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98 Stochastik - Baumdiagramme
4 Stochastik
4.1 Baumdiagramme
Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten
Ein Zufallsexperiment besitzt folgende Eigenschaften:
1. Es ist unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar
2. Es besitzt mehrere sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse
3. Die Ergebnisse im Experiment sind rein zufällig.
Die Ergebnismenge Ω beinhaltet alle möglichen, sich gegenseitig ausschließenden
Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Eine besondere Teilmenge dieser
Ergebnismenge wird als Ereignis E bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E ist:
_3I ℎ2 ; ü; T ¸; UX3UT Xü3TZUX 3 zä22
Á ¸ =
_3I ℎ2 22 ; MöX2U"ℎ 3 zä22
= |¸|
|Ì|
Das Nicht-Eintreten eines Ereignisses wird Gegenereignis ¸Í genannt. Die
Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Gegenereignisses ¸Í ist:
_3I ℎ2 ; ü; T ¸; UX3UT 63Xü3TZUX 3 zä22
Á(¸Í =
_3I ℎ2 22 ; MöX2U"ℎ 3 zä22
Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen Null und Eins:
0 ≤ Á(¸) ≤ 1 bzw. 0% ≤ Á ¸ ≤ 100%
= |¸Í|
|Ì|
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses und das Nicht-
Eintreten eines Ereignisses ergibt Eins:
Á ¸ + Á ¸Í = 1
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Stochastik - Baumdiagramme 99
Beispiel:
Die Ergebnismenge beim Würfeln lautet Ω = Ó1, 2, 3, 4, 5, 6Ô. Als Ereignis wird z.B. das
Würfeln einer geraden Augenzahl definiert. Hierdurch ergibt sich die Ergebnismenge
¸ = Ó2, 4, 6Ô.
Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer geraden Augenzahl beträgt:
Á(¸) = |¸| 3 1
= =
|Ì| 6 2
Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer nicht-geraden Augenzahl beträgt:
Á(¸Í) = |¸Í| 3
=
|Ì| 6
= 1
2
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100 Stochastik - Baumdiagramme
Baumdiagramme
Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten, die mehrfach
durchgeführt werden, eignen sich Baumdiagramme. Ausgehend von dem Ereignis der
letzten Wiederholung werden für die aktuelle Wiederholung des Experiments die
verschiedenen Ereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten als Äste eines Baumes
dargestellt.
Beispiel: Ziehen mit Zurücklegen
Ein Gefäß enthält 4 blaue, 3 rote und 2
gelbe Kugeln. Eine Kugel wird gezogen
und anschließend wieder in das Gefäß
zurückgelegt. Dieser Versuch wird
zweimal durchgeführt.
Die Wahrscheinlichkeiten für das
Ereignis, dass eine Kugel mit einer
bestimmten Farbe gezogen wird, lauten
in jedem Versuch:
Á !2 6 = 4
9
Á ;^Z = 3
9
Á(X 2!) = 2
9
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Stochastik - Baumdiagramme 101
Beispiel: Ziehen ohne Zurücklegen
Wird der gleiche Versuch durchgeführt,
ohne dass die Kugeln wieder in das
Gefäß zurückgelegt werden, ändern
sich bei der Wiederholung die
Wahrscheinlichkeiten.
Beim zweiten Ziehen befinden sich nur
noch 8 Kugeln im Gefäß. Die
Wahrscheinlichkeiten hängen davon
ab, welche Farbe vorher gezogen
wurde.
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102 Stochastik - Baumdiagramme
Pfadregeln
Für Baumdiagramme gelten die folgenden Pfadregeln:
Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades wird berechnet, indem die einzelnen
Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades miteinander multipliziert werden.
Summenregel: Wenn für ein bestimmtes Ereignis mehrere Pfade berücksichtigt werden
müssen, werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert.
Beispiel (wie oben, Gefäß mit 4 blauen, 3 roten und 2 gelben Kugeln):
Ereignis Ziehen mit Zurücklegen Ziehen ohne Zurücklegen
Zwei blaue Kugeln Á !2 6, !2 6 = 4 4 16
∙ =
9 9 81
Eine rote und eine
gelbe Kugel
Á ;^Z, X 2! = 3 2 6
∙ =
9 9 81
Á X 2!, ;^Z = 2 3 6
∙ =
9 9 81
Á ;^Z 63 X 2! = 6 6 4
+ =
81 81 27
Beispiel (siehe Abitur 2013, Pflichtteil Aufgabe 8):
4 3 1
Á !2 6, !2 6 = ∙ =
9 8 6
Á ;^Z, X 2! = 3 2 1
∙ =
9 8 12
Á X 2!, ;^Z = 2 3 1
∙ =
9 8 12
Á ;^Z 63 X 2! = 1 1
+
12 12
= 1
6
Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem
Tisch.
Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch
B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch
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Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun
so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen, bis ein Ass erscheint. Die
Zufallsvariable X gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an. Welche Werte kann X
annehmen? Berechnen Sie Á Õ ≤ 2 .

Stochastik - Baumdiagramme 103
Zunächst wird ein Baumdiagramm für das Zufallsexperiment „Zweimaliges Ziehen ohne
Zurücklegen“ erstellt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch liegt, beträgt:
Á _ = 3 2 3 2 2 3 2 1
∙ + ∙ + ∙ + ∙
9 8 9 8 9 8 9 8
= 6 6 6 2 20 5
+ + + = =
72 72 72 72 72 18
Die Wahrscheinlichkeit, eine Dame und ein Ass aufgedeckt auf dem Tisch liegen, beträgt:
Á(’) = 4 2 2 4
∙ + ∙
9 8 9 8
= 8 8 16
+ =
72 72 72
= 2
9
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104 Stochastik - Baumdiagramme
Neben den Assen liegen fünf Karten (drei Könige und zwei Damen) verdeckt auf dem
Tisch. Spätestens beim Umdrehen der sechsten Karte, wird also ein Ass aufgedeckt. Die
Zufallsvariable X kann daher alle Werte von 1 bis 6 (einschließlich) annehmen:
1 ≤ Õ ≤ 6
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Drehen ein Ass aufgedeckt wird, beträgt:
Á Õ = 1 = 4
9
Die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Drehen ein Ass aufgedeckt wird, beträgt:
Daraus folgt:
Zufallsvariable und Erwartungswert
Á(Õ = 2) = 3 4 2 4 12 8 20 5
∙ + ∙ = + = =
9 8 9 8 72 72 72 18
Á(Õ ≤ 2) = Á(Õ = 1) + Á(Õ = 2) = 4 5 13
+ =
9 18 18
Zufallsvariablen beschreiben zufällige Ereignisse, die mit Zahlen verknüpft werden, z.B.
ein Gewinn in Euro, der beim Glücksrad ausgezahlt wird. Eine Zufallsvariable X kann in
einem Experiment k unterschiedliche Werte ˆ annehmen, wobei Á( ˆ) die
Wahrscheinlichkeit der einzelnen Werte ˆ beschreibt.
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable ist der Mittelwert der Ergebnisse bei
unbegrenzter Wiederholung des Zufallsexperiments. Der Erwartungswert wird berechnet,
indem die einzelnen Werte ˆ mit ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit Á( ˆ) multipliziert
(gewichtet) werden. Anschließend werden die einzelnen Produkte addiert:
“
¸(Õ) = Ö ˆ ∙ Á( ˆ) = ∙ Á( ) + ∙ Á( ) + … + “ ∙ Á( “)
ˆ×
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Stochastik - Baumdiagramme 105
Beispiel (wie oben, Gefäß mit 4 blauen, 3 roten und 2 gelben Kugeln):
Bei einem Glücksspiel, wird aus dem Gefäß eine Kugel gezogen und abhängig von der
Kugelfarbe ein Gewinn von 0€ (blau, Niete), 1€ (rot) und 3€ (gelb) ausgezahlt:
Kugel
Gewinn
ˆ
Wahrscheinlichkeit
Á ˆ
blau 0€ Á !2 6 = 4
9
rot 1€ Á ;^Z = 3
9
gelb 3€ Á X 2! = 2
9
gewichteter Gewinn
ˆ ∙ Á ˆ
0€
3
9 €
6
9 €
“
¸~Õ = Ö ˆ ∙ Á ˆ
ˆ×
= 9
€ = 1€
9
Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt 1€. Bei einem Einsatz von 1€ pro Ziehung
wäre das Spiel daher fair. Bei einem höheren Einsatz würde der Anbieter des
Glücksspiels einen Gewinn erzielen.
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106 Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung
4.2 Bernoulliformel und Binomialverteilung
Zur Berechnung der Binomialverteilung mit Hilfe der Bernoulliformel benötigt man
Fakultäten und Binomialkoeffizienten.
Fakultät
Das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n wird Fakultät genannt:
Beispiele:
Binominalkoeffizient
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 3
0! = 1
1! = 1
2! = 1 ∙ 2 = 2
3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120
Der Ausdruck 8 3
9 heißt Binominalkoeffizient. Er gibt an, auf wie viele Arten man eine
Y
Teilmenge von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen auswählen kann. Die
Definition des Binomialkoeffizienten (mit n≥ Y lautet:
Beispiel:
8 3 3!
9 =
Y Y! ∙ 3 − Y !
Die Anzahl der möglichen Ziehungen beim Lotto, wobei eine Teilmenge von 6 Kugeln aus
einer Menge von 49 Kugeln (ohne Zurücklegen) gezogen wird, kann mit einem
Binominalkoeffizient bestimmt werden:
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8 49 49!
9 = = 13.983.816
6 6! ∙ 43!

Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung 107
Pascalsche Dreieck
Niedrige Binomialkoeffizienten können sehr schnell mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks
bestimmt werden. Hierbei ergibt sich ein Binomialkoeffizient jeweils als Summe der
beiden Koeffizienten, die direkt über ihm stehen:
8 7
0 9
= »
8 6
0 9
= »
8 5
0 9
= »
8 7
1 9
= Ý
8 4
0 9
= »
8 6
1 9
= Û
8 3
0 9
= »
8 5
1 9
= Ü
8 7
2 9
= ¼»
8 2
0 9
= »
8 4
1 9
= Ú
8 6
2 9
= Ȇ
8 1
0 9
= »
8 3
1 9
= ½
8 5
2 9
= »·
8 7
3 9
= ½Ü
Das Pascalsche Dreieck ist symmetrisch:
Besondere Binomialkoeffizienten sind:
8 0
0 9
= »
8 2
1 9
= ¼
8 4
2 9
= Û
8 6
3 9
= ¼·
8 1
1 9
= »
8 3
2 9
= ½
8 5
3 9
= »·
8 7
4 9
= ½Ü
8 3 3
9 = 8
Y 3 − Y 9
8 3
9 = 839
= 1
0 3
8 3 3
9 = 8 9 = 3
1 3 − 1
8 2
2 9
= »
8 4
3 9
= Ú
8 6
4 9
= Ȇ
8 3
3 9
= »
8 5
4 9
= Ü
8 7
5 9
= ¼»
8 4
4 9
= »
8 6
5 9
= Û
8 5
5 9
= »
8 7
6 9
= Ý
8 6
6 9
= »
8 7
7 9
= »
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108 Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung
Bernoulliformel und Binominalverteilung
Spezielle Zufallsexperimente mit genau zwei möglichen Ergebnissen, deren
Wahrscheinlichkeiten sich nicht ändern, werden Bernoulliexperimente genannt. Beispiele
hierfür sind:
- Werfen einer Münze; mögliche Ergebnisse: Wappen / Zahl
- Ziehen von Kugeln aus einem Gefäß, in dem sich nur schwarze und weiße
Kugeln befinden; mögliche Ergebnisse: schwarz / weiß
- Funktionsprüfung; mögliche Ergebnisse: in Ordnung / nicht in Ordnung
Sich mehrfach wiederholende Bernoulliexperimente heißen Bernoulliketten. Zur
graphischen Darstellung dieser Bernoulliketten eignen sich ebenfalls die
Baumdiagramme.
Darüber hinaus können Bernoulliexperimente auch durch ihre Erfolgswahrscheinlichkeit p
und die Anzahl der durchgeführten Experimente n (auch Kettenlänge genannt)
beschrieben werden. Die Wahrscheinlichkeit in einem Bernoulliexperiment genau k
Erfolge zu erzielen, lässt sich aus der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Anzahl der
durchgeführten Experimente n berechnen (Bernoulliformel):
Beispiel:
Á Õ = Y = 8 3
Y 9 ∙ ]“ ∙ 1 − ] ),“
In einem Fußballspiel steht es nach der Verlängerung immer noch unentschieden. Jetzt
muss das Spiel im Elfmeterschießen entschieden werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass
genau 4 Tore bei 5 Elfmetern fallen, beträgt bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von 80%:
Á Õ = Y = 8 3
Y 9 ∙ ]“ ∙ 1 − ] ),“
Á Õ = 4 = 8 5
,
9 ∙ 0,8 ∙ 1 − 0,8
4
= 120
∙ 0,41 ∙ 0,2
24 ∙ 1
= 0,41
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Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung 109
Die Wahrscheinlichkeiten P(X) für die Anzahl aller möglichen Tore, die im obigen Beispiel
bei 5 Elfmetern fallen können, sind in der nachfolgenden Wertetabelle angegeben und in
einem Diagramm dargestellt (Binominalverteilung):
k P(X)
0 0,00
1 0,01
2 0,05
3 0,20
4 0,41
5 0,33
Wahscheinlichkeit P(X)
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0 1 2 3 4 5
Anzahl Tore (k)
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110 Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeit und kumulierte Wahrscheinlichkeit
In dem nachfolgenden Diagramm ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit P(X) für einen
schlechten Fußballspieler mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von nur
] = 0,4 !I‡. 40% bei insgesamt Y = 100 geschossenen Elfmetern dargestellt. Das
Diagramm stellt die sogenannte Binominalverteilung in der für Bernoulliexperimente
typischen Glockenkurve dar.
Bei Bernoulliexperimenten ergibt sich der Erwartungswert aus der Kettenlänge n und der
Erfolgswahrscheinlichkeit p. Das Maximum der Glockenkurve liegt beim Erwartungswert:
¸ Õ = 3 ∙ ]
¸ Õ = 0,4 ∙ 100 = 40
Das zweite Diagramm zeigt die kumulierte Wahrscheinlichkeit (entsprechend der Summe
der Einzel-Balken ab Null):
Á “‘( Y, Õ = Ö Á Õ
“
ˆ×
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Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung 111
In der nachfolgenden Tabelle sind typische Aufgabenstellungen zu Wahrscheinlichkeit
und Wahrscheinlichkeits-Bereichen zusammengefasst.
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit von (genau) 33 erzielten Toren bei 100
geschossenen Elfmetern erfolgt mit der Bernoulliformel (siehe Taschenrechner-Funktion
binompdf).
Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeits-Bereichen (weniger, mehr, mindestens,
höchstens, von … bis) benötigt man die kumulierte Wahrscheinlichkeit (siehe
Taschenrechner-Funktion binomcdf). Aufgrund der Definition dieser Funktion (als Summe
mit dem Index U = 0 … Y) muss die kumulierte Wahrscheinlichkeit mit dem Operator " Î "
beschrieben werden. Je nach Aufgabe („mindestens“ und „mehr als“) benötigt man hierzu
das Gegenereignis.
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112 Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung
Aufgabe (kumulierte) Wahrscheinlichkeit Ergebnis
weniger als
33 Tore
höchstens
33 Tore
genau
33 Tore
mindestens (oder
wenigstens)
33 Tore
mehr als
33 Tore
Á “‘( Õ < 33
= Á “‘( Õ ≤ 32
= 0,061
Á “‘( Õ ≤ 33 = 0,091
Á Õ = 33 = 0,030
Á “‘( Õ ≥ 33
= 1 − Á “‘( Õ ≤ 32
Á “‘( Õ > 33
= Á “‘( Õ ≥ 34
= 1 − Á “‘( Õ ≤ 33
= 0,939
= 0,909
Im nachfolgenden Diagramm ist der Bereich von 36 bis 43 Toren (einschließlich)
markiert. Für die kumulierte Wahrscheinlichkeit in diesem Bereich Á “‘( 36 ≤ Õ ≤ 43 gilt:
Á “‘( Õ ≤ 35 + Á “‘( 36 ≤ Õ ≤ 43 + Á “‘( Õ ≥ 44 = 1
Á “‘( Õ ≤ 35 = 0,18
Á “‘( Õ ≥ 44 = 1 − Á “‘( Õ ≤ 43 = 0,24
ß àáâ ½Û ≤ ã ≤ Ú½ = » − ß àáâ ã ≤ ½Ü − ß àáâ ã ≥ ÚÚ = ·, Üä
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Stochastik - Bernoulliformel und Binomialverteilung 113
Der Fußballspieler erzielt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 58% eine Anzahl von 36
bis 43 Toren. Die Wahrscheinlichkeit, dass er weniger Tore erzielt, beträgt 18%. Mit einer
Wahrscheinlichkeit von 24% erzielt er mehr Tore.
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116 Stochastik - Hypothesentest
4.3 Hypothesentest
Bei Hypothesentests werden binominalverteilte Zufallsvariablen P(X) untersucht, deren
Erfolgswahrscheinlichkeit p unbekannt ist. Hierbei wird durch eine Stichprobe überprüft,
ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit als wahr angenommen werden kann. Die
vermutete Wahrscheinlichkeit wird als Nullhypothese bezeichnet. Alternativ kann
überprüft werden, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit als falsch angenommen werden
kann (Gegenhypothese). Ein Hypothesentest besteht aus den folgenden Schritten:
# Schnitt Beispiel
1 Aufstellen der
Nullhypothese
2 Definition der
Stichprobe
3 Definition von
Signifikanzniveau,
Ablehnungsbereic
h und
Zustimmungsbereich
Ein Fußballspieler behauptet, dass er mit 100 Elfmetern
mindestens 80 Tore erzielen kann:
] ≥ 80
0,8
100
Als Stichprobe sollen 10 Elfmeter geschossen werden.
Für die Stichprobe (10 Elfmeter mit der
Erwartungswahrscheinlichkeit ] 0,8) ergibt sich folgende
Binominalverteilung:
Als Signifikanzniveau wird z.B. P(x) = 0,1 (bzw. 10%) gewählt.
Wenn also weniger als 7 Elfmeter der durchgeführten
Stichprobe zu einem Tor verwandelt werden, soll die
Behauptung des Fußballspielers zurückgewiesen werden.
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Stochastik - Hypothesentest 115
# Schnitt Beispiel
4 Durchführen der Der Fußballspieler erzielt bei 10 Elfmetern 7 Treffer.
Stichprobe
5 Entscheidung Die Anzahl der erzielten Treffer liegt im Zustimmungsbereich.
Die Behauptung des Fußballspielers kann als wahr
angenommen werden.
6 Bestimmung der
Irrtumswahrscheinlichkeit
(Fehler 1. Art)
Die Irrtumswahrscheinlichkeit α ergibt sich aus der kumulierten
Wahrscheinlichkeit im Ablehnungsbereich:
V = Á Õ ≤ 6
= Á Õ = 0 + Á Õ = 1 + … + Á Õ = 6 = 0,12
Beispiel (siehe Abitur 2013, Wahlteil Aufgabe B 2.2):
Auf zwei Glücksrädern befinden sich jeweils sechs gleich große Felder (3 x Kleeblatt, 2 x
Diamant, 1 x Stern). Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie
laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad
genau ein Feld sichtbar ist. Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit p für
Stern-Stern geringer als ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden.
l
Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese \ : ] ≥ , wenn die
l
Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll.
Mit der Nullhypothese wird behauptet, dass unter Berücksichtigung der
Irrtumswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Stern-Stern ] ≥
l
beträgt. Wenn das Ergebnis Stern-Stern also zu selten auftritt, wird diese Hypothese
abgelehnt. Hierfür muss der entsprechende Ablehnungsbereich bestimmt werden, für den
gilt:
_ = Ó0; 1; … ; Ô
Hierbei ist a die größte natürliche Zahl für die gilt:
Á å ≤ ≤ 0,05.
Mit Hilfe des Taschenrechners (siehe Kapitel 1,
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116 Stochastik - Hypothesentest
Taschenrechner) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnet. Hierzu benötigt
man die Funktion binomcdf(n,p,k). Die Eingabe lautet: å = !U3^M" 500, , Õ .
l
k
Wahrscheinlichkeit
P(X)
binompdf(n,p,k)
Es ergeben sich die folgenden kumulierte Wahrscheinlichkeiten:
Á å ≤ 7 = 0,0319
Á å ≤ 8 = 0,0629
Kumulierte
Wahrscheinlichkeit P(X)
binomcdf(n,p,k)
0 0,0000 0,0000
1 0,0000 0,0000
2 0,0001 0,0001
3 0,0004 0,0005
4 0,0013 0,0018
5 0,0037 0,0055
6 0,0087 0,0142
7 0,0176 0,0319
8 0,0310 0,0629
9 0,0485 0,1114
10 0,0680 0,1794
Als Ablehnungsbereich für die die Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 0,05 erhält
man daher:
_ = Ó0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7Ô
Entscheidungsregel: Wenn bei 500 Spielen höchstens siebenmal das Erbebnis Stern-
Stern auftritt, wird die Nullhypothese abgelehnt.
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