strong>omische Formel<br />

+ b<br />

2<br />

= ( a + b)<br />

·<br />

( a + b)<br />

2<br />

= a + ab + ab b<br />

2<br />

= a + 2ab + b<br />

2<br />

2<br />

a + 2ab + b<br />

2<br />

+ 2<br />

Vertiefung: Verwandle (a − b)² <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Summe.<br />

Lässt sich <strong>die</strong>se Aussage geometrisch deuten? …<br />

b<br />

a<br />

ab<br />

a²<br />

a<br />

b²<br />

ab<br />

b<br />

Probleme:<br />

(a+b)² �=<br />

a²+b²<br />

(2xy+3vw)²<br />

166

Vertiefung: Verwandle (a − b)² <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Summe.<br />

Lässt sich <strong>die</strong>se Aussage geometrisch deuten? …<br />

a -<br />

b<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

2<br />

( a + b)<br />

=<br />

2<br />

( a - b)<br />

=<br />

2<br />

2<br />

a + 2ab<br />

2<br />

a - 2ab<br />

Wie lässt sich <strong>die</strong> 3. b<strong>in</strong>omische<br />

Formel geometrisch darstellen?<br />

2<br />

= ( a + b)<br />

· ( a - b)<br />

Skizze e<strong>in</strong>er Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />

B<strong>in</strong>omische Formel<br />

+ b<br />

2<br />

+ b<br />

2<br />

http://www.realmath.de/<strong>Mathematik</strong>/Mathepage/B<strong>in</strong>om<strong>in</strong>dexneu.html<br />

167

Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 246-252<br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Algorithmen erarbeiten<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Algorithmus = (Lösungs-)Verfahren<br />

168

Ziele: Die Schüler<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Didaktische Aufgaben<br />

Verfahren Schrittfolgen, <strong>die</strong> abzuarbeiten s<strong>in</strong>d.<br />

Alle Schritte begründen.<br />

(Beitrag zur Lösung verdeutlichen)<br />

Das verstandene (!) Verfahren<br />

durch Anwendung üben.<br />

eignen sich das Verfahren an (Primat des Verstehens)<br />

(d. h. sie verstehen es und können es anwenden)<br />

können zwischen dem Ziel und dem Weg dah<strong>in</strong> unterscheiden<br />

(Ziel: „+2 auf <strong>die</strong> an<strong>der</strong>e Seite br<strong>in</strong>gen“;<br />

Weg: „Auf beiden Seiten 2 subtrahieren.“)<br />

denken über Alternativen nach und versuchen,<br />

den gefundenen Algorithmus zu verbessern,<br />

notieren das Lösungsschema mit zunehmendem Alter<br />

als Algorithmus, <strong>der</strong> von Computern ausführbar ist.<br />

169

Voraussetzungen für das Lernen e<strong>in</strong>es Verfahrens<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beherrschung e<strong>in</strong>er Regelhierarchie<br />

Zur Sicherstellung s<strong>in</strong>d Wie<strong>der</strong>holungen nötig<br />

Beispiel für e<strong>in</strong>e<br />

Fähigkeitshierarchie<br />

Schriftliche Addition<br />

mehrstelliger Zahlen<br />

E<strong>in</strong>spluse<strong>in</strong>s im Kopf<br />

Benötigte Vorkenntnisse<br />

und Fähigkeiten<br />

Schriftliche Multiplikation<br />

mehrstelliger Zahlen<br />

mite<strong>in</strong>an<strong>der</strong><br />

Schriftliche Multiplikation<br />

mehrstelliger Zahlen mit<br />

e<strong>in</strong>er e<strong>in</strong>stelligen Zahl<br />

Kle<strong>in</strong>es E<strong>in</strong>male<strong>in</strong>s im Kopf<br />

170

72 = 1⋅ 51+<br />

21<br />

51 = 2 ⋅ 21+<br />

9<br />

21 = 2 ⋅ 9 + 3<br />

9 = 3 ⋅ 3 + 0<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Euklidischer Algorithmus (ggT)<br />

72<br />

http://www.juergen-roth.de/excel/<br />

51<br />

171

Der größte geme<strong>in</strong>same Teiler<br />

(ggT) zweier Zahlen lässt sich<br />

über <strong>die</strong> Primfaktorzerlegung<br />

o<strong>der</strong> den Euklidischen<br />

Algorithmus bestimmen.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

72 21 1 1<br />

= 1+ = 1+ = 1+<br />

51 51 51 9<br />

2 +<br />

21 21<br />

1<br />

1<br />

= 1+<br />

= 1+<br />

1<br />

1<br />

2 + 2 +<br />

21<br />

3<br />

2 +<br />

9<br />

9<br />

1<br />

1<br />

= 1+<br />

= 1+<br />

1<br />

1<br />

2 +<br />

2 +<br />

1<br />

1<br />

2 +<br />

2 +<br />

9<br />

3<br />

3<br />

Euklidischer Algorithmus (ggT)<br />

72<br />

ggT(72, 51) = ?3<br />

51<br />

172

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Heron-Verfahren<br />

(Wurzelberechnung)<br />

Berechnungsgrundlage für Straßenre<strong>in</strong>igungsgebühren<br />

An <strong>die</strong> Straße grenzende Grundstückslänge<br />

(Frontmetermaßstab).<br />

Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen<br />

als <strong>der</strong> von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist.<br />

Geme<strong>in</strong><strong>der</strong>at: Für e<strong>in</strong> größeres Grundstück mehr zahlen.<br />

Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage<br />

Straßenre<strong>in</strong>igungsgebühren<br />

werden aus <strong>der</strong> Seitenlänge<br />

e<strong>in</strong>es zum Grundstück<br />

flächen<strong>in</strong>haltsgleichen<br />

Quadrats berechnet.<br />

Frage: Wie f<strong>in</strong>det man <strong>die</strong><br />

A<br />

B<br />

Seitenlänge <strong>die</strong>ses Quadrats?<br />

173

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Gesucht: A<br />

Anfangswert: 0 a<br />

a<br />

b =<br />

n+<br />

1<br />

=<br />

A<br />

n a n<br />

a<br />

n<br />

+<br />

2<br />

b<br />

n<br />

b<br />

0<br />

=<br />

a A<br />

0<br />

=<br />

6<br />

b<br />

1<br />

Heron-Verfahren<br />

(Wurzelberechnung)<br />

=<br />

a A<br />

1<br />

a<br />

1<br />

a 0 =<br />

4<br />

A = 24<br />

=<br />

=<br />

4,<br />

8<br />

a<br />

0<br />

http://www.juergen-roth.de/excel/<br />

+ b<br />

2<br />

0<br />

=<br />

5<br />

174

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Schwierigkeiten und<br />

Überraschungen<br />

175

Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 255-263<br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Anwenden und Modellieren<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

176

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>in</strong>nermathematische<br />

Anwendung<br />

Ziel: Querverb<strong>in</strong>dungen<br />

zwischen<br />

mathematischen<br />

Gebieten herstellen<br />

<strong>Mathematik</strong> anwenden<br />

1. Weg:<br />

E<strong>in</strong>stieg <strong>in</strong> neues<br />

Gebiet mit e<strong>in</strong>em<br />

„praktischen“<br />

Problem<br />

außermathematische<br />

Anwendung<br />

Ziel: „Nutzen“<br />

<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

verdeutlichen &<br />

motivieren<br />

Anwenden?!<br />

2. Weg:<br />

Anwendungsbeispiele<br />

nach<br />

Erarbeitung<br />

e<strong>in</strong>es Gebietes<br />

177

Es geht nicht um<br />

„frisierte“, also<br />

m<strong>in</strong>destens bere<strong>in</strong>igte<br />

o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>gekleidete<br />

Sachaufgaben,<br />

son<strong>der</strong>n um <strong>die</strong><br />

Ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong>setzung<br />

mit realen Problemen.<br />

Die Schüler sollen<br />

das Modellieren an<br />

e<strong>in</strong>fachen Beispielen<br />

selbst erfahren und<br />

darüber reflektieren<br />

können.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Geistige Abenteuerlust<br />

178

Kann man <strong>die</strong> Flüssigkeit<br />

aus dem l<strong>in</strong>ken<br />

Standzyl<strong>in</strong><strong>der</strong> <strong>in</strong> den<br />

rechten Standzyl<strong>in</strong><strong>der</strong><br />

schütten, ohne dass er<br />

überläuft?<br />

Modell: zwei kreisförmige<br />

Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> mit R = 3r.<br />

V = R 2 π h = (3r) 2 π h<br />

= 9 r 2 π h<br />

Antwort: Ne<strong>in</strong>, dazu müsste <strong>der</strong> rechte<br />

Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> m<strong>in</strong>d. 9mal so hoch wie <strong>der</strong><br />

Flüssigkeitsstand im l<strong>in</strong>ken Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> se<strong>in</strong>.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Standzyl<strong>in</strong><strong>der</strong><br />

179

Idealisieren<br />

Strukturieren<br />

Vere<strong>in</strong>fachen<br />

Präzisieren<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

reales<br />

Modell<br />

reale<br />

Situation<br />

Mathe-<br />

matisieren<br />

Anwenden<br />

Interpretieren<br />

Vali<strong>die</strong>ren<br />

Modellierungskreislauf<br />

mathem.<br />

Modell<br />

mathem.<br />

Resultate<br />

mathematische<br />

Überlegungen<br />

180

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Luft-Nummer<br />

Viel heiße Luft br<strong>in</strong>gt e<strong>in</strong>en mit<br />

Sicherheit nach oben. Niemand weiß<br />

das besser als lan Ashpole. Der 43jährige<br />

stand <strong>in</strong> England auf <strong>der</strong> Spitze<br />

e<strong>in</strong>es Heißluftballons. Die Luftnummer<br />

<strong>in</strong> 1500 Meter Höhe war noch <strong>der</strong><br />

ungefährlichste Teil <strong>der</strong> Aktion.<br />

Kritischer war <strong>der</strong> Start: Nur durch e<strong>in</strong><br />

Seil gesichert, musste sich Ashpole auf<br />

dem sich füllenden Ballon halten. Bei<br />

<strong>der</strong> Landung strömte dann <strong>die</strong> heiße<br />

Luft aus e<strong>in</strong>em Ventil direkt neben<br />

se<strong>in</strong>en Be<strong>in</strong>en vorbei. Doch außer<br />

leichten Verbrennungen trug <strong>der</strong><br />

Ballonfahrer ke<strong>in</strong>e Verletzungen davon.<br />

Wie viel Liter Luft s<strong>in</strong>d wohl <strong>in</strong><br />

<strong>die</strong>sem Heißluftballon?<br />

181

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Problemlösen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

182

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Mathematik</strong> im Entstehen<br />

183

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Mathematik</strong> und Kochen<br />

184

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Was ist e<strong>in</strong> Problem?<br />

A problem is a situation <strong>in</strong> which a person wants to reach<br />

a particular goal, is somehow blocked from reach<strong>in</strong>g that<br />

goal, but has the necessary motivation, knowledge and<br />

other resources to make a serious effort (not necessarily<br />

successful) at reach<strong>in</strong>g the goal (Willoughby, 1990).<br />

185

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Vorwärtsarbeiten<br />

Was ist gegeben?<br />

Rückwärtsarbeiten<br />

Invarianzpr<strong>in</strong>zip<br />

Was weiß ich über das Gegebene?<br />

Was kann ich daraus ermitteln?<br />

Was ist gesucht?<br />

Was weiß ich über das Gesuchte?<br />

Strategien<br />

Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln?<br />

Was än<strong>der</strong>t sich nicht?<br />

Was haben alle Objekte geme<strong>in</strong>sam?<br />

Zerlegungspr<strong>in</strong>zip („divide et impera“)<br />

Welche Teilfragen s<strong>in</strong>d zu lösen?<br />

Spezialisieren, Analogisieren, Konkretisieren<br />

186

x x² …<br />

n+(n+1)+(n+2)<br />

= 3n+3<br />

= 3⋅(n+1)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Tabelle<br />

Ausprobieren!<br />

Heuristische Hilfsmittel<br />

Welche Werte sollen <strong>in</strong> <strong>die</strong> Tabelle<br />

e<strong>in</strong>getragen werden?<br />

Informative Figur<br />

Hilft beim Verständnis des Problems.<br />

Beim Zeichnen wird deutlich, welche<br />

Informationen zur Lösung benötigt werden.<br />

Was benötige ich, um das Gesuchte zu<br />

ermitteln?<br />

Gleichung / Term<br />

Beziehungen <strong>der</strong> Informationen werden<br />

verknüpft dargestellt.<br />

Nicht immer notwendig!<br />

187

Erstens<br />

Du musst <strong>die</strong> Aufgabe verstehen.<br />

Zweitens<br />

Suche den Zusammenhang zwischen<br />

den Daten und <strong>der</strong> Unbekannten.<br />

Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten,<br />

wenn e<strong>in</strong> unmittelbarer Zusammenhang<br />

nicht gefunden werden kann.<br />

Du musst schließlich e<strong>in</strong>en Plan<br />

<strong>der</strong> Lösung erhalten.<br />

Drittens<br />

Führe de<strong>in</strong>en Plan aus.<br />

Viertens<br />

Prüfe <strong>die</strong> erhaltene Lösung.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung?<br />

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995<br />

188

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung?<br />

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995<br />

189

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung?<br />

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlag<strong>in</strong>nenseite<br />

190

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung?<br />

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlag<strong>in</strong>nenseite<br />

191

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung?<br />

Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlag<strong>in</strong>nenseite<br />

192

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

E<strong>in</strong>fache E<strong>in</strong>stiegsprobleme<br />

Roth: Onl<strong>in</strong>e-Spiele im <strong>Mathematik</strong>unterricht?! In: <strong>Mathematik</strong> lehren, Heft 146, Februar 2008, S. 68-69<br />

http://www.gamecraft.de/get_gruppe.php?gruppe=ma<br />

193

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Anzahl von Wegen<br />

Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,<br />

wenn du nur nach Norden o<strong>der</strong> Osten gehen darfst?<br />

194

E<strong>in</strong>fachere<br />

Teilprobleme<br />

(Divide et impera)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

1<br />

1 4<br />

1<br />

1<br />

Beispiel: Anzahl von Wegen<br />

3 6<br />

2 3<br />

1 1<br />

4<br />

1 1<br />

Hals: Problem Solv<strong>in</strong>g, 2010<br />

Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,<br />

wenn du nur nach Norden o<strong>der</strong> Osten gehen darfst?<br />

195

1 1<br />

1 2 1<br />

1 3 3 1<br />

1 4 6 4 1<br />

...<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Anzahl von Wegen<br />

Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,<br />

wenn du nur nach Norden o<strong>der</strong> Osten gehen darfst?<br />

Aufgabenvariation: Was passiert bei...<br />

a) 8 x 8 Blöcken?<br />

b) n x n Blöcken?<br />

c) n x m Blöcken?<br />

d) Drei Dimensionen?<br />

196

Gleichseitiges Dreieck. Kannst du e<strong>in</strong>en<br />

Zusammenhang zwischen x, y, z und h f<strong>in</strong>den?<br />

Beweise de<strong>in</strong>e Vermutung.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Langweilig!<br />

Beispiel: Dreiecksabstände<br />

Hals: Problem Solv<strong>in</strong>g, 2010<br />

197

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Was ist e<strong>in</strong> Problem?<br />

A problem is a situation <strong>in</strong> which a person wants to reach<br />

a particular goal, is somehow blocked from reach<strong>in</strong>g that<br />

goal, but has the necessary motivation, knowledge and<br />

other resources to make a serious effort (not necessarily<br />

successful) at reach<strong>in</strong>g the goal (Willoughby, 1990).<br />

198

Ella und Judith s<strong>in</strong>d exzellente Surfer. Sie möchten<br />

e<strong>in</strong>e Hütte auf ihrer dreieckigen Traum<strong>in</strong>sel bauen,<br />

wo es an zum<strong>in</strong>dest e<strong>in</strong>em <strong>der</strong> drei genau gleich<br />

langen Strände immer gute Surfbed<strong>in</strong>gungen gibt.<br />

Wo sollen sie ihre Hütte bauen,<br />

damit <strong>die</strong> Summe <strong>der</strong> Abstände<br />

zu den drei Stränden so kle<strong>in</strong><br />

wie möglich ist?<br />

Kannst du beweisen, dass<br />

du richtig liegst?<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Surfer<br />

Hals: Problem Solv<strong>in</strong>g, 2010<br />

199

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wir beweisen, dass x + y + z = h<br />

s⋅h Total area =<br />

2<br />

s ⋅ x + s ⋅ y + s ⋅ z = s ⋅ h<br />

x + y + z = h<br />

Gleichseitiges Dreieck<br />

s⋅x s⋅y s⋅z Total area = + +<br />

2 2 2<br />

s⋅x s⋅y s⋅z s⋅h + + =<br />

2 2 2 2<br />

200

Unrealistisch, weil es ke<strong>in</strong>e dreieckigen Inseln gibt.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Svið<strong>in</strong>sey, Island<br />

Beispiel: Surfer<br />

Stimmt nicht!<br />

201

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Verlag, We<strong>in</strong>heim, Basel, 1998, S. 319<br />

Zwei Orte A und B liegen 245 km vone<strong>in</strong>an<strong>der</strong> entfernt. In Ort A<br />

startet e<strong>in</strong> Auto <strong>in</strong> Richtung Ort B und legt durchschnittlich <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />

Stunde 60 km zurück. Gleichzeitig startet <strong>in</strong> Ort B e<strong>in</strong> Auto <strong>in</strong><br />

Richtung Ort A und legt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Stunde durchschnittlich 80 km<br />

zurück. Während <strong>die</strong> beiden Autos losfahren, startet gleichzeitig e<strong>in</strong><br />

Hubschrauber <strong>in</strong> Ort A. Der Hubschrauber fliegt mit e<strong>in</strong>er<br />

Durchschnittsgeschw<strong>in</strong>digkeit von 240 km/h <strong>in</strong> Richtung Ort B. In<br />

<strong>die</strong>ser Richtung fliegt er so lange, bis er auf das Auto aus B trifft. Er<br />

wendet ohne Zeitverlust und fliegt <strong>in</strong> Richtung Ort A, bis er auf das<br />

Auto, das <strong>in</strong> Ort A gestartet ist, trifft. Auf <strong>die</strong>se Weise fliegt <strong>der</strong><br />

Hubschrauber immer zwischen den beiden Autos h<strong>in</strong> und her, bis<br />

<strong>die</strong> Fahrzeuge sich treffen. Wie viele Kilometer legt <strong>der</strong><br />

Hubschrauber währenddessen zurück?<br />

202

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

2<br />

2<br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

240 km/h<br />

60 km/h 80 km/h<br />

245 km =<br />

245 km<br />

1,75 h<br />

km<br />

km h<br />

140 h<br />

⋅<br />

240 1,75 h = 420 km<br />

203

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

204

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

205

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

206

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

207

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

208

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Hubschrauber<br />

209

So wenig wie möglich, aber so viel wie nötig.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Motivationshilfen<br />

Rückmeldungshilfen<br />

Allgeme<strong>in</strong>strategische Hilfen<br />

Inhaltsorientierte strategische Hilfen<br />

Inhaltliche Hilfen<br />

Hilfen beim Problemlösen<br />

Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz,1998, S. 315<br />

210

Motivationshilfen<br />

Die Aufgabe ist<br />

nicht schwer.<br />

Du kannst das<br />

schaffen.<br />

Man braucht<br />

nicht viel Zeit zur<br />

Lösung.<br />

Man f<strong>in</strong>det<br />

schnell<br />

Lösungsideen.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Rückmeldungshilfen<br />

Du bist auf<br />

e<strong>in</strong>em richtigen<br />

Weg.<br />

Du stehst kurz<br />

vor <strong>der</strong> Lösung.<br />

Da musst du<br />

noch e<strong>in</strong>mal<br />

nachrechnen<br />

Mach weiter so.<br />

Allgeme<strong>in</strong>strategische<br />

Hilfen<br />

Lies <strong>die</strong> Aufgabe<br />

genau durch.<br />

Notiere<br />

gegebene Daten.<br />

Erstelle e<strong>in</strong>e<br />

Skizze.<br />

Überprüfe de<strong>in</strong>en<br />

Lösungsweg.<br />

Hilfen beim Problemlösen<br />

Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz,1998, S. 319<br />

Inhaltsorientierte<br />

strategische<br />

Hilfen<br />

Versuche de<strong>in</strong>e<br />

Kenntnisse zu …<br />

anzuwenden.<br />

Versuche<br />

graphisch zu<br />

lösen.<br />

Überprüfe <strong>die</strong><br />

Größenordnung<br />

<strong>der</strong> Ergebnisse.<br />

Überprüfe <strong>die</strong><br />

Ergebnisse am<br />

Text.<br />

Inhaltliche<br />

Hilfen<br />

Zeichne folgende<br />

Hilfsl<strong>in</strong>ie e<strong>in</strong>.<br />

Denk an den<br />

Zusammenhang<br />

…<br />

Versuche aus<br />

den gegebenen<br />

Größen … <strong>die</strong><br />

fehlende zu<br />

berechnen.<br />

Jetzt weißt<br />

du …, also …!<br />

211

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Anschaulichkeit bzw.<br />

Abstraktionsgrad<br />

Formalisierungs- bzw.<br />

Mathematisierungsgrad<br />

Bekanntheit<br />

Komplexität<br />

Anfor<strong>der</strong>ungsniveau<br />

von Problemen<br />

212

Schritte beim Lernen von heuristischen Strategien<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lernen von Heurismen<br />

Bru<strong>der</strong>: Lernen geeignete Fragen zu stellen – Heuristik im MU. In: <strong>Mathematik</strong> lehren 115, Dezember 2002, S. 4-8<br />

Implizite Gewöhnung an heuristische Vorgehensweisen und<br />

zugehörige typische Fragestellungen<br />

Strategie an Hand von Musteraufgaben explizit vorstellen<br />

Übungsphase mit Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit,<br />

<strong>in</strong> denen <strong>die</strong> neue Strategie bewusst angewandt werden soll.<br />

Anstreben e<strong>in</strong>er unterbewussten flexiblen Strategieanwendung<br />

� Reflexionsphase: Beschreibung mit heuristischer Fragetechnik<br />

213

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Rahmenbed<strong>in</strong>gungen des<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>Mathematik</strong>unterrichts<br />

214

Alter <strong>der</strong> Schüler (S) und<br />

Lehrer (L)<br />

Entwicklungsstand (S)<br />

Geschlecht (S)<br />

allgeme<strong>in</strong>es Interesse (S/L)<br />

E<strong>in</strong>stellung zur <strong>Mathematik</strong><br />

(S/L)<br />

Begabung / Intelligenz (S)<br />

Leistungsstand und<br />

Lernvoraussetzungen (S)<br />

Lerntempo (S)<br />

Mitarbeit (S)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Anthropogene Bed<strong>in</strong>gungen<br />

Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36<br />

Diszipl<strong>in</strong> (S)<br />

fachliche und didaktische<br />

Kompetenz (L)<br />

Engagement für Schüler und<br />

Unterricht (L)<br />

Klassenatmosphäre<br />

Gruppierungen<br />

<strong>in</strong>nerhalb <strong>der</strong> Klasse<br />

Arbeitsstil <strong>der</strong> Klasse<br />

…<br />

Heftführung,<br />

Gruppenarbeit,<br />

Hausaufgaben …<br />

215

Schultyp<br />

Stadt- o<strong>der</strong> Landschule<br />

Größe <strong>der</strong> Schule<br />

Größe <strong>der</strong> Klasse<br />

Relation Jungen ↔ Mädchen<br />

soziale Herkunft (S),<br />

Berufe <strong>der</strong> Eltern<br />

häusliches Milieu,<br />

familiäre Situation<br />

Vorgeschichte <strong>der</strong> Klasse<br />

frühere L.<br />

ausgefallener Unterricht …<br />

Lehr- & Unterrichtspläne<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Soziokulturelle Bed<strong>in</strong>gungen<br />

Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36<br />

<strong>in</strong>nerschulische<br />

Organisationsform<br />

Vertiefen<strong>der</strong> Zweig,<br />

Wahlpflichtfach, ...<br />

Beson<strong>der</strong>heiten personeller<br />

o<strong>der</strong> materieller Ausstattung<br />

Lehrbuch, Me<strong>die</strong>n, Projektor, …<br />

räumliche Gegebenheiten<br />

Architektonische Gestaltung<br />

Gruppenräume …<br />

Sitzordnung<br />

zeitlicher Rahmen<br />

Stundenplan<br />

216

Faktoren für den Lernerfolg<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Faktoren für den Lernerfolg<br />

Persönlichkeit, Kompetenz und Vertrauenswürdigkeit des<br />

Lehrenden<br />

Aufbereitung des Stoffes durch den Lehrenden<br />

Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden: Intelligenz,<br />

Motivation und Fleiß<br />

Aufmerksamkeit<br />

Vorwissen und Anschlussfähigkeit des Stoffes<br />

Wie<strong>der</strong>holung des Stoffes<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

217

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lehrerpersönlichkeit<br />

Wissensvermittlung ist e<strong>in</strong>e Sache des Vertrauens <strong>in</strong> den<br />

Lehrenden<br />

Soll ich mich darauf verlassen, dass das, was <strong>der</strong> Lehrende<br />

erzählt, stimmt?<br />

Nur <strong>der</strong>jenige Lehrer, <strong>der</strong> vertrauenswürdig und kompetent wirkt,<br />

ist e<strong>in</strong> guter Lehrer.<br />

Persönlichkeitseigenschaften des Lehrenden<br />

Fachliche Kompetenz<br />

Selbstvertrauen<br />

Gerechtigkeit<br />

Glaubwürdigkeit<br />

Fe<strong>in</strong>fühligkeit<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

218

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Vertrauenswürdigkeit<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

Die Vertrauenswürdigkeit e<strong>in</strong>es Menschen hängt von wenigen,<br />

automatisierten und mehrheitlich unbewusst wirkenden Faktoren<br />

ab:<br />

Blick und Länge des Blickkontakts<br />

Augenstellung und Mundw<strong>in</strong>kelstellung<br />

Gestik<br />

Schulter-und Körperhaltung<br />

Stimme, Sprachmelo<strong>die</strong> und Sprachführung<br />

219

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Schülerpersönlichkeit<br />

Wichtige Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden<br />

Intelligenz<br />

Motivation & Fleiß<br />

Aufmerksamkeit<br />

Intelligenz<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

„Intelligenz ist <strong>die</strong> Fähigkeit, sich <strong>in</strong> neuen Situationen aufgrund<br />

von E<strong>in</strong>sicht zurechtzuf<strong>in</strong>den, Aufgaben mithilfe des Denkens zu<br />

lösen, wobei nicht auf e<strong>in</strong>e bereits vorliegende Lösungen zugrückgegriffen<br />

werden kann, son<strong>der</strong>n <strong>die</strong>se erst aus <strong>der</strong> Erfassung von<br />

Beziehungen abgeleitet werden muss“. (Stern und Neubauer,<br />

2007)<br />

Kurz: Intelligenz ist kreatives Problemlösen unter Zeitdruck<br />

220

Verteilung <strong>der</strong> Intelligenzleistung )IQ)<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Normal <strong>in</strong>telligent: IQ 85-115 (68%)<br />

Hochbegabt: IQ > 115 (14%)<br />

Intelligenzentwicklung<br />

Verteilung <strong>der</strong><br />

Intelligenzleistung (IQ)<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

Intelligenz <strong>in</strong> hohem Maße<br />

(50-60%) angeboren<br />

mit ca. 15 Jahren<br />

weitgehend abgeschlossen<br />

Man nimmt an, dass Umwelte<strong>in</strong>flüsse e<strong>in</strong>e maximale Auswirkung im<br />

Bereich von 20 IQ-Punkten haben<br />

Beispiel: E<strong>in</strong> „angeborener“ IQ von 100 kann sich unter guten<br />

Bed<strong>in</strong>gungen (För<strong>der</strong>ung) zu e<strong>in</strong>em IQ von 110 entwickeln o<strong>der</strong><br />

unter negativen Bed<strong>in</strong>gungen auf 90 zurück fallen.<br />

221

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Intelligenz, Schulerfolg<br />

& För<strong>der</strong>ung<br />

Zusammenhang zwischen Intelligenz und Leistung bzw. Erfolg<br />

Der Intelligenzgrad ist <strong>der</strong> beste Prädiktor für schulischen Erfolg<br />

(gemessen an den Schulnoten).<br />

Schulnoten s<strong>in</strong>d wie<strong>der</strong>um <strong>der</strong> beste Prädiktor für den Stu<strong>die</strong>nund<br />

Berufserfolg.<br />

Allerd<strong>in</strong>gs liegt <strong>der</strong> E<strong>in</strong>fluss des Intelligenzgrades auf den schulischen<br />

Erfolg „nur“ bei 36-50% und s<strong>in</strong>kt bei höheren Ausbildungsstufen<br />

auf 20-30%, hat aber immer noch <strong>die</strong> relativ beste<br />

Vorhersagekraft.<br />

För<strong>der</strong>ung<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

Positive frühk<strong>in</strong>dliche B<strong>in</strong>dungserfahrung und frühe senso-rische,<br />

kognitive und kommunikative Erfahrungen.<br />

Langjähriger Schulbesuch verbunden mit vielseitiger kognitiver,<br />

musischer und körperlicher Anregung und nachhaltigem Üben.<br />

222

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Motivation & Fleiß<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

Neben Intelligenz s<strong>in</strong>d Motivation und Fleiß <strong>die</strong> wichtigsten<br />

Bed<strong>in</strong>gungen für den Lernerfolg.<br />

Motivation zum Lernen und Fleiß s<strong>in</strong>d wie Intelligenz teils abhängig<br />

von <strong>der</strong> Persönlichkeit (Gewissenhaftigkeit, Ausdauer,<br />

Zielorientierung, Belohnungserwartung), teils s<strong>in</strong>d sie umweltabhängig,<br />

<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e von prägenden Faktoren <strong>in</strong> K<strong>in</strong>dheit und<br />

früher Jugend wie e<strong>in</strong>em lernbegünstigenden und <strong>in</strong>tellektuell<br />

offenem Familienklima, dem Vorbild <strong>der</strong> Eltern, Ermutigung und<br />

frühen Lernerfolgen.<br />

Dies erklärt, warum Motivation und Fleiß signifikant mit dem<br />

Bildungsgrad <strong>der</strong> Eltern korrelieren.<br />

Die E<strong>in</strong>stellung zum Fleiß ist <strong>in</strong> Deutschland (und Österreich)<br />

deutlich geschlechts-spezifisch ausgeprägt: bei Mädchen wird<br />

Fleiß „toleriert“, bei Buben gilt er als „uncool“. Dies drückt<br />

signifikant <strong>die</strong> Schulleistung <strong>der</strong> Buben.<br />

223

Lernen geschieht primär<br />

über das episodischkontextuelle<br />

Gedächtnis, d.h. über<br />

Inhalte, <strong>die</strong> mit mir und<br />

me<strong>in</strong>er Umgebung zu<br />

tun haben.<br />

Abstraktes Wissen ist<br />

kontextlos und deshalb<br />

schwer direkt zu<br />

vermitteln.<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Episodisches Gedächtnis<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

Abstraktes Wissen entsteht normalerweise über e<strong>in</strong>e Filterung<br />

episodischen Wissens durch zunehmenden Fortfall des Kontextes.<br />

Daher ist es gut, Inhalte „lebensnah“ und kontextreich darzubieten.<br />

224

„Hirngerechte“ Darbietung des Stoffes<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

„Hirngerechte“ Darbietung<br />

des Stoffes<br />

Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />

Kurze <strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> den Inhalt und Überprüfen des Vorwissens.<br />

Unterteilung des Stoffes <strong>in</strong> kurze, <strong>in</strong>haltlich zusammenhängende<br />

Abschnitte von maximal 5 M<strong>in</strong>uten. Dann e<strong>in</strong>e „Denkpause“, <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />

kurz geklärt wird, ob alles verstanden wurde. Dann erst weiter.<br />

Zum Schluss Zusammenfassung des Vorgetragenen bzw.<br />

geme<strong>in</strong>sam Erarbeiteten<br />

Wie<strong>der</strong>holung <strong>in</strong> kürzeren und längeren Abständen ist wichtig, z.B.<br />

nach 6 Stunden, 24 Stunden, 2 Wochen und 6 Wochen.<br />

Nichts wird mit e<strong>in</strong>em Mal gelernt.<br />

225

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Leistungserwartung<br />

transparent<br />

Intelligentes<br />

Üben<br />

Vorbereitete<br />

Umgebung<br />

Individuelles<br />

För<strong>der</strong>n<br />

Merkmale guten Unterrichts<br />

Klare Strukturierung<br />

Methodenvielfalt<br />

Hoher Anteil<br />

echter<br />

Lernzeit<br />

S<strong>in</strong>nstiftendesKommunizieren<br />

Lernför<strong>der</strong>liches<br />

Klima<br />

Inhaltliche<br />

Klarheit<br />

Hilbert Meyer<br />

226

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Vielfältige<br />

Motivierung<br />

Konsoli<strong>die</strong>ren,<br />

sichern,<br />

<strong>in</strong>telligent<br />

üben<br />

Passung:<br />

Umgang<br />

mit Heterogenität<br />

Aktives &<br />

selbstständigesLernen<br />

för<strong>der</strong>n<br />

Strukturiert,<br />

klar, verständlich<br />

Führung &<br />

Zeitnutzung<br />

effizient<br />

S<strong>in</strong>nvolle<br />

Variation v.<br />

Methode &<br />

Sozialform<br />

Merkmale <strong>der</strong><br />

Unterrichtsqualität<br />

SchülerorientierungUnterstützung<br />

Lernför<strong>der</strong>liches<br />

Klima<br />

an Ziel,<br />

Wirkung &<br />

Kompetenz<br />

orientiert<br />

Helmke<br />

227

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Differenziert för<strong>der</strong>n<br />

Höhmann: Differenziert för<strong>der</strong>n. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f<br />

228

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Differenziert för<strong>der</strong>n<br />

Höhmann: Differenziert för<strong>der</strong>n. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f<br />

229

Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 171-216<br />

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Unterrichtsplanung<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

230

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Unterrichtsplanung<br />

Leistungsbeurteilung<br />

Unterrichtsplanung – Fachpraktische Übung, 1. Abschnitt<br />

PS Unterrichtsplanung (Pädagogik)<br />

SE Schulpraktisches Sem<strong>in</strong>ar I (<strong>Mathematik</strong> <strong>Didaktik</strong>)<br />

Leistungsbeurteilung – Übungsphase, 2. Abschnitt<br />

PS Unterrichten und Beurteilen (Pädagogik)<br />

SE Schulpraktisches Sem<strong>in</strong>ar II (<strong>Mathematik</strong> <strong>Didaktik</strong>): konkrete<br />

Informationen über <strong>die</strong> geltenden Bestimmungen und<br />

praktische Beispiele, z.B. geme<strong>in</strong>same Schularbeitskorrektur<br />

Wichtigste Frage dabei: Wie lassen sich <strong>die</strong> gesetzlichen<br />

Bestimmungen <strong>in</strong> <strong>der</strong> Praxis pädagogisch s<strong>in</strong>nvoll umsetzen?<br />

Unterrichtspraktikum – nach Stu<strong>die</strong>nabschluss<br />

Spezieller Tag zur Leistungsbeurteilung im Fach <strong>Mathematik</strong><br />

Für Interessierte: Leistungsbeurteilungsverordnung (bm:ukk)<br />

231

Jahresplanung nach jeweiligem Lehrplan<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Siehe Kapitel „Lehrpläne <strong>in</strong> Österreich“<br />

Zeitlicher Umfang <strong>der</strong> Behandlung von Themen<br />

Gefahr: Man hält sich bei e<strong>in</strong>zelnen Themen<br />

(zu Beg<strong>in</strong>n des Schuljahres) zu lange auf und hat<br />

am Ende zu wenig Zeit für wesentliche Gebiete.<br />

Bildung von Unterrichtssequenzen<br />

Entwicklung, Vertiefung, Erarbeitung, Erfassen<br />

von Zusammenhängen … benötigt mehrere<br />

zusammenhängende Unterrichtse<strong>in</strong>heiten.<br />

Anordnung <strong>der</strong> Unterrichtssequenzen<br />

Sachlogik<br />

Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien<br />

Jahresplanung<br />

232

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Beispiel: Jahresstoffverteilung<br />

2. Klasse Gymnasium<br />

Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10<br />

September I.Teilbarkeit natürlicher Zahlen 1. Teiler, Vielfache<br />

2. Teilbarkeitsregeln<br />

3. Primzahlen<br />

4. ggT<br />

5. kgV<br />

Oktober II. Brüche und Bruchzahlen 1. Wie<strong>der</strong>holung (Erweitern und Kürzen)<br />

2. Bruch als angezeigte Division<br />

3. Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl<br />

4. Vergleichen und Ordnen von Bruchzahlen<br />

III. Das Koord<strong>in</strong>atensystem<br />

1. Punkte und Geraden im Koord<strong>in</strong>atensys.<br />

IV. Der W<strong>in</strong>kel<br />

1. Bezeichnungen - W<strong>in</strong>kelmaße<br />

2. Übertragen von W<strong>in</strong>keln<br />

3. Parallelw<strong>in</strong>kel und Normalw<strong>in</strong>kel<br />

November V. Das Dreieck 1. Bezeichnungen und W<strong>in</strong>kelsumme<br />

2. Dreiecke mit beson<strong>der</strong>en Eigenschaften<br />

3. Dreieckskonstruktionen<br />

4. Flächen<strong>in</strong>halt rechtw<strong>in</strong>keliger Dreiecke<br />

5. Beson<strong>der</strong>e L<strong>in</strong>ien und Punkte<br />

Dezember II. Brüche und Bruchzahlen 5. Ad<strong>die</strong>ren und Subtrahieren<br />

6. Multiplzieren und Divi<strong>die</strong>ren<br />

Jänner<br />

7. Verb<strong>in</strong>dung <strong>der</strong> Grundrechnungsarten<br />

VI. Symmetrie<br />

1. Symmetrische Figuren<br />

2. Streckensymmetrale<br />

3. W<strong>in</strong>kelsymmetrale<br />

233

Februar VII. Gleichungen und Formeln 1. Lösen von Gleichungen<br />

2. Arbeiten mit Formeln<br />

März VIII. Vierecke und Vielecke<br />

April<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

IX. Direkte und <strong>in</strong>direkte Proportionalität<br />

X. Prozentrechnung<br />

Mai XI. Regelmäßige Vielecke<br />

Juni<br />

XII. Das Prisma<br />

XIII. Statistik<br />

Juli XV. Projekt<br />

Beispiel: Jahresstoffverteilung<br />

2. Klasse Gymnasium<br />

1. Allgeme<strong>in</strong>e Vierecke<br />

2. Parallelogramm<br />

3. Trapez<br />

4. Deltoid<br />

5. Vielecke<br />

1. Direkte Proportionalität<br />

2. Indirekte Proportionalität<br />

3. Vermischte Aufgaben<br />

1. Grafische Darstellung<br />

2. Rechnen mit Prozenten<br />

1. Konstruktion<br />

1. Eigenschaften und Formen<br />

2. Netz und Oberfläche<br />

3. Raum<strong>in</strong>halt<br />

Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10<br />

1. Relative Häufigkeit<br />

2. Datendarstellung und Manipulation<br />

234

Entscheidung über <strong>die</strong> Didaktische Konzeption<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

H<strong>in</strong>tergrundtheorie (Beispiel: Bruchrechnung)<br />

„Roter Faden“ (Schlüsselbegriff, durchgängige<br />

Problemstellung, durchgängige Methode)<br />

Unterrichtssequenz<br />

Auswahl <strong>der</strong> Inhalte<br />

Welche Begriffe, Sachverhalte, Verfahren, Anwendungen<br />

und Probleme sollen wie ausführlich bearbeitet werden?<br />

„Lehre nichts, was dem Schüler dann, wenn er es lernt, noch nichts ist,<br />

und lehre nichts, was dem Schüler später nichts mehr ist!“ (Diesterweg)<br />

Anordnung/Verteilung <strong>der</strong> Inhalte<br />

Genetisches Pr<strong>in</strong>zip, operatives Pr<strong>in</strong>zip, Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Isolation<br />

<strong>der</strong> Schwierigkeiten, „Vom Leichteren zum Schwereren“<br />

Unterrichtse<strong>in</strong>heiten nicht überladen<br />

Gründlich beg<strong>in</strong>nen und tragfähige Vorstellungen aufbauen<br />

235

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

E<strong>in</strong>stieg<br />

Erarbeitung<br />

Sicherung<br />

Vertiefung<br />

Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />

Ergebnisse<br />

festhalten<br />

Erreichen <strong>der</strong><br />

Lernziele mit<br />

Hilfe geeigneter<br />

Aufgaben<br />

überprüfen<br />

236

E<strong>in</strong>stiege sollen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />

<strong>die</strong> Schüler motivieren, sich mit mathematischen Fragestellungen<br />

ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong> zu setzen<br />

den Unterricht von Beg<strong>in</strong>n an problemorientiert ausrichten<br />

den Unterrichtsverlauf (vor-)strukturieren<br />

Übungen sollen<br />

neue Entdeckungen zulassen<br />

problemorientiert se<strong>in</strong><br />

das operative Pr<strong>in</strong>zip berücksichtigen (Variation von<br />

Darstellungsebene und Ausgangssituation)<br />

produktiv se<strong>in</strong> (d.h. möglichst mit praktischen Tätigkeiten<br />

verbunden)<br />

anwendungsorientiert se<strong>in</strong> (d.h. Sachsituationen mit e<strong>in</strong>beziehen<br />

und praktische Erfahrungen vermitteln)<br />

237

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Wie ist <strong>die</strong> fachliche Struktur des Themas?<br />

Wie kann das Thema erarbeitet werden?<br />

Welche Voraussetzungen (Wissen & Fähigkeiten)<br />

müssen <strong>die</strong> Schüler mitbr<strong>in</strong>gen?<br />

Welche Lernziele sollen erreicht werden?<br />

Wie sollen <strong>die</strong> Schüler motiviert werden?<br />

Wie soll <strong>der</strong> E<strong>in</strong>stieg <strong>in</strong> das Thema erfolgen?<br />

Welche Repräsentationsformen s<strong>in</strong>d angemessen?<br />

Welche Me<strong>die</strong>n sollen e<strong>in</strong>gesetzt werden.<br />

In welchen Sozialformen soll gearbeitet werden?<br />

Welcher Grad <strong>der</strong> Selbsttätigkeit wird angestrebt?<br />

Wie soll geübt und vertieft werden?<br />

Grundfragen <strong>der</strong><br />

Unterrichtsplanung<br />

238

Sozialform<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Selbsttätigkeit<br />

Klassen- bzw.<br />

Frontalunterricht<br />

Gruppenarbeit<br />

Partnerarbeit<br />

E<strong>in</strong>zelarbeit<br />

Instruktion<br />

Lehrervortrag<br />

Gruppen<strong>in</strong>struktion<br />

Partner<strong>in</strong>struktion<br />

Individualisierte<br />

Instruktion<br />

gelenktes<br />

Entdecken<br />

Fragendentwickeln<strong>der</strong><br />

Unterricht<br />

…<br />

…<br />

Sozialformen und<br />

Selbsttätigkeitsgrad<br />

nur Impulse<br />

Freies<br />

Unterrichtsgespräch<br />

…<br />

…<br />

… …<br />

239

Inhalte<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Flächen<strong>in</strong>halt des Dreiecks<br />

Flächen<strong>in</strong>halt des Parallelogramms<br />

Flächen<strong>in</strong>halt des Trapezes<br />

<strong>in</strong>haltsgleiche Figuren<br />

Querverb<strong>in</strong>dung zu b<strong>in</strong>omischen Formeln<br />

Lehrplan AHS Unterstufe<br />

3.3 Arbeiten mit Figuren und Körpern<br />

Beispiel: Unterrichtssequenz<br />

Flächen<strong>in</strong>halte, 3. Klasse AHS<br />

Formeln für Flächen<strong>in</strong>halte von Dreiecken und Vierecken<br />

begründen und damit Flächen<strong>in</strong>halte berechnen können<br />

240

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Flächenmessung<br />

Seitenlängen<br />

aus N<br />

Seitenlängen<br />

aus Q +<br />

Seitenlängen<br />

aus R +<br />

Flächen<strong>in</strong>halt?!<br />

Axiome des<br />

Flächen<strong>in</strong>halts<br />

Themenkreis Flächen<strong>in</strong>halt<br />

Ergänzungsgleichheit<br />

Flächenvergleich<br />

Zerlegungsgleichheit<br />

241

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Stufen beim<br />

Erarbeiten von Größen<br />

1. Stufe: Erfahrungen <strong>in</strong> Sach- und Spielsituationen sammeln<br />

2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten<br />

3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter<br />

Maße<strong>in</strong>heiten<br />

e<strong>in</strong> drittes Objekt als Vermittler benutzen<br />

e<strong>in</strong> Objekt als selbst gewählte E<strong>in</strong>heit benutzen<br />

4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter<br />

Maße<strong>in</strong>heiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten<br />

5. Stufe: Umrechnen: Verfe<strong>in</strong>ern und Vergröbern <strong>der</strong> Maße<strong>in</strong>heiten<br />

6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen (!!)<br />

7. Stufe: Rechnen mit Größen<br />

242

Nichtnegativität<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Axiome des Flächen<strong>in</strong>halts<br />

Die Maßzahl A des Flächen<strong>in</strong>halts ist nichtnegativ. (A ≥ 0)<br />

Normierung<br />

E<strong>in</strong> Quadrat <strong>der</strong> Seitenlänge 1 LE<br />

hat den Flächen<strong>in</strong>halt A = 1 LE 2 .<br />

Additivität<br />

Der Flächen<strong>in</strong>halt e<strong>in</strong>er Figur ist gleich <strong>der</strong> Summe <strong>der</strong><br />

Flächen<strong>in</strong>halte <strong>der</strong> Teilfiguren, <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>die</strong> Fläche zerlegt<br />

werden kann.<br />

Kongruenz<br />

Kongruente Figuren haben denselben Flächen<strong>in</strong>halt.<br />

243

Flächenmessung<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Auslegen mit E<strong>in</strong>heitsquadraten.<br />

b Reihen, zu je a E<strong>in</strong>heitsquadraten ⇒ A = a · b<br />

b<br />

1 LE²<br />

Rechtecksflächen<strong>in</strong>halt<br />

(a, b ∈ N)<br />

a<br />

244

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Flächengleiche Figuren:<br />

Tangram<br />

245

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Flächen<strong>in</strong>haltsbestimmung<br />

Rechteck<br />

Flächenmessung, d. h. Auslegen mit E<strong>in</strong>heitsquadraten<br />

Dreieck<br />

Flächenvergleich<br />

mit dem Rechteck<br />

Vieleck<br />

Triangulierung<br />

(E<strong>in</strong>teilen <strong>in</strong> Dreiecke)<br />

Kreis (4. Klasse AHS)<br />

E<strong>in</strong>schachtelung<br />

A<br />

g<br />

C<br />

h<br />

B<br />

A<br />

C<br />

h<br />

B<br />

246

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Kreis<strong>in</strong>haltsbestimmung<br />

247

Schätze <strong>die</strong> Fläche<br />

<strong>der</strong> Antarktis, <strong>in</strong>dem<br />

du den Maßstab <strong>der</strong><br />

Karte benutzt.<br />

Schreibe de<strong>in</strong>e<br />

Rechnung auf und<br />

erkläre, wie du zu<br />

de<strong>in</strong>er Schätzung<br />

gekommen bist.<br />

Du kannst <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />

Karte zeichnen, wenn<br />

dir das bei de<strong>in</strong>er<br />

Schätzung hilft.<br />

PISA-Aufgabe<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

0<br />

Kilometer<br />

Fläche e<strong>in</strong>es Kont<strong>in</strong>ents<br />

(Antarktis)<br />

200 400 600 800<br />

1000<br />

248

Schätze <strong>die</strong> Fläche<br />

<strong>der</strong> Antarktis, <strong>in</strong>dem<br />

du den Maßstab <strong>der</strong><br />

Karte benutzt.<br />

Schreibe de<strong>in</strong>e<br />

Rechnung auf und<br />

erkläre, wie du zu<br />

de<strong>in</strong>er Schätzung<br />

gekommen bist.<br />

Du kannst <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />

Karte zeichnen, wenn<br />

dir das bei de<strong>in</strong>er<br />

Schätzung hilft.<br />

PISA-Aufgabe<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

0<br />

Kilometer<br />

200 400 600 800<br />

1000<br />

Idee: Mit E<strong>in</strong>heitsfläche<br />

„auslegen“<br />

Fläche mit Schelfeistafeln: 13 975 000 km 2<br />

249

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

D C<br />

A B<br />

Parallelogramm<br />

D C<br />

A B<br />

250

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Flächen<strong>in</strong>haltsbestimmung<br />

am Trapez<br />

251

Projektthemen sollen …<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

aus den Inhalten <strong>der</strong><br />

Jahrgangsstufe erwachsen.<br />

möglichst mehrere<br />

mathematische Themen<br />

mite<strong>in</strong>an<strong>der</strong> verb<strong>in</strong>den und<br />

früher behandelte Inhalte<br />

e<strong>in</strong>beziehen.<br />

möglichst Verb<strong>in</strong>dungen zu<br />

an<strong>der</strong>en Fächern herstellen.<br />

e<strong>in</strong>en Bezug zum Leben haben.<br />

fachliche und historische<br />

H<strong>in</strong>tergründe erhellen können.<br />

Projekte<br />

Ludwig: Projekte im <strong>Mathematik</strong>unterricht des Gymnasiums. Franzbecker, 1998<br />

Möglichkeiten zur Entfaltung<br />

von Ideen und zu selbstständiger<br />

Tätigkeit bieten.<br />

unterschiedliche Interessen und<br />

Fähigkeiten ansprechen.<br />

<strong>die</strong> Beschaffung notwendiger<br />

Informationen<br />

durch <strong>die</strong> Schüler erlauben.<br />

ergiebig se<strong>in</strong>, also Arbeit <strong>in</strong><br />

mehreren Gruppen<br />

ermöglichen und E<strong>in</strong>sichten<br />

vermitteln.<br />

so gestaltet se<strong>in</strong>, dass am Ende<br />

etwas<br />

vorgezeigt werden kann.<br />

252

Projektorganisation<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Zeitraum (benötigt / zur Verfügung stehend)<br />

Gruppen<br />

Präsentation<br />

Materialien<br />

Kosten (evtl. Sponsor<strong>in</strong>g)<br />

Beispiel<br />

E<strong>in</strong>parken, Oberstufe<br />

http://atfd.pbworks.com/Unterrichtse<strong>in</strong>heiten<br />

SE Aktuelle Themen <strong>der</strong> Fachdidaktik<br />

Projektorganisation<br />

253

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Computere<strong>in</strong>satz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

am Beispiel DGS<br />

Dynamisches Geometriessystem (DGS)<br />

254

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

<strong>in</strong> je<strong>der</strong> Sozialform<br />

<strong>in</strong> allen Graden <strong>der</strong> Selbsttätigkeit<br />

für <strong>die</strong> Konstruktion von Lernumgebungen<br />

als Werkzeug<br />

…<br />

E<strong>in</strong>setzbar …<br />

255

Konstruktionswerkzeug<br />

Makros, …<br />

Visualisierungswerkzeug<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

dynamische Ortsl<strong>in</strong>ien<br />

Zugmodus<br />

…<br />

Erforschungswerkzeug<br />

Begriffsumfang<br />

Entdecken<br />

…<br />

Werkzeugcharakter von DGS<br />

http://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/dynamik_von_dgs/roth_dynamik_von_dgs.pdf<br />

Modellierungswerkzeug<br />

rekonstruktives Modellieren, …<br />

Heuristisches Werkzeug<br />

vgl. „Dreiecksgrundformen“ im<br />

Kapitel „Begriffe erarbeiten“<br />

„Denkwerkzeug“<br />

Auslagern mathematischer<br />

Fertigkeiten<br />

Dynamik von DGS<br />

Wozu und wie sollte<br />

man sie nutzen?<br />

Voraussetzung:<br />

Bewegliches Denken<br />

256

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Bewegung h<strong>in</strong>e<strong>in</strong>sehen<br />

und damit argumentieren<br />

Gesamtkonfiguration<br />

erfassen und analysieren<br />

Än<strong>der</strong>ungsverhalten<br />

erfassen und beschreiben<br />

Bewegliches Denken<br />

257

Kontroll<strong>in</strong>stanz<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

im Kopf abgelaufene bewegliche Denkvorgänge<br />

auf ihre Tragfähigkeit h<strong>in</strong> kritisch überprüfen<br />

Funktionen von DGS<br />

für „bewegliche Denker“<br />

Denkzeug<br />

Verr<strong>in</strong>gerung <strong>der</strong> Komplexität<br />

(Gedächtnisentlastung, Realisierung von Bewegungen)<br />

Konzentration auf Planung, Interpretation,<br />

Analyse und Argumentation wird möglich<br />

Kommunikationsmittel<br />

Ergebnisse beweglicher Denkvorgänge vermitteln<br />

„dynamisches Vorführen“ von Verän<strong>der</strong>ungen<br />

Aufmerksamkeitsfokussierung<br />

258

Schüler sollen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Ziele des DGS-E<strong>in</strong>satzes<br />

bzgl. <strong>der</strong> „Dynamik“<br />

ohne Computer, also im Kopf, Bewegungen h<strong>in</strong>e<strong>in</strong>sehen,<br />

analysieren und Än<strong>der</strong>ungsverhalten erfassen können<br />

bei komplexeren Gegebenheiten e<strong>in</strong>en geeigneten Computere<strong>in</strong>satz<br />

planen, vorstrukturieren und reorganisieren können<br />

Auf dem Weg zu <strong>die</strong>sem Ziel:<br />

Fokussierungshilfen <strong>in</strong> Lernumgebungen e<strong>in</strong>bauen<br />

Konzentration auf Analyse- und Argumentationsprozesse<br />

259

Konfiguration vollständig vorgegeben<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Drei Stufen <strong>der</strong><br />

Fokussierungshilfen<br />

Fokussierungshilfen für alle wesentlichen Aspekte<br />

(z. B. Farbgebung, L<strong>in</strong>ienstärken, Mitführung von Messwerten …)<br />

Elemente können evtl. e<strong>in</strong>- und ausgeblendet werden<br />

Variationsmöglichkeiten evtl. bewusst e<strong>in</strong>geschränkt<br />

Verän<strong>der</strong>bare (Teil-)Konfiguration vorgegeben<br />

kann / muss ergänzt o<strong>der</strong> verän<strong>der</strong>t werden<br />

nur e<strong>in</strong>zelne Fokussierungshilfen vorhanden<br />

Leeren, unstrukturierten DGS-Datei<br />

DGS wird selbstständig und ohne Vorgaben benutzt<br />

260

Bewegliche Argumentation kommunizieren<br />

Beweisideen vermitteln<br />

Verständnisgrundlagen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

für Begriffe und ihre Eigenschaften bilden<br />

Experimentelles Arbeiten<br />

Entdecken von Zusammenhängen<br />

F<strong>in</strong>den von Ideen im Problemlöseprozess<br />

Reflexion von Problemlöseprozessen<br />

Zweck des DGS-E<strong>in</strong>satzes<br />

261

▼<br />

Zweck des<br />

DGS-E<strong>in</strong>satzes<br />

Bewegliche Argumentation<br />

kommunizieren<br />

Beweisideen vermitteln<br />

Verständnisgrundlage<br />

für Begriffe und ihre<br />

Eigenschaften bilden<br />

Experimentelles Arbeiten<br />

• Entdecken von<br />

Zusammenhängen<br />

• F<strong>in</strong>den von Ideen im<br />

Problemlöseprozess<br />

Reflexion von<br />

Problemlöseprozessen<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Fertig vorgegebene<br />

Konfiguration<br />

(evtl. Möglichkeit zum<br />

E<strong>in</strong>- und Ausblenden<br />

von Elementen)<br />

Inhaltsdimension &<br />

Unterstützungsdimension<br />

► Grad <strong>der</strong> Fokussierungshilfen<br />

Verän<strong>der</strong>bare<br />

Konfiguration<br />

mit e<strong>in</strong>zelnen<br />

Fokussierungshilfen<br />

Leere,<br />

unstrukturierte<br />

DGS-Datei<br />

262

<strong>E<strong>in</strong>führung</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Werkzeuge & Materialien<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

263

GeoGebra = Geometrie + Algebra<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Interaktive dynamische Verb<strong>in</strong>dung von<br />

ikonischer & symbolischer Darstellungsform<br />

(vgl. Bruner & operatives Pr<strong>in</strong>zip)<br />

Open Source, kostenlos verfügbar von<br />

www.geogebra.org<br />

Dynamische Geometrie,<br />

Tabellenkalkulation, Computeralgebra<br />

Speziell für den <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />

entwickelt<br />

Freie Onl<strong>in</strong>e-Unterrichtsmaterialien<br />

GeoGebraWiki, www.geogebra.org/wiki<br />

Creative Commons Share-Alike Lizenz<br />

GeoGebra<br />

http://www.geogebra.org<br />

264

Maxima<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Computeralgebra<br />

Open Source<br />

http://wxmaxima.sourceforge.net<br />

Maxima & Open Office Calc<br />

Open Office Calc<br />

Tabellenkalkulation<br />

Open Source<br />

http://www.openoffice.org/<br />

265

Fachportale<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

Lehrer Onl<strong>in</strong>e, Fachportal <strong>Mathematik</strong><br />

ZUM, Fachportal <strong>Mathematik</strong><br />

Schule.at, Fachportal <strong>Mathematik</strong><br />

NCTM Illum<strong>in</strong>ations, "Lessons" für alle Altersstufen<br />

Themensammlungen<br />

Empfohlene Webseiten<br />

Me<strong>die</strong>nvielfalt 1 & Me<strong>die</strong>nvielfalt 2, <strong>in</strong>teraktive Lernpfade<br />

<strong>Mathematik</strong> Labor, Materialien für Projekte<br />

MathePrisma, <strong>in</strong>teraktive Lernumgebungen<br />

Interaktive Übungen & Arbeitsblätter<br />

Realmath, <strong>in</strong>teraktive Übungen<br />

GeoGebraWiki, dynamische Arbeitsblätter<br />

266

Zeitschriften<br />

<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />

mathematik lehren<br />

PM - Praxis <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> Schule<br />

Der <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />

Zeitschriften zum <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />

http://www.juergen-roth.de/zeitschriften.html<br />

Siehe Fachbibliothek <strong>Mathematik</strong><br />

Kopfgebäude 7. Stock<br />

Zeitschriftenaufstellung<br />

Bücher<br />

Bücher zur <strong>Mathematik</strong>didaktik<br />

http://www.juergenroth.de/literatur_zur_mathematikdidaktik.html<br />

Bücher & Zeitschriften<br />

267

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