Triangle Strips

Bakkalaureatsarbeit
Anwendungen von Triangle Strips und deren
Generierung aus triangulierten Meshes. ∗
David Botzenhart
Johannes Priewasser
28. Februar 2008
∗ Betreut von Ao.Univ.-Prof. Dipl.-Ing.Dr. Martin Held
1

held m.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
1.1 Darstellung und Beschreibung von Körpern in der Computergrafik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Die Grafik Pipeline einer Grafik Prozessor Einheit (GPU) am
Beispiel von OpenGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Triangle Strips (TriStrips) 7
2.1 Dreiecksequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Definitionen zu Triangle Strips (TriStrips) . . . . . . . . . . . 7
3 Fans 12
4 Graphentheorie in Verbindung mit Meshes 12
4.1 Dualer Graph in einem triangulierten Mesh . . . . . . . . . . . 12
4.2 Hamiltonische Pfade in einem dualen Graph . . . . . . . . . . 13
4.3 Sätze und Definitionen zu triangulierten Meshes . . . . . . . . 14
5 Algorithmen 15
5.1 SGI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 STRIPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3 FTSG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3.1 Triangulieren aller Flächen des Modells . . . . . . . . . 19
5.3.2 Bilden eines spannenden Baumes im dualen Graph eines
triangulierten Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3.3 Partitionierung des Baumes in hamiltonische Pfade . . 20
5.3.4 Auflösung der Pfade in Strips oder Fans . . . . . . . . 22
5.3.5 Konkatenierung der Strips . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.6 Statistiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.4 Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1

Abbildungsverzeichnis
1 Primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Beschreibung und Orientierung von einem Dreieck. . . . . . . 4
3 Eine vereinfachte Grafik Pipeline. . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Verbundene Dreiecke als Sequenz. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5 Ein einfacher Triangle Strip (TriStrip). . . . . . . . . . . . . . 8
6 Generalisierte Triangle Strips in einem triangulierten Mesh. . . 9
7 Generalisierter Triangle Strip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8 Konstruktion eines Fan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9 Dualer Graph in einem triangulierten Mesh. . . . . . . . . . . 13
10 Hamiltonischer Pfade in einer hamiltonischen Triangulation. . 14
11 SGI Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12 Patch und anschließende Triangulation. . . . . . . . . . . . . . 18
13 Graphensuchalgorithmen. [10, Xiang] . . . . . . . . . . . . . . 20
14 Path Peeling Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15 Beispiel einer Triangulation und zwei daraus ableitbare duale
Bäume. [10, Xiang] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
16 Optimale Stripkonkatenation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
17 Stripkonkatenation mit Ersparnis von 1 Vertex. . . . . . . . . 24
18 Stripkonkatenation ohne Ersparnis. . . . . . . . . . . . . . . . 24
19 Tunneling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tabellenverzeichnis
1 Vergleich von SGI und STRIPE. [4, Evans et al.] . . . . . . . . 18
2 Auswertung verschiedener Heuristiken des FTSG. [10, Xiang] . 27
3 Vergleich von FTSG, SGI und STRIPE. [10, Xiang] . . . . . . 28
4 Vergleich der Stripanzahl von SGI, STRIPE und Tunneling.
[8, Stewart] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Vergleich der Laufzeiten von SGI, STRIPE und Tunneling. [8,
Stewart] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2

1 Einleitung
1.1 Darstellung und Beschreibung von Körpern in der
Computergrafik
Die wissenschaftliche Disziplin der Computergrafik, ein Teilbereich der Informatik,
beschäftigt sich mit der Erzeugung von computergenerierten Bildern.
Meist dienen Modelle bei der Erzeugung von computergenerierten Bildern als
Quelle. Diese Modelle, auch Objekte genannt, können durch Grafik-Primitive
wie Vertices, Linien, Dreiecke, Polygone, Rechtecke, Quadrate, aber auch als
Triangle Strips, Fans und viele mehr beschrieben werden.[7, Nischwitz et al.]
(a) (b) (c) (d)
Abbildung 1: Primitive.
So manch einer mag sich nun an die Bauklötzchen seiner Kindheit zurück
erinnern, wenn wir nun anhand eines Türmchens in Abbildung 1 einige Primitive
betrachten. Unser Türmchen (a) kann durch einen hohlen Zylinder (b),
einen Kegel und einer Scheibe, welche als Boden dient, beschrieben werden.
Dies kann durch eine zehnseitige Pyramide, ein Zehneck und einem zehnseitigen
Zylinder (c) angenähert werden. Diese neuen Teile lassen sich nun wiederum
durch planare Primitive beschreiben. Also durch dreiseitge Polygone
(Dreiecke), vierseitige Polygone (Quadrate auch Quads genannt) und durch
unsere Bodenplatte als zehnseitiges Polygon. Im letzten Schritt (d) können
3

nun alle Polygone mit mehr als drei Eckpunkten trianguliert, das heißt in
Dreiecke unterteilt, werden. Die primitive Einheit schlechthin die eine Fläche
beschreibt ist also das Dreieck. Und so ist es also nicht verwunderlich, dass
in der 3D Computergrafik vorallem die Berechnung von Dreiecksflächen von
Interesse ist. Zur Vollständigkeit sei aber erwähnt das moderne Grafikkarten
auch durchwegs mit mehr als nur mit Dreiecksflächen als Primitive optimiert
arbeiten können. Wir wollen aber nun im folgenden davon ausgehen, dass
unser Grafik Prozessor bevorzugt Dreiecke verarbeitet. Um also unser Türmchen,
bereits aus einzelnen Dreiecken bestehend, von der CPU an den Grafik
Prozessor (GPU) zu übertragen, benötigen wir pro Dreieck drei Punkte, in
der Computergrafik auch Vertices genannt. Diese Vertices definieren bereits
durch Ihre Orientierung die Vorderseite bzw. die Rückseite eines Dreiecks.
Der Normalvektor nv steht senkrecht zur Vorderseite des Dreiecks.
v3
v1
nv
Abbildung 2: Beschreibung und Orientierung von einem Dreieck.
Es folgt, dass wir für n Dreiecke 3n Vertices zum Grafik Prozessor übertragen
müssten. In unserem Fall wären das 8 Dreiecke für die Bodenplatte,
10 Dreiecke für die Pyramide und 20 Dreiecke für den Zylinder. Dies ergäbe
(8 + 10 + 20) 3 = 114 Vertices die zu übertragen wären. Wir werden uns
im Folgenden damit beschäftigen, wie wir diese Anzahl der Vertices, ohne
Informationsverlust reduzieren können. Aber betrachten wir vorerst welche
weiteren Vorteile durch die Reduktion der Vertices zu erwarten sind.
4
v2
v2
nv
v1
v3

1.2 Die Grafik Pipeline einer Grafik Prozessor Einheit
(GPU) am Beispiel von OpenGL
Die Operationen zur Erzeugung von computergenerierten Bildern laufen bei
heutigen Computersystemen im Allgemeinen in der Grafik Pipeline eines
Grafik Prozessors ab.
Abbildung 3: Eine vereinfachte Grafik Pipeline.
Die Grafik Pipeline ist hier vereinfacht dargestellt, dabei wurde absichtlich
auf spezielle Features wie Blending, logische Operationen und Vertex Buffer
Operationen verzichtet. Natürlich verfügen heutige Grafik Pipelines über wesentlich
mehr Funktionalität, doch sind die hier beschriebenen Elemente der
Grafik Pipeline im Prinzip noch immer in dieser oder jener Form enthalten.
(a) Übertragung: Die Grafikdaten werden von der CPU an den Grafik
Prozessor übertragen. Es werden neben den Modelldaten (Türmchen)
auch Transformationsdaten, Translationsdaten, Beleuchtungsdaten, Augenpunkt
und Blickrichtung, Effektdaten und Texturdaten übertragen.
Auf diese wollen wir aber nicht genauer eingehen, da sie für unsere
Überlegungen nicht von wesentlichem Interesse sind.
(b) Display Listen: Display Listen dienen dazu, geometrische Primitive
oder Bilddaten zu komplexen Objekten zusammenzufassen. In unserem
Fall würden unsere 38 Dreiecke bzw. 114 Vertices wieder zu einer
Einheit ” Türmchen“gruppiert.
5

(c) Vertex Operationen: Die Vertex-Daten werden zunächst in mehreren
Stufen transformiert. Dazu gehört die Positionierung (Translation), die
Drehung (Rotation), die Skalierung und abschließend die Projektion,
um die 3D Koordinaten auf die 2D Bildebene zu projezieren. Gegebenenfalls
werden noch Normalvektoren und Texturkoordinaten transformiert.
Ist der Beleuchtungsmodus aktiv, wird in dieser Verarbeitungsstufe
aus den Vertices, Normalvektoren und Materialeigenschaften der
Objekte auf der einen Seite und den Eigenschaften der Lichtquellen
auf der anderen Seite, für jeden Vertex die Beleuchtungsberechnung
durchgeführt bzw. die Farbe ermittelt. Sollten Schnittebenen (Clipping
Planes) definiert sein, werden die Geometriedaten eliminiert, welche
sich im weggeschnittenen Halbraum befinden. [7, Nischwitz et al.]
Hier wird deutlich wie wichtig eine Reduktion der Vertices für die Berechnungsgeschwindigkeit
ist. Zusammenfassend bedeutet eine Reduktion von
Vertices:
1. Es müssen weniger Vertices zur Grafik Prozessor Einheit übertragen
werden.
2. Es müssen weniger Vertices transformiert werden.
3. Es müssen weniger Beleuchtungsberechnungen durchgeführt werden.
4. Es müssen weniger Line Clippings durchgeführt werden.
Ist allerdings die CPU-GPU Pipeline der so genannte Flaschenhals, wird sich
die Optimierung der Performanz in der Grafik Pipeline nur wenig auf die
Berechnungsgeschwindigkeit und somit auf die Framerate, also die Anzahl
berechenbarer Bilder pro Sekunde, auswirken.
6

2 Triangle Strips (TriStrips)
2.1 Dreiecksequenzen
Wie ist es nun möglich Dreiecke mit weniger als drei Punkten zu beschreiben?
Dazu sehen wir uns in Abbildung 4 einen Teil unseres eingehenden Beispiels,
den Zylinder des Türmchens (a) an.
(a) (b)
Abbildung 4: Verbundene Dreiecke als Sequenz.
Hierbei handelt es sich um verbundenene Dreiecke, die sich jeweils eine Kante
teilen. Und darin liegt auch schon das Geheimnis begraben. Wir beschreiben
Dreiecke nicht als einzelne Primitive sondern als Sequenz (b) von benachbarten
Dreiecken.
2.2 Definitionen zu Triangle Strips (TriStrips)
Im folgenden wird Allgemeines zu Triangle Strips definiert. [1, Akenine-
Möller et al.]
Definition 2.1 Ein Triangle Strip ST wird durch eine geordnete Liste,
einem n-Tupel beschrieben.
ST = (v0, v1, . . . vn−1) (1)
Das Startdreieck T0 wird durch die Vertices v0, v1 und v2 definiert. Das folgende
Dreieck T1 wird durch die zwei zuletzt gesendeten Vertices v1, v2, welche
7

eine gemeinsame Kante von T1 und T0 beschreiben, und einen neuen Vertex
v3 definiert. Die Orientierung des Dreiecks T0 ist aber der Orientierung von
T1 zwangsläufig entgegengesetzt. Durch diese Definition ergibt sich, dass ein
v0
T0
v2
v1
T1
T2
v3
v4
T3
T4 T5
Abbildung 5: Ein einfacher Triangle Strip (TriStrip).
Das 8-Tupel (v0, v1 . . . v7) beschreibt einen TriStrip. Es ist zu beachten, dass das erste Dreieck T0 die
Orientierung der folgenden Dreiecke vorgibt.
Dreieck Ti eines Triangle Strips beschrieben wird, durch Ti = (vi, vi+1, vi+2),
und dass ein Triangle Strip mit n Vertices n − 2 Dreiecke besitzt.
Definition 2.2 Sei TST die Menge der Dreiecke eines Triangle Strips der
Länge n. Ein Triangle Strip ST
beschreibt, und es gilt:
heißt sequentiell wenn er n − 2 Dreiecke
v5
v6
0 ≤ |TST | < n − 2 (2)
Definition 2.3 Handelt es sich bei einem Triangle Strip ST mit l = |TST |
Dreiecke, um einen sequentiellen Triangle Strip, so gilt für die Kompressionsrate
Cr(ST ):
Cr(ST ) =
3 + (l − 1)
l
8
= 1 + 2
l
v7
(3)

Ein Spezialfall, der meist zwar unerwünscht ist, aber dennoch bei der Erzeugung
von Triangle Strips auftreten kann ist ein Triangle Strip mit der Länge
l = 1 also |TST = 1|
Definition 2.4 Ein Singleton Triangle Strip ist ein Triangle Strip der
genau ein Dreieck beschreibt.
Definition 2.5 Ein trianguliertes Mesh ist eine Struktur bestehend aus miteinander
verbundenen Dreiecken (siehe Abbildung 6).
Erinnern wir uns an unser eingehendes Beispiel, unser Türmchen (siehe Abbildung
6) . Wir hatten unser Ziel formuliert, die Anzahl der an die Grafik
Prozessor Einheit zu sendenden Vertices, zu minimieren. In unserem Beispiel
kann man die gesamte Oberfläche unseres Türmchens durch ein Mesh
beschreiben.
(a) (b)
Abbildung 6: Generalisierte Triangle Strips in einem triangulierten Mesh.
In den meisten Fällen kann ein Mesh nicht durch einen einzelnen sequentiellen
Triangle Strip beschrieben werden. Sehen wir dazu Abbildung 7 an. Die
9

v0
T0
v2
v1
T1
T2
v3
v4
T3
v6
v10
Abbildung 7: Generalisierter Triangle Strip.
Dreiecke T0, T1, T2 und T3 lassen sich noch durch einen sequentiellen Triangle
Strip beschreiben. Aber Dreieck T4 wird jetzt nicht durch v4, v5 und v6
gebildet, sondern durch v5, v3 und v6.
Definition 2.6 Ein generalisierter Triangle Strip (Generalized Triangle
Strip) ist ein Triangle Strip der jeden Vertex nur einmal enthält. [6, Deering
at al.]
Um einen solchen Strip verwenden zu können muss ein Cache in der Grafik
Prozessor Einheit eingeführt werden, welcher zumindest einen Teil der gesendeten
Vertices buffert. Die Sequenz des generalisierten Triangle Strip aus
Abbildung 7 kann nun wie folgt beschrieben werden:
STS = (v0, v1, v2, v3, v4, i(3), v5, v6, i(5), v7, i(5), v8, i(5), v9, i(4), v10)
Nicht nur Vertices sind nun als Elemente der Triangle Strip Sequenz zugelassen
sondern auch Indizes. Ein Index, wie zum Beispiel i(3), verweist auf den
bereits gesendeten Vertex v3. Ein Index ist nur ein eindimensionales Datum,
im Gegensatz zu einem Vertex, und benötigt daher auch wesentlich weniger
Bandbreite. Der Vorteil liegt nun stark darin, dass in der Grafik Prozessor
Einheit kaum ein Vertex doppelt oder mehrfach vorkommt und daher die
Anzahl der Vertex Operationen reduziert wird.
10
T9
T4
T8
v5
v9
T5
T7
T6
v7
v8

Satz 2.1 Eine kontrollierbarer Cache (kein FIFO) von der Größe O( √ n) in
der Grafik Prozessor Einheit ist ausreichend, um jeden Vertex eines generalisierten
Triangle Strips nur einmal zu senden. [3, Yehuda und Gotsman]
Eine trickreiche Variante der generalisierten Triangle Strips stellen quasisequentiell
generalisierte Triangle Strips dar. Hierzu werden die Indizes aus
den generalisierten Triangle Strips durch einen Befehl, den sogennanten SWAP
ersetzt.
Definition 2.7 Ein SWAP vertauscht die Ordnung der zwei zuletzt gesendeten
Vertices.
Sehen wir uns dazu noch einmal Abbildung 7 an. Mit unserem neu eingeführten
SWAP Befehl sieht die Sequenz wie folgt aus:
STS SW AP = (v0, v1, v2, v3, v4, swap, v5, v6, swap, v7, swap, v8, swap, v9, v4, v10)
Steht der SWAP Befehl nicht zur Verfügung, so kann man diesen durch das
wiederholte Senden des vorletzt gesendeten Vertex erreichen. Dies geschieht
allerdings nicht ganz kostenlos. Zu der doppelten Übertragung eines Vertex
kommt noch hinzu, dass ein zusätzliches Dreieck, allerdings ohne Flächeninhalt,
entsteht. Dies kann unter Umständen auch zu Darstellungsfehlern
führen, und sollte daher nur angewandt werden wenn es von der Grafik Prozessor
Einheit unterstützt wird. Eine solche Sequenz sieht für den Strip aus
Abbildung 7 wie folgt aus:
STS = (v0, v1, v2, v3, v4, v3, v5, v6, v5, v7, v5, v8, v5, v9, v4, v10)
11

3 Fans
v1
v2
v6
v3
v0
v5
v4
Abbildung 8: Konstruktion eines Fan.
Bevor wir uns nun an die Generierung von Triangle Strips heran machen,
sollte noch ein wichtiger Verwandter des Triangle Strips vorgestellt werden,
der Fan. Ein Fan, zu Deutsch Fächer, wird wie der Name schon vermuten
lässt, durch einen Punkt im Zentrum, den ersten Vertex der Sequenz und die
ihn umlaufenden Dreiecke welche durch die folgenden Vertices beschrieben
werden, bestimmt. Eine typische Fan Sequenz FT (siehe Abbildung 8) sieht
wie folgt aus:
FT = (v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6)
Es sei noch erwähnt, dass heutige Grafik Prozessor Systeme eine Vielzahl an
Primitiven kennen, die ähnliche Effizienzvorteile mit sich bringen wie Strips
und Fans.
4 Graphentheorie in Verbindung mit Meshes
Die meisten Algorithmen konstruieren im ersten Schritt einen dualen Graph
dem das triangulierte Mesh zu Grunde liegt. Daher wollen wir uns zunächst
noch ein wenig dem Gebiet der Graphentheorie zuwenden.
4.1 Dualer Graph in einem triangulierten Mesh
Definition 4.1 Sei TP die Triangulation eines planaren Meshes also die
Menge aller Dreiecke (siehe Abbildung 10). Ein Graph G(TP ) heißt dualer
Graph eines triangulierten Meshes wenn gilt:
12

ν
µ
λ
ϑ
η
ψ
δ ε
χ
ω
T (ν)
T (µ)
T (λ) T (ϑ)
Abbildung 9: Dualer Graph in einem triangulierten Mesh.
T (η)
T (δ)
T (ψ)
T (χ)
• Der Graph G(TP ) hat für jedes Dreieck aus TP genau einen Knoten.
Jeder Knoten ν repräsentiert ein Dreieck T (ν).
• Es existiert eine Kante zwischen zwei Knoten ν und µ genau dann,
wenn die zugehörigen Dreiecke T (ν) and T (µ) eine gemeinsame Seite
teilen.
Definition 4.2 Die Ordnung eines Knoten in einem dualen Graph ist die
Anzahl der Kanten die von einem Knoten ausgehen.
4.2 Hamiltonische Pfade in einem dualen Graph
Definition 4.3 Ein Pfad in einem dualen Graph heißt hamiltonischer
Pfad genau dann, wenn der Pfad jeden seiner Knoten genau einmal besucht.
Definition 4.4 Ein dualer Graph heißt hamiltonischer Graph genau dann,
wenn ein hamiltonischer Pfad existiert, der alle Knoten genau einmal besucht.
Satz 4.1 Jede Punktmenge kann hamiltonisch trianguliert werden, und zwar
in einer Zeit von O(n log n) . [2, Arkin at al.]
Definition 4.5 Eine Triangulation wird genau dann hamiltonisch genannt,
wenn der dazugehörige duale Graph hamiltonisch ist.
Satz 4.2 Testen ob ein Triangulation hamiltonisch ist, kann nicht deterministisch
in Polynomialzeit festgestellt werden.
13
T (ε)
T (ω)

Abbildung 10: Hamiltonischer Pfade in einer hamiltonischen Triangulation.
4.3 Sätze und Definitionen zu triangulierten Meshes
Satz 4.3 Euler’s Theorem für zusammenhängende planare Graphen besagt:
v − e + f − 2g = 2 (4)
Wobei v die Anzahl der Knoten (Vertices) ist, e ist die Anzahl der Kanten
(Edges), f ist die Anzahl der Flächen (faces) und g ist das Geschlecht (genus),
sprich die Anzahl der Löcher in dem Objekt.
Da jede Kante zwei Flächen teilt und jede Fläche mindestens drei Kanten
besitzt, gilt 2e >= 3f. Setzt man das in Euler’s Theorem ein, erhält man
nach der Vereinfachung f

Satz 4.5 Eine Buffergröße von 1.649 √ n ist notwendig für ein optimales Rendering
im schlechtesten Fall.
5 Algorithmen
5.1 SGI
Dieser Algorithmus wurde im Jahr 1990 von Kurt Akeley, Paul Haeberli
und Derrick Burns veröffentlicht. Er war zu finden auf der ” SGI Developer’s
Toolbox CD“, in Form eines C Programmes, und ist daher auch unter dem
Namen tomesh oder tomesh.c bekannt.
Entwickelt wurde der Algorithmus für die Graphics Library (GL) von SGI,
welche auch Swaps unterstützt. Daher versucht der Algorithmus gar nicht
erst Swaps zu verhindern. Er funktioniert nur für vollständig triangulierte
Modelle, das bedeutet wenn Polygone mit mehr als 3 Ecken in dem Modell
enthalten sind, dann müssen diese Polygone zuerst in Dreiecke zerlegt werden
bevor der Algorithmus darauf angewandt werden kann. Der Algorithmus
funktioniert nach dem Greedy Prinzip, das heißt er geht bei jedem Schritt
zum nächst besten Dreieck, aus lokaler Sicht von der aktuellen Position aus
gesehen. Gibt es mehrere gleich gute Dreiecke, dann geht er weiter zu den
Nachbarn dieser Dreiecke und bewertet diese. Ist die Entscheidung dann immer
noch nicht eindeutig, wird unter allen möglichen Dreiecken eines zufällig
ausgewählt.
Das Ziel des Algorithmus bei der Generierung eines Strips ist es, die verbleibende
Triangulation nicht in zu viele kleine Teilbereiche zu trennen, da
dadurch die Wahrscheinlichkeit, dass weitere Strips eher kurz sein werden,
oder sogar Singleton Strips entstehen, erhöht würde.
Algorithmus [9, Vaněček]:
1. Wenn keine Dreiecke in der Triangulation übrig sind, beende.
2. Wähle ein Startdreieck T mit der geringsten Anzahl an Nachbarn.
3. Starte einen neuen Strip.
4. Füge das Dreieck T zum Strip hinzu und entferne es aus der Triangulation.
15

5. Wenn T keinen Nachbarn hat, gehe zu Schritt 1
6. Wähle ein neues Dreieck T ′ , welches zu T benachbart ist und die kleinste
Ordnung aufweist. Gibt es mehrere Dreiecke der selben Ordnung,
schaue eine Ebene weiter.
7. T ′ wird zu T . Gehe zu Schritt 4
In Abbildung 11 sieht man den Entstehungsprozess der Triangle Strips an
einem Beispielmesh. Der Algorithmus beginnt mit der Auswahl eines Startdreiecks.
In diesem Beispiel stehen vier mögliche Dreiecke mit nur einem
Nachbarn zur Auswahl. Der Algorithmus entscheidet sich zufällig für eines
der vier, wie bei (a) ersichtlich. Ein Strip wird mit diesem Dreieck begonnen
und der Algorithmus hat nur ein Dreieck zur Auswahl um den Strip fortzusetzen.
Die Auswahl bleibt auch bei den nächsten Dreiecken beschränkt,
bis wir an einem Dreieck mit zwei Nachbarn ankommen. Wie bei Schritt (b)
dargestellt gibt es nun zwei mögliche Richtungen den Strip weiterzuführen.
Das Dreieck mit der niedrigeren Ordnung wird bevorzugt und das ist, wie
beim nächsten Schritt (c) zu sehen ist, das rechte. Der Strip wird fortgesetzt
bis kein Dreieck mehr hinzugefügt werden kann. Danach wird ein neues
Startdreieck, für den nächsten Strip gesucht und dieser auf die selbe Weise
gebildet. Das Ergebnis dieses Beispiels ist bei (d) zu sehen.
5.2 STRIPE
Dieser Algorithmus wurde im Jahr 1996 von Francine Evans, Amitabh Varshney
und Steven Skiena veröffentlicht. Der STRIPE Algorithmus unterteilt
sich in zwei Phasen, einer globalen und einer lokalen Phase. In der globalen
Phase sucht STRIPE in einem Modell nach Patches.
Definition 5.1 Ein Patch ist definiert als viereckigen Region, welche selbst
nur aus viereckigen Flächen zusammengestzt ist (siehe 12.
Kann ein gefundener Patch eine bestimmte Mindestgröße aufweisen, wird der
Patch trianguliert und in einen Strip konvertiert. Anschließend wird versucht
mit einem Greedy Algorithmus, ähnlich dem SGI Algorithmus, den entstandenen
Strip an dessen Anfang und Ende zu verlängern soweit es möglich ist.
In der lokalen Phase werden dann alle aus der ersten Phase verbleibenden
Polygone trianguliert und in Strips zusammengefasst.
16

(a) (b)
1
2
(c) (d)
Abbildung 11: SGI Algorithmus.
Der STRIPE Algorithmus hat den Vorteil, dass die Triangulation ” on the
fly“erfolgt und sich somit der Prozess der Stripifizierung flexibler gestalten
lässt. Er funktioniert am besten mit Modellen die viele Vierecke beinhalten,
da dadurch viele Patches gefunden werden können und aus den Patches gute
sequentielle Strips gebildet werden können. Außerdem läuft der Algorithmus
inzwischen in linearer Zeit, wenn auch etwas langsamer als der SGI Algorithmus.
Der größte Nachteil des Algorithmus ist, dass er nur für Modelle
funktioniert, welche keine konvexen Polygone enthält. [4, Evans at al.]
In Tabelle 1 sieht man eine Gegenüberstellung des STRIPE Algorithmus und
des SGI Algorithmus.
17

5.3 FTSG
Abbildung 12: Patch und anschließende Triangulation.
Data File Num Num Cost Savings
Verts Tris SGI STRIPE
plane 1508 2992 4005 3509 12%
skyscraper 2022 3692 5621 4616 18%
triceratops 2832 5660 8267 6911 16%
power lines 4091 8966 12147 10621 13%
porsche 5247 10425 14227 12367 11%
honda 7106 13594 16599 15075 9%
bell ranger 7105 14168 19941 16456 17%
dodge 8477 16646 20561 18515 10%
general 11361 22262 31652 27702 12%
Tabelle 1: Vergleich von SGI und STRIPE. [4, Evans et al.]
Dieser Algorithmus wurde im Jahr 1999 von Xinyu Xiang, Joseph S. B. Mitchell
und Martin Held entwickelt. FTSG steht für Fast Triangle Strip Generator
und wird seinem Namen, wie die Statistiken zeigen, auch gerecht.
Der Algorithmus besteht aus fünf Schritten:
1. Triangulieren von allen Flächen des Modells.
2. Bilden eines spannenden Baumes im Dual Graph der Triangulation.
18

3. Partitionierung des Baumes in hamiltonische Pfade.
4. Auflösung der Pfade in Strips oder Fans.
5. Konkatenierung der Strips.
5.3.1 Triangulieren aller Flächen des Modells
Für den ersten Schritt wurde FIST (Fast Industrial-Strength Triangulation
of Polygons) [5, Held] verwendet. FIST wurde entwickelt von Martin
Held und wird dazu verwendet, Flächen eines Modells zu triangulieren, welche
noch nicht trianguliert sind.
5.3.2 Bilden eines spannenden Baumes im dualen Graph eines
triangulierten Meshes
Für den Schritt 2 kann zwischen drei verschiedenen Suchverfahren gewählt
werden:
• einer Tiefensuche (depth-first search, DFS),
• einer Breitensuche (breadth-first search, BFS) und
• einer Hybrid-Variante.
Letztere führt eine Tiefensuche durch, kehrt dann aber zum höchsten Knoten
zurück, welcher noch nicht vollständig besucht wurde. Die drei Suchmethoden
werden in Abbildung 13 veranschaulicht.
Wenn der gewählte Suchalgorithmus sich nun bei einem Knoten mit zwei
unbesuchten Nachbarn befindet (Knoten 2. Ordnung), gibt es für die Wahl
zwischen den beiden Knoten verschiedene Vorgehensweisen. Die einfachste
Methode, ist es den nächsten Knoten zufällig auszuwählen (random marching).
Eine andere von SGI entwickelte und in tomesh implementierte Heuristik,
wählt den nächsten Knoten welcher die kleinste Anzahl an unbesuchten
Nachbarn aufweist.
Eine weitere Variante ist es, zu überprüfen von welcher Seite des vorhergehenden
Dreiecks, in das aktuelle Dreieck eingetreten wurde, und dann die
entgegengesetze Richtung zu wählen, sodass die Richtung des Pfades bei jedem
Schritt alterniert (alternate-turn marching).
Das Ziel ist, einen Baum zu erzeugen, welcher möglichst wenige Knoten der
Ordnung 2 enthält. Je weniger Knoten 2. Ordnung der Baum letztlich enthält,
19

S S S
BFS DFS Hybrid
Abbildung 13: Graphensuchalgorithmen. [10, Xiang]
desto effektiver wird im nachfolgenden Schritt die Partitionierung sein, dass
heißt desto weniger hamiltonische Pfade werden aus dem Graphen entstehen.
Die Breitensuche tendiert dazu, sehr gut ausbalancierte Bäume zu erzeugen,
welche eine große Anzahl an Knoten 2. Ordnung enthalten. Die Tiefensuche
und die Hybrid-Variante erzeugen beide für den nachfolgenden Schritt besser
geeignete Bäume, mit wenigen Knoten 2. Ordnung.
5.3.3 Partitionierung des Baumes in hamiltonische Pfade
Zur Partitionierung des im vorherigen Schritt entstandenen Baumes, wird
der Path Peeling Algorithmus verwendet. Dieser partitioniert den dualen
Graph in hamiltonische Pfade.
Algorithmus [10, Xiang]:
1. Sei v ein Knoten mit maximaler Tiefe, von allen Knoten mit 2 Kindern.
Gibt es keinen solchen Knoten, gehe zu Schritt 3.
Dann muss der Teilbaum mit der Wurzel v ein Pfad πv sein. Andernfalls
würde ein tiefer liegender Knoten mit 2 Nachfolgern existieren,
was wiederum der zuvor getroffenen Wahl von v widerspräche. Weiters
besteht der Pfad πv aus mindestens drei Knoten.
20

2. Entferne πv aus dem Baum. Ist der Baum nun leer, beende; ansonsten
gehe zu Schritt 1.
3. (Kein Knoten des Baumes hat zwei Kinder.) In diesem Fall, ist der
Baum bereits ein Pfad (möglicherweise mit nur einem oder zwei Knoten),
also beende.
Abbildung 14 zeigt die Partitionierung eines Beispielbaumes durch den Path
Peeling Algorithmus. Bild (a) zeigt den Ausgangsbaum. In diesem wird nun
der Knoten mit maximaler Tiefe, von allen Knoten mit zwei Kindern gesucht.
Es existieren fünf Knoten der Ordnung 2 und zwei davon liegen auf der selben
Tiefe. Es wird einer der beiden zufällig ausgewählt. Dieser stellt nun die
Wurzel des Teilbaumes dar, welcher in einen Pfad verwandelt werden kann,
wie bei (b) zu sehen ist. Der nächste Knoten mit besagten Kriterien wird
gesucht und ist diesmal eindeutig. Auch dieser wird in einen Pfad verwandelt,
wie bei (c) ersichtlich. Es bleibt nur noch ein Knoten der Ordnung 2 übrig
und zwar der Wurzelknoten des Ausgangsbaumes und auch dieser Teilbaum
bildet, wie in (d) zu sehen, einen Pfad.
(a) (b)
(c) (d)
Abbildung 14: Path Peeling Algorithmus.
21

Der Algorithmus garantiert, dass jeder Pfad außer möglicherweise einer, aus
mindestens drei Knoten besteht. Er kann in linearer Zeit ausgeführt werden,
da jeder Knoten seine Tiefe und seine Ordnung kennt und jeder besuchte
Knoten einem Pfad zugeordnet wird. Somit muss jeder Knoten nur genau
einmal besucht werden.
In Abbildung 15 ist ein Beispiel einer Triangulation zu sehen. In der Mitte
sieht man den dualen Baum, welchen der Path Peeling Algorithmus aus
diesem Beispiel erzeugt. Hierbei beträgt die durchschnittliche Anzahl an Vertices
pro Dreick 2n. Rechts davon, ein alternativer Baum, welcher ebenso das
Mesh repräsentiert, kommt auf eine durchschnittliche Anzahl von 5n
Verti-
3
ces.
4
6 5 4 3
5
7 8 9
10
2 6
11
1
12
Abbildung 15: Beispiel einer Triangulation und zwei daraus ableitbare duale
Bäume. [10, Xiang]
5.3.4 Auflösung der Pfade in Strips oder Fans
Nun können die Pfade in Strips umgewandelt werden. Es werden drei verschieden
Arten davon generiert:
• Nur Sequentielle Triangle Strips,
• Nur Fan Strips,
• Sequentielle Triangle Strips und Fan Strips.
Wenn sequentielle Triangle Strips und Fan Strips generiert werden, werden
die sequentiellen Strips bevorzugt. Ein Fan Strip kommt nur zustande, wenn
22
2n
3
7
2
1
8
9
10
11
12
5
3 n

vier aufeinander folgende Dreiecke nicht zu einem sequentiellen Strip zusammengefasst
werden können.
5.3.5 Konkatenierung der Strips
Hierbei geht es darum die Anzahl der Strips zu reduzieren, indem man sie
zusammenfügt. Dadurch entstehen weniger und auch längere Strips. In der
nachfolgenden Erklärung zur Konkatenierung der Strips, sind sowohl flächenleere
Dreiecke, sowie mehrfach vorkommende, identische Dreiecke erlaubt.
Annahme 5.1 Seien
σ1 = (v1, v2, v3, ..., vn, vn+1, vn+2)
und
σ2 = (u1, u2, u3, ..., um, um+1, um+2)
zwei sequentielle Strips in der Triangulation S. Angenommen das erste oder
letzte Dreieck von σ1 ist ein Nachbar vom ersten oder letzten Dreieck von
σ2. Seien also (vn, vn+1, vn+2) und (u1, u2, u3) Nachbarn.
Im Ergebnis der Konkatenierung sollten drei aufeinander folgende Vertices
im neuen Strip entweder ein bestehendes Dreieck aus der Triangulation S,
oder ein neu eingeführtes, degeneriertes Dreieck bilden. Nun müssen drei
Fälle unterschieden werden:
1. Falls vn+1 = u1 und vn+2 = u2
σ1 + σ2 −→ (v1, ..., vn, u1, u2, u3, ...um+2)
Dieser Fall kann nur bei genau einer Konstellation der Vertices eintreten,
wie in Abbildung 16 dargestellt.
2. Falls vn = u2 oder vn+1 = u2 oder vn+1 = u3, und vn+2 = u1
σ1 + σ2 −→ (v1, ..., vn, vn+1, u1, u2, u3, ..., um+2)
Dieser Fall kann in drei verschiedenen Konstellationen der Vertices eintreten,
wie in Abbildung 17 ersichtlich.
23

1
2
3
4 4
6
5 5 7
Abbildung 16: Optimale Stripkonkatenation.
(1, 2, 3, 4, 5) + (4, 5, 6, 7, 8) −→ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
1
2
3
4 4
5
7 8
5
1
6
2
3
Abbildung 17: Stripkonkatenation mit Ersparnis von 1 Vertex.
(1, 2, 3, 4, 5) + (5, 4, 6, 7, 8) −→ (1, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 7, 8)
(1, 2, 3, 4, 5) + (5, 6, 4, 7, 8) −→ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 7, 8)
(1, 2, 3, 4, 5) + (5, 3, 6, 7, 8) −→ (1, 2, 3, 4, 5, 3, 6, 7, 8)
1
2
3
Abbildung 18: Stripkonkatenation ohne Ersparnis.
(1, 2, 3, 4, 5) + (3, 5, 6, 7, 8) −→ (1, 2, 3, 4, 5, 3, 5, 6, 7, 8)
4
6
5
24
8
4
5
7
7
8
6
1
7
2
8
3
4
5
8
6

3. Andernfalls
σ1 + σ2 −→ (v1, ..., vn, vn+1, vn+2, u1, u2, u3, ..., um+2)
Dieser Fall kann in vier weiteren Konstellationen der Vertices eintreten.
Ein Beispiel dafür ist in Abbildung 18 zu sehen.
Es kann hierbei offensichtlich die Anzahl der Vertices nicht reduziert
werden. Trotzdem hat diese Form der Konkatenierung den Vorteil, dass
insgesamt ein Strip eingespart werden kann.
Die Konkatenierung von zwei Fans funktioniert folgenderweise:
Annahme 5.2 Seien
σ1 = (v1, v2, v3, ..., vn, vn+1, vn+2)
und
σ2 = (u1, u2, u3, ..., um+2)
zwei Fan Strips in der Triangulation S. Seien wieder (vn, vn+1, vn+2) und
(u1, u2, u3) benachbart. Dann kann σ1 und σ2 genau dann konkateniert werden,
wenn v1 = u1 und vn+2 = u2, und σ1+σ2 −→ (v1, ..., vn+1, vn+2, u3, ...um+2).
Strips welche nur ein einziges Dreieck (Singleton Strips) beinhalten bilden
einen Sonderfall, da die Vertices (v1, v2, v3) zyklisch permutiert werden können.
Dadurch kann natürlich ein benachbarter Strip, sehr einfach und effektiv mit
dem Singleton Strip konkateniert werden. Singleton Strips haben also drei
mögliche Nachbarn mit denen sie zusammengefügt werden können. Alle anderen
Strips mit der minimalen Länge zwei haben zwei mögliche Kandidaten
zur Konkatenierung.
Dieser FTSG Konkatenations-Algorithmus kann nur bei einem Paar von benachbarten
Strips σ1 und σ2 eine optimale Konkatenierung erreichen. Die
Reihenfolge der Konkatenierung spielt also eine Rolle. Um das global beste
Ergebnis zu erzielen, wird die Konkatenierung in drei Stufen durchgeführt. Es
werden jene Strips bevorzugt, welche mit einer Einsparung von zwei Vertices
konkateniert werden können. Danach folgen die Konkatenierungen mit einer
Reduzierung von einem Vertex und abschließend jene mit keiner Einsparung.
25

5.3.6 Statistiken
Optionen des FTSG:
• Drei verschiedene Varianten den Dual Graph zu durchsuchen, nämlich
die Breitensuche ” bfs“(breadth-first search), die Tiefensuche ” dfs“(depthfirst
search) und die Hybrid Variante ” hyb“(hybrid variant).
• Zwei Möglichkeiten während der Graphensuche und zwar ” alt“(alternateturn
marching) und ” rnd“(random marching).
• Die Verwendung von flächenleeren Dreiecken ” zero“(zero-area triangles)
oder von gleichen Dreiecken ” dup“(duplicate triangles) während der
Konkatenierung der Strips.
• Generierung von sequentiellen Strips mit ” seq“und Fan Strips mit ” fan“
• Verwendung des dynamisch programmierten Algorithmus mit ” DP“
In Tabelle 2 sieht man eine Gegenüberstellung der verschiedenen Heuristiken.
Tabelle 3 zeigt den Vergleich des FTSG Algorithmus mit dem SGI Algorithmus
(tomesh) und dem STRIPE Algorithmus. Angegeben sind die durchschnittliche
Anzahl von Vertices pro Dreieck und die CPU Zeit.
5.4 Tunneling
Tunneling ist keine Methode um Strips in einem Mesh zu erzeugen, viel
mehr ist das Ziel dieser Methode, die Anzahl der Strips zu reduzieren. Es
operiert auf dem dualen Graph eines triangulierten Modells, wofür bereits
die entsprechenden TriStrips erzeugt wurden.
Der duale Graph auf dem operiert wird, enthält Strip-Edges und Nonstrip-
Edges, also Kanten welche einem Strip zugehörig sind und solche die keinem
Strip zugehörig sind.
Definition 5.2 Eine Sequenz von Kanten im dualen Graph, welche zwei
Strips miteinander verbindet, wird Tunnel genannt. Ein Tunnel hat außerdem
die Eigenschaft, dass er mit einer Nonstrip-Edge begonnen und beendet
wird. Dazwischen alterniert der Tunnel bei jedem Schritt zum nächsten Knoten,
zwischen Strip- und Nonstrip-Edges.
Algorithmus:
26

method avg. V/T CPU (ms)
-dfs -alt -seq -zero 1.23 0.009
-dfs -alt -seq -fan -zero 1.24 0.010
-hyb -alt -seq -zero 1.25 0.013
-hyb -alt -seq -fan -zero 1.27 0.013
-hyb -rnd -seq -zero 1.28 0.012
-dfs -alt -seq 1.29 0.009
-dfs -rnd -seq -zero 1.29 0.011
-hyb -alt -seq 1.32 0.012
-hyb -alt -seq -fan 1.33 0.011
-bfs -alt -seq -zero 1.33 0.010
-hyb -rnd -seq 1.36 0.010
-dfs -rnd -seq 1.38 0.009
-dfs -alt -fan 1.57 0.010
-hyb -alt -fan 1.58 0.014
-hyb -alt -fan -zero 1.58 0.013
Tabelle 2: Auswertung verschiedener Heuristiken des FTSG. [10, Xiang]
1. Wähle einen Knoten an dem Ende eines Strips.
2. Führe eine Breitensuche im Dual Graph durch, um den kürzesten Pfad
von alternierenden Kanten, zu einem Knoten am Ende eines anderen
Strips zu finden.
3. Auf diesem Pfad werden Strip-Edges umgewandelt in Nonstrip-Edges
und umgekehrt.
4. Die Anzahl der Strips wurde um eins verringert.
5. Diese Schritte können wiederholt werden, bis kein Tunnel mehr gefunden
wird.
Ein Beispiel für den Algorithmus ist in Abbildung 19 dargestellt. Bei Bild
(a) sieht man eine triangulierte Fläche. Die Knoten des dualen Graph werden
in Form von Kreisen in den Dreiecken dargestellt, die verbindenden Kanten
sind entweder rot (Strip-Edges) oder grün (Nonstrip-Edges). Der Algorithmus
beginnt mit der Auswahl des Knotens von dem die Breitensuche startet,
27

method avg.V / T CPU (ms)
FTSG -dfs -alt -DP -zero 1,21 0.014
FTSG -dfs -alt -seq -zero 1,23 0.009
FTSG -dfs -alt -DP 1,24 0.013
tomesh 1,36 0.027
STRIPE (convex faces) 1,36 0.263
STRIPE (fully triangulated) 1,39 0.071
Tabelle 3: Vergleich von FTSG, SGI und STRIPE. [10, Xiang]
die bei den Schritten (b),(c) und (d) zu sehen ist. Auf dem dadurch gefundenen
Pfad (e) werden jetzt die Kanten umgewandelt wie zuvor beschrieben.
Im letzten Bild (f) ist das Ergebnis zu sehen. Die Verläufe der Strips vor dem
Tunneling sind hier mit grün strichlierten Linien dargestellt. Man sieht, dass
die Anzahl der Strips von fünf auf vier reduziert wurde.
Beim zweiten Schritt des Algorithmus, der Breitensuche, gibt es einige Sonderfälle
zu beachten:
• Ein Tunnel, welcher nur aus einer Nonstrip Edge besteht ist möglich.
Dies ist mit einer einfachen Konkatenierung zweier Strips zu vergleichen.
• Ein Tunnel kann auch an einem Singleton Strip enden. Das isolierte
Dreieck wird einem Strip hinzugefügt.
• Die letzte Kante eines Tunnels darf nicht zwei Knoten desselben Strips
verbinden, da ansonst dieser Strip eine Schleife bildet und dadurch die
Anzahl der Strips nicht reduziert wird.
• Sei ei eine Nonstrip-edge eines Tunnels, welche zwei Knoten desselben
Strips verbindet. Dann muss die nachfolgende Kante ei+1, falls sie existiert,
in die Richtung des Startknotens der Kante ei zeigen. Würde
man diese Bedingung nicht stellen, ergäbe sich wieder ein Strip der
eine Schleife bildet.
Diese hier beschriebenen Sonderfälle erfordern, dass jeder Knoten speichert
zu welchem Strip er gehört. Wenn dann im dritten Schritt des Algorithmus
28

(a)
(c) (d)
(e) (f)
Abbildung 19: Tunneling.
29
(b)

alle Kanten komplementiert und somit Strips unterbrochen und neu zusammengefügt
werden, muss bei allen Knoten die davon betroffen sind, die Information
zu welchem Strip nun der Knoten gehört, neu gespeichert werden.
Dieser Vorgang kann im schlimmsten Fall alle Strips betreffen und stellt damit
den zeitaufwändigsten Schritt des Algorithmus dar.
Tabelle 4 zeigt einen Vergleich der Anzahl der Strips, welche mit den Algorithmen
SGI, STRIPE und dem Tunneling erreicht werden. Tabelle 5 stellt
die Laufzeit der selben Algorithmen gegenüber.
Model Number of Number of strips
Faces SGI STRIPE Tunneling
Random I 1 874 39 44 13
Random II 19 598 404 401 82
Bunny 69 451 705 917 158
Random III 198 734 3 719 - 593
Dragon 871 414 17 653 - 1 798
Tabelle 4: Vergleich der Stripanzahl von SGI, STRIPE und Tunneling. [8,
Stewart]
Model Number of Execution time
Faces SGI STRIPE Tunneling
Random I 1 874 0.1 0.2 0.1
Random II 19 598 1.5 1.9 4.0
Bunny 69 451 10.3 9.5 17.4
Random III 198 734 84.4 - 522.5
Dragon 871 414 0.45 hours - 3.75 hours
Tabelle 5: Vergleich der Laufzeiten von SGI, STRIPE und Tunneling. [8,
Stewart]
30

Literatur
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Ltd., 2002.
[2] E. M. Arkin, M. Held, J. S. B. Mitchell, and S. Skiena. Hamiltonian
triangulations for fast rendering. The Visual Computer, 12(9):429–444,
1996.
[3] R. Bar-Yehuda and C. Gotsman. Time/space tradeoffs for polygon mesh
rendering, 1996.
[4] F. Evans, S. Skiena, and A. Varshney. Optimizing triangle strips for fast
rendering, 1996.
[5] M. Held. FIST: Fast industrial-strength triangulation of polygons. Algorithmica,
30(4):563–596, 2001.
[6] F. Michael, Deering, and N. R. Scott. Leo: A system for cost effective
3d shaded graphics, 1993.
[7] A. Nischwitz, M. Fischer, and P. Haberäcker. Computergrafik und Bildverarbeitung.
Vieweg und Sohn Verlag, 2007.
[8] A. J. Stewart. Tunneling for triangle strips in continuous level-of-detail
meshes, 2001.
[9] P. Vaněček. Comparison of stripification techniques, 2002.
[10] X. Xiang. Succinct strip encoding of triangle meshes, 2001.
31