Grenzwerte von geometrischen Folgen und Reihen

Einstieg in die Sequenz „Grenzwerte von geometrischen Folgen und Reihen“
In dieser Einstiegsaufgabe geht es darum, dass Sie aus verschiedenen geometrischen Reihen das
Konvergenzverhalten bestimmen können und allenfalls durch eine Rechnung den Grenzwert
finden. Bevor Sie dies tun können, müssen Sie aber die passende Geschichte der jeweiligen
Reihe zuordnen:
1. Jede der unten vorgeführten Geschichten führt auf eine geometrische Reihe.
Ordnen Sie die Geschichten 1)-5) den zugehörigen geometrischen Reihen a)-e) zu.
Begründen Sie Ihre Entscheidung genau.
Geschichten:
1) Beatrice nimmt täglich 1mg Medikament gegen Nesselfieber ein.
30% dieses Medikamentes werden während eines Tages abgebaut.
Wie viel mg des Medikaments befinden sich nach n Tagen im
Körper.
2) In einer Wüste wird folgende Schlangenspur beobachtet.
Dabei misst der 1. Halbkreis einen Durchmesser
von einem Meter.
Wie lange ist die gesamte Schlangenlinie (halbe
Umfänge) bis und mit dem n -ten Halbkreis.
3) Im Zoo ist Essenszeit für die Raubtiere. Ein hungriger Leopard läuft in seinem
Gehege ungeduldig hin und her. Sein Gehege ist 5 Meter breit. Er startet an der Stelle
0, also ganz links und läuft dann 5 Meter bis ans andere Ende. Er kann es kaum
erwarten, also läuft er jeweils nur 90% der vorherigen Strecke in genau
entgegengesetzter Richtung.
Wo auf der x-Achse befindet sich der Leopard nachdem er n mal seine Richtung
geändert hat?
4) In einem Industriehafen werden Container gestapelt. Jeder Container ist 2 Meter
hoch. Wie hoch ist der Containerturm nach n Containern?
5) Tim testet den Porsche 911 Turbo auf einer Rennstrecke und
beschleunigt sehr stark. Messungen haben ergeben, dass Tim
in der 1. Sekunde 3 Meter zurücklegte. Zudem hat Tim in
einer Sekunde immer 50% mehr zurückgelegt als in der
Sekunde zuvor.
Welche Strecke hat Tim nach n Sekunden zurückgelegt?

Geometrische Reihen:
a) s n = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... + 2
b) s n
2
3
= 3 + 3⋅1.
5 + 3⋅1.
5 + 3⋅1.
5 + ..... + 3⋅1.
5
c)
π π π π
sn
= π + + + + ... + n−1
2 4 8 2
d) s n
2 3
n−1
= 1+
0.
7 + 0.
7 + 0.
7 + ..... + 0.
7
e)
n−1
= 5 − 4.
5 + 4.
05 − 3.
645....
+ 5 ⋅ ( −0.
9)
s n
2. Finden Sie für alle oben aufgelisteten geometrischen Reihen eine kompakte Rechenformel.
Die Formel für geometrische Reihen aus der Sequenz 4 wird Ihnen dabei behilflich sein.
3. Lassen Sie in den von Ihnen aus 2. gefundenen Formeln die Zahl n gegen unendlich
streben. Was passiert mit den jeweiligen geometrischen Reihen? Welche konvergieren und
welche divergiert? Woran kann das liegen? Welche Parameter einer geometrischen Folge
bzw. Reihe haben Einfluss auf das Konvergenzverhalten einer geometrischen Reihe?
4. Formulieren Sie ein Konvergenzkriterium für den Faktor q :
Für welche Werte von q konvergieren geometrische Reihe? Wann divergieren sie? Können
Sie Ihre Antwort begründen?
n−1