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58 Geometrie - Rechenregeln<br />
3 Geometrie<br />
3.1 Rechenregeln<br />
Vektor und Betrag<br />
Vektoren sind ortsunabhängige Größen, die über einen Betrag (bzw. Länge) und eine<br />
Richtung definiert sind. Im dreidimensionalen, rechtwinkeligen Koordinatensystem<br />
werden Vektoren durch ein Zahlentripel dargestellt:<br />
— = ˜ <br />
Dieses Zahlentripel beschreibt die geradlinige Verschiebung eines Punktes (bzw. einer<br />
Punktmenge), die sich aus drei einzelnen Verschiebungen entlang der drei<br />
Koordinatenachsen zusammensetzt. Der Betrag eines Vektors (bzw. die Länge dieser<br />
Verschiebung) berechnet sich aus:<br />
Einheitsvektor<br />
| —|=C + +<br />
Ein Vektor mit der Länge Eins wird Einheitsvektor genannt. Man erhält ihn durch Division<br />
des Vektors durch seinen Betrag:<br />
Addition<br />
Die Addition zweier Vektoren ergibt wieder<br />
einen Vektor:<br />
— + !š— = ˜<br />
!<br />
+ ˜!<br />
= ˜<br />
!<br />
šššš— = —<br />
| —|<br />
1<br />
= ∙ ˜ = œ Ÿ<br />
| —| | —| œ|<br />
—| Ÿ<br />
+ !<br />
+ ! <br />
+ !<br />
› | —|ž<br />
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Geometrie - Rechenregeln 59<br />
Multiplikation<br />
Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (auch Skalar genannt) ändert<br />
sich der Betrag (bzw. die Länge) des Vektors. Bei einem positiven Skalar bleibt seine<br />
Richtung unverändert, bei einem negativen Skalar kehrt sich seine Richtung um.<br />
Skalarprodukt<br />
; ∙ — = ; ∙ ˜<br />
; ∙<br />
= ˜;<br />
∙<br />
; ∙<br />
<br />
Das Produkt zweier Vektoren ergibt eine reelle Zahl, das sogenannte Skalarprodukt:<br />
— ∙ !š— = ˜<br />
Geometrisch entspricht dieses<br />
Skalarprodukt der senkrechten Projektion<br />
des Vektors !š— auf den Vektor —. Zwei<br />
Vektoren stehen senkrecht zueinander,<br />
wenn ihr Skalarprodukt Null ergibt:<br />
Beispiel:<br />
— ∙ !š— = 0 ⟹ — senkrecht zu !š—<br />
!<br />
∙ ˜!<br />
= ∙ ! + ∙ ! + ∙ !<br />
!<br />
2 −2<br />
— ∙ !š— = ˜−1<br />
∙ ˜ 0 = −4 + 0 + 15 = 11<br />
3 5<br />
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60 Geometrie - Rechenregeln<br />
Kreuzprodukt<br />
Das Kreuzprodukt — × !š— zweier Vektoren<br />
ergibt einen Vektor, der senkrecht zu den<br />
beiden Vektoren — und !š— steht.<br />
Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht<br />
der Fläche des Parallelogramms, welches<br />
durch die Vektoren — und !š— aufgespannt<br />
wird.<br />
Als Merkregel zur Berechnung des Kreuzproduktes kann man die beiden Vektoren<br />
zweimal untereinander schreiben. Die obere und untere Zeile wird für die Rechnung nicht<br />
weiter verwendet und daher durchgestrichen. Anschließend werden die verbleibenden<br />
Koordinaten kreuzweise miteinander multipliziert und subtrahiert:<br />
Das Kreuzproduckt eignet sich gut zur Bestimmung von Flächen, bei denen die Vektoren<br />
— und !š— ein Parallelogramm aufspannen. Die Halbierung dieser Fläche ergibt den<br />
Flächeninhalt eines Dreiecks:<br />
_ ¢.:.ŒŒ„Œ£ƒ:.(( = ¤ — × !š—¤ _ ¥:„ˆ„k“ = 1<br />
¤ — × !š—¤<br />
2<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2007, Pflichtteil Aufgabe 7):<br />
1 −1 0 − 2 ∙ 1 −2<br />
— × !š— = ˜0<br />
× ˜ 1 = ˜2<br />
∙ −1 − 0<br />
= ˜−2<br />
2 0 1 ∙ 1 − 0 1<br />
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Geometrie - Lineare Abhängigkeit, lineare Gleichungssysteme 61<br />
3.2 Lineare Abhängigkeit, lineare Gleichungssysteme<br />
Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren durch Addition beliebiger<br />
Vielfacher der anderen Vektoren darstellen lässt:<br />
; ∙ — + ; ∙ — + … + ; ), ∙ — ), = — )<br />
Diese Gleichung lässt sich als lineares Gleichungssystem schreiben:<br />
⟹ ; ∙ ˜<br />
⟹<br />
⋮<br />
,<br />
,)<br />
+ ; ∙ ˜<br />
⋮<br />
,<br />
,)<br />
+ … + ; ), ∙ ˜<br />
), ,<br />
⋮<br />
), ,)<br />
= ˜<br />
; ∙ , + ; ∙ , + … + ; ), ∙ ), , = ),<br />
; ∙ , + ; ∙ , + … + ; ),<br />
⋮<br />
∙ ), , = ),<br />
; ∙ ,) + ; ∙ ,) + … + ; ), ∙ ), ,) = ),)<br />
Falls sich dieses Gleichungssystem (entweder mit einer oder unendlichen vielen<br />
Lösungen) lösen lässt, sind die Vektoren — , š— , … , — ), und ) linear abhängig. Bei<br />
keiner gültigen Lösung sind die Vektoren linear unabhängig.<br />
Zwei Vektoren<br />
Zwei Vektoren sind linear abhängig,<br />
wenn sich der eine Vektor durch ein<br />
Vielfaches des anderen Vektors<br />
darstellen lässt. In diesem Fall sind sie<br />
auch parallel zueinander:<br />
; ∙ — = —<br />
Drei Vektoren<br />
Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn<br />
sie in einer Ebene liegen:<br />
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; ∙ — + ; ∙ — =<br />
),<br />
⋮<br />
),)
62 Geometrie - Lineare Abhängigkeit, lineare Gleichungssysteme<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2009, Pflichtteil Aufgabe 6):<br />
−2 4 2<br />
Untersuchen Sie, ob die Vektoren ˜−3<br />
, ˜ 3 und ˜−2<br />
linear unabhängig sind.<br />
4 −2 1<br />
Um zu zeigen, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind, darf es für das folgende<br />
Gleichungssystem keine Lösung geben:<br />
I −2; + 4T = 2 ∙ 3<br />
II −3; + 3T = −2 ∙ −2<br />
III 4; − 2T = 1<br />
I −6; + 12T = 6<br />
II 6; − 6T = 4<br />
III 4; − 2T = 1<br />
I und II addieren I+II 6T = 10 ⟹ T = 5<br />
II 6; − 6T = 4<br />
3<br />
III 4; − 2T = 1<br />
mit s eingesetzt: II 6; − 10 = 4 ⟹ ; = 7<br />
3<br />
mit s und r eingesetzt: III 4; − 2T = 1<br />
III<br />
28 10<br />
− = 6 ≠ 1 ⟹ falsche Aussage<br />
3 3<br />
Aus den Gleichungen I und II ergeben sich Lösungen für die Parameter r und s. Diese<br />
werden in die Gleichung III eingesetzt und führen zu einer falschen Aussage. Weil es für<br />
das Gleichungssystem keine gültige Lösung gibt, sind die Vektoren linear unabhängig.<br />
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Geometrie - Gerade und Ebene 63<br />
3.3 Gerade und Ebene<br />
Gerade in Parameterform<br />
Eine Gerade wird durch zwei Punkte A<br />
und B definiert, die auf der Gerade<br />
liegen. Diese Gerade lässt sich mit dem<br />
Ortsvektor «_ ššššš— und dem<br />
Richtungsvektor _’ ššššš— beschreiben<br />
(Parametergleichung):<br />
¬: š— = ®š— + ¯°š—<br />
Ortsvektor — = «_ ššššš—<br />
Richtungsvektor !š— = _’ ššššš—<br />
Ebene in Parameterform<br />
Eine Ebene wird durch drei Punkte<br />
A, B und C definiert, die in der<br />
Ebene liegen. Diese Ebene lässt<br />
sich mit dem Ortsvektor «_ ššššš— und den<br />
Richtungsvektoren _’ ššššš— und _± ššššš—<br />
beschreiben (Parametergleichung):<br />
²: š— = ®š— + ¯°š— + ³´š—<br />
Ortsvektor — = «_ ššššš—<br />
Richtungsvektor !š— = _’ ššššš—<br />
Richtungsvektor "— = _± ššššš—<br />
Statt der drei Punkte, kann eine Ebene auch definiert werden durch:<br />
- eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf der Geraden liegt<br />
- zwei echt parallele Geraden<br />
- zwei sich schneidende Geraden.<br />
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Auch in diesen Fällen lässt sich die Ebene durch einen Ortsvektor und zwei<br />
Richtungsvektoren beschreiben.
64 Geometrie - Gerade und Ebene<br />
Ebene in Normalenform<br />
Eine Ebene E kann auch durch<br />
einen Vektor 3š—, der senkrecht zur<br />
Ebene steht (Normalenvektor<br />
genannt) und einen Punkt P, der in<br />
der Ebene liegt, definiert werden.<br />
Der Vektor vom Punkt P zu einem<br />
beliebigen Punkt X in der Ebene<br />
( — − ]— steht senkrecht zum<br />
Normalenvektor 3š—.<br />
Das Skalarprodukt senkrechter<br />
Vektoren ist gleich Null. Daher lautet<br />
die Normalengleichung der Ebene:<br />
²: (š— − µš— ∙ š— = ·<br />
Ebene in Koordinatenform<br />
Als weitere Möglichkeit kann eine Ebene E durch ihre Koordinatengleichung definiert<br />
werden. Sie ergibt sich durch Ausmultiplizieren der Normalengleichung:<br />
¸: ( — − ]— ∙ 3š— = 0<br />
] 3<br />
⟹ ¹˜ − ˜]<br />
º ∙ ˜3<br />
= 0<br />
] 3<br />
⟹ ²: » » + ¼ ¼ + ½ ½ = µ » » + µ ¼ ¼ + µ ½ ½ = ¾<br />
⟹ ¸: — ∙ 3š— =<br />
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Geometrie - Gerade und Ebene 65<br />
Ebene in Hessescher Normalform<br />
Die vierte Möglichkeit eine Ebene zu definieren, ist die Hessesche Normalform. Sie<br />
ähnelt der Normalen- und Koordinatenform, allerdings wird der normierte Normalenvektor<br />
zur Definition der Ebene verwendet:<br />
²: š— ∙ šššš— · = ¾<br />
Der Abstand dieser Ebene mit dem Normalenvektor 3šššš— zum Ursprung beträgt d. Der<br />
Abstand s eines Punktes P zu dieser Ebene ergibt sich, indem der Punkt P in die<br />
Normalenform der Ebene eingesetzt wird:<br />
T = ]— ∙ 3šššš— −<br />
Die Hessesche Normalform eignet sich daher sehr gut zur Berechnung von Abständen<br />
zwischen Punkt und Ebene.<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2005, Pflichtteil Aufgabe 7):<br />
3 2<br />
6<br />
Gegeben sind die Punkte _ = ˜3,<br />
’ = ˜−1<br />
und ± = ˜3.<br />
1 −2<br />
2<br />
Die Parametergleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen, lautet:<br />
3 −1 3<br />
¸: — = 0_ ššššš— + ;_’ ššššš— + T_± ššššš— = ˜3<br />
+ ; ˜−4<br />
+ T ˜0<br />
1 −3 1<br />
Der Normalenvektor dieser Ebene ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer<br />
Richtungsvektoren _’ ššššš— und _± ššššš—:<br />
−1 3 −4 + 0 −4<br />
1<br />
3š— = _’ ššššš— × _± ššššš— = ˜−4<br />
× ˜0<br />
= ˜−9<br />
+ 1<br />
= ˜−8<br />
= −4 ∙ ˜ 2 <br />
−3 1 0 + 12 12<br />
−3<br />
Die Normalengleichung der Ebene lautet daher (z. B. mit Punkt A eingesetzt):<br />
3 1<br />
¸: ( — − ]— ∙ 3š— = ¹ — − ˜3º<br />
∙ ˜ 2 = 0<br />
1 −3<br />
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Durch Ausmultiplizieren dieser Gleichung ergibt sich die Koordinatengleichung der<br />
Ebene:<br />
¸: + 2 − 3 = 3 + 6 − 3 = 6
66 Geometrie - Gerade und Ebene<br />
Spurpunkte<br />
Die Koordinatenform eignet sich sehr gut, um die Lage einer Ebene in einem<br />
Koordinatensystem zu skizzieren. Hierfür werden die Schnittpunkte der Ebene mit den<br />
Koordinatenachsen (auch Spurpunkte genannt) ermittelt:<br />
Schnittpunkt<br />
mit<br />
Bedingung<br />
Spurpunkt für<br />
¸: 3 + 3 + 3 =<br />
Beispiel:<br />
Spurpunkt für<br />
¸: 4 + 2 + 3 = 12<br />
− _"ℎT = = 0 ¿ 3<br />
3<br />
À ˜0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− _"ℎT = = 0 ¿ À<br />
3<br />
0<br />
˜6<br />
0<br />
− _"ℎT = = 0<br />
0<br />
0<br />
¿ À<br />
0<br />
˜0<br />
3<br />
4<br />
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Geometrie - Gerade und Ebene 67<br />
Besondere Ebenen<br />
Ebene<br />
senkrecht zur<br />
-Achse<br />
(bzw. parallel<br />
zur -<br />
Ebene)<br />
Koordinatenform<br />
Normalenform<br />
1<br />
= — ∙ ˜0<br />
=<br />
0<br />
- Ebene = 0<br />
1<br />
— ∙ ˜0<br />
= 0<br />
0<br />
Skizze<br />
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68 Geometrie - Gerade und Ebene<br />
Ebene<br />
senkrecht zur<br />
-Achse<br />
(bzw. parallel<br />
zur -<br />
Ebene)<br />
Koordinatenform<br />
Normalenform<br />
0<br />
= — ∙ ˜1<br />
=<br />
0<br />
- Ebene = 0<br />
0<br />
— ∙ ˜1<br />
= 0<br />
0<br />
Skizze<br />
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Geometrie - Gerade und Ebene 69<br />
Ebene<br />
senkrecht zur<br />
-Achse<br />
(bzw. parallel<br />
zur -<br />
Ebene)<br />
Koordinatenform<br />
Normalenform<br />
0<br />
= — ∙ ˜0<br />
=<br />
1<br />
- Ebene = 0<br />
0<br />
— ∙ ˜0<br />
= 0<br />
1<br />
Skizze<br />
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70 Geometrie - Lage, Abstand, Winkel und Spiegelung<br />
3.4 Übersicht - Lage, Abstand, Winkel und Spiegelung<br />
Im Wahlteil kommen häufig anwendungsorientierte Aufgaben vor, bei denen der<br />
Lösungsweg nicht sofort offensichtlich ist. Hier können zwei Fragen helfen:<br />
1. Was soll in der Aufgabe bestimmt oder untersucht werden:<br />
a) eine gegenseitige Lage,<br />
b) ein Abstand,<br />
c) ein Winkel<br />
d) oder eine Spiegelung?<br />
2. Welche geometrischen Elemente sollen bestimmt oder untersucht werden:<br />
a) ein Punkt (z.B. die Spitze einer Pyramide),<br />
b) eine Gerade (z.B. die Flugbahn eine Flugzeuges)<br />
c) oder eine Ebene (z.B. die Dachfläche eines Gebäudes)?<br />
Durch die Beantwortung dieser Fragen kann die Aufgabe wahrscheinlich einem der<br />
nachfolgenden Aufgabentypen zugeordnet werden. Die verschiedenen Aufgabentypen<br />
werden in den nächsten Kapiteln erläutert:<br />
Gegenseitige Lage<br />
- Gegenseitige Lage zweier Geraden<br />
- Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene<br />
- Gegenseitige Lage zweier Ebenen<br />
Abstand<br />
- Abstand zwischen zwei Punkten<br />
- Abstand zwischen Punkt und Gerade<br />
- Abstand zwischen Punkt und Ebene<br />
- Abstand zwischen zwei parallelen Geraden<br />
- Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden<br />
- Abstand zwischen Gerade und paralleler Ebene<br />
- Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen<br />
Winkel<br />
- Winkel zwischen zwei Geraden<br />
- Winkel zwischen Gerade und Ebene<br />
- Winkel zwischen zwei Ebenen<br />
Spiegelung<br />
- Spiegelung von Punkt an Punkt<br />
- Spiegelung von Gerade an Punkt<br />
- Spiegelung von Punkt an Gerade<br />
- Spiegelung von Punkt an Ebene<br />
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Geometrie - Gegenseitige Lage 71<br />
3.5 Gegenseitige Lage<br />
Gegenseitige Lage zweier Geraden<br />
Die gegenseitige Lage zweier Geraden lässt sich mit dem folgenden Schema bestimmen:<br />
- Zunächst wird anhand der Richtungsvektoren der Geraden geprüft, ob sie<br />
zueinander parallel laufen.<br />
- Falls dieses zutrifft, und die Geraden auch noch einen gemeinsamen Punkt<br />
besitzen, sind sie identisch.<br />
- Falls die Geraden nicht zueinander parallel laufen, schneiden sie sich entweder<br />
in genau einem Schnittpunkt oder sie verlaufen windschief zueinander.<br />
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72 Geometrie - Gegenseitige Lage<br />
Parallele Geraden<br />
Zwei Geraden<br />
X: — = — + ;!š— und ℎ: — = "— + T —<br />
sind parallel, wenn sich der eine<br />
Richtungsvektor durch ein Vielfaches<br />
des anderen Richtungsvektors<br />
darstellen lässt:<br />
;!š— = —<br />
Beispiel:<br />
1 2<br />
5 4<br />
Die Gerade X: — = ˜−1<br />
+ ; ˜−1<br />
ist parallel zur Gerade ℎ: — = ˜2<br />
+ ; ˜−2,<br />
da sich<br />
−3 3<br />
3 6<br />
der eine Richtungsvektor durch ein Vielfaches des anderen Richtungsvektors darstellen<br />
lässt:<br />
Identische Geraden<br />
Zwei Geraden<br />
X: — = — + ;!š— und ℎ: — = "— + T —<br />
sind identisch, wenn sie parallel sind<br />
und zusätzlich einen gemeinsamen<br />
Punkt besitzen.<br />
Beispiel:<br />
2 4<br />
2 ∙ ˜−1<br />
= ˜−2<br />
3 6<br />
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1 2<br />
3 4<br />
Die Gerade X: — = ˜−1<br />
+ ; ˜−1<br />
ist parallel zur Gerade ℎ: — = ˜−2<br />
+ ; ˜−2,<br />
da<br />
−3 3<br />
0 6<br />
sich der eine Richtungsvektor durch ein Vielfaches des anderen Richtungsvektors<br />
darstellen lässt. Zusätzlich besitzen die Geraden den gemeinsamen Punkt ” = 3| − 2|0 .<br />
Schnittpunkt von Geraden
Geometrie - Gegenseitige Lage 73<br />
Zwei Geraden<br />
X: — = — + ;!š— und ℎ: — = "— + T —<br />
besitzen einen Schnittpunkt, wenn sich<br />
durch Gleichsetzten der<br />
Geradengleichungen eine gültige Lösung<br />
für die Koeffizienten r und s ergibt.<br />
— + ;!š— = "— + T —<br />
Den Schnittpunkt erhält man durch<br />
Einsetzten der Koeffizienten r bzw. s in<br />
die jeweilige Geradengleichung.<br />
Beispiel:<br />
5 2<br />
Um einen möglichen Schnittpunkt der Gerade X: — = ˜5<br />
+ ; ˜1<br />
und<br />
1 2<br />
1 0<br />
ℎ: — = ˜3<br />
+ T ˜1<br />
zu berechnen, werden die beiden Geraden gleichgesetzt:<br />
1 1<br />
5 2 1 2<br />
˜5<br />
+ ; ˜1<br />
= ˜3<br />
+ T ˜1<br />
1 0 1 1<br />
Hierdurch ergibt sich folgendes Gleichungssystem:<br />
I 2; − 2T = −4<br />
II ; − T = −2<br />
III −T = 0<br />
I 2; − 2T = −4 ⟹ ; = −2<br />
II ; − T = −2 ⟹ ; = −2<br />
Durch Einsetzten von ; = −2 bzw. T = 0 in die jeweilige Geradengleichung ergibt sich der<br />
Schnittpunkt ” = 2|1|1 .<br />
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74 Geometrie - Gegenseitige Lage<br />
Windschiefe Geraden<br />
Zwei Geraden sind windschief, wenn sie<br />
nicht parallel sind und auch keinen<br />
gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.<br />
Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene<br />
Die gegenseitige Lage von einer Gerade zu einer Ebene lässt sich mit dem folgenden<br />
Schema bestimmen:<br />
- Zunächst wird anhand des Normalenvektors der Ebene und des<br />
Richtungsvektors der Gerade untersucht, ob die Gerade parallel zur Ebene liegt.<br />
- Falls dieses zutrifft, und die Gerade mit der Ebene auch noch einen<br />
gemeinsamen Punkt besitzt, liegt die Gerade in der Ebene. Für diese<br />
Überprüfung eignet sich am einfachsten der Stützpunkt der Geraden.<br />
- Falls die Gerade nicht parallel zur Ebene verläuft, besitzen Gerade und Ebene<br />
genau einen Schnittpunkt. In diesem Fall kann noch zusätzlich überprüft werden,<br />
ob die Gerade senkrecht zur Ebene verläuft.<br />
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Geometrie - Gegenseitige Lage 75<br />
Gerade parallel zur Ebene<br />
Die Gerade X: — = — + ;!š— und die<br />
Ebene ¸: ( — − ]— ∙ 3š— = 0 sind parallel,<br />
wenn der Richtungsvektor der<br />
Gerade senkrecht zum<br />
Normalenvektor der Ebene steht. In<br />
diesem Fall ist das Skalarprodukt aus<br />
Richtungsvektor und Normalenvektor<br />
gleich Null:<br />
!š— ∙ 3š— = 0<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2011, Pflichtteil Aufgabe 7):<br />
−1 8<br />
Gegeben sind die Ebene ¸: ¹ — − ˜ 4 º ∙ ˜ 1 = 0 und die<br />
−3 −4<br />
7 1<br />
Gerade X: — = ˜ 5 + ; ˜−4.<br />
Zeigen Sie, dass E und g parallel zueinander sind.<br />
−7 1<br />
Das Skalarprodukt vom Richtungsvektor der Gerade und dem Normalenvektor der Ebene<br />
ergibt:<br />
1 8<br />
˜−4<br />
∙ ˜ 1 = 8 − 4 − 4 = 0<br />
1 −4<br />
Daher sind E und g zueinander parallel.<br />
Gerade liegt in Ebene:<br />
Die Gerade X: — = — + ;!š— liegt in<br />
der Ebene ¸: ( — − ]— ∙ 3š— = 0,<br />
wenn die Gerade parallel zur<br />
Ebene ist und die Gerade mit der<br />
Ebene einen gemeinsamen Punkt<br />
besitzt.<br />
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Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2009, Pflichtteil Aufgabe 7):
76 Geometrie - Gegenseitige Lage<br />
1 1<br />
Gegeben sind die Ebene ¸: + = 4 und die Gerade X: — = ˜3<br />
+ ; ˜−1.<br />
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E.<br />
3 0<br />
Das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Gerade und dem Normalenvektor der<br />
1 1<br />
Ebene ergibt ˜−1<br />
∙ ˜1<br />
= 1 − 1 = 0, daher sind g und E parallel. Setzt man den Punkt<br />
0 0<br />
Á = 6| − 3|1 in die Gleichung der Ebene ein, so ergibt sich: 1 + 3 = 4. Weil der Punkt P<br />
ein gemeinsamer Punkt von Gerade und Ebene ist, liegen alle Punkte der Gerade g in<br />
der Ebene E.<br />
Schnittpunkt von Gerade und<br />
Ebene<br />
Die Gerade g und die Ebene E haben<br />
einen Schnittpunkt, wenn es eine<br />
gültige Lösung gibt für:<br />
X = ¸<br />
Beispiel:<br />
2 2<br />
Um einen möglichen Schnittpunkt der Gerade X: — = ˜ 3 + ; ˜−3<br />
und der in der<br />
2<br />
−1<br />
2 2<br />
1<br />
Parameterform angegeben Ebene ¸: — = ˜0<br />
+ T ˜−1<br />
+ Z ˜−2<br />
zu berechnen,<br />
1<br />
werden die Gerade und die Ebene gleichgesetzt:<br />
1 −1<br />
2 2 2 2 2<br />
˜ 3 + ; ˜−3<br />
= ˜0<br />
+ T ˜−1<br />
+ Z ˜−2<br />
−1 1 1 1 −1<br />
Hierdurch ergibt sich folgendes Gleichungssystem:<br />
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I 2; − 2T − 2Z = 0<br />
II -3; + T + 2Z = −3<br />
III ; − T + Z = 2
Geometrie - Gegenseitige Lage 77<br />
Dieses Gleichungssystem besitzt die Lösung: ; = 2, T = 1 und Z = 1. Durch Einsetzten<br />
von r in die Geradengleichung erhält man den Schnittpunkt ” = 6| − 3|1 . Zur Kontrolle<br />
kann die Lösung für s und t in die Ebenengleichung eingesetzt werden.<br />
Falls die Ebene in der Normalen- oder Koordinatenform angegeben ist, erspart man sich<br />
zur Berechnung des Schnittpunkts das Lösen eines linearen Gleichungssystems.<br />
Beispiel:<br />
3<br />
¸: ˜ 4 ∙ — − 4 = 0<br />
−2<br />
oder ¸: 3 + 4 − 2 = 4<br />
Um den Schnittpunkt mit der oben angegebenen Gerade g zu bestimmen, werden die<br />
Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung eingesetzt:<br />
3 ∙ 2 + 2; + 4 ∙ 3 − 3; − 2 ∙ −1 + ; = 4 ⟹ ; = 2<br />
Durch Einsetzten von ; = 2 in die Geradengleichung ergibt sich wieder der Schnittpunkt<br />
” = 6| − 3|1<br />
Gerade senkrecht zur Ebene<br />
Die Gerade X: — = — + ;!š— und die<br />
Ebene ¸: ( — − ]— ∙ 3š— = 0 stehen<br />
zueinander senkrecht, wenn der<br />
Richtungsvektor der Gerade ein<br />
Vielfaches des Normalenvektors der<br />
Ebene ist:<br />
;!š— = 3š—<br />
Beispiel:<br />
2 −2<br />
Die Gerade X: — = ˜ 5 + ; ˜ 2 steht senkrecht zu der Ebene ¸: 4 − 4 − 2 = 3,<br />
−1 1<br />
weil der Richtungsvektor der Gerade ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist:<br />
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−2 4<br />
; ˜ 2 = ˜−4<br />
⟹ ; = −2<br />
1 −2
78 Geometrie - Gegenseitige Lage<br />
Gegenseitige Lage zweier Ebenen<br />
Die gegenseitige Lage zweier Ebenen lässt sich mit dem folgenden Schema bestimmen:<br />
- Zunächst wird anhand der Normalenvektoren geprüft, ob die Ebenen zueinander<br />
parallel liegen.<br />
- Falls dieses zutrifft, und die Ebenen auch noch einen gemeinsamen Punkt<br />
besitzen, sind die Ebenen identisch. Für diese Überprüfung eignet sich am<br />
einfachsten einer der beiden Stützpunkte der Ebenen.<br />
- Falls die Ebenen nicht zueinander parallel liegen, besitzen sie eine<br />
Schnittgerade.<br />
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Geometrie - Gegenseitige Lage 79<br />
Parallele Ebenen<br />
Zwei Ebenen sind parallel, wenn der<br />
Normalenvektor der einen Ebene ein<br />
Vielfaches des Normalenvektors der<br />
anderen Ebene ist:<br />
3šššš— = T ∙ 3šššš—<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2007, Pflichtteil Aufgabe 7):<br />
Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F parallel sind:<br />
1 1 −1<br />
2 2<br />
¸: — = ˜1<br />
+ ; ˜0<br />
+ T ˜ 1 und z: ¹ — − ˜ 1 º ∙ ˜ 2 = 0<br />
0 2 0<br />
−2 −1<br />
Der Normalenvektor der Ebene E ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer<br />
Richtungsvektoren:<br />
1 −1 0 − 2 −2<br />
3šššš— Ä = ˜0<br />
× ˜ 1 = ˜−2<br />
− 0<br />
= ˜−2<br />
2 0 1 − 0 1<br />
Die Ebenen sind parallel, da der Normalenvektor der Ebene E ein Vielfaches des<br />
Normalenvektors der Ebene F ist:<br />
−2<br />
2<br />
3šššš— Ä = ˜−2<br />
= −1 ∙ ˜ 2 = T ∙ 3šššš— Å<br />
1<br />
−1<br />
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80 Geometrie - Gegenseitige Lage<br />
Identische Ebenen<br />
Zwei Ebenen sind identisch, wenn sie<br />
parallel sind und zusätzlich einen<br />
gemeinsamen Punkt besitzen.<br />
Beispiel:<br />
Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F identisch sind:<br />
2 2 2<br />
¸: — = ˜0<br />
+ T ˜−1<br />
+ Z ˜−2<br />
1 1 −1<br />
3<br />
z: ˜ 4 ∙ — − 4 = 0<br />
−2<br />
Der Normalenvektor der Ebene E ergibt sich aus dem Kreuzprodukt ihrer<br />
Richtungsvektoren:<br />
2 2 1 + 2 3<br />
3šššš— Ä = ˜−1<br />
× ˜−2<br />
= ˜ 2 + 2 = ˜ 4 = 3šššš— Å<br />
1 −1 −4 + 2 −2<br />
Die Ebenen sind parallel, da die Normalenvektoren beider Ebenen ein Vielfaches<br />
voneinander (und in diesem Fall sogar identisch) sind.<br />
Das Einsetzten des Ortsvektors der Ebene E in die Ebene F ergibt eine gültige Aussage:<br />
3 2<br />
˜ 4 ∙ ˜0<br />
= 3 ∙ 2 + 4 ∙ 0 − 2 ∙ 1 = 4<br />
−2 1<br />
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Die Ebenen sind identisch, weil sie parallel sind und zusätzlich der Stützpunkt der Ebene<br />
E in der Ebene F liegt.
Geometrie - Gegenseitige Lage 81<br />
Schnittgerade zweier Ebenen<br />
Falls zwei Ebenen eine gemeinsame<br />
Schnittgerade besitzen gilt für diese<br />
Schnittgerade:<br />
¸ = ¸<br />
Die Schnittgerade zweier Ebenen kann durch das Gleichsetzten der gegebenen Ebenen<br />
berechnet werden. Hierdurch ergibt sich ein Gleichungssystem, welches mehr Variablen<br />
als Gleichungen besitzt und deshalb nicht eindeutig lösbar ist. Zur Lösung wird daher für<br />
eine der Variablen (z.B. , oder ) ein Parameter (z.B. t) gewählt, wodurch sich die<br />
Gleichung der Gerade ergibt.<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2012, Pflichtteil Aufgabe 6):<br />
1 4<br />
Gegeben sind die Ebenen ¸: ¹ — − ˜2º<br />
∙ ˜−1<br />
= 0 und z: + 2 = 8. Berechnen Sie<br />
1 2<br />
eine Gleichung der Schnittgerade.<br />
Durch Umformung der Ebene E in die Koordinatenform ergibt sich folgendes<br />
Gleichungssystem:<br />
I 4 − + 2 = 4<br />
II + 2 = 8<br />
Dieses Gleichungssystem besitzt die drei Variablen , und aber nur zwei<br />
Gleichungen und ist somit nicht eindeutig lösbar. Daher wird für die Variable ein<br />
Parameter gewählt: = Z. Hierdurch erhält man:<br />
I 4 − + 2Z = 4<br />
II + 2Z = 8<br />
Aus Gleichung II ergibt sich eine Lösung für , die anschließend in Gleichung I<br />
eingesetzt wird. Hierdurch erhält man:<br />
= 3 − Z<br />
= 8 − 2Z<br />
= Z<br />
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82 Geometrie - Gegenseitige Lage<br />
Durch Umschreiben der Gleichungen ergibt sich der Ortsvektor aller gemeinsamen<br />
Punkte:<br />
3 − Z<br />
— = ˜ = ˜8<br />
− 2Z<br />
Z<br />
Die Schnittgerade beider Ebenen lautet:<br />
3 −1<br />
X: — = ˜8<br />
+ Z ˜−2.<br />
0 1<br />
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Geometrie - Abstand 83<br />
3.6 Abstand<br />
Abstand zwischen zwei Punkten<br />
Zur Bestimmung des Abstands d zweier<br />
Punkte A und B wird zunächst der Vektor<br />
_’ ššššš—<br />
gebildet und anschließend sein Betrag<br />
berechnet.<br />
Beispiel:<br />
Bestimmen Sie den Abstand der beiden Punkte _ = 5|−1| − 3) und ’ = (2|3| − 3).<br />
Zur Bestimmung des Abstands d zwischen diesen beiden Punkten wird der Betrag des<br />
Vektors _’ ššššš— berechnet.<br />
2 − 5 −3<br />
_’ ššššš— = «’ ššššš— − «_ ššššš— = ˜ 3 − (−1) = ˜ 4 <br />
−3 − (−3) 0<br />
= ¤ _’ ššššš—¤ = C −3 + 4 + 0 = √25 = 5<br />
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84 Geometrie - Abstand<br />
Abstand zwischen Punkt und Gerade<br />
Zur Bestimmung des Abstands d<br />
zwischen einem Punkt P und einer<br />
Gerade g bildet man eine Hilfsebene<br />
E für die gilt:<br />
a) Der Normalenvektor von E ist<br />
gleich dem Richtungsvektor<br />
der Gerade g.<br />
b) Der Punkt P liegt in der<br />
Hilfsebene E.<br />
Anschließend wird der Schnittpunkt S<br />
von der Gerade g und der Hilfsebene<br />
E berechnet.<br />
Der gesuchte Abstand d zwischen<br />
dem Punkt P und der Gerade g ist<br />
gleich dem Abstand zwischen dem<br />
Punkt P und dem Schnittpunkt S.<br />
Beispiel:<br />
Berechnen Sie den Abstand zwischen dem Punkt Á = −8|11|10) und der Gerade<br />
P<br />
4 −8<br />
X: — = ˜−4<br />
+ T ˜ 4 .<br />
4 1<br />
Die Berechnung erfolgt mit der Hilfsebene E, die als Normalenvektor den<br />
Richtungsvektor der Gerade g besitzt und in welcher der Punkt P liegt:<br />
−8 −8<br />
¸: ¹ — − ˜11<br />
º ∙ ˜ 4 = 0<br />
10 1<br />
Durch Einsetzten der Koordinaten der Gerade g in diese Hilfsebene ergibt sich:<br />
4 −8 −8 −8 12 − 8T −8<br />
¹˜−4<br />
+ T ˜ 4 − ˜11<br />
º ∙ ˜ 4 = ˜−15<br />
+ 4T<br />
∙ ˜ 4 = −162 + 81T = 0 ⟹ T = 2<br />
4 1 10 1 −6 + T 1<br />
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d<br />
S<br />
g<br />
E
Geometrie - Abstand 85<br />
Setzt man die Lösung T = 2 in die Geradengleichung ein, ergibt sich der Schnittpunkt von<br />
der Gerade g und der Hilfsebene E:<br />
” = −12|4|6)<br />
Der Abstand d zwischen den Punkten P und S und somit der Abstand d zwischen dem<br />
Punkt P und der Gerade g beträgt:<br />
= ¤ Á” šššš—¤ = C −12 + 8 + 4 − 11 + 6 − 10 = √81 = 9<br />
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86 Geometrie - Abstand<br />
Abstand zwischen Punkt und Ebene<br />
Zur Bestimmung des Abstands d<br />
zwischen einem Punkt P und einer<br />
Ebene E bildet man eine<br />
Hilfsgerade g für die gilt:<br />
a) Der Richtungsvektor der<br />
Gerade g ist gleich dem<br />
Normalenvektor von E.<br />
b) Der Punkt P liegt auf der<br />
Hilfsgerade g.<br />
Anschließend wird der<br />
Schnittpunkt S von der Gerade g<br />
und der Hilfsebene E berechnet.<br />
Der gesuchte Abstand d zwischen<br />
dem Punkt P und der Ebene E ist<br />
gleich dem Abstand zwischen dem<br />
Punkt P und dem Schnittpunkt S.<br />
Häufig ist es einfacher, den Abstand d zwischen dem Punkt Á = ] |] |] ) und der<br />
Ebene ¸: 3 + 3 + 3 = mit Hilfe der Hesseschen Normalenform zu berechen:<br />
|3 ] + 3 ] + 3 ] − |<br />
= ]— ∙ 3šššš— − =<br />
C3 + 3 + 3<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2010, Pflichtteil Aufgabe 7):<br />
Gegeben sind die Ebene ¸: 3 − 4 = −7 und der Punkt Á = 9|−4|1) . Berechnen Sie<br />
den Abstand des Punktes P von der Ebene E.<br />
Da die Ebene bereits in der Koordinatenform gegeben ist, ergibt sich der gesuchte<br />
Abstand d aus:<br />
= |3 ] + 3 ] + 3 ] − |<br />
=<br />
C3 + 3 + 3<br />
|3 ∙ 9 + 0 − 4 ∙ 1 + 7| 30<br />
= = 6<br />
C3 + 0 + (−4) 5<br />
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Geometrie - Abstand 87<br />
Abstand zwischen zwei parallelen Geraden<br />
Zur Bestimmung des Abstands d<br />
zwischen zwei parallelen Geraden g<br />
und h, wählt man einen Punkt P, der<br />
auf der Gerade h liegt, und bestimmt<br />
seinen Abstand von der Gerade g.<br />
Diese Berechnung ist bereits oben<br />
beschrieben (Bestimmung des<br />
Abstands zwischen Punkt und Gerade<br />
mit einer Hilfsebene).<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2008, Pflichtteil Aufgabe 6):<br />
Gegeben sind die zwei parallelen Geraden g und h. Bestimmen Sie den Abstand der<br />
beiden Geraden:<br />
2 3<br />
1 6<br />
X: — = ˜9<br />
+ T ˜−4<br />
und ℎ: — = ˜2<br />
+ Z ˜−8<br />
4 1<br />
5 2<br />
Die Hilfsebene, in der der Punkt Á = 1|2|5) liegt und die orthogonal zu den beiden<br />
Geraden g und h liegt lautet:<br />
1 3<br />
¸: ¹ — − ˜2º<br />
∙ ˜−4<br />
= 0<br />
5 1<br />
Durch Einsetzten der Koordinaten der Gerade g in diese Hilfsebene ergibt sich:<br />
2 3 1 3<br />
¹˜9<br />
+ T ˜−4<br />
− ˜2º<br />
∙ ˜−4<br />
= 0 ⟹ T = 1<br />
4 1 5 1<br />
Setzt man die Lösung T = 1 in die Geradengleichung von g ein, ergibt sich ihr<br />
Schnittpunkt mit der Hilfsebene E:<br />
” = 5|5|5)<br />
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Der Abstand d zwischen den Punkten P und S und somit der Abstand zwischen den<br />
Geraden g und h beträgt:<br />
= ¤ Á” šššš—¤ = C 5 − 1 + 5 − 2 + 5 − 5 = √25 = 5
88 Geometrie - Abstand<br />
Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden<br />
Zur Bestimmung des kürzesten<br />
Abstands d zweier windschiefer<br />
Geraden g und h<br />
X: — = — + ;!š—<br />
ℎ: — = "— + T —<br />
wird zunächst ein Vektor 3š— bestimmt,<br />
der zu beiden Geraden senkrecht<br />
verläuft (Kreuzprodukt):<br />
3š— = !š— × —<br />
Von diesem Vektor 3š— wird anschließend der Einheitsvektor 3šššš— berechnet:<br />
3š—<br />
3šššš— =<br />
C3 + 3 + 3 =<br />
1<br />
C3 + 3 + 3 ˜<br />
3<br />
3 <br />
3<br />
Der Abstand d der beiden Geraden ergibt sich aus diesem Einheitsvektor 3šššš— und der<br />
Differenz der beiden Ortsvektoren (Skalarprodukt):<br />
Beispiel:<br />
= 3šššš— "— − —<br />
Gegeben sind die zwei windschiefe Geraden g und h. Bestimmen Sie den kürzesten<br />
Abstand d der beiden Geraden:<br />
1 1<br />
4 1<br />
X: — = ˜1<br />
+ T ˜2<br />
und ℎ: — = ˜1<br />
+ Z ˜−2<br />
3 1<br />
4 1<br />
Das Kreuzprodukt aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden ergibt:<br />
Der Einheitsvektor dieses Vektors lautet:<br />
1 1 2 + 2 4<br />
3š— = ˜2<br />
× ˜−2<br />
= ˜ 1 − 1 = ˜ 0 <br />
1 1 −2 − 2 −4<br />
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3šššš— = 1<br />
√32 ˜<br />
4<br />
0 =<br />
−4<br />
1<br />
√2 ˜<br />
1<br />
0 <br />
−1
Geometrie - Abstand 89<br />
Der Abstand d der beiden Geraden ergibt sich aus dem Einheitsvektor 3šššš— und der<br />
Differenz der beiden Ortsvektoren:<br />
= 1<br />
√2 ˜<br />
1 4 − 1 3 + 0 − 1<br />
0 ∙ ˜1<br />
− 1<br />
= = √2<br />
−1 4 − 3 √2<br />
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90 Geometrie - Abstand<br />
Abstand zwischen Gerade und paralleler Ebene<br />
Zur Bestimmung des Abstands d<br />
zwischen einer Gerade g und einer<br />
parallelen Ebene E wählt man einen<br />
Punkt P, der auf der Gerade liegt.<br />
Der gesuchte Abstand d ist gleich<br />
dem Abstand zwischen dem Punkt P<br />
und der Ebene E. Diese Berechnung<br />
ist bereits oben beschrieben<br />
(Bestimmung des Abstands zwischen<br />
Punkt und Ebene entweder mit einer<br />
Hilfsgerade oder der Hesseschen<br />
Normalenform).<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2006, Pflichtteil Aufgabe 6):<br />
Gegeben sind die Ebene ¸: − 2 + − 2 = −15 und die zu dieser Ebene parallele<br />
2 1<br />
Gerade X: — = ˜−16<br />
+ Z ˜4.<br />
Bestimmen Sie den Abstand der Gerade g von der Ebene<br />
E.<br />
2 1<br />
Als Punkt P dient der Ortsvektor Á = 2|−16|2) der Gerade g. Da die Ebene bereits in<br />
der Koordinatenform gegeben ist, ergibt sich der gesuchte Abstand d aus:<br />
= |3 ] + 3 ] + 3 ] − |<br />
=<br />
C3 + 3 + 3<br />
|−2 ∙ 2 − 1 ∙ 16 − 2 ∙ 2 + 15|<br />
=<br />
C(−2) + 1 + (−2)<br />
|−9|<br />
= 3<br />
√9<br />
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Geometrie - Abstand 91<br />
Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen<br />
Zur Bestimmung des Abstands d<br />
zwischen zwei parallelen Ebenen<br />
¸ und ¸ wählt man einen Punkt P,<br />
der auf der Ebene ¸ liegt.<br />
Der gesuchte Abstand d ist gleich<br />
dem Abstand zwischen dem Punkt P<br />
und der Ebene ¸ . Diese Berechnung<br />
ist bereits oben beschrieben<br />
(Bestimmung des Abstands zwischen<br />
Punkt und Ebene entweder mit einer<br />
Hilfsgerade oder der Hesseschen<br />
Normalenform).<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2007, Pflichtteil Aufgabe 7):<br />
Gegeben sind die beiden parallelen Ebenen E und F. Bestimmen Sie den Abstand der<br />
Ebenen:<br />
1 1 −1<br />
¸: — = ˜1<br />
+ ; ˜0<br />
+ T ˜ 1 <br />
0 2 0<br />
2 2<br />
z: ¹ — − ˜ 1 º ∙ ˜ 2 = 0<br />
−2 −1<br />
Als Punkt P dient der Ortsvektor Á = 1|1|0) der Ebene E. Die Ebene F lautet in der<br />
Koordinatenform:<br />
z: 2 + 2 − = 8<br />
Hieraus ergibt sich der gesuchte Abstand d:<br />
= |3 ] + 3 ] + 3 ] − |<br />
=<br />
C3 + 3 + 3<br />
|2 ∙ 1 + 2 ∙ 1 − 1 ∙ 0 − 8|<br />
=<br />
C2 + 2 + (−1)<br />
|−4|<br />
√9<br />
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= 4<br />
3
92 Geometrie - Winkel<br />
3.7 Winkel<br />
Winkel zwischen zwei Geraden<br />
Der Winkel V zwischen zwei Geraden<br />
X: — = — + ;!š— und ℎ: — = "— + T —<br />
lässt sich mit ihren Richtungsvektoren<br />
berechnen:<br />
cos V = ¤!š— ∙ —¤<br />
¤!š—¤ ∙ ¤ —¤<br />
Winkel zwischen Gerade und Ebene<br />
Der Winkel V zwischen der Gerade<br />
X: — = — + ;!š— und der Ebene ¸: ( — − ]— ∙<br />
3š— = 0 lässt sich mit dem<br />
Richtungsvektor der Gerade und dem<br />
Normalenvektor der Ebene berechnen:<br />
¤3š— ∙ !š—¤<br />
cos 90° − V = sin V =<br />
|3š—| ∙ ¤!š—¤<br />
Winkel zwischen zwei Ebenen<br />
Der Winkel zwischen zwei Ebenen<br />
¸ : ( — − ]ššš— ∙ 3šššš— = 0 und ¸ : ( — − ]šššš— ∙<br />
3šššš— = 0<br />
lässt sich mit ihren Normalenvektoren<br />
berechen:<br />
|3šššš— ∙ 3šššš—|<br />
cos V =<br />
|3šššš—| ∙ |3šššš—|<br />
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Geometrie - Winkel 93<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2011, Wahlteil Aufgabe II 2):<br />
Die Grundfläche eines Gebäudes liegt in der -Ebene. Es besitzt eine Dachfläche in<br />
der Ebene ¸ ¥.kÇ: 2 + + 2 = 16. Welchen Neigungswinkel besitzt die Dachfläche?<br />
Der Neigungswinkel lässt sich mit den beiden Normalenvektoren berechnen:<br />
|3šššš— ∙ 3šššš—|<br />
cos V =<br />
|3šššš—| ∙ |3šššš—| =<br />
2 0<br />
Ș1<br />
∙ ˜0È<br />
2 1 |2| 2<br />
= =<br />
2 0 ¤√9¤ ∙ ¤√1¤ 3<br />
Ș1È<br />
∙ Ș0È<br />
2 1<br />
⟹ V = 48,2°<br />
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94 Geometrie - Spiegelung<br />
3.8 Spiegelung<br />
Spiegelung von Punkt an Punkt<br />
Der Punkt P soll an einem gegebenen<br />
Punkt S gespiegelt werden.<br />
Der gesuchte Spiegelpunkt P´ ergibt sich<br />
aus:<br />
0Á´ šššššš— = 0Á ššššš— + 2 ∙ Á” šššš—<br />
Spiegelung von Gerade an Punkt<br />
Die Gerade X: — = — + ;!š— soll an einem<br />
gegebenen Punkt S gespiegelt werden.<br />
Diese Spiegelung ergibt eine Gerade g´,<br />
die parallel zu der Gerade g verläuft.<br />
Zur Bestimmung eines Ortsvektors der<br />
Gerade g´, wird ein beliebiger Punkt P,<br />
der auf der Gerade g liegt, am Punkt S<br />
gespiegelt:<br />
0Á´ šššššš— = 0Á ššššš— + 2 ∙ Á” šššš—<br />
Hieraus ergibt sich die gesuchte Gerade<br />
g´:<br />
X′: — = 0Á´ šššššš— + ;!š—<br />
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Geometrie - Spiegelung 95<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2010, Wahlteil Aufgabe II 2.1):<br />
5 1<br />
Gegeben sind der Punkt ” = 4,5|6|3,5) sowie die Gerade X: — = ˜0<br />
+ T ˜−2.<br />
Die<br />
3 1<br />
Gerade h entsteht durch Spiegelung von g an S. Bestimmen Sie eine Gleichung der<br />
Gerade h.<br />
Zunächst wird der Punkt P (Ortsvektor der Gerade g) an dem Punkt S gespiegelt:<br />
0Á´ šššššš— = 0Á ššššš— + 2 ∙ Á” šššš—<br />
5 −0,5 4<br />
0Á´ šššššš— = ˜0<br />
+ 2 ∙ ˜ 6 = ˜12<br />
3 0,5 4<br />
Die Geraden g und h sind parallel. Die Gleichung der Gerade h lautet daher:<br />
4 1<br />
ℎ: — = ˜12<br />
+ T ˜−2.<br />
4 1<br />
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96 Geometrie - Spiegelung<br />
Spiegelung von Punkt an Gerade<br />
Zur Spiegelung eines Punktes P an einer<br />
Gerade g bildet man eine Hilfsebene E<br />
(ähnlich wie beim Abstand zwischen<br />
Punkt und Gerade):<br />
a) Der Normalenvektor von E ist<br />
gleich dem Richtungsvektor der<br />
Gerade g.<br />
b) Der Punkt P liegt in der<br />
Hilfsebene E.<br />
Anschließend wird der Schnittpunkt S von<br />
der Gerade g und der Hilfsebene E<br />
berechnet. Dieser Schnittpunkt wird<br />
Lotfußpunkt genannt.<br />
Der gesuchte Spiegelpunkt P´ ergibt sich<br />
aus:<br />
0Á´ šššššš— = 0Á ššššš— + 2 ∙ Á” šššš—<br />
Spiegelung von Punkt an Ebene<br />
Zur Spiegelung eines Punktes P an einer<br />
Ebene E bildet man eine Hilfsgerade g<br />
(ähnlich wie beim Abstand zwischen<br />
Punkt und Ebene):<br />
a) Der Richtungsvektor der Gerade<br />
g ist gleich dem Normalenvektor<br />
von E.<br />
b) Der Punkt P liegt auf der<br />
Hilfsgerade g.<br />
Anschließend wird der Schnittpunkt S von<br />
der Ebene E und der Hilfsgerade g<br />
berechnet. Dieser Schnittpunkt wird auch<br />
Lotfußpunkt genannt.<br />
<strong>©</strong> <strong>Mathe</strong>-<strong>Abi</strong><br />
Der gesuchte Spiegelpunkt P´ ergibt sich<br />
aus:<br />
0Á´ šššššš— = 0Á ššššš— + 2 ∙ Á” šššš—<br />
P<br />
E<br />
g<br />
S<br />
P´<br />
O
Geometrie - Spiegelung 97<br />
Beispiel (siehe <strong>Abi</strong>tur 2012, Pflichtteil Aufgabe 7):<br />
Gegeben ist der Punkt Á = 1|1|3) sowie die Ebene ¸:<br />
Koordinaten des Bildpunktes.<br />
− = 4. Bestimmen Sie die<br />
Mit dem Punkt P und dem Normalenvektor der Ebene E wird zunächst die Hilfsgerade g<br />
1 1<br />
gebildet: X: — = ˜1<br />
+ T ˜ 0 . Durch Gleichsetzten von der Ebene E und der Hilfsgerade<br />
3 −1<br />
g ergibt sich der Schnittpunkt S:<br />
1 + T − 3 − T = 4 ⟹ T = 3<br />
⟹ ” = 4|1|0)<br />
Hierdurch ergibt sich der gesuchte Spiegelpunkt P´:<br />
0Á´ šššššš— = 0Á ššššš— + 2 ∙ Á” šššš—<br />
1 3 7<br />
0Á´ šššššš— = ˜1<br />
+ 2 ∙ ˜ 0 = ˜ 1 <br />
3 −3 −3<br />
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