Diversifikation und Kapitalmarktgleichgewicht

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Wenger, Diversifikation und Kapitalmarktgteichgewicht Harry M. Markawitz Fotoi dpa Freilich liefert die doch recht einfache Lösung des Gleichungssystems (2)-(4) nicht notwendigcrweise dcn effizicnten Rand, auf welchcm der einzelne Investor nach einem Berührpunkt mit sciner nutzenmaximalen Indiffcrenzkurve suchen muß. Marknwitz haLLe von Anfang an kompliziertere Fällc im Auge, weil er weitere Nebenbcdingungen in das Problcm cinführtc. Wiihrcnd cr in spä- mierung dieser Bruchteile über alle n Wertpapicre der teren Arbeiten sogar mit bcliebigen linearen Nebenbedin- Wert I ergeben; ihrc Verwendung als Gewichte für die gungon operierte, cnthielt schon scin ursprünglicher Auf- wertpapierspezifischen Erwartungswerle pr führt gcmäß satz aus dem Jahre 1952 die Nichtncgativitätsbcdinsun- Gl. (4) zum vorgegebenen Erwartungs*ert p. Die Elcgcnmente der Kovarianzmatrix für die Wertpapierrenditcn sincl mit o,, bezeichnet, wobei sich ftA i = j die wertpapicrspc- a.>0 für i = 1, ... n. r5\ zifischen Varianzen und für i * j die Kovarianzen zwi- Dicsc Restriktionen cntsprechen aus ökonomischer Sicht schen Wertpapier i und Wertpapier j ergeben. einem Verbot. von Leerverkäufen. Sie haben die Konsequcnz, daß die k)sung des Gleichungssysrems (2){4) Wenn zu dann dem Gleichungssystem (Z)-(4) keine wcirörcn nicht realisiert werden kann, wenn zumindest Restriktionen ein cr. einen hinzutreten, ist seine Lösung dcnkbar ein- ncgafiven Wert annimmt.ln Abb.1 ist fach. dies der Fall, Ist so- die Kovarianzmatrix invertierbar, führt ein bald ein Erwartungswcrt. rcchts vom I-agrange-Ansatz Punkt T angestrebt zur läsung eines Minimicrungsproblems wird. Von hier an müßte Wertpapicr I leerverkauft unter zwei Nebenbedingungen wer- nach wenigcn Rechenschritden, wcnn man sich weiterhin auf ten zu der 123-Kurve den optimalen nach Werten der Entscheidungsvariablen rechts obcn bewegen wollte. Sind Leerverkäufe ausge- cri; andernfalls muß man die Invertierbarkeit der Koschlosscn, so ist man gezwungen, die 123-Kurve varianzmatrix im Punkt dadurch herstellen, daß man eine hinreichende Anzahl von Wertpapieren wegläßt, weil sie von ihrer Renditeentwicklung her als Mischportfolio aus anderen Wertpapieren aufgefaßt werden können und damit gewissermaßen überflüssig siäd. Danach kann die lösung wie zuvor ermittelt werden, indem man von der Inverscn der Kovarianzmatrix Gebrauch macht. o'z Iri------\- \ \ r \\\ \\ \ \ I / ,tzt Variiert man das vorgegebene p und rägt die jeweils zugehörigen Varianzminima über der p-Achse auf, so ergibt sich aufgrund des quadratischen Zusammenhangs zwischen den beiden Variablen eine Parabel zweiter Ordnung. In Abb. I ist dies für ein Beispiel mit drei Werrpapicren dargestellt, mit denen der Investor jeweils die punkte l, 2 oder 3 eneicht, wenn er seine Mittel ausschließlich in ein einziges der zur Wahl stehenden Papiere investiert. Stellt man aus ihnen dagegen ein varianzminimales portfolio zusarnmen, das den Gleichungen (2)-(4) genügt, so erhält 82 WSt Heft 2 Februar 1 991 man in Abhängigkcit vom vorzugcbcndcn Erwartungswert eincn Punkt auf dcr mit 123 gekcnnzeichnetcn Kurvc. Dic Punkte links von ihrcm Minimum M sind offensichtlich nicht effizicnt. im oben angegcbenen Sinne, wcil sich durch Überwcchseln auf dcn rechten Ast der Kurve PunkLe findcn lasscn, bci denen ein höherer Erwartungswert mit einer niedrigcrcn Varianz verbunden ist; der effiziente Rand cntspricht also der Kurve 123 vom Punkt M an. Der zweite Schritt der Portfolio-Optimicrung isr nun zumindest im Falle einer graphischen Lösung sehr leicht nachzuvollziehen. Für einen risikoaversen Investor ergibt. sich cinc Schar von Indifferenzkurvcn mit. positiver Steigung, wie sie beispiclhaft. arn unteren rechten Bildrand cingetragcn sind; das Optimum liegt dort, wo die Indiffercnzkurve mit dcm höchstcn encichbaren Nutzenniveau dic Kurvc 123 bcrührt. Abb. I: Etfizieruer Rand und. zulitssiger Bereich in der ys,-d-Ebene
T zu verlassen und auf die sie dort von innen berührende 23-Kurve überzuwechseln; statt eines varianzminimalen Portfolios aus allen drci Wertpapieren kommt jetzt nur noch eine Mischung aus den Wertpapieren 2 und 3 in Beuacht. Rechts von T deckt sich der effiziente Rand also zunächst mit der 23-Kurve; er endel im punkt 3, in welchem nur noch das Wertpapier 3 gehalten wird. Die ebenfalls eingetragenen Kurven mit den Bezeichnungen 12 und 13 geben an, welche Kombinationen von Erwartungswert und Varianz sich realisieren lassen, wenn jeweils dasjenige Wertpapier nicht gehalten wird, dessen Nummer in der Kurvenbezeichnung nicht vorkommt. Sie begrenzen den realisierbaren Bereich im p-o2-Raum nach Maßgabe der durchgezogenen Kurvenabschnitte. Im abgebildeten Beispiel sind sie für den Verlauf des effizienten Randes zwar durchweg irrelevant, vermitteln aber einen Eindruck davon, welche Komplikationen sich im n-Wertpiipierfall ergeben können. Prinzipiell muß hier für jede Teilmenge von Wertpapieren geprüft werden, ob die zugehörige Parabel irgendwo einen Abschnitt des elfizienten Randes erzeugt. Man kann sich leicht vorstellen, daß diese nicht mehr ganz triviale hoblemstellung den Ehrgeiz des angewandten Mathematikers weckt, möglichst schnell und sicher zur Optimallösung gelangende Algorithmen zu entwikkeln. Diese Aufgabe hat Markowirz Zeit seines Lebens intensiv beschiiftigt. Hiervon zeugt auch scin erst vor drei Jahren erschienenes Buch ,,Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets", das unter anderem der ausführlichen Beschreibung eines Computerprogramms zur Portfolio Selection gewidmet ist. Diese und andere einschlägige Arbeiten sind lezten Endes mehr für den Liebhaber rechentechnischer Feinheiten gedacht, als daß sie noch die Entwicklung eines Faches hätlen vorantreiben können, dem Markowitz 1952 einen entscheidenden Impuls gegeben hat. 3. Merton H. Miller: Gleichgewichtsüberlegungen und Irrelevanztheoreme Während ki Markowilz das individuelle Optimierungsverhalten bei gegebenen Wertpapierkursen untersucht. wird, steht bei den beiden anderen Preisträgern die Frage im Vordergrund, welches Kapiralmarkrgleichgewicht sich als Folge individueller Optimierungsüberlegungen einstellr. Die Gleichgewichtsbedingung erscheint dabei in der Form, daß die Gesamtheit der von allen Unternehmen angebotenen Finanztitel gerade dann mit der aggregierten Nachfrage der Anleger übereinstimmen muß, wenn diese sich für jene Portfoliostrukturen entscheiden, die nach Eneichen der Gleichgewichtskurse ihren individuellen Oprima entsprechen. Vor dem Hintergrund dieser Überiegung kann man nun versuchen, Bedingungen aufzustellen, denen dic Preise und Renditen der am Markt umlaufenden Finanztitel genügen müssen, wenn eine Gleichgewichtssituation erreicht Wenger, Diversifikation und Kapitalmarktgleichgewicht Merton H. Miller ist. Je nachdem, wie umfassend im Rahmen eines solchen Denkansatzes die individuellen Optimierungsüberlegungen berücksichtigt werden, kann das System der Gleichgewichtskurse mehr oder weniger vollstlindig beschrieben werden. Auf halbem Wege stehen bleibt der 1958 im American Economic Review erschienene Aufsatz ,,The Cost of Capital, Corporate Finance and the Theory of Investment", den Merton H. Miller gemeinsam mit Franco Modigliani, dem Nobelpreisträger des Jahres 1985, verfaßt hat. Diese Arbeit dürfte für die jeuige preisverleihung an Miller wohl die wichtigsre Rolle gespielt haben. Ihr wichtigstes und aus damaliger Sichr revolutiondres Ergebnis besteht in der Aussage, daß der Marktwert eines Unternehmens von der Art seiner Finanzierung unabhängig ist, wenn am Kapiulmarkt besrimmte Arbitrageprozesse ablaufen können, die etwaige Wertdifferenzen zwischen unterschiedlich fi nanzierten, ansonsten aber identischen Unternehmen ausgleichen würden. Dieses ,,Inelevanztheorem der Finanzierung" erlaubt freilich noch keine vollstjindige Beschreibung der am Kapitalmarkt henschenden Rendite- und Preisstruktur, weil im Rahmen der erwogenen Arbitrageprozesse nur solche portfolioanpassungen zugelassen werden, bei denen die Anleger zwischen Finanztiteln mit perfekt korreliertem Risiko hinund herwechseln. Modigliani und Miller sprechen in diesem Zusammenhang von Unternehmenderselben ,,Risikoklasse". Beispielsweise kann die überbewertung eines fremdfinanzierten Unternehmens dadurch beseitigt werden, daß die Anleger ihre Anteile verkaufen, im gleichen Verhdltnis wie das betreffende Unternehmen Kredite aufnehmen und den Kreditbetrag samt dem Erlös aus dem Anteilsverkauf in Anteilen eines unverschuldeten Unternehmens derselben Risikoklasse anlegen. Auf diese Weise können sie den Erfag ihrer Anlagen steigern, so- WiSt Hett 2 Februar 1991 83
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