Fourier-Transformation durch Integer-Rotation

Fourier-Transformation durch Integer-Rotation
Die diskrete Fouriertransformation eines Signals f(t), definiert auf t = 0 . . . n − 1, ist gegeben
durch
F (s) =
n−1 ∑
t=0
f(t)e −i 2π n st .
Schneller berechnet kann dieses Ergebnis werden durch die Fast-Fourier-Transformation (FFT),
z.B. nach dem Schema in Abbildung 1. Oben ist das Input-Signal (f(t)). Der erste Schritt ist
eine Umordnung der Input-Werte. Dieser Schritt heißt auch bit reversal sorting, denn es wird
z.B. der Wert an Stelle 6 (110 binär) auf die Stelle 3 (011 binär) verschoben. Danach folgt der
rekursive Teil. Der dicke Punkt muss dabei so interpretiert werden: Multipliziere den Wert mit
e −i 2π N m , wobei N = 2, 4, 8 und 0 ≤ m < N , und gib das Ergebnis positiv nach links und negativ
2
nach unten weiter. Im ersten Part wird also einfach mit e −i 2π 2 0 = 1 multipliziert, im zweiten
Part mit 1 und −i, und so weiter.
Die Tatsache, dass hier mit irrationalen Zahlen multipliziert wird (z.B. e −i 2π 8 3 ), zeigt, dass
ganze Zahlen in f (z.B. wenn f quantisiert ist) durch die Transformation in Gleitkommazahlen
verwandelt wird, was einer Datenvermehrung entspricht. Es gibt zwar Integer-FFTs, aber
auch diese Erweitern den Wertebereich, etwa durch Addition und Subtraktion, wo immer ein
zusätzliches Bit entsteht (wenn a und b 8 Bit benötigen (−128 . . . 127), dann braucht a + b 9
Bit (−256 . . . 254)).
Hier soll daher ein neuer Ansatz verfolgt werden. Es ist ja so, dass die Multiplikation mit
e −i 2π N m einfach einer Rotation gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel 2π m (in Radianten)
N
entspricht. Diese Rotation approximieren wir nach dem Schema in Abbildung 2. Dabei werden
der Realteil einer Zahl auf der X-Koordinate und der Imaginärteil auf der Y-Koordinate aufgetragen.
Dann wird der 2D-Wertebereich [−2 n , 2 n − 1] 2 in Quadrat-Ränder aufgeteilt, die alle
Positionen ({−k − 1, k}, [−k − 1, k]) und ([−k − 1, k], {−k − 1, k}) enthält. Komplexe Zahlen,
die sich auf einem solchen k-Ring befinden, werden dann entlang des Rings verschoben, wobei
eine Verschiebung um 2k + 1 Positionen einer Rotation um π entspricht.
2
A B A B A B A B
A A B B A A B B
A A A A B B B B
Abbildung 1: FFT
1

2 n -1
2k+1 -1,k 2k+1
-2 n -1,0 0,0 k,0
-k-1,-1 -1,-1 0,-1
2k+1 0,-k-1 2k+1
-2 n
2 n -1
Abbildung 2: Integer-Rotation
Das Addieren und Subtrahieren der (rotierten) komplexen Zahlen kann selbst wieder durch
eine Rotation implementiert werden. Denn für reelle a und b ist die Abbildung (a, b) ↦→ (a +
b, a−b) eine 45-Grad-Rotation plus einer Multiplikation mit dem Faktor √ 2. Wir verzichten auf
den Faktor und approximieren auch diese Approximation durch eine Integer-Rotation. Da es
sich um komplexe Zahlen handelt, müssen die Real- und Imaginärteile getrennt rotiert werden.
Wichtig ist bei all dem, dass eine Rotation von x = a + ib um 2π m das gleiche ergibt wie
N
eine Rotation von −x um − 2π( N − m), wobei −x als −a − 1 + i(−b − 1) definiert werden muss.
N 2
Das müsste für FFTs von reellen Signalen die Eigenschaft F (s) = F (N − s) erhalten, wobei
auch hier a + ib := a + i(−b − 1) gesetzt werden muss. In diesem Fall kann der Ergebnisvektor
auf die Hälfte gekürzt werden. Da sowohl F (0) als auch F ( N ) reell sind (sein müssten), kann
2
man letzteren Realteil in den Imaginärteil von F (0) kopieren, dann hat man es in weiterer Folge
einfach mit N komplexen Werten zu tun.
2
Die inverse Transformation macht einfach alle Rotationen in umgekehrter Reihenfolge wieder
rückgängig.
Anwendung: Verlustfreie Codierung von Grauwert-Bildern
Ein Bild ist gegeben durch ein Array A aus M×N Pixel mit n Bits im Wertebereich −2 n−1 , . . . , 2 n−1 −
1, wobei der Einfachheit halber M und N Zweier-Potenzen sind. Beim Einlesen von Bildern mit
positiven Grauwerten kann/muss man einfach 2 n−1 von jedem Pixel subtrahieren. Die Transformation
wird dann auf jede Zeile und danach auf jede Spalte angewendet. Dabei erhält man
ein M × N Array von komplexen n-Bit-Zahlen.
2
Zur Codierung wollen wir in eine Datei Bit für Bit diese Zahlen schreiben, allerdings so,
dass führende 0-Bits von ganzen Regionen zusammen als 0 codiert werden. Dazu brauchen
wir zuerst folgende Funktionen, die die Bitanzahlen für komplexe, reelle und positive Zahlen
berechnen:
2

cbits(z = x + iy) = max(rbits(x),rbits(y)
rbits(x) =pbits(max(x, −x − 1))
pbits(x) =
b = 0, v = 1
while v ≤ x
b = b + 1, v = 2v
return b
Der Code zum Schreiben aller notwendigen Bits (nach der Transformation) in eine Datei sieht
dann so aus:
code (A, b) =
c = max z∈A cbits(z)
Schreibe b − c 1-Bits
Schreibe 0-Bit
if A größer als 1 Element
Teile A in Viertel A 1 , A 2 , A 3 , A 4
code (A 1 , c)
code (A 2 , c)
code (A 3 , c)
code (A 4 , c)
else if A ist einzelnes Element z
Schreibe c lower Bits von Realteil von z
Schreibe c lower Bits von Imaginärteil von z
Der Code, der die Daten einliest, sieht ziemlich ähnlich aus. Statt b−c 1-Bits zu schreiben, liest
er 1-Bits, bis ein 0-Bit kommt. Die Anzahl der 1-Bits wird von b abgezogen, um c zu erhalten.
Ansonsten müssen nur am Ende c Bits gelesen statt geschrieben werden und das Vorzeichenbit
auf die führenden Bits aufgefüllt werden.
Zur Auswertung soll das Transformationsergebnis als Bild ausgegeben und dargestellt werden,
mehrere verschiedene Bilder codiert und decodiert werden, überprüft werden, ob das Bild
korrekt wiederhergestellt werden konnte, und die Dateigrößen mit GIF- und/oder PNG-Dateien
verglichen werden.
3