kontextfrei

Anwendungen des Pumping Lemmas
• L = {0 m 1 m 2 m | m ∈ N} ist nicht kontextfrei
– Verwende Kontraposition des Pumping Lemmas
(∀n ∈N. ∃z ∈L. |z|≥n ∧ ∀u,v,w,x, y ∈T ∗ .(z = u v w x y
∧ v◦x=ǫ ∧ |v w x|≤n) ⇒ ∃i ∈N. u v i w x i y ∈ L) ⇒ L ∈L2
– Sei n ∈N beliebig. Wir wählen z = 0 m 1 m 2 m für ein m>n
– Sei u,v,w,x, y ∈T ∗ beliebig mit z = uv w x y,
und (1) v◦x=ǫ und (2) |v w x|≤n
– Wir wählen i = 0 und zeigen uw y = u v i w x i y ∈ L
– Wegen (2) enthält v w x keine Nullen oder keine Zweien
· Falls v w x keine Null enthält, dann enthält u w y genau m Nullen
aber wegen (1) weniger Einsen und/oder Zweien
· Falls v w x keine Zwei enthält, dann enthält u w y genau m Zweien
aber wegen (1) weniger Nullen und/oder Einsen
– Damit kann u w y = u v 0 w x 0 y nicht zu L gehören
– Mit dem Pumping Lemma folgt nun, daß L nicht kontextfrei ist
• L ′ = { ww | w ∈{0, 1} ∗ } ∈ L2
– Ähnliches Argument mit Wörtern der Form 0 m 1 m 0 m 1 m
THEORETISCHE INFORMATIK I §3: KONTEXTFREIE SPRACHEN 25 EIGENSCHAFTEN KONTEXTFREIER SPRACHEN