Die Church-Turing-These

Die Church-Turing-These
Elmar Eder
() Die Church-Turing-These 1 / 12

Formale Systeme
Formale Systeme
µ-partiellrekursive Funktionen
Logikkalküle
SLD-Resolution (Prolog)
Chomsky-Grammatiken
Turing-Maschinen
λ-Kalkül
Kombinatoren-Kalkül
Termersetzungssysteme
Programmiersprachen
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() Die Church-Turing-These 3 / 12

Partiell berechenbare Funktionen und aufzählbare Mengen
Bemerkung
Jedes dieser Systeme beschreibt eines der folgenden Dinge:
Partiell berechenbare Funktionen f : X →p Y
Aufzählbare Teilmengen eines Datenbereichs X .
Bemerkung
Die Begriffe der partiellen Berechenbarkeit und der Aufzählbarkeit sind
aufeinander zurückführbar.
Eine Menge ist genau dann aufzählbar, wenn sie der Definitionsbereich
/ Wertebereich einer partiell berechenbaren Funktion ist.
Eine partielle Funktion ist genau dann partiell berechenbar, wenn ihr
Graph aufzählbar ist.
() Die Church-Turing-These 4 / 12

Folgerung
Jedes dieser formalen Systeme beschreibt jedes der folgenden Dinge:
Eine Klasse von partiell berechenbaren Funktionen
Eine Klasse von aufzählbaren Mengen.
Satz
All diese formalen Systeme beschreiben dieselbe Klasse von partiell
berechenbaren Funktionen und dieselbe Klasse von aufzählbaren Mengen.
(Eventuell nach Umkodierung der Datenbereiche)
Beweisidee
Simuliere ein System im anderen.
() Die Church-Turing-These 5 / 12

Partiellrekursive Funktionen und rekursiv aufzählbare
Mengen
Definition
Eine partielle Funktion heißt partiellrekursiv, wenn sie in einem dieser
formalen Systeme darstellbar ist.
Sie heißt rekursiv, wenn sie partiellrekursiv und total ist.
Definition
Eine Teilmenge eines Datenbereichs heißt rekursiv aufzählbar, wenn
sie in einem dieser formalen Systeme darstellbar ist.
Sie heißt rekursiv, wenn ihre charakteristische Funktion rekursiv ist.
() Die Church-Turing-These 6 / 12

Folgerung
Satz
Eine partielle zahlentheoretische Funktion ist genau dann
partiellrekursiv, wenn sie µ-partiellrekursiv ist.
Eine totale zahlentheoretische Funktion ist genau dann rekursiv, wenn
sie µ-rekursiv ist.
Eine Menge A ⊆ X ist genau dann rekursiv, wenn A und X \ A rekursiv
aufzählbar sind.
() Die Church-Turing-These 7 / 12

Satz
Eine Teilmenge A von n bzw. von ist genau dann
rekursiv aufzählbar,
wenn A der Definitionsbereich einer µ-partiellrekursiven Funktion ist.
wenn A der Wertebereich einer µ-partiellrekursiven Funktion ist.
wenn A der Wertebereich einer µ-rekursiven Funktion ist.
wenn A der Wertebereich einer primitivrekursiven Funktion ist.
wenn es ein (n + 1)-stelliges primitivrekursives Prädikat P gibt mit
A(x1, . . . , xn) ⇐⇒ ∃y P(x1, . . . , xn, y)
() Die Church-Turing-These 8 / 12

Church-Turing-These
Church-Turing-These
Jede partiell berechenbare Funktion ist partiellrekursiv.
Bemerkung
Die Church-Turing-These sagt also aus, dass die obengenannten formalen
Systeme alle partiell berechenbaren Funktionen erfassen.
() Die Church-Turing-These 10 / 12

Folgerung (aus der Church-Turing-These)
Eine partielle Funktion ist genau dann partiell berechenbar, wenn sie
partiellrekursiv ist.
Eine totale Funktion ist genau dann berechenbar, wenn sie rekursiv ist.
Eine Menge ist genau dann semi-entscheidbar, wenn sie rekursiv
aufzählbar ist.
Eine Menge ist genau dann entscheidbar, wenn sie rekursiv ist.
() Die Church-Turing-These 11 / 12

Bemerkung
Die Church-Turing-These bezieht sich auf den intuitiven Begriff der
Berechenbarkeit, der sich wiederum auf den intuitiven Begriff des
Algorithmus stützt.
Sie besagt, dass die obengenannten Formalen Systeme adäquate
mathematische Formalisierungen dieses intuitiven Begriffs darstellen.
Daher ist die Church-Turing-These keine mathematische Aussage und
lässt sich mathematisch nicht beweisen.
Bemerkung
Die Church-Turing-These wird oft auch einfach Church’sche These
genannt.
() Die Church-Turing-These 12 / 12